状态空间描述

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线性系统的状态空间描述

第一章线性系统的状态空间描述 1. 内容系统的状态空间描述化输入－输出描述为状态空间描述由状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统的坐标转换组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵2. 基本概念系统的状态和状态变量状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组。

状态变量：构成系统状态的变量。

状态向量设系统状态变量为)(,),(),(21t x t x t x n 写成向量形式称为状态向量，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t x t x t x t x n状态空间状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n 维空间。

状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。

3. 状态空间表达式设系统r 个输入变量：)(,),(),(21t u t u t u r m 个输出：)(,),(),(21t y t y t y m n 个状态变量：)(,),(),(21t x t x t x n例：图示RLC 电路，建立状态空间描述。

电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量，如图中所注，方程为)()()()()()(t i dtt du C t u t u t Ri dtt di LL c c L L ==++ )()(),()(21t u t x t i t x c L ==状态方程)(01)()(0/1/1/)()()()()()()()(212112211t u t x t x C L L R t xt x t x t xC t u t x t Rx t x L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇔⎩⎨⎧==++⇔输出方程[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)()(01)()(21t x t x t u t y c 一般定义状态方程：状态变量与输入变量之间的关系[][][]t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx r n n n n r n r n );(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()(212121212222121111======用向量表示，得到一阶的向量微分方程[]t t u t x f t x),(),()(= 其中n n r r n n f f f f t u t u t u t u t x t x t x t x R R R ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙=∙∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(:)(,)()()(:)(,)()()(:)(212121输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即[][][]t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y r n m m r n r n );(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()(2121212122212111=== 用向量表示为[]t t u t x g t y ),(),()(=4系统分类：1) 非线性时变系统[][]⎩⎨⎧==t t u t x g t y t t u t x f t x ),(),()(),(),()(2) 非线性定常系统[][]⎩⎨⎧==)(),()()(),()(t u t x g t y t u t x f t x3) 线性时变系统⎪⎩⎪⎨⎧+++++=+++++=rnr n n nn n n r r n n u t b u t b x t a x t a xu t b u t b x t a x t a x)()()()()()()()(1111111111111写成向量形式即为⎩⎨⎧+=+=)()()()()()()()()()(t u t D t x t C t y t u t B t x t A t x其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t b t b t b t b t b t b t b t b t b t B t a t a t a t a t a t a t a t a t a t A nr n n r r nn n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t d t d t d t d t d t d t d t d t d t D t c t c t c t c t c t c t c t c t c t C mr m m r r mn m m n n4) 线性定常系统⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x5 状态空间表达式的系统结构图状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关系。

状态空间的名词解释

状态空间的名词解释状态空间是指描述系统或物体各种可能状态的一个抽象概念。

它在各个领域中都有着重要的应用，包括数学、物理学、计算机科学等。

在这篇文章中，我们将探讨状态空间的概念、性质和应用，并尝试借助一些具体的例子来说明。

首先，让我们来解释一下状态空间的基本定义。

状态空间通常可以被看作是一个多维空间，其中每个维度代表一个状态变量，而每个点则表示一个具体的状态。

例如，对于一个简单的二维状态空间，其中的一个维度可以表示对象的位置，而另一个维度则可以表示对象的速度。

在这个状态空间中，每个点都可以唯一地确定对象的位置和速度。

状态空间的一个重要性质是维数，即它包含的状态变量的个数。

维数的多少直接决定了状态空间的复杂程度。

一个低维的状态空间可能只包含很少的状态变量，而高维的状态空间则可能包含众多的状态变量。

这决定了系统在状态空间中的行为和演化方式。

例如，在物理学中，一个简谐振子的状态空间只有一维，因为只需要考虑物体的位置；而一个复杂的天气预测系统的状态空间可能包含数十个甚至数百个维度，因为需要考虑众多的气象参数。

状态空间的另一个重要概念是状态转移。

状态转移指的是系统在不同状态之间的切换过程。

在状态空间中，状态转移通常由一些规则或方程来描述。

这些规则可以是离散的，例如一个棋盘游戏中的走子规则，也可以是连续的，例如牛顿力学中的运动方程。

通过这些规则，我们可以预测系统在状态空间中的演化和变化。

状态转移的过程也可以被称为系统的动力学，它描述了系统状态的发展轨迹。

除了描述系统的状态和演化，状态空间还可以用于解决一些实际问题。

一个典型的例子是路径规划问题。

在这种问题中，我们需要找到一条从起点到终点的最短路径。

可以将路径规划问题转化为在状态空间中寻找一个状态转移序列的问题。

通过定义合适的状态转移规则和评估函数，我们可以通过在状态空间中搜索来解决这个问题。

类似地，状态空间可以用于机器学习中的强化学习问题、物理系统的建模和仿真等。

状态空间描述

状态空间描述
状态空间可以简单地理解为描述系统所处状态的一种抽象概念，它把一个复杂的系统抽象成多个独立状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化规律。

状态空间描述了系统之间状态的可能变化，从而表明了每个状态之间的连接情况。

1. 什么是状态空间
状态空间是描述系统所处状态的一种抽象概念，它能够将一个复杂的系统抽象成多个独立的状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化情况。

2. 状态空间的概念
状态空间是一种用于描述系统状态变化的空间，它通过多个状态表达了一个系统的演化情况，并将一个复杂的系统变化的规律映射到状态变化的空间中。

因此，它是表达某个系统演化情况的一种理想方法。

3. 状态空间的总体结构
状态空间是有限的，它由一个特定的状态集合构成，包括一组状态及其间的连接关系，这些连接关系通过不同的操作表示出来。

因此，状态空间的总体结构可以概括为包含了状态和连接情况的一维空间。

4. 状态空间变化
状态空间随着操作的不断变化，其所描述的系统也会不断变化，这就
形成了一个动态的状态空间，这里面存在着状态之间的连接关系，这
些连接关系是由可调整转移概率和操作决定的。

5. 对应建模
状态空间模型将状态空间中的各状态映射到离散时间模型，从而对模
型问题进行建模，通过状态空间模型可以计算出每个状态的概率，从
而能够较为准确地表述系统的状态情况，以找出问题的解决途径。

6. 状态空间可视化
状态空间可以使用可视化图像，将各状态之间的连接关系图示出来，
常见的可视化表示方法有马尔科夫网络图像，状态树图像和拓扑图像，这些可视化图像能够清晰地展示出状态空间的总体结构，从而简化问
题的解决过程。

第9章控制系统的状态空间描述

第9章控制系统的状态空间描述
2.状态变量能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章控制系统的状态空间描述和
第9章控制系统的状态空间描述
将上两式用矩阵方程的形式表示, 可得出线性时变系统的状态空间表达式为
第9章控制系统的状态空间描述或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章控制系统的状态空间描述
第9章控制系统的状态空间描述
第9章控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般形式为

第1章状态空间描述

若以状态变量x1(t)、x2(t)、…、xn(t)为坐标轴，可构成n 维空间，称为状态空间。
x1(t)
n维欧氏空间
x(t) ∈ Rn
x2(t)
x3(t)
x (t0)
状态空间中的每一点都表示了状态变量特定的一组值。初始状态x(t0)是初始点。
2. 状态轨迹 t≥t0 ，随时间推移， x(t)在不断变化，从而在状态空间中
⎢ ⎣
xn
(t
)
⎥ ⎦
给定t= 时刻的初始状态矢量x(t0) ，及t≥t0的输入u (t0)，
⎡ x1(t0 ) ⎤
x(t0
)
=
⎢ ⎢ ⎢
x2
(t0
)⎥⎥ ⎥
⎢ ⎣
xn
(t0
)⎥⎦
则t≥t0时系统的状态向量x(t)被唯一确定。
1.1.4 状态空间与状态空间描述
1. 状态空间（连接代数结构与几何概念）
y(t) = x2 (t)
x2 (t)
=
1 C
x1 (t )
x1 (t )
=
−
R L
x1 (t )
−
1 L
x2 (t)
+
1 L
u(t)
x2 (t)
=
1 C
x1 (t )
y(t) = x2 (t)
x1 (t )
=
−
R L
x1 (t )
−
1 L
x2
(t)
+
1 L
u(t)
x2 (t)
=
1 C
x1 (t )
若函数 x = f ( x, u, t) 和 y = g( x, u,t) 显含时间，即与输入的时间有关，系统为时变系统；若函数 x = f ( x, u,t) 和 y = g( x, u,t) 均不显含时间，即与输入的时间无关，系统为定常系统；若函数 x = f ( x, u, t) 和 y = g( x, u,t) 的全部或至少一个组成元为变量x1，x2，…，xn和u1，u2，…，ur的非线性函数，则称系统为非线性系统；若函数和均是变量 x1，x2，…，xn和u1，u2，…，ur的线性函数，则称系统为线性系统。

现代控制理论3-1线性系统的状态空间描述

第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择n个状态变量
x1 , x 2 , ⋯⋯, x n
x1 = y ɺ x2 = y x3 = ɺɺ y ⋮ xn = y ( n −1)
第二步：求各个状态一阶导数，并代入原微分方程，有
ɺ x1 = x2 x = x ɺ 3 2 ⋮ x = x ɺ n−1 n xn = −a0 x1 − a1 x2 − ⋯⋯ − an−1 xn + β 0u ɺ
di 1 + Ri(t ) + ∫ i (t )dt = u (t ) dt C 1 u c (t ) = ∫ i (t )dt C L
(1)取流过电感L的电流i(t)和电容C两端电压uc(t) 作为系统的两个状态变量，分别记作 x1=i1和x2=uc,则有
dx1 L dt + Rx1 + x 2 = u (t ) dx 2 = 1 x 1 dt C y = x2
电路如图1.1所示系统的控制输入量为u(t)，系统输出为u 例1.2 RLC电路如图所示系统的控制输入量为电路如图所示,系统的控制输入量为，系统输出为 c(t) ，建立系统的状态空间表达式。系统的状态空间表达式。
解：该RLC电路有两个独立的储能元件L和C，设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律和R、 L、C元件的电压电流关系，可得下列方程
n
x1 = y − β 0 u ɺ xi = xi −1 − β i −1u， i = 2,3, ⋯ , n
其中 β 0 , β 1 , ⋯ , β n −1 是n个待定系数。
根据上述定义有
x1 = y − β 0 u ɺ x 2 = x1 − β1u ɺ xi = xi −1 − β i −1u ɺ x n −1 = x n − 2 − β n − 2 u ɺ x n = x n −1 − β n −1u

第2章线性系统的状态空间描述

特征多项式定义2.4 [特征矩阵] 特征矩阵] 定义
定义2.5 [特征多项式] 特征多项式] 定义
2.4 线性时不变系统的特征结构
特征多项式α(s)的计算方法的特征多项式
莱弗勒(Leverrier)递推算法递推算法莱弗勒
2.4 线性时不变系统的特征结构
α ( s ) = s n + α n −1s n −1 + L + α1s + α 0
0 1 0 A = 0 0 1 0 −1 −1
5，化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型
8 −8 −2 2 3 & x = 4 −3 −2 x + 1 5 u 3 −4 1 7 1
0 1 4 & x= x + 2 u −9 −6
作业
6，计算下列状态空间描述的传递函数计算下列状态空间描述的传递函数 −5 −1 2 & x= x + 5 u 3 −1 y = [1 2] x + 4u 7，给定反馈系统如下图所示给定反馈系统如下图所示
& 为 x1 = y , x2 = y ，列出系统的状态方程和输
出方程
u
+ −
&& y
+
∫
by 2
& y
二次部件
∫
y
+ + +
a (t )
k
作业
2，试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述
&&& + 2&& + 6 y + 3y = 5u y y & &&& + 2&& + 6 y + 3 y = 7u + 5u & y y & & & 3&&& + 6 && + 12 y + 9 y = 6u + 3u y y

状态空间描述法

空间称为状态空间。 5. 方程:
状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称为状态方程(见上例);
系统输出量y(t) 与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。
5
三. 状态变量的选取
1. 状态变量的选取是非唯一的。 2. 选取方法（1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。（2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电
kyt
fyt
1 m
ut
K m
x1t
f m
x2 t
1 m
ut
yt x1t
k m
f
u(t) y(t)
7
例9.3 已知系统微分方程组为
1
ur R1i1 c1 (i1 i2 )dt
1
1
c1 (i1 i2 )dt R2i2 c2 i2dt
1
uc c2 i2dt ur
1. 单输入单输出线性定常连续系统
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u
x2
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
u
xn an1 x1 an2 x2 ann xn bnu
y c1 x1 c2 x2 cn xn du
x Ax Bu y Cx Du
2．经典控制理论的特点：
(1) 优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。
(2) 缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统。
3. 现代控制理论
(1) 适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。
(2) 可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。

现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版

(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中和的所有组成元都是变量和的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式：（2－8）式中，各个系数矩阵分别为（2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。

《状态空间描述法》课件

案例二：飞行器姿态控制系统设计
总结词
飞行器的姿态控制是保证飞行安全的关键环节。通过状态空间描述法，可以建立飞行器姿态控制系统的数学模型，为控制系统设计提供依据。
详细描述
飞行器的姿态控制涉及多个动态变量，如角速度、角位移、俯仰角、偏航角等。状态空间描述法能够全面地描述这些变量之间的关系，建立起飞行器姿态控制的数学模型。基于这个模型，可以设计各种控制器，如PID 控制器、模糊控制器等，以实现对飞行器姿态的精确控制。
PART 05
状态空间描述法的应用实例
REPORTING
案例一：倒立摆控制系统设计
要点一
总结词
要点二
详细描述
倒立摆是一个不稳定的系统，其控制目标是使摆杆保持稳定，避免倒塌。状态空间描述法在倒立摆控制系统中被广泛应用，通过建立状态方程和输出方程，对系统进行精确的数学描述，为控制系统设计提供基础。
状态空间图
• 状态空间图：以图形方式表示系统状态变量、输入和输出的关系，有助于直观理解系统的动态行为。
PART 03
状态空间描述法的实现
REPORTING
建立状态方程和输出方程
状态方程
描述系统内部状态变量的动态关系，通常表示为x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)。
VS
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入的关系，通常表示为y(t)=Cx(t)+Du(t)。
如何克服局限性
降维处理
并行计算和分布式计算
对于高维系统，可以通过降维处理来降低系统的维度，从而简化状态空间描述法的计算。
采用并行计算和分布式计算技术可以降低大规模系统的计算复杂性，提高计算效率。

状态空间描述的基本概念

自动控制原理
状态空间描述的基本概念
1．状态和状态变量
【定义 9-1】系统的状态是指系统在时间域中的动力学行为或运动信息的集合，
它表征了系统的动态特性。
通常，系统的状态可用一组数据、一条曲线、一个方程或更抽象的一组变量来描述，而能够完全表征系统状态的数目最小的一组变量称为系统的状态变量，常
用 x1，x2 ， Βιβλιοθήκη ，xn来表示。自动控制原理
（3）状态变量的选取不是唯一的。同一个系统应有多组变量可以选择，原因在于系统内部变量的数目必然大于系统的独立储能元件数目，即系统的阶次n，而任意n 个线性无关的内部变量都可以组成一组状态变量。
2．状态向量和状态空间
【定义 9-2】对于n阶系统，将描述系统状态的一组（n个）状态变量 x1(t)， x2 (t)，
状态变量主要具有以下特征。
（1）它能够完全表征系统的状态。当给定初始时刻 t t0时状态变量的值，以及时系t 统输t0 入量的时间函数，就可以完全且唯一确定系统在任何时刻的运动信息。
（2）变量数目最小。在系统的一组状态变量中，各变量之间应是相互独立的，如此才能保证变量数目最小。n阶系统应具有n个独立变量，分别对应于系统的n个独立的储能元件，所以这n个独立变量就是系统的一组状态变量。状态变量通常选取储能元件上与储能有关的变量，如电感上的电流、电容上的电压、弹性元件上的位移、惯性元件上的速度和加速度等变量。
， xn (t) 作为分量，构成向量 x(t)来表示系统的状态，则向量 x(t)就称
为系统的状态向量。以状态向量 x的(t)各分量为坐标轴所组成的n维空间称为系统的状态空间。
状态空间是状态向量的所有可能值的集合，系统的每一个状态对应于状态空间中的一个点，如系统的初始状态对应状态空间中的起始点 x(t0 )，那么 t t0的各时刻系统的状态在状态空间中将形成一条轨迹，这条轨迹称为系统的状态轨线。

状态空间描述

Y (s) U (s)
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
注意：
方程中存在输入信号的导数项，有可能…导致系统在状态空间中的运动出现无穷大的跳变，方程解的存在性和唯一性被破坏。因此，X的选择要使状态方程的右边不出现u 的导数项。通常将输入的导数项并入所选的状态变量中，把状态变量取为输出y 和输入u 的各阶导数的适当组合。
xn
u(n1) n
u(n2) n 1
2u 1u
增加一个中间变量：xn1 令 xn1 xn 0u (5)
由式(5)和式(4)可求得：
y(n)
xn
nu(n)
u(n1) n 1
2u 1u
(6)
xn1
nu(n)
u(n1) n 1
2u
1u
0u
将式(4)和式(6)代入原始微分方程式中，根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：0, 1,, n
ci
lim
si
G(s)(s
i )
当j 1,2,..., q时，
1 d j1
C1(q j1)
Lim
s 1
(
j
1)!
ds j1
W(s) (s 1)q
（1）对于互异极点部分：
令
Xi (s)
s
1
i
U (s)
(i q 1, q 2,, n)
(2)
拉氏反变换可得：
xi i xi u (i q 1, q 2,, n) (3)
x1 1 0 0 x1 1
x
2
0
2
0
x2
1u
x3 0 0 3x3 1 u

2线性系统的状态空间描述

C m ia J
dt
2
f
转动惯量，粘性摩擦常数， m 电磁转矩常数，e 电势常数 C C f
令 x1 , x 2 , x 3 i a
x1 x 2 x2 x3 f J Ce La x2 x2 Cm J Ra La x3 x3 u La
结构图
x2
状态轨迹
A
( x1 ( t 0 ), x 2 ( t 0 ))( x1源自( t1 ), x 2 ( t1 ))
B
0
x1 ( t ) x (t ) x 2 (t )
t
x1
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u ( t )
K ---弹性系数 m
7.状态空间表达式(动态方程)：{A，B，C，D}
x f ( x, u , t) y (t ) g ( x , u , t )
x ( t k 1 ) f ( x , u , t k ) y (tk ) g ( x , u , tk )
f,g-线性函数线性系统
u
y 1
0
例4. 一长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵，，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达式。

m
x
l
u
M
设小车瞬时位置为 x 摆心瞬时位置为 ( x l s i n ) 在水平方向，由牛顿第二定律
yq
u [u1 , u 2 , , u p ]
T
y [ y1 , y 2 , , y q ]

线性控制系统的状态空间描述

§3.3 Matlab 实验
1. 状态空间模型脉冲响应、阶跃响应和任意输入响
应
(1) [y,x,t]=impulse(a,b,c,d)
(2) [y,x,t]=step(a,b,c,d)，其中y、x 和t 是输出、
状态向量和仿真时间。

(3) [y,x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0)。

例求管亠[0* x c£，为
u(t) =sint的状态输出值。

解程序和结果如下
-0.2
-0.4
2. 离散系统的脉冲响应、阶跃响应、任意输入响应
⑴[y, x]=dimpulse(sys);
(2) [y, x] = dstep( nu m,de n);
(3) [y, x]=dlsim(sys,u); 47y、x 和u 分别为输出、
状态和输入，sys可以是num,den或a,b,c,d,不绘图，当无y, x时直接绘图。

3 •连续和离散状态模型的零输入响应(只对初态x0 响应)
(1) [y,x,t]=i nitial(a,b,c,d,xO)
⑵[y,x,t]=dinitial(a,b,c,d,x0) ，y 为输出，x 为状态，
t为指定输出时间。

当不带y、x和t时，直接绘图。

4 •连续系统离散化
(1) [da,db,dc,dd]=c2dm(a,b,c,d,Ts)
⑵[dnum,dden]=c2d(num,den,Ts) , Ts 是采样周期。

5.矩阵指数
expm(a*t)，其中t可为符号变量，也可为实值。

0 1
例如设A = 0'，则求e At的命令和结果如下:
||-4 -4。

《现代控制理论》线性系统的状态空间描述

a. 系统输入量中不含导数项
关键：选取输出量导数为状态变量
【例】
设系统
u
y
y
y
y
6
7
41
6
=
+
+
+
&
&
&
&
&
&
解:
选择状态变量
令：
3.从微分方程出发
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
则:
b. 系统输入量中含有导数
原则：使状态方程不含u的导数。
系统输入量中含有导数
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
由上式求导得：
整理得：
则：
续
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
注意：这种方法不适用。可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。
注意
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
【例】
状态空间表达式为：
【例】已知状态转移矩阵为
，试求
和A。
拉氏反变换，有
则
【例】试求状态方程的解。
，初始条件为
解：
拉氏变换法例题
线性定常连续系统状态方程的解
则：
三、状态转移矩阵的性质 [要求熟练掌握]
证明：
有
成立
状态转移矩阵的性质
线性定常连续系统状态方程的解
5.
6.
7.
证明：
续
线性定常连续系统状态方程的解
其中：
（2）可观测标准型状态空间表达式为：
其中：
可观测标准形例题
线性定常连续系统状态空间表达式的建立

第二章状态空间描述

Modern Control Theory
Page: 7
2-2 状态空间的几个重要概念
x (k 1) Gx (k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k ) Du(k )
Modern Control Theory
Page: 8
2-3
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
一、不同系统状态空间表达式的特点——又称动态方程
Modern Control Theory
状态方程
输出方程
Y (t )
U(s)
G(s)
Y(s)…Biblioteka 状态空间描述法示意图…
Page: 6
2-2 状态空间的几个重要概念
线性离散时间系统状态空间表达式
x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k ) y ( k ) C ( k ) x ( k ) D ( k ) u( k )
y 6 41 y 7 y 6u y
选择状态变量令： x 1 y x2 y x 3 y
xn y
( n 1)
Modern Control Theory
Page: 19
2-3
则:
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
1 0 0 0 X 0 u(t ) 0 X 0 1 7 41 6 6 y 1 0 0X
Modern Control Theory
Page: 2
2-1 线性系统的数学描述
5.线性: 一个松弛系统,当且仅当对任何输入u1 和 u 2 及任意常数 , 均有 H ( u1 u2 ) Hu1 Hu2
(可加性) (齐次性)
H ( u1 ) H ( u1 )

线性系统的状态空间描述

输出量可以选作状态变量。输入量不允许选作状态变量。
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量称为n维状态向量。状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态空间Rn。状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程（※）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为：或线性系统的状态空间描述
对角型实现和约当标准型实现，需要计算系统的极点(特征值)和特征向量，很不方便。
总结：
由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409）
01
由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P405-407。另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标准型和可观测标准型实现，例如我们在例1-2种所做的那样。
状态变量组选取上的不唯一性：由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。
系统的状态空间描述
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。
状态变量是时间域的。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量不是所有变量的总和。
1.5 组合系统的状态空间描述
1.4 线性系统等价的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
2021
2023
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
1．几个基本定义

状态空间描述

线性系统的状态空间描述

状态空间的名词解释

状态空间描述

第9章 控制系统的状态空间描述

第1章 状态空间描述

现代控制理论3-1线性系统的状态空间描述

第2章 线性系统的状态空间描述

状态空间描述法

现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版

《状态空间描述法》课件

状态空间 描述的基本概念

状态空间描述

2线性系统的状态空间描述

线性控制系统的状态空间描述

《现代控制理论》线性系统的状态空间描述

第二章 状态空间描述

线性系统的状态空间描述

第9章控制系统的状态空间描述

第1章状态空间描述

第2章线性系统的状态空间描述

状态空间描述的基本概念

第二章状态空间描述