二.随机过程基本概念3

西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
冯8海林
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
2014年秋季学期
=
P( A ≤ x1) P( A ≤ 2x2 )
1，
x≥0
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
2014年秋季学期
冯海林
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
当t
π 2= ω 时，Xt
V= cosω π 2ω
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
2014年秋季学期
三. 有限维分布函数族
定义2.3.1 设 X ={Xt ,t ∈T}是定义在概率空间 （Ω,F,P）上取实
值的随机过程.对任意的自然数
n ≥ 0及, 任意的
t1
,t2
,
,tn
∈
T
和实数 x1 , x2 , , xn ∈ R, 称n维随机变量 （X t1 , , X tn）的联合
则称函数集F为随机过程X的n维分布函数族。
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
冯1海林
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
2014年秋季学期
有限维分布函数族具有以下相容性条件
4ω
(x)
=
fV
(h(x)) 0
h′(
x)
0 ≤ h(x) ≤ 1 其它
=
2
0
0 ≤ − 2x ≤1 其它
=
2
0
− 2 ≤x≤0 2 其它
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
冯4海林
随机过程引论
0,
此时X π 服从单点分布,则
2ω
F= π (x) P{X π ≤ x}
2ω
2ω
1 x ≥ 0 = 0 x < 0
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
2014年秋季学期
冯6海林
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
2014年秋季学期
补例2. 设随机过程X== {Xt Acost,t ≥ 0}，其中随机变量A有分布律：
P( A= i=) 1 , =i 1,2,3. 3
试求 (1)随机过程X的一维分布函数Fπ (x)
4
(2)随机过程X的二维分布函数F0,π (x1 ,x2 ) 3
解
（1）= X π
4
A= cos π
4
2 A, 2
2
分布律为
2
1
3
2
3 2
2
1
1
3
3
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
冯7海林
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
（1）对（1，2，,n）的任一个排列（k1 ,,kn ）,有 Ft1 (x ,,tn 1 , , xn )= F (x tk1 ,,tkn k1 , , xkn )
(2) 若自然数m<n, 则有 = Ft1 ,,tm(x1 , , xm ) Ft1 ,,tm ,,tm+1 (x ,,tn 1 , , xm ,+ ∞, ,+∞)
分布函数
Ft1 (x ,,tn 1 , , xn )= P( X t1
≤
x1
,
,X
tn
≤
xn ),
为随机过程X的n维分布函数。
将随机过程X的所有有限维分布函数的全体记为
F={Ft1 (x ,,tn 1 , , xn )：∀n ∈ N，t1 ,t2 , ,tn ∈T，x1 , x2 , , xn ∈ R}
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
冯海林
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
2014年秋季学期
补例1.设随机过程 X= ={Xt Vcosωt,t ∈,R} 其中 ω 为常数，
随机变量V服从[0,1]上的均匀分布.分别计算当
=t 3= π 和t π 时,随机过程X的一维分布函数.
4ω
2ω
解： t = 3π 时， 4ω
Xt
=
V
cosω
3π 4ω
=
−
2V 2
由于函数 x = − 2 V 的反函数为 2
V = h( x ) = − 2x, 其导数为 h′( x ) = − 2,
0,
1
,
分布函数为
Fπ(x）=
4
3 2
,
3
1,
2014年秋季学期
x< 2 2
2 ≤x< 2 2 2≤x< 3 2
2 x≥3 2
2
（2）F0,π (x1, x2 ) =P( X 0 ≤ x1, X π ≤ x2 )
3
3
=P( A
Βιβλιοθήκη Baidu
≤
x1,
A 2
≤
x2 )
= P( A ≤ x1, A ≤ 2x2 )
x1 ≤ 2x2 x1 > 2x2
0,
1
,
=
3 2
,
3
x1 < 1
2x2 < 1
1 ≤ x1 < 2 (x1 ≤ 2x2) 或 1 ≤ 2x2 < 2
2 ≤ x1 < 3
2 ≤ 2x2 < 3
1, x1 ≥ 3
Introduction to Stochastic Process
则X的一维分布函数为
x
∫ F3π (x) = -∞ fX3π (t)dt
4ω
4ω
0，
x<− 2 2
∫ =
x - 22
2dt，
−
2 ≤x<0 2
∫ 0
- 22
2dt， x ≥ 0
0，
x<− 2 2
=
2(x − 2 2)， − 2 2 ≤ x < 0
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
冯3海林
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
2014年秋季学期
利用随机变量的函数的概率密度计算公式，得
f 3π