轴力与轴力图

② 应力：
max
N A
4P
πd 2
4 25103 3.14 0.0142
162MPa
③ 强度校核： max 162MPa 170MPa
④ 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
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[例4] 简易旋臂式吊车如图 a)所示。斜杆AB为横截面直径 d＝20 mm的钢材，载荷W=15 kN。 求当W移到A点时，斜杆AB横截面 应力(两杆的自重不计)。
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轴力
轴向拉伸、压缩时，杆的内力与杆轴线重合，称为轴力，
用N 表示。
轴力的正负规定:
N
N 与外法线同向，为正轴力(拉力)
N与外法线反向，为负轴力(压力) N
轴力图
N N>0
N N<0
N (x) 的图象表示。 ① 反映出轴力与横截面位置变化关系，较直观；
② 确定出最大轴力的数值
及其所在横截面的位置， N
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P 4
同理，求得AB、 N2 BC、CD段内力分 别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
轴力图如右图 N 2P + – 3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
5
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
P
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拉伸应力： P
N(x)
N ( x) A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
危险截面及最大工作应力：
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
画出杆的轴力图。 q(x)
解：x坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x段为对象，内力N(x)为：
O x
O x
q
q(x)
N(x)
x
qL
N
N(x)
0x
kxdx
1 2
kx2
–
k L2 2
N
(
x)max
1 2
k
L2
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§8-3 杆件拉伸与压缩时的应力
P
P
一、问题提出
P
P
内力大小不能衡量构件强度的大小。 强度：① 内力在截面的分布集度应力；
k
则：
p
P A
A：斜截面面积；P：斜截面上内力。
由几何关系：cos A
A
A
A
cos
代入上式，得：
p
P A
Pcos
A
0
cos
斜截面上全应力：p 0cos
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斜截面上全应力： p 0cos
P 分解：
p cos 0cos2
p
p
s
in
0
c
oss
in
0
2
P sin2
k P
k
k
pa
k
a
当 = 0°时， ( )max 0 (横截面上存在最大正应力)
Pຫໍສະໝຸດ Baidu
即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
+
x
3
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P和 P 的力，方向如图所示，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
N1
A
PA
PB
PC
BC
PB
PC
PD
D
x
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图，列平衡方程
X 0 N1 PA PB PC PD 0
ΔA0 ΔA dA
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③ 全应力分解为： a.垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
p
lim
Δ A0
ΔN ΔA
dN dA
M
b.位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。
ΔT
lim
Δ A0
Δ
A
dT dA
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三、拉（压）杆横截面上的应力
变形规律试验及平面假设：
第八章 轴向拉伸与压缩
§8-1 引言
§8-2 轴力与轴力图
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向变细。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
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杆件的轴向拉伸和压缩是工程中常见的一种变形。如图 a) 所示的悬臂吊车，在载荷F作用下，AC杆受到A、C两端的拉力 作用，如图 b)所示，BC杆受到B、C两端的压力作用，如图 c) 所示。
许用应力[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
钢拉杆
8.5m
B
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解： ① 整体平衡求支反力
HAA
RA
q
q
C
钢拉杆
8.5m
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
RB
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② 局部平衡求 轴力：
q HAA
RA
mC 0 N 26.3kN
HC
C ③ 应力：
RC
max
当 = 90°时，
( )m in 0
AB 0.82 1.92
故有
Fmax
W
sin
15 0.388
38.7 kN
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(2) 求应力 斜杆AB横截面正应力为
FN Fmax 38.7 103 123106 Pa 123MPa
A
A 202 106
4
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[例5] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的 分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，
N A
4P
d2
N
4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
④ 强度校核与结论： max 131 MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
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四、拉（压）杆斜截面上的应力
k
设有一等直杆受拉力P作用。 P
P
求：斜截面k-k上的应力。
解：采用截面法
P
k
k
P
由平衡方程：P=P
② 材料承受荷载的能力。
二、应力计算
1. 定义：由外力引起的内力集度，称为应力。
7
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。
2. 应力的表示：
① 平均应力：
P
M
pM
ΔP ΔA
A
② 全应力（总应力）：
lim p
ΔP dP
危险点：应力最大的点。 公式的应用条件：
max max(
N ( x) ) A( x)
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
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[例3] 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用
应力[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
解：① 轴力：N = P =25kN
解 (1) 受力分析 当W移到 A点时，斜杆AB受到的拉力最 大，设其值为Fmax。取A点为 分离体，在不计杆件自重及 连接处的摩擦时，A点受力如 图 b)、c)所示。
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根据平衡方程
ΣMC=0， Fmax sin AC W AC 0
解得
Fmax
W
s in
由三角形ABC求出
sin BC 0.8 0.388