武汉大学测量平差[第2部分-2]

Bxˆ
+
W
)
（9）
（8）式和（9）式就是附有参数的条件平差的最终解。
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
2、附有参数的条件平差的计算步骤
由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下：
（1）、根据具体的平差问题，选取u个独立的参数，并列出附有参数的条件
方程（1）式。 A V + B xˆ + W = 0 c×n n×1 c×u u×1 c×1 c×1
例2：在 ΔABC 中，同精度测得 L1 , L2 , L3和 L4 等4个角度，现选
∠ BAC为参数 Xˆ 进行平差，试写出其函数模型和法方程。
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
3、 举例（P94例1,P95例2） 例3：某三角网如图所示，A、B为已知点，BD为已知 边。其已知数据为：
N aa −1左乘（4）式的第一式，可得：
K
=
−
N
−1 aa
(
Bxˆ
+W)
(5)
再以
BT
N
−1 aa
左乘（4）式的第一式，并减去第二式，得：
B
T
N
−1 aa
Bxˆ
+
B
T
N
W −1
aa
=
0
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
令 则有
N bb
=
BT
N
−1 aa
B
Nbb xˆ +
B
T
N
W −1
aa
由此可得观测值和参数的平差值为：
( ) LˆT = 60D00′05.4′′ 59D59′56.3′′ 59D59′58.3′′ 60D00′05.0′′ 59D59′56.0′′ 59D59′59.0′′
Xˆ = 30D00′05.4′′
检核略。
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差
三、精度评定 1、单位权方差的估值
表1
角号
观测值
角号
观测值
1
60D00′03′′
4
59D59′57′′
2
60D00′02′′
5
59D59′56′′
3
60D00′04′′
6
59D59′59′′
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
解：本例中n = 6，t = 3，r = 3，u = 1，故c = r + u = 4
由图知，可列2个图形条件，1个极条件和1个固定边条件。 这4个条件如下：
为了求函数 Φ 的极小值，将其分别对V和 xˆ 求一阶导
数，并令其为零，即
∂Φ = 2V T P − 2 K T A = 0 ∂V ∂Φ = −2K T B = 0 ∂xˆ
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
亦即
V = P −1 AT K
BT K = 0
（2）
将（1）式和（2）式联立，则得到附有参数的条件平
⎜ ⎜
QVL
QXˆW QKW QVW
QXˆXˆ QKXˆ QVXˆ
QXˆK QKK QVK
QXˆV QKV QVV
QXˆLˆ
⎟ ⎟
QKLˆ QVLˆ
⎟ ⎟ ⎟
⎜⎝QLˆL QLˆW QLˆXˆ QLˆK QLˆV QLˆLˆ ⎟⎠
⎜⎛
QLL
QLL AT
−QLLAT Na−a1BQXˆXˆ
− QLL AT QKK
F (L~, X~) = 0
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
1）如果条件方程为线性形式，则有
A L~+
c.n n.1
B
c.u
X~
u.1
+ A0
c.1
=
0
c.1
A0 : 常数向量 将L~ = L + Δ, X~ = X 0 + ~x代入上式，并令
W = AL + BX 0 + A0 则上式变为：A Δ+ B ~x +W = 0
L,X 0
=
F (L,
X
0)
则上式变为：A Δ+ B ~x +W = 0
c.n n.1 c.u u.1 c.1 c.1
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
二、附有参数的条件平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
A V + B xˆ + W = 0
c×n n×1 c×u u×1 c×1 c×1
（2）、组成法方程（4）式。
Naa K + Bxˆ + W = 0
BT K = 0
（3）、按（8）式和（9）式计算参数近似值的改正数 xˆ 和观测值L的改正数
V。
xˆ
=
−
N
−1 bb
BT
N
W −1
aa
V
=
−
P
−1
AT
N
−1 aa
(
Bxˆ
+
W
)
（4）、计算观测值和参数的平差值。Lˆ = L +V , Xˆ = X 0 + xˆ （5）、用平差值重新列平差值条件方程，检核整个计算的正确性。F(L~, X~) = 0
N −1 aa
N −1 aa
AQLL AQLL
⎟ ⎟ ⎟
N −1 aa
(I
−
BQXˆXˆ
BT
N −1 aa
)
QKK AQLL
QLL AT QKK
QLL AT QKK AQLL
0
⎟
0
⎟ ⎟
⎜⎝ QLL −QVV
QLLAT Na−a1BQXˆXˆ BT −QLLAT Na−a1BNb−b1
0
0
QLL −QVV ⎟⎠
（1）
式中V为观测值L的改正数，xˆ为参数近似值 X 0的改正数。其系数
矩阵的秩分别为 rk ( A) = c, rk (B) = u 。其随机模型为：
D LL
=
σ
2 0
Q
LL
=
σ
2 0
P
−1
（1）式中的未知数为n个观测值的改正数V 和u个参数近似值的
改正数样 xˆ ，即未知数的个数为m = n + u，而方程的个数为
在附有参数的条件平差中，单位权方差的估值仍 为：
σˆ 0
= V T PV r
= V T PV c−u
（10）
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差 2、基本向量的协因数矩阵
⎜⎛QLL QLW QLXˆ QLK QLV QLLˆ ⎟⎞
⎜QWL QWW QWXˆ QWK QWV QWLˆ ⎟
QYY
= ⎜⎜QXˆL ⎜QKL
c.n n.1 c.u u.1 c.1 c.1
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
2）如果条件方程为非线性形式
F (L~,
X~ )
=
F(L + Δ,
X
0
+
~x )
=
F (L,
X
0)+
∂F ∂L~
Δ+
L,X 0
∂F ∂X~
L,X 0
~x
=
0
令A =
∂F ∂L~
,B
L,X 0
=
∂F ∂X~
,W
则
Naa K + Bxˆ + W = 0
BT K = 0
(4)
法方程
（4）式称为附有参数的条件平差的法方程。因为
rk(Naa ) = rk( AP−1 AT ) = rk( A) = c
且N
T aa
= ( AP−1 AT )T
=
AP−1 AT
=
N
，所以
aa
N aa是满秩的对称方阵，
其凯利逆存在。于是，用
− QVV
QLL −QVV ⎟⎞
⎜
AQLL
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
−
QXˆXˆ BT Na−a1AQLL − QKK AQLL − QVV
Naa −QXˆXˆ BT − QKK Naa − QLL AT QKK Naa
− BQXˆXˆ N −1
bb
0
0
− NaaQKK 0
− NaaQKKAQLL 0
BQXˆXˆ BT − Nb−b1BT
=
0
(6) （7）
因为
rk(Nbb )
=
rk
(
B
T
N
−1 aa
B)
=
rk(B)
=u
,且 N bb
=
N −1 bb
，故 Nbb
是满
秩的对称方阵，其凯利逆存在。于是，由（7）式得：
xˆ
=
−
Nຫໍສະໝຸດ Baidu
−1 bb
BT
N
W −1
aa
（8）
将（5）式和（8）式同时代入（2）式的第一式，得：
V
=
−P
−1
AT
N
−1 aa
(
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
为了解决这个问题，可以选择某个（或某几个）非观测量作 为参数。例如图中选择 X 作为参数。设选择了u个参数，则原来 的r个条件方程就变为c = r+u个了。如图中，由于选择了X 作为参 数，则条件方程的个数就变为c = r+u = 4+1=5个，即除了三个图 形条件外，还可以列出1个极条件和1个固定边条件。如下图，若 以A点为极，则极条件(以A点为极）为：
Lˆ2
或
S AC sin(Lˆ6 + Lˆ8 ) sin Lˆ2 S AB sin Xˆ sin Lˆ3
=1
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
设在平差问题中，观测值个数为n,必要观测数为t,则 可列出r=n-t个条件方程。现又增设了u个独立量作为参 数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。 以含有参数的条件方程作为平差的函数模型的平差方 法，称为附有参数的条件平差法。
c = r + u。由于m – c = n – r = t > 0，所以（1）式是一组具有无
穷多组解的相容方程组。必须根据最小二乘原理，求出能使
V T PV = min 的一组解。为此，下面就来求解这组解。
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
1、基础方程及其解 为了求得能使 V T PV = min 的一组解，按求函数之条件 极值的方法，组成新函数： Φ = V T PV − 2K T ( AV + Bxˆ + W ) 式中K是对应（6-1）式的联系数向量。
−000..56.9769769 ⎟⎟⎟⎟⎠ K
+
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
−13.7.043624 ⎟⎟⎟⎟⎠ xˆ
+
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
−8 ⎟ −56.1.09561⎟⎟⎟⎠
=
0
(0 0 − 3.464 1.732)K = 0
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
解得： xˆ = 5.4009′′, V T = (2.4′′ − 5.7′′ − 5.7′′ 8.0′′ 0.0 0.0)
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
sin(Lˆ5 + Lˆ7 ) sin Xˆ sin Lˆ6 = 1 sin(Lˆ9 − Xˆ ) sin(Lˆ6 + Lˆ8 ) sin Lˆ5 固定边条件为（由AC推算AB）：
S AB
=
S AC
sin( Lˆ 6 sin
+ Lˆ8 ) sin Xˆ sin Lˆ3
差的基础方程：
AV + Bxˆ + W = 0
V = P −1 AT K （3） 基础方程
BT K = 0
将（3）式中的第二式代入第一式，消去改正数V，得： AP−1 AT K + Bxˆ + W = 0
BT K = 0
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
令 N aa = AP −1 AT
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差
取 X 0 = 30D00′00，′′ 将非线性条件线性化后，得条件方程为：
⎜⎛ 1 1
1
0
0 0⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎞ ⎜⎛ 9 ⎟⎞
⎜0 ⎜⎜⎜⎝1.7032
0 0.577
0
0 − 0.577 0.577
1 1.155
0
1 − 1.155 0.577
100 ⎟⎟⎟⎟⎠V
+
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 − 3.464 1.732
v1 + v2 + v3 + wa = 0
v4 + v5 + v6 + wb = 0
sin Lˆ4 sin(Lˆ1 − Xˆ )sin(Lˆ3 + Lˆ5 sin Lˆ5 sin(Lˆ2 + Lˆ4 )sin Xˆ
)
=
1(以B点为极）
SAB sin SBD sin(Lˆ3
Xˆ +
Lˆ5 )
=
1
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
3、 举例（P94例1,P95例2） 例1：在某航测像片上有一块矩形的稻田，为了确定该稻田的面
积，现用卡规量测了该矩形的长和宽分别为 l1 , l2 ，又用求积仪量
测了该矩形的面积为 l3 。若设该矩形的面积为参数Xˆ , 按 附 有 参
数的条件平差法平差，试列出其条件方程。
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差
一、问题的提出
由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测（n>t）的条件 平差问题，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r个独立的条 件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作 中，有些平差问题的r个独立的条件方程很难列出。例如，在下图 所示的测角网中，A、B为已知点，AC为已知边。观测了网中的9 个角度，即n=9。要确定C、D、E三点的坐标，其必要观测数为 t=5，故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4，即必须列出4个独立的条 件方程。由图知，三个图形条件很容易列出，但第四个条件却不 容易列出。
x A = 1000 .00m, y A = 0.00m, xB = 1000 .00m, y B = 1732 .00m , S BD = 1000 .00m
各角的同精度独立观测值见表1。现选 ∠BAD 的最或 是值为参数，试按附有参数的条件平差求观测值的平 差值和参数的平差值。
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
xˆ
+
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
−8 ⎟ −56.1.09561⎟⎟⎟⎠
=
0
由于为同精度独立观测，故 P = I 。于是由（4）式得法方程为：
⎜⎛ 3.000 0 1.732 0.577 ⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎞ ⎜⎛ 9 ⎟⎞
⎜0 ⎜⎜⎜⎝10..753727
3.000 0
0.577
0 6.334 − 0.999