不确定关系
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1)位置的不确定程度
我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不
确定程度
用单缝来确定电子在穿过单缝
电子在单
时的位置
缝的何处
通过是不
确定的!
只知是在
宽为a的
的缝中通
U
过.
结论:电子在单缝处的位置 不确定量为x a
2）单缝处电子的动量的不确定程度
先强调一点：电子衍射是电子自身的波粒二象 性的结果，不能归于外部的原因，即不是外界 作用的结果。
qP / 2
对三维直角坐标系有：
{ xPx / 2 yPy / 2 zPz / 2
三）能量与时间不确定关系 设有一个速度为V，质量为m的粒子，其能量
E m02C 4 P2C 2
考虑到E的增量：
E
2C 2PP
C 2mVP
2 m02C 4 P2C 2
E
VP q P
t
Et qp / 2
即： Et 能量与时间不确定关系式 2
不确定关系的物理表述:
xp、Et均称为共轭物理量。
xPx / 2
Et 2
故不确定关系式又可表达为：
一对共轭物理量的不确定量的乘积 / 2
四）不确定关系的物理意义：
1）不确定关系说明用经典物理学量----动量,坐标来描写 微观粒子行为时将会受到一定的限制 , 因为微观粒子不 可能同时具有确定的动量及位置坐标
X
1
Y
I
由德布罗意U关系式：
h
Px P a
P
Px
h
Pxx
a h
考虑到还存在1方向
h
的电子，这些方向电子 的动量不确定量还要大
x
Pxx h
动量位置不确定量关系式
量子力学给出了更准确的表达 二）海森伯不确定关系式
当我们同时测量一个粒子的位 置q和动量p时，位置 q（广义坐 标）和动量p的不确定量满足如 下关系式：
求此时动量的不确定度。
0
解：x a 1 A
p
2 x
1034 1010
1024 kg m s1
m 1031 106 1025 kg m s1
电子动量不确定，应该用量子力学来处理。
问题？
例2 m 102 kg 的乒乓球 , 直径 d 5cm
200m s1，若 x 106 m , 可以认为其位
a
X
a
Pa Pb
bc
K
Pc
XUP
Px
Pd B
Pe
d
a
e
Pa Pb
Pc
Pd
其衍射P角e
分别为：
dabe
c
E 单缝处，衍射角为的电子在X轴上存在动量的
分量 Pax P sin a
PPbexx
P P
sin sin
eb
Pcx P sin c 0 Pdx P sin d
······
即处在单缝处电子动量在X轴上的分量有不确定值
解：
Vx
2mex
0.6 106 m
/
s
由玻尔理论可估算出氢原子中电子的轨道运动速度约为106 m / s.
可见速度的不确定量与速度的大小的数量积基本相同，甚至还大。
因此原子中电子在任一时刻没有完全确定的位置和速度，也没有确
定的轨道，（轨道的概念是建立在有同时确定的位置和动量的基础
上的）不能看成经典粒子，必须用电子在各处的概率分布来描述。
窄（x越小）衍射也越厉害，动量的不确定量也大。
如果要减小动量的不确定 量，则单缝的宽度就要增 大，位置 的不确定量也就 变大。
a sin (2k 1)
2
X
K
v a
pp 1
U B
不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定E的，不确定关系
更确切、更准确地反映了微观粒子的本质
例1 一电子以速度 1.0 106 m s1 的速度穿过晶体。
=1.7×10-23 (kg.m.s-1)
电子束的直径d就是电子位置的不确定量x
故：p= h/d =6.6×10-34/10-5=6.6×10-29(kg.m.s-1) 因为p >>p ，此时能将电子看作经典粒子。
例4、电子质量me=9.110-31千克，在原子中电子的x 10 -10
米，求电子速度的不确定量。
可以用来判断粒子的行为究竟应该用经典力学来描 写还是用量子力学来描写。
测不准关系-----经典与量子理论的分界线
若: ho
若 : h o不可忽略
具体问题中: 则 : xp 0 则 : xp 0
经典描述 量子描述
总之，当h的大小不能忽略时，就必须作统计解释
微观粒子的动量及坐标是否Βιβλιοθήκη Baidu远不能同时确定？
px .x x .Px
如： x 0则p 动量完全不确定 p 0则x 粒子位置完全不确定， 可在全空间出现。
又以一个作匀速运动的一维粒子为例，它可在整个 X轴上出现；x p 0 p 为常数
2）不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的， 不能理解为仪器的精度达不到。
比如我们试图通过单缝来确定粒子的位置，但单缝隙越
如有人认为衍射是电子与单缝的作用，即电 子与单缝材料中的原子碰撞的结果，碰撞后电 子的动量大小与方向均发生改变，但实验告诉 我们衍射的花样与单缝材料无关，只决定于电 子的波长与缝宽a，可见不能归结于外部作用。
显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因 此通过单缝后，其动量大小P不变。 但不同的电 子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向有 不同。
X
1
Y
I
也就是说到U达正负一级暗纹间的电子在单缝 处电的子动大量部在分X轴都上到的达分中量央的明不纹确处定，量作为为：分析：
要先来电由估抓研子0单a算住究在s缝si单到。单in暗nP缝达即缝纹s1处中正处1i条n电央负的件k子明一动a1：p在 纹 级 量x处 暗 在X轴的 纹XP1上轴电 间为s1i上的为子 的n一的分一在 电级P1量分级单 子暗x 量的暗缝来纹值不纹处研的P确为的的究衍a：定衍不。射量射确这角，角定部可量分
置是完全确定的。求此时动量的不确定度。
解： x 106 m 由坐标和动量的不确定度关系：
p
2 x
1034 106
1028 kg m s1
m 2kg m s1
坐标和动量可以同时确定，应该用经典力学来处理。
3）对宏观粒子，因 h 很小，所以 xpx 0
可视为位置和动量能同时准确测量 .
例3. 一束直径 d 0.01 mm的电子射线，通过电压为 1000V的电场加速，能否将这些电子看成是经典粒子？
解： 若 p >>p 就可看成是经典粒子 x v
1 m v2 eU 2
vx
0.1mm电子射线
所以电子加速后获得的动能为Ek=1000eV
动量为 p 2me Ek 2 9.11031 10001.61019
我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不
确定程度
用单缝来确定电子在穿过单缝
电子在单
时的位置
缝的何处
通过是不
确定的!
只知是在
宽为a的
的缝中通
U
过.
结论:电子在单缝处的位置 不确定量为x a
2）单缝处电子的动量的不确定程度
先强调一点：电子衍射是电子自身的波粒二象 性的结果，不能归于外部的原因，即不是外界 作用的结果。
qP / 2
对三维直角坐标系有：
{ xPx / 2 yPy / 2 zPz / 2
三）能量与时间不确定关系 设有一个速度为V，质量为m的粒子，其能量
E m02C 4 P2C 2
考虑到E的增量：
E
2C 2PP
C 2mVP
2 m02C 4 P2C 2
E
VP q P
t
Et qp / 2
即： Et 能量与时间不确定关系式 2
不确定关系的物理表述:
xp、Et均称为共轭物理量。
xPx / 2
Et 2
故不确定关系式又可表达为：
一对共轭物理量的不确定量的乘积 / 2
四）不确定关系的物理意义：
1）不确定关系说明用经典物理学量----动量,坐标来描写 微观粒子行为时将会受到一定的限制 , 因为微观粒子不 可能同时具有确定的动量及位置坐标
X
1
Y
I
由德布罗意U关系式：
h
Px P a
P
Px
h
Pxx
a h
考虑到还存在1方向
h
的电子，这些方向电子 的动量不确定量还要大
x
Pxx h
动量位置不确定量关系式
量子力学给出了更准确的表达 二）海森伯不确定关系式
当我们同时测量一个粒子的位 置q和动量p时，位置 q（广义坐 标）和动量p的不确定量满足如 下关系式：
求此时动量的不确定度。
0
解：x a 1 A
p
2 x
1034 1010
1024 kg m s1
m 1031 106 1025 kg m s1
电子动量不确定，应该用量子力学来处理。
问题？
例2 m 102 kg 的乒乓球 , 直径 d 5cm
200m s1，若 x 106 m , 可以认为其位
a
X
a
Pa Pb
bc
K
Pc
XUP
Px
Pd B
Pe
d
a
e
Pa Pb
Pc
Pd
其衍射P角e
分别为：
dabe
c
E 单缝处，衍射角为的电子在X轴上存在动量的
分量 Pax P sin a
PPbexx
P P
sin sin
eb
Pcx P sin c 0 Pdx P sin d
······
即处在单缝处电子动量在X轴上的分量有不确定值
解：
Vx
2mex
0.6 106 m
/
s
由玻尔理论可估算出氢原子中电子的轨道运动速度约为106 m / s.
可见速度的不确定量与速度的大小的数量积基本相同，甚至还大。
因此原子中电子在任一时刻没有完全确定的位置和速度，也没有确
定的轨道，（轨道的概念是建立在有同时确定的位置和动量的基础
上的）不能看成经典粒子，必须用电子在各处的概率分布来描述。
窄（x越小）衍射也越厉害，动量的不确定量也大。
如果要减小动量的不确定 量，则单缝的宽度就要增 大，位置 的不确定量也就 变大。
a sin (2k 1)
2
X
K
v a
pp 1
U B
不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定E的，不确定关系
更确切、更准确地反映了微观粒子的本质
例1 一电子以速度 1.0 106 m s1 的速度穿过晶体。
=1.7×10-23 (kg.m.s-1)
电子束的直径d就是电子位置的不确定量x
故：p= h/d =6.6×10-34/10-5=6.6×10-29(kg.m.s-1) 因为p >>p ，此时能将电子看作经典粒子。
例4、电子质量me=9.110-31千克，在原子中电子的x 10 -10
米，求电子速度的不确定量。
可以用来判断粒子的行为究竟应该用经典力学来描 写还是用量子力学来描写。
测不准关系-----经典与量子理论的分界线
若: ho
若 : h o不可忽略
具体问题中: 则 : xp 0 则 : xp 0
经典描述 量子描述
总之，当h的大小不能忽略时，就必须作统计解释
微观粒子的动量及坐标是否Βιβλιοθήκη Baidu远不能同时确定？
px .x x .Px
如： x 0则p 动量完全不确定 p 0则x 粒子位置完全不确定， 可在全空间出现。
又以一个作匀速运动的一维粒子为例，它可在整个 X轴上出现；x p 0 p 为常数
2）不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的， 不能理解为仪器的精度达不到。
比如我们试图通过单缝来确定粒子的位置，但单缝隙越
如有人认为衍射是电子与单缝的作用，即电 子与单缝材料中的原子碰撞的结果，碰撞后电 子的动量大小与方向均发生改变，但实验告诉 我们衍射的花样与单缝材料无关，只决定于电 子的波长与缝宽a，可见不能归结于外部作用。
显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因 此通过单缝后，其动量大小P不变。 但不同的电 子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向有 不同。
X
1
Y
I
也就是说到U达正负一级暗纹间的电子在单缝 处电的子动大量部在分X轴都上到的达分中量央的明不纹确处定，量作为为：分析：
要先来电由估抓研子0单a算住究在s缝si单到。单in暗nP缝达即缝纹s1处中正处1i条n电央负的件k子明一动a1：p在 纹 级 量x处 暗 在X轴的 纹XP1上轴电 间为s1i上的为子 的n一的分一在 电级P1量分级单 子暗x 量的暗缝来纹值不纹处研的P确为的的究衍a：定衍不。射量射确这角，角定部可量分
置是完全确定的。求此时动量的不确定度。
解： x 106 m 由坐标和动量的不确定度关系：
p
2 x
1034 106
1028 kg m s1
m 2kg m s1
坐标和动量可以同时确定，应该用经典力学来处理。
3）对宏观粒子，因 h 很小，所以 xpx 0
可视为位置和动量能同时准确测量 .
例3. 一束直径 d 0.01 mm的电子射线，通过电压为 1000V的电场加速，能否将这些电子看成是经典粒子？
解： 若 p >>p 就可看成是经典粒子 x v
1 m v2 eU 2
vx
0.1mm电子射线
所以电子加速后获得的动能为Ek=1000eV
动量为 p 2me Ek 2 9.11031 10001.61019