3讲 多值函数
3.多值函数
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 注意 在实变函数中 负数无对数 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广. 数函数是实变数对数函数的拓广
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例5 解
解方程 e z − 1 − 3i = 0.
′ = 1 , (Lnz )′ = 1 . (ln z ) z z
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3. 分出 分出w=Lnz的单值解析分支 的单值解析分支 从原点起沿着负实轴将z平面割破 平面割破， 从原点起沿着负实轴将 平面割破，就可将 对数函数w=Lnz分成如下 个单值解析分支： 分成如下n个单值解析分支 对数函数 分成如下 个单值解析分支：
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对于 a
b
= e
bLna
由于 Lna = ln a + i (arga + 2kπ) 是多值的, 因而 a b 也是多值的.
(1) 当 b 为整数时,
a =e
b
bLna
=e
b[ln a + i ( arga + 2 kπ )]
=e
=e
b (ln a + iarga )+ 2 kbπi
特殊地, 当 z = x > 0 时, Lnz 的主值 ln z = ln x , 特殊地 是实变数对数函数 .
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例4 求 Ln 2, Ln( −1) 以及与它们相应的主值 . 解
2-3初等多值函数
所以 Ln2 的主值就是 ln2.
因为 Ln(1) ln1 iArg(1) (2k 1)i (k为整数)
所以 Ln( 1)的主值就是 i. 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广.
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例5 求下列各式的值: (1)Ln(2 3i); (2)Ln(3 3i); (3)Ln(3i).
n
i 2k
re n
n reik
k
k
2k
n
=
arg
z n
2k
k 0,1,
n1
w0 n rei0 2 w1 n rei1
22 w2 n rei2
2k wk n reik
2(n1) wn1 n rein1
z
G
o
x
5
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下页Biblioteka 结束铃结论：
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
w n z 分成如下的n个单值函数：
wk
nz
i ( z )2k
n r(z)e n ,(k 0,1,
k
, n 1)
定义域为 Gk : 2k 2k , (k 0,1, , n 1)
w Lnz lnr i( 2k )(k E)
Lnz ln|z| iArgz 由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多 值的多值函数
规定：ln z ln r i ln z i arg z.
为对数函数Lnz的主值
初等多值函数知识点总结
初等多值函数知识点总结1. 多值函数的定义多值函数是指其自变量的不同取值对应了多个因变量的函数。
也就是说，对于同一个自变量的值，可能存在多个因变量的值与之对应。
多值函数的定义如下：设有函数 $f: X\rightarrow Y$，若对于 $x \in X$，通过 $f(x)$ 可以确定 $Y$ 中不止一个元素，即$f(x)$ 对应多个 $y \in Y$，则称 $f(x)$ 为多值函数。
2. 多值函数的表示多值函数的表示方法有很多种，其常见的表示方法包括集合表示、图像表示和数学表达式表示。
a) 集合表示：通过集合的方式来表示多值函数，通常表示为 $f(x) = \{ y_1, y_2, \ldots, y_n \}$，其中 $y_1, y_2, \ldots, y_n$ 是 $f(x)$ 对应的多个因变量的值。
b) 图像表示：通过绘制多值函数的图像来表示，但由于多值函数的复杂性，其图像可能不是一个简单的曲线或者曲面，通常需要使用多种色彩或者虚线来表示不同的取值情况。
c) 数学表达式表示：通过数学表达式或者符号来表示多值函数的关系，这种表示方式通常需要特殊的符号或者标记来表示多个因变量。
3. 多值函数的性质多值函数与单值函数相比，具有一些特殊的性质，主要体现在定义域、值域和解的情况上。
a) 定义域和值域：多值函数的定义域和值域通常比较复杂。
因为多值函数的自变量可以对应多个因变量的值，所以其定义域和值域可能是多个集合的并集或者交集。
b) 解的情况：多值函数的解通常会有多个解或者无解的情况。
因为对于同一个自变量的值，可能对应多个因变量的值，所以在求解多值函数的方程或者不等式时，需要考虑多个解的情况。
4. 多值函数的运算多值函数与单值函数一样，也可以进行加减乘除等基本运算，并且可以进行复合函数、反函数等复杂的运算。
但是由于多值函数的复杂性，其运算可能会涉及到多个因变量的组合，因此需要特别注意多值函数运算时的特殊性。
初等解析函数和多值函数.ppt
(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
点，则连续Байду номын сангаас变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
初等多值函数
初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。
(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n nr w θi0e = nn r w π2i1e +=θΛnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a 为函数)(z F 的支点．(3)根式函数n z w =的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数． 根式函数它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。
为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。
在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。
假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。
因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数，，利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有，，在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。
比如原点。
在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周，当变点从上一点出发，绕连续变动一周而回到其出发点时，从其一支变到另一支。
具有这样性质点称它为的支点，同理也是的一个支点。
用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称之为支割线。
取负实轴为支割线而得出的个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值的，称为的主值支。
多值函数
上沿 下沿
arg z |上沿 arg z |下沿
沿负实轴的割线：
一 单叶区域
1.定义2.8 设函数w f ( z )在区域D内有定义, 且对D内 任意不同的两点z1 , z2都有f ( z1 ) f ( z2 ), 则称函数f ( z )
在D内是单叶的, 并称区域D为f ( z )的单叶性区域
w n z的支割线为从原点出发的射线
注1 多值函数的每一单值分支,在支割线两沿取不同值, 且在支割线不连续.
注2 取负实轴为支割线,在正实轴上取正实数值的那一 支为主值支.
如 : w n z的主值支为 w0 z e
1 n
arg z i n
, arg z .
设w 3 z确定在从原点沿负实轴割破的Z平 例2 面G上,并且w(i) i, 求w' (i).
因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多 值性引起的，所以我们先研究辐角函数： w Argz ( z C \{0, }),
w=Argz函数有无穷个不同的值：
w Argz arg z 2k
(k Z ), z 0,
其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的 任意一个确定的值记为argz )
1.定义2.8 规定根式函数w
n
z为幂函数z wn的
反函数(n是大于1的整数)
对每一个不为0或的z, 在w平面上函数w n z有n个值 注
w z e
1 n
arg z 2 k i n
1 n
, k 0,1, n 1
arg z i n
2. 函数w f 0 ( z ) z e
(2k 1) i
(k 0, 1, 2,)。
多值函数的单值化方法与技巧
多值函数Lnz w =的单值化方法与技巧1 引言在复变函数中，多值函数是较为复杂的函数，也是较难理解的函数，对于多值函数、多值函数单值化以及在支点、支割线判定上对于教学者和初学者来说都是一个难点，初学者更不易掌握．所以系统的对多值函数单值化方法与技巧做一下研究是很有必要的．我主要是针对多值函数Lnz w =的单值化方法与技巧来做一下详细研究与总结．多值函数对我们来说是棘手的，然而我们经常不可避免地会遇到它，例如在研究代数函数时就会遇到，但前人在这方面已做了详细的研究．对于多值函数Lnz w =的单值化方法与技巧．我们有一些传统的方法，比如割破z 平面法．其主要是在z 平面上从原点0z =起割破负实轴的区域D 内，可以得到Lnz w =的无穷多个不同的单值解析分支函数．下面就针对这个课题详细进行探讨一下．2 预备知识概念1 支点——设()w f z =是多值函数，a 是z 平面上一点，如果z 在a 点的充分小的邻域内绕a 的任一简单闭曲线一周后，()w f z =从一支进入另一支，即，从它在曲线上一点的任一值连续变动到其他一值，则称a 是()w f z =的一个支点．概念２ 支割线——用来割破z 平面，借以分出多值函数()w f z =的单值解析分支函数的割线，叫做()f z 的支割线．3 多值函数w Lnz =的单值化方法与技巧3.1 割破平面法这个方法是很传统的方法，它的步骤是：首先确定多值函数的支点，再在复平面上以连接支点 的曲线作支割线得一区域，然后在这一区域内多值函数分成了单值解析分支函数．ln arg 2ln 2w Lnz z i z k i z k i ππ==++=+ （k Z ∈）． （i ） 其中，ln ln arg z z i z =+（ln z 是Lnz 的主值） (1) 确定w Lnz =的支点在0或∞的充分“小”的邻域内，任作一简单连续曲线C 围绕0或∞．根据Argz 的连续变化情况，当一点z 从C 上一点1z 出发沿C 连续变动一周时，Lnz 从它在1z 的任一值连续变动到其他一值．这可以由（i ）式看出，（任何不是零的复数有无穷多个对数，其中任意两个相差2π的整数倍）．所以由预备知识概念1，0或∞称为对数函数w Lnz =的支点． (2) 对w Lnz =做支割线，确定区域一般在复平面上，取连接0及∞的任一条无界简单连续曲线1K 作为割线隔开z 平面．即由预备知识概念2可知1K 为支割线．w Lnz =就是取这样的1K 作为支割线的，且通常是取负实轴．现在确定区域：设区域11D C K =-，并且11z D ∈，则1D 即为所确定区域． (3) 将w Lnz =单值化在1D 内任意取定一点0z ，并指定0z 的一个辐角值，则在1D 内的每一点z ，皆可由0z 的辐角依连续变化而唯一确定z 的辐角．若支割线从原点割破负实轴，C 是1D 内任一简单闭曲线，C 不会穿过负实轴，它的内部不包含原点0z =，当变点z 从0z 绕C 一周后，这时arg z 又回到起点的辐角0arg z ，而z 的像点()ln arg 2k k w w z z i z k i π==++，（k Z ∈） 则画出一条闭曲线而回到原来的位置()0k w z ，（如图１）．画出的闭曲线是包含在w 平面上的宽为2π的带形域k B 内k B ： ()()()2121,k v k k Z ππ-<<+∈这些带形域互不相交而填满w 平面．因此，在1D 内可得到的无穷多个单值解析分支函数，记作()()ln ln arg 2k k w z z i z k π==++，（k Z ∈）． 同理，w Lnz =的支割线也可以取正实轴割破z 平面，方法同上.图1例１ 将函数Lnz 沿正实轴（包括原点）割破z 平面，试在所得区域D 内取定函数Lnz 在正实轴上岸的点1z =处取12ln i π=的一个解析分支，并求这一分支在1z =-处的值及正实轴下岸的点1z =处的值（区域的边界可以看作是有不同两岸，上、下或左、右，且同一单值解析分支在两岸所取的值不同）．如图２图２解 因12ln i π=，从而arg12π=，所以取定的单值解析分支函数为[]ln ln 2L z z i Argz i π=++，z D ∈．([]L Argz 表示Argz 在曲线L 上的改变量，如下同义)，在D 内逆时针作以正实轴上岸的点1z =为起点、分别以1z =-和正实轴下岸的点1z =为终点的简单曲线1L 和2L ,则[]1LArgz π=，[]22L Argz π=,()[]1ln 1ln 123L i Argz i i ππ-=-++=，[]2ln1ln 124L i Argz i i ππ=++=下．这里接下来简单介绍一下具有多个有限支点的对数函数，方法不是很难理解的，与w Lnz =的 单值化方法基本相同．它也是先确定函数的支点，只不过是有多个支点，再适当连接支点作支割线来割破z 平面，最后在z 平面上以此支割线为边界的区域D 内就能分出该函数的单值解析分支．因为，在D 内变点z 不能穿过支割线，也就不能单独绕任一个支点转一周，函数就不能在D 内同一点取不同的值．看如下例题例２ 试证()21Ln z -在割去线段[][]1,,1,i i -，及射线0,1x y =≥的区域内可取出单值分支？ 并求0z =时等于零的那一支在2z =的值解 (1) ()21Ln z -的支点为1z =±及∞ 因 ()()()2ln 1ln 1ln 1z z z -=-++，当变点z 单绕1-或+1一周时,()2ln 1z -的值就改变2i π（沿正向）或2i π-（沿负向），即()2ln 1z -从一支变成另一支；当变点z 同绕+1及1-一周时, ()2ln 1z -共改变4i π（沿正向）或4i π-（沿负向），即()2ln 1z - 也从一支变成另一支．将z 平面沿题中要求割破后（如图2），变点z 既不能单绕1-或+1转一周，也不能同绕1- 及 +1转一周．于是，在这样割破了的z 平面上任一区域D 内，()21Ln z-就能分出无穷多个单值解析分支．(2) 当z 从0z =沿D 内一条简单曲线C 变动到2z =时，由图３图３()()()()()2arg 1arg 11arg 1arg 10C C C Cz z z z z ππ⎡⎤-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+=．已知此指定分支在0z =的值为0，从而此初值的虚部为零，故由公式()()()()221ln ln arg arg C f z f z i f z i f z =++⎡⎤⎣⎦可知该分支在2z =的值为22ln 1ln3z z i i ππ=-+=+．3.2 给定某点函数值法多值函数w Lnz =有支点0z =，z =∞，适当割破z 平面后（如沿着负实轴割破z 平面，相当 于限制z 的辐角范围为：arg z ππ-<≤），多值函数w Lnz =可分出如下无穷多个单值解析分支()[]ln arg 2k k w lnz z i z k π==++ （z D ∈，k Z ∈）（D 为割破z 平面后的区域），一般是选取从0z =开始沿着z =∞的射线来割破z 平面，随着 割破z 平面的射线选取不同，z 的辐角范围也不相同．于是，有下面在给定某点0z z =函数值()0w w z =时，单值解析分支确定的具体方法：(1) 确定z 的辐角范围．设割破z 平面的射线与x 轴正向夹角为α（02απ<≤）则z 的辐角范围为:arg 2z z απα<≤+(2) 确定w Lnz =的带形区域为arg 2w απα<≤+，并由此得出()0arg w z 的值(3) 确定各个单值解析分支k w 所在的带形：()()2arg 21k k w k k Z παπα+<≤++∈并由()()()02arg 21z k w k k Z παπα+<≤++∈来求出k 值，从而可得所求单值解析分支．例3 设w Lnz =是在沿上半虚轴割破了的z 平面上，并且()32w i i π=-左（上半虚轴左岸i 点的值），现试在所得区域内取定函数Lnz 在正实轴取正实值的一个解析分支，及求()w i 右的值．解 所求的解析分支是3ln arg arg 22z i z z ππ⎛⎫+-<< ⎪⎝⎭．这里32απ=-，于是3arg 22z ππ-<<，则3arg 22w ππ-<<． 又因为()32w i i π=-左，所以()arg 2w i π=-左，再由()()33221222k k k Z πππππ-<-≤+-∈，解得0k =故所求得单值解析分支为()()()0ln 2w Lnz r z i z k k Z θπ==++∈⎡⎤⎣⎦，于是()()()()0ln arg 02w i w i Ln i i i i i π⎡⎤===++=⎣⎦右右右右右．例4 设w Lnz =是在沿正实轴割破了的z 平面上，并且()1w i π-=，现试在所得区域内取定函数Lnz 在正实轴上沿取实值的一个解析分支，及求在正实轴下沿的值．解 所求的的解析分支是()ln arg 0arg 2z i z z π+≤<这里0α=，于是0arg 2z π<≤，则0arg 2w π<≤．又因为()1w i π-=，所以()arg 12w π-=．再由()()2212k k k Z πππ<≤+∈，解得0k =，于是在正实轴下沿z x =处的值是()()()()()0ln arg 0ln 2w x w x Ln x x i x x i π⎡⎤===++=+⎣⎦下下下下下3.3 取单值域法相关概念 为了确定多值函数的单值域和单值分支，所以要先引入一些概念．设多值函数()F z 在a 点的空心邻域上定义，环绕a 作一简单闭曲线C ，取定一点0z C ∈和多 值函数()F z 在0z 的值．让动点z 从0z 出发沿C 绕行，同时使()F z 的值连续地变化．若动点z 不管绕C 多少周，()F z 总不回到原来的值，则称a 是()F z 的一个对数支点； 若动点z 绕行n 周后，()F z 回到原来的值，则称a 为一个代数支点．因此将复平面沿连接支点的曲线（可以是一条或几条）切开，得到区域D （可以是单连通域或多连通域），只要动点z 沿D 内任一简单闭曲线绕行一周时，函数()F z 总是回到出发点时的值，则D 即为多值函数()F z 的一个单值域．取定多值函数()F z 在一点0z C ∈的值，即取定它在D 内的一个单值分支函数．例5 求多值函数()z aLna b z b -≠-的支点与单值域． 解 多值函数()z aLn a b z b-≠-在a 点的空心邻域内定义，动点沿环绕z a =的充分小闭曲线一周 时，函数虚部增加2π，绕行n 周时，虚部增加2k π，所以z a =是一个对数支点．同理z b =，也是Lnz 的对数支点．考虑z =∞，当沿包含z =∞的充分小简单闭曲线C 绕行一周后，因为这时函数在C 上的该变 量为()()000C C Cz a Ln Ln z a Ln z b z b -⎡⎤=---=-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦， 所以z =∞不是支点．用一曲线或直线段连接z a =，z b =这两支点，记此曲线为γ．则{}\D C γ=即为()z aLna b z b-≠-的单值域． 取定()z a Ln a b z b -≠-在0z D ∈的值，即得()z aLn a b z b-≠-的一个单值分支．4 总结多值函数单值化方法与技巧，前人已经做了大量的研究，但大多都是对根式函数的单值化方法与技巧进行了详细的研究，而对数函数的单值化方法与技巧却研究者甚少，大多也只是在判定其支点，支割线的方法上．因此，针对多值函数w Lnz=的单值化方法与技巧可以仿照根式函数单值化方法进行，比如3.1割破平面法；但其本身还是有一些巧妙的方法，比如3.2给定某点函数值法、3.3取单值域法，读者可以多加注意一下．由于这方面内容本身对初学者就是一个难以解决的问题，所以要能熟练掌握对数函数单值化方法与技巧还需要大量的练习来巩固，所以希望我的课题能给好学的人带来一点帮助．我暂时只能对=的单值化方法与技巧做这几点研究，也希望好学的读者还能提供一些更好的方法多值函数w Lnz与技巧．参考文献[1] 方企勤．复变函数教程[M]．北京：北京大学出版社，2003[2] 余家荣．复变函数[M]．第三版．北京：高等教育出版社，2004[3] 路可见，钟寿国，刘士强．复变函数[M]．第二版．武汉：武汉大学出版社，2007[4] 钟玉泉．复变函数论[M]．第三版．北京：高等教育出版社，2005[5] 钟玉泉．复变函数学习指导书[M]．北京：高等教育出版社，2005[6] 于慎根，杨永发，张相梅．复变函数与积分变换[M]．天津：南开大学出版社，2006[7] Marsden JE．1973．Basic Complex Analysis．San Francisco：WH Freeman and Company。
大学物理-多值函数及其黎曼面
3.求支点及单值分支的例题：pp 84-85
4.
的黎曼面—形象地描述多值函数 值的变化
函数 的值在 z 绕 z = 0 转第二圈时，与 z 转第一圈时不 同。设想： z 的第一圈和第二圈分别在“不同的”复数平 面上运行，即将 z 平面分为两叶平面。为了把多值函数的 各个分支作为整体来研究，两叶平面作以下粘合：第一页
例 规定 z = 0 时，w(0) = i，设 z 从 0 沿 C ' 变到 i (图 3-5-
11)，求函数 w z2 1 之值。
解：根据规定 arg w(0)
2
由(3-5-17)式可见，求argw(i)的关键是求
arg w 1 [ arg( z 1) arg( z 1)] 2
图 3-5-11
故
w(z)
'e w i
1 2
(0
0
'
4
)
0
即 w 值处于原来分支，故 z = 不是支点。
显然，对于函数 w z2 1 来说，z = –1、 z = 1 为其支点。
为了取 w z2 1的单值分支，需要沿连接分支点 z =± 1 的任意曲线作割缝。下图画出了几种可能的割缝形式。
若取图 (a) 形状的割缝，还需规定割缝上岸的辐角值， 以确定具体的单值分支。例如，可规定
令 z 沿逆时针方向环绕原点(z=0)转一圈回到原处时，它的辐
角由 0 变为 0 + 2 = 1 ，而 w 由 w0 变为 w1，即 w 从一
个单值分支变到另一个单值分支。继续令 z 沿逆时针方向绕
z = 0 转一圈，z 再次回到原处，它的辐角由 0 + 2 = 1 变
为 0 + 4 ，而 w 由 w1 变为 w0 。这样再转第三圈：辐角为 0 + 6 ，而 w 由 w0 变为 w1，与第一圈上的值完全相同…。
2.3初等多值函数
arg z arg z0 L Argz
z 0 点并指定初值arg z0 的前提下,终值 arg z 唯一,即辐角函数可单值化，
必须使辐角改变量仅与起点和终点有关而与曲线的形状无关.
L1 Argz L2 Argz L L Argz 0 (即原点在闭曲线 L1 L2 的外部). 1 2
1 i L Argz n
,
k
| z |e
n
e
i L Argz n
（4 ） z G : arg z , k Z .
,
或
wk
z
n
k
n | z|e
i
arg z 2 k n
z G : arg z , k Z .
（6）
,
（5 ）
定理2 在上述区域内各单值分值函数 ( n z ) k 解析, 且 d n 1 ( n z )k k 0,1,, n 1 . z k dz n z
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
wk
或
z
n
k
（4） n | z |e i arg w0 e , z G : arg z , k Z .
w n z n | z |e
i
Argz n
, z 0, .
(2)
2.1分出根式函数 w n z 的单值解析分支
(1) w n z 在某区域 D 内可单值化的充要条件及单值化方法 定理1 多值函数F z 可单值化的充要条件是对任意简单闭曲线L, 有
L n z 0.
L F z 0
2.3初等多值函数
3
z = w (w ∈Tj ,)都是单叶解析函数，
3
函数 z = w 的单叶性区域为： 的单叶性区域为： 2π 顶点在原点、 顶点在原点、张度不超过 的 n 角形区域. 角形区域
n
从而w = z (w ∈Tj )也都是单叶解析函数,
支点及支割线的概念
y
z
→
x
O
w=( 3 z )k
T2 u
1 . 根式函数 w = n z 叫做根式函数 定义: 叫做根式函数. 定义 函数 iθ n 考虑根式函数 w = z ，记 z = re 不必取主值，但需取定一分支） （其中 θ 不必取主值，但需取定一分支）
w = re = re
n n
iθ
i ( θ + 2 kπ )
= re
n
i
θ + 2 kπ
O
w
v
T3 ←
z =w
3
3
T1
1 2π ∆ C arg w = ∆ C arg z = ∆ C arg z = 3 3
如果让z 沿闭曲线C 绕原点转一周回到z， 如果让 沿闭曲线 绕原点转一周回到 ， 则z 的辐角就从θ变成 ±2π (其中“+”号对应于 的辐角就从 变成θ± 其中“ 号对应于 变成 其中 逆时针绕行， 号对应于顺时针绕行)， 逆时针绕行， “ - ” 号对应于顺时针绕行 ，函 数值也就从w 变成w 数值也就从 1变成 2 . 如果z 绕其它点转一周， 如果 绕其它点转一周，而所沿曲线不包围 原点， 的辐角不变，因而函数值也不变． 原点，则z 的辐角不变，因而函数值也不变． 可见原点具有特殊地位， 可见原点具有特殊地位，这样的点称为多 值函数的支点． 值函数的支点．函数 w = n z 只有一个有限支点 z = 0．另一个支点为 = ∞. ．另一个支点为z
复变函数2.3第三节 初等多值函数
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
2 e e e 2
2Ln2
2[ln 2i(arg 22k )]
2ln 22 2ki
2 2 e2 2ki (k 0,1,2, )
2
2
01
2
arg(i 2) arctan1 ,
2
所以
w(i)
4
i ( arctan1 )
10e 2 4
2
4
i arctan1
10e 2 3 .
例2：
例2、验证函数
w 4 z(1 z)3 ,
在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出 这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支 在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
当a不是整数时，由于原点和无穷远点是w z a
的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连
续曲线作为 内，可以把
wK1割线z a，分得解一成个解区析域分D支1。。在
D1
幂函数的映射性质:
关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面
的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的
圆弧映射成中 A1 以原点为心的圆弧。
a
幂函数的映射性质:
类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，
wn z
的n个分支
i 1 2 k
w n z(n 1 e n ) (k 0,1,2,...,n 1)
分别把区域D*双射成w平面的n个角形
多值函数课件
可微性
多值函数在定义域内通常是可 微的，但在值域内可能存在不 可微点。
周期性
多值函数可能具有周期性，即 函数图像在某个方向上重复出
现。
CHAPTER 02
多值函数的类型
代数多值函数
定义
应用
代数多值函数是满足代数方程的多值 函数。
在代数和几何中，代数多值函数x) 是一个 代数多值函数，因为对于每一个实数 x，y 可以是正数或负数。
几何法
定义
几何法是一种通过几何图形来求解多值函数的方法。
描述
通过绘制多值函数的图形，利用几何知识分析函数的性质和变化规 律，从而确定多值函数的值。
适用范围
适用于具有直观几何意义的多值函数，如三角函数、对数函数等。
数值分析法
定义
数值分析法是一种通过数值计算来求解多值函数的方 法。
描述
通过迭代、插值、拟合等方法，近似求解多值函数的 值，并分析函数的数值特性。
例子
例如，自然对数函数 y=ln(x) 是一个指数多值函 数，因为对于每一个正数 x，y 可以是实数。
3
应用
在数学、物理和工程学中，指数多值函数被广泛 用于描述增长和衰减过程。
其他类型多值函数
定义
01
除了上述三种类型外，还有其他类型的多值函数。
例子
02
例如，反三角函数、对数函数、幂函数等都可以是多值函数。
多值函数课件
CONTENTS 目录
• 多值函数的定义与性质 • 多值函数的类型 • 多值函数的求值方法 • 多值函数的应用 • 多值函数的扩展与展望
CHAPTER 01
多值函数的定义与性质
定义与特性
定义
多值函数是具有多个值的函数，其定 义域内的每一个自变量对应一个值域 内的多个因变量。
§3初等多值函数解读
§3 初等多值函数一、教学目标或要求：掌握 基本的初等多值函数的定义、性质； 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：基本的初等多值函数的定义、性质； 重点：基本的初等多值函数的定义、性质； 难点：支点的概念 三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 21-26（习题课检查）§3 初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。
(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n nr w θi0e = nn r w π2i1e +=θnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a为函数)F的支点．(z(3)根式函数n zw 的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．根式函数它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。
为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。
在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。
假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。
因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数，，利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有，，在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。
初等多值函数
|z1|
i1
)
相应地连续变动到
e e m(ln n
z1
2
n
)
m n
ln
z1
也即第一次回到了它从
z1
出发时的值。这时，我 m
们称原点和无穷远点是 w z n 的n-1阶支点，
也称n-1为阶代数支点。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
2 e e e 1i
(1i ) Ln2
(1i)[ln 2i(arg 22k )]
(1i)[ln 22ki)]
e e ln 22kii ln 22k
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
幂函数的基本性质：
6、当是无理数或复数时，幂函数是无穷
多值函数；事实上，当是无理数时，有
z e e e
Lnz
[ln|z|i(arg z2k )]
ln zi 2k
当 a bi(b 0)时，有
z e e e
Lnz
[ln|z|i(arg z2k )]
5、当是有理数时，即
p q
(
p与q为互素
的整数，q 0）：
z e e e p q
p q
Lnz
qp[ln|z|i(arg z2k )]Leabharlann p qlnz
1 q
i
2
pk
由于p与q为互素，所以不难看到，当k取 0，1，2， ,q 1时，得到q个不同的值，即这
时幂函数是一个q值的函数；
2.3初等多值函数
第二章复变函数第三节初等多值函数6、根式函数7、对数函数8、幂函数.,,,v e r e z iv u w re z u wi ===+==θθ可得则从令.,,0000u w e r v u u v v v e z =<<-====”变成圆周把线段“变成射线把直线因此，变换ππθ.0000v z v v w e z w<<<<=θ平面上的角形变成平面上的带形把指数函数（2）指数函数的变换性质：.轴的区域平面上除去原点和负实变成平面上的带形把指数函数z v w e z wππ<<-=,2 .w z e z 指数函数单叶性区域是: 平面上平行于实轴宽度不超过的带形区域p =.)()12()12(2轴的区域平面上除去原点和负实变成的带形平面上宽为把指数函数z Z k k v k w e z w∈+<<-=πππ因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子的个数.一般幂函数的定义:利用对数函数，可以定义幂函数：设α是任何复数，则定义z 的α次幂函数为当α为正实数，且z = 0 时，还规定Ln (0)z w z ez αα==≠由于0.z a =ln 2(ln10,arg )z k i w z e e z αααπππ===-<≤0,z w z α≠=)(2Z k ei k a ∈⋅π幂函数的映射性质:(略)关于幂函数当a 为正实数时的映射性质，有下面的结论：设是一个实数，并且在z 平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。
考虑D*内的角形，ωπωω2,0<<a 并取在D*内的一个解析分支ω<<z A arg 0:)11(==a a z w a z w =ω当z 描出A 内的一条射线时让从0增加到（不包括0及），那么射线l 扫过角形A ，而相应的射线扫过角形0arg :θ=z l 01arg :θa w l =0θωω1l ωa w A <<arg 0:1ωωa （不包括0），w 在w 平面描出一条射线因此)11(==aa z w 1A ωωa ωωa 把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把A 中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。
复变函数初等多值函数
系的横轴和纵轴。
复数的几何解释
总结词
复数可以用平面上的点或向量来表示，其实部和虚部分别对应于横轴和纵轴上 的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示，其实部和虚部分别对应于平面直角坐标系中的横 轴和纵轴。当我们在平面上画出复数对应的点或向量时，实部是点的横坐标， 虚部是点的纵坐标。
复数的运算性质
总结词
03 初等多值函数
幂函数
总结词
复数幂函数具有多值性，其定义域和值域都 是复数域。
详细描述
复数幂函数的形式为 (z^{a} = |z|^{a} cos(a arg(z) + arg(z^a)))，其中 (z = |z| exp(i
arg(z))) 是复数 (z) 的极坐标形式，(a) 是实 数或复数。当 (a) 是非整数时，幂函数具有多 值性，即对于不同的角度 (arg(z))，函数值不
解析性
要点一
总结词
解析性是指复变函数在某点及其邻域内可微的性质。
要点二
详细描述
解析性是复变函数的重要性质之一，它决定了函数在某点 附近的局部行为。如果一个复变函数在某点处可微，那么 在该点处函数具有极限存在且极限值等于函数值，并且函 数的导数存在。解析性对于研究函数的性质和展开式具有 重要意义。
可微性
在信号处理中，多值函数用于描述信号的频谱、 滤波等处理过程，提高信号的质量和特征提取。
在经济中的应用
金融衍生品定价
初等多值函数
i
7 2
e
i
11 2
得到了多个值. 原因
3 1 w0 e i, 2 2 Z的幅角可相差 2k 倍，要对 arg z 进行必要限制.
arg z w0 2 . 通常 或者 或0e arg z i
i( 3 ) 2
i( ) 6
2
辐角 arg z不确定；限制幅角的范围.
也常采用割 破复平面的 说法!
为什么割破复平 面是限制幅角的 等价说法呢?
为什么割破复平 面是限制幅角的 生动形象地说法 ?
割破复平面
生动形象
限制幅角
小节与思考
原因：k的不确 定；辐角的不 确定 办法：取定k； 割破复平面(限制 幅角)
多值函数
对于不同的割破方式，第k支 f k (z) 的值会一样吗?
教 学 重 点 难 点
教学重点
多值的原因；分出单值分支的办法；支点，支
割线，将函数延拓到支割线岸上的概念。
教学难点
初等多值解析函数多值产生的原因，分出根 式函数的单值解析分支。
说 教 法 学 法
采用讲授法,运用多媒体与板书相结 合的教学手段，结合大量例子，启发引 导学生归纳总结 ,培养学生的自主学习 的习惯。
初等多值函数—— 根式函数
数学与统计学院
说 课
教材的地位作用 教学目标 教学的重点、难点 说教法学法
教材的地位和作用
1 2 3
4
两复杂性：
体现了 客观世界及 数学科学的 复杂性.
逻辑基础:
奠定了
本教材的逻 辑基础.
繁琐难点:
教科书 上都讲的过 于繁琐,同时 也是学生学 习的难点.
学习基础:
对多值解析函数的理解与认识
对多值解析函数的理解与认识
多值解析函数是一类允许参数有多种可能的解析函数。
这类函数
可以通过调整参数来确定单个参数是否具有独特属性，或者如何表现
在原始函数上。
一个常见的例子就是机器学习中常用的sigmoid函数，通过调整参数来优化函数性能，以便能够对不同的数据表现出不同的
趋势。
此外，多值解析函数还可以探索数据之间的复杂关系，使研究
人员能够直观地理解各项因素的影响程度。
多值解析函数的基本思想是利用参数来反映数据的特性，可以将
多维数据表述成一维参数集合，以便能够对函数进行调整、估计参数
之间的关系，以及综合评估函数性能。
与其他解析方法相比，多值解
析函数可以很好地满足较低维度的数据需求，而且参数之间的关系也
更容易理解，从而实现函数调整的准确性和效率。
总而言之，多值解析函数可以帮助更好地理解数据，对参数有更
直观的认识，有助于高效的函数调整和高维度数据的探索，最终达到
优化函数性能的目的。
复变函数的多值函数
复变函数的多值函数
复变函数的多值函数指的是一个复变函数可以对应多个不同的复数值。
这是因为复数平面在极坐标下表示时，有多种表示方式（即模相等，但幅
角不同），导致同一个函数的值可以对应于多个不同的解。
常见的多值函
数包括幂函数、对数函数和根式函数。
例如，对于函数$f(z)=z^{1/2}$，它的解可以表示为
$z^{1/2}=re^{i\theta/2}$，其中$r$为$z$的模，$\theta$为$z$的幅角。
由于幅角有无数个解，因此这个函数可以有两个不同的值：
$$。
z^{1/2}=re^{i\theta/2}=re^{i(\theta/2+\pi)}。
$$。
这说明，即使在复平面上，两个点的距离相等，它们在不同的位置上，通过函数得到的值也可能不相等。
因此，对于多值函数，我们需要特别注
意它的定义域和值域，以免导致计算误差。
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w r1r2 e
i[ 2( n1n ) ] 1 2 2 2
r1r2 e
i[ 2 k ] 1 2 2
,
当k取0,1,时函数w有两个不同值，故其为二值函数。 支点为z=±i两点，无穷远点不是该函数的支点。 因为绕无穷远点旋转一周后： 1 2 1 2 4 ,
Y
解： z a r1 ei(1 2 n1 ) , z b r2 ei(2 2 n2 ) , 令
则w 3 r1r2 e
i[ 2 ( n1 n ) ] 1 2 2 3
3 r1r2 e
i[ 2 k ] 1 2 3
,
c3
c1
a 1
w1.
说明函数w并没有回到起始值。 l l2 当变量z从起始值沿着包围原点 z0=0的闭合回路l2再运行一周回到起始点，相应的函数w由 w2 变为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱl1
0
w3 e
i (argz 4 ) 2
e
i ( 1 arg z 2 ) 2
e
i 1 arg z 2
w1.
i[ 2 ] 1 2 3
,
当宗量绕z=a点沿c1再旋转一周后， 1 2 1 4 , 2不变；
w3 3 r1r2 e
i( 4 ) 1 2 3
,
当宗量绕z=a点沿c1旋转三周后， 1 4 1 6 , 2不变, w3 w1.
w1 r1r2 e
i( ) 1 2 2
w2 r1r2 e
i( 4 ) 1 2 2
.
Ⅰ Ⅱ
因此黎曼面的割线是 连接两支点z=±i的线段。
例3：讨论函数
课堂练习。
z 1 w ln 3 z
的多值性,并求出全部支点。
答案：支点为z=1和z=3两点的多值函数。 解题过程： 令 z 1 1e , 3 z 2e
若函数w=f(z)的自变量z绕某点z0旋转一周回到起始点后，而函 数值f(z起点)≠ f(z终点)，则称z0为函数的支点。 当自变量z绕某点z0旋转n周后有f(z起点)= f(z终点)，则称z0为函数 的n-1阶支点。 阶数为有限的支点称为代数支点，阶数为无限的支点称为超 越支点。 支点通常为函数的奇点、零点或无穷远点。
w2 3 r1r2 e
i( 8 ) 1 2 3
i[ 4 ] 1 2 3
,
w3 3 r1r2 e
, w1 ,
绕第三周， w3 3 r1r2 e 可见，无穷远点也是 该函数的二阶支点。 黎曼面的割线为a→∞ 和b →∞两条射线和a b 线段 。
i( 8 ) 1 2 3
可见z=a点是函数的二阶支点。
同理， z=b点也是函数的二阶支点。（自证） 当绕无穷远点旋转时，相对于反绕所有支点旋转，故转一周后
1 2 1 2 4 , 则w1 3 r1r2 e
再绕一周， w2 3 r1r2 e
i[ 4 ] 1 2 3
i( ) 1 2 3
§1.6 多值函数
本 节 内 容
从根式函数引出多值函数
支点及其分类
黎曼面及割线
多值函数的应用举例
一、多值函数的引出
令z r ei (arg z 2 n ) ,
讨论根式函数 w z .
则w r e
i (argz 2 n ) 2
ei
i arg z 2 , w1 e i w e 2 (arg z 2 ) . 2
i1 i 2
1ei 1 w ln ln i (1 2 ). i 2e 2
1 2
2
C1 Z C2
当绕z = 3点一周（如图C2）：
1
1 3
2 2 2 , 1不变， 1 w w1 ln i (1 2 2 ) w, 函数的模是否不变？ 2
四、另一支点 z=∞点也是上面根式的一阶支点。 证明： 令z 1t ,
t R e ,
i
z
e
i(- )
R
,
w
e
i - 2
R
.
当t绕着t=0(即z=∞)点一周回到原处时：
e -i z1 R
w1 e
i - 2
e -i( 2 ) z2 R
w2 e
w4 3 r1r2 e
i( 12 ) 1 2 3
Ⅰ Ⅱ
a1
b1
a2
a3
b2
b3
Ⅲ
2 例2：讨论函数 w z 1 的多值性,并求出全部支点。
解： w z 2 1 ( z i )( z i ),
令z i r1 ei(1 2 n1 ) , z i r2 ei(2 2 n2 ) ,
当绕z = 3点无数周后，函数值均不同，
说明 z=3为函数支点，且为超越支点。
同理可知z=1也是函数的超越支点。
不过，z=∞不是函数的支点。 因为绕无穷远点旋转一周后： 1 1 2 , 2 2 2，
1 - 2 (1 2 ) (2 2 ) 1 - 2，
说明变量z绕着包围原点z0的区域旋转两周后，函数w在其相应的复 平面内旋转一周后回到起始点，可见单值分支首尾相连。
当变量z绕着不包围原点z0的区域l’旋转一周后，其辐角并未经过 2变化，即始、末的辐角不变，即函数w也不发生变化。说明在这 样的区域变化时，函数不会从一个单值分支转到另一单值分支。
二、支点
i - 2 ( 2 )
e i(- 2 ) , R
e
i ( 2 2
)
R
R
R
.
当再绕一周后函数值回到起始值。说明z=∞点也是支点。 注：绕z=∞点旋转，相当于绕着z=0点逆转。 通常，根式函数、对数函数和反三角函数都是多值函数。
五、举例 例1：讨论函数 w 3 ( z a)( z b) 的多值性,并求出全部支点.
w1≠w2，故称w为多值 函数、w1和w2为多值函 数的两个单值分支。
两个单值分支是相互联系、不可分割的。 当变量z从起始值 z 出发，沿着 包围原点z0=0的闭合回路l1运行一周 回到起始点，相应的函数w由起始值
z
w1 e
i arg z 2
, 变为w2 e
i (argz 2 ) 2
z
b
2
当k取0,1,2时函数w有三个不同值， 故其为三值函数。 当宗量绕z=a点沿c1旋转一周后，
c2 0 X
1 1 2 , 2不变； w1 3 r1r2 e 则
则w2 r1r2 e
3
i[ 2 ] 1 2 3
i( ) 1 2 3
w2 3 r1r2 e
1ei 1 w ln ln i (1 2 )=w1 , i 2e 2
1 2
表明 z=∞不是函数的支点。
作业P27：(2),(3)
三、黎曼面 定义:将多值函数的自变量与函数变为一对一映射关系的平面。 单值分支上函数与自 变量是一一对应的，但
L1 v w1 u L2 w2
在分支首尾连接处并非
如此，因此我们如右图 构造黎曼面。
z平面
w平面
仍以上面的根式函数 为例。规定自变量的范围, Ⅰ支:0≤Argz<2; Ⅱ支:2≤Argz< 4 . 这样，双叶曲面的上叶便与函数平面不包括负实轴的上半平面一 一对应，同样下叶与函数平面不包括正实轴的下半面一一对应。 自变量只有经过支点与无穷远点形成的上下叶分割线时，才会 从一叶变到另一叶。（实际上无穷远点也是该函数支点）