北师大高中数学选修21培优新方案同步课时跟踪检测十九 曲线与方程 含解析

课时跟踪检测（十九） 曲线与方程

一、基本能力达标

1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A ．y 2＝x 与y ＝x B ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x C.y ＋1x －2

＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 2

解析：选D 考察每一组曲线方程中x 和y 的取值范围，不难发现A ，B ，C 中各对曲线的x 与y 的取值范围不一致．

2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )

A ．π

B ．4π

C ．8π

D ．9π

解析：选B 设P 为(x ，y )，由|PA |＝2|PB |，得

(x ＋2)2＋y 2＝2

(x －1)2＋y 2，

即(x －2)2＋y 2＝4，∴点P 满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π. 3．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形是( ) A ．前后两者都是一条直线和一个圆 B ．前后两者都是两个点

C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点

D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆

解析：选C x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1，表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1.x 2＋(x 2

＋y 2－1)2＝0⇔

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2＋y 2

－1＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0，y ＝±

1，表示点(0,1)，(0，－1)． 4．已知点A (0，－1)，点B 是抛物线y ＝2x 2＋1上的一动点，则线段AB 的中点M 满足的方程为( )

A ．y ＝2x 2

B ．y ＝4x 2

C ．y ＝6x 2

D ．y ＝8x 2

解析：选B 设B (x 0，y 0)，M (x ，y )．∵M 是AB 的中点，∴x ＝x 0＋02，y ＝y 0－1

2

，得x 0＝

2x ，y 0＝2y ＋1.又∵B (x 0，y 0)在抛物线y ＝2x 2＋1上，∴y 0＝2x 20＋1，即2y ＋1＝2(2x )2

＋1，因此

y ＝4x 2，故M 满足的方程为y ＝4x 2.

5．在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A (1,0)，B (2,2)．若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→

－OA ―→

)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是____________．

解析：设点C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→

)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t ＋1，y ＝2t ，

消

去参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.

答案：y ＝2x －2

6．方程x 24－k ＋y 2

k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：

①曲线C 不可能是圆； ②若14；

④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1

2.

其中正确的命题是________．

解析：当4－k ＝k －1，即k ＝52时表示圆，命题①不正确；显然k ＝5

2∈(1,4)，∴命题②不

正确；若曲线C 为双曲线，则有(4－k )(k －1)<0，即k <1或k >4，故命题③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则4－k >k －1>0，解得1

2

，命题④正确．

答案：③④

7．已知直角三角形ABC ，∠C 为直角，A (－1,0)，B (1,0)，求满足条件的点C 的轨迹方程．

解：设C (x ，y )，则AC ―→＝(x ＋1，y )， BC ―→

＝(x －1，y )． ∵∠C 为直角，

∴AC ―→⊥BC ―→，即AC ―→·BC ―→＝0， 即(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0.化简得 x 2＋y 2＝1.

∵A ，B ，C 三点要构成三角形， ∴A ，B ，C 不共线，∴y ≠0，

∴C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．

8．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ―→＝OM ―→＋ON ―→

，求动点Q 的轨迹．

解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ ―→＝OM ―→＋ON ―→，

即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y

2

.

又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 2

0＝4，

即x 2＋

y 2

4

＝4(y ≠0)． 所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 2

16＝1(y ≠0)．

二、综合能力提升

1．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示一条( )

A ．过点P 且垂直于l 的直线

B ．过点P 且平行于l 的直线

C ．不过点P 但垂直于l 的直线

D ．不过点P 但平行于l 的直线

解析：选B ∵P (x 0，y 0)不在直线l 上，∴f (x 0，y 0)≠0. ∴方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的直线与l 平行．

又f (x 0，y 0)－f (x 0，y 0)＝0，∴点P (x 0，y 0)在方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的直线上，即直线过点P .

2．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π

3 B.5π3 C.π3或5π3

D.π3或π6

解析：选C 将点P 的坐标代入曲线(x －2)2＋y 2＝3中，得(cos α－2)2＋sin 2α＝3，解得cos α＝12.又0≤α<2π，所以α＝π3或5π

3

.故选C.