内积与范数

范数：用于度量“量”大小的概念
1. 引言
实数的绝对值：a 是数轴上的点a 到原点0的距离；
复数的模：a bi +=是平面上的点()b a ,到原点()0,0的距
离；
还有其他刻画复数大小的方法（准则）：如 １）b a +； ２）{}max ,
a b
2. 向量的范数：p-范数
1
1n
p
p k p
k x
x =⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑ （1）
示例：
1211234515,2345,5x x x x ∞
⎛⎫⎧=+-+++= ⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪=⇒==⎨ ⎪⎪
= ⎪⎪⎩ ⎪⎝⎭
3. 矩阵（算子）的范数
01max max x x Ax
A Ax
x
≠=== （2）
矩阵的谱半径:设M 是n 阶矩阵，称
()()()(){}12max ,
,
,
n M M M M ρλλλ= （3）
为该矩阵的谱半径。

记
()1212,,
,T T n T n A ββαααβ⎛⎫ ⎪ ⎪==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
， 那么，
{}
{}()121
111
12111
12
max ,,
,max max ,,
,
n k n
p p x k
T
A A Ax A A A A αααβββρ∞=⎧=⎪⎪
=⇒=⎨⎪=⎪⎩ （3）
4. 矩阵的条件数：用于刻画矩阵“病态”程度的概念
()1
cond A A A -=⨯
5.利用范数定义点之间的距离
(),,,n n x R y R d x y y x
∈∈⇒=-
向量的内积、范数及n 维空间距离的度量
令
P
是一数域，
P n
是
P
上的向量空间，如果函数
()ϕx y P P P n n ，:⨯→有如下性质：
１、共轭对称性：∀∈x y P n ，，()()ϕϕy x x y ，，=； ２、非负性：∀∈x P n ，()ϕx x ，≥0，()ϕx x x ，=⇔=00；
３、线性性：∀∈x y z P n ，，，∀∈a b P ，，
()()()ϕϕϕax by z a x z b y z +=+，，，；
则称()ϕx y ，是P n 上的一个向量内积（inner product ），向量空间P n 上的向量内积通常用符号()x y ，表示，定义了内积的向量空间
P n
称为内积空间（inner product space ）。

记做
()()P n
，·，·表示。

例１．１
∀=∈⨯Q Q P T n n ，Q >0，∀∈x y P n ，，容易验证函数
()ϕx y x Qy T ，=
（１．１）
定义了P n 上的一个内积。

令P 是一数域，P n 是P 上的向量空间，如果函数()ϕx P P n :→有如下性质：
１、非负性：∀∈x P n ，()ϕx ≥0，()ϕx x =⇔=00； ２、齐次性：∀∈x P n ，∀∈a P ，()()ϕϕax a x =； ３、三角不等式：∀∈x y P n ，，()()()ϕϕϕx y x y +≤+；
则称()ϕx 是P n 上的一个向量范数（norm ），向量空间P n 上的范数通常用符号
x
表示。

定义了范数的向量空间P n 称为赋范空
间（normed space ）。

记做()P n ，·表示。

例１．２
∀=∈⨯Q Q P T n n ，Q >0，∀∈x P n ，容易验证函数
()ϕx x Qx T = （１．２）
定义了
P n
上的一个范数，这样定义的范数称为由内积
（１．１）诱导的范数。

例１．３
()
R C n n 上常用的向量范数：
()∀=∈x x x x n T
12，，， ()R C n n ，
１、１—范数：x x k
k n
11
==∑； ２、２—范数：x
x x
T 2
=；
３、∞—范数：
{}x
x x x k n
n
∞
≤≤=max 112，，， ；
令
P 是一数域，P n 是P 上的向量空间，如果实值函数
()d x y P P R n n ，:⨯→有如下性质：
１、对称性：∀∈x y P n ，，()()d y x d x y ，，=； ２、非负性：∀∈x y P n ，，()d x y ，≥0，()d x y ，=0
⇔=x y
３、三角不等式：∀∈x y z P n ，，，()d x z ，≤()d x y ，+
()d y z ，；
则称()d x y ，是
P n
上的一个距离（函数）（distance
function ）或度量（metric ），定义了度量的向量空间P n 称为度量空间（metric space ），记做()P d n ，表示。

例１．4
()R C n n 上常用的（由范数诱导的）度量：
∀∈x y ，()R C n n ，
１、１—范数诱导的度量：()d x y x y ，=-1； ２、２—范数诱导的度量：()d x y x y ，=-2
；
３、∞—范数诱导的度量：()d x y x y
，=-∞
；
§１．２ 矩阵的范数
矩阵A P n m ∈⨯是线性映射（当n m =时为线性变换）σ：P P m n
→的一种表现形式。

因此，除了可以把矩阵看做向量而定义其范数外，更为基本、更为重要的是表征其线性映射的算子范数（operator norm ），以A P n n ∈⨯的情况为例：
A Ax x =≠sup 0
（１．３）
其中（１．３）右端的范数
·
是赋范空间()P n ，·中向量的范
数，由矩阵算子范数的定义（１．３）容易证明（对映像大小的估计）不等式：
Ax A x ≤， ∀∈x P n ， （１．４）
称满足不等式（１．４）的矩阵范数是与对应的向量范数相容的。

例１．５ 常用的矩阵范数： １、１—范数（列范数）：
A a j n j n
ij i n 11112==⎧⎨⎩⎫
⎬⎭
≤≤=∑max ，，，， ； ２、２—范数（谱范数）： ()A A A T 2=λmax ； ３、∞—范数（行范数）：
A a i n i n
ij i n ∞
≤≤===⎧⎨⎩⎫⎬⎭
∑max 1112，，，， ； 上述三种范数是如下定义的矩阵p —范数的特例： ４、由向量的p —范数：x
x p
k p k n
p
=⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥=∑11
，1≤<+∞
p ，定义：
A Ax p x p =≠sup 0
（１．５）
５、Ｆ—范数（Frobenius ）: A
a F
ij j n i n =⎡⎣⎢⎤⎦
⎥==∑∑2111
2
；
a 、充分必要条件是：矩阵M 的谱半径()ρM <1；
b 、充分条件是：矩阵M 的某个算子范数M <1。