永冻土层热传导问题数学建模
冻土区油气管道周围土壤的热水力三场的数学模型
水热状况动态变化 以及应力场与变形场的分布规律 ， 也必然 影
目前 ， 述 冻 土 区 埋 地 油 气 管道 土 壤 的三 场 耦 合 模 型 需 要 描
考虑的 因素 为 ： 大气季节 性温度变化 、 水分迁移、 水相变、 冰 土 壤 的应力场与变形场、 管道沿程温度 的变化、 管道 的位移。 张争
嘉，］【 ］ ［ ＋ 九 昌，
…
程 中携带热量 ， 引起土壤含水率、 并 热物性参数 的变化 ， 水分迁
移会对温度产生影响 ， 因此在实际管道研究 中也多以水热耦合 场 来分析。土壤作为多孔介质 ， 水分在其 内部流动与相变 的过
在 融 化 区 内：
等 杀 等＋ ） ＝ ） 导
道 周 围土 壤 冻 融 过 程 中 热 水 力三 场 的变 化 。 目前在 道 路 和 桥 梁
管壁 、 防腐 层 、 温层 ： 保
等 等 等 ＝ 卜导 ］
、
式中 ： “ 者 分别为冻结 区内土体 的密度 、 度、 带 ｆ ” 温 热容和
导 热 系数 ； “ ” 为 融 化 区 内相 应 的物 理 量 ； “” 为第 ｉ 带 ｕ者 带 ｉ者 层
质量守恒方程：
的变化 ， 因此热水力三场的耦 合在冻土 区埋地油气管道周围的 土体 中是客观 存在 的，其耦合效应将 直接影响冻土 的稳定性、
鲁＋ ｕ ｓ一 ）
式 中： Ｕ为流体 速度 ，， Ｐ为流体 密度 ，为时间。 ｔ 动量守恒方程：
… 响 到 油 气 管道 的安 全 稳 定 运 行 。
Ｄ 讨研 与 探 究
冻土 区油气 管道周 围土壤 的 热 水力三 场 的数学模 型
文 ／ 洪江 吕宏 庆 薛
摘 要 ： 对 穿 越 冻 土 区 埋地 管道 存 在 冻 害破 坏 的安 全 问题 ， 据 冻 土 区管 道 周 围 实 际 环境 的 具 体 针 根
热管稳定冻土路基的动态传热分析及数值计算
2.4 计算方法讨论 该模型不仅可模拟实际气温变化对传热的
影响，更重要的是所建立的方程组是显式方 程，简单易解，仅用一次递推计算就可直接获 得结果，不需逐次叠代，计算耗时短，适于工 程计算使用。由于不需保留叠代结果，占用内 存资源极少，故可将时间和半径区间划分的较 小，有利于获得足够的计算精度。
本模型不足之处是将热管假设为一维传
⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞ he = 0.32
ρ
l
0.65
k
l
0.3
C
pl
0.7
g
0.2
q
e
0.4
ρ v 0.25 h fg 0.4 µ l 0.1
0.3
⋅
Psa t Pa
冷凝器中冷凝液膜传热系数hc
(11) (12)
hc
=
0.925
(ν
2 l
kl / g)1/ 3
Re
−1 l
/
3
雷诺(Reynolds)数
部的蒸发冷凝传热和薄壁金属导热，与空气对流传热热阻和土壤导热热阻相比要小许多，
忽略热管的热阻而仅计算对流放热热阻和土壤导热热
阻，是可以满足工程应用要求的。但为了使模型更具有 一般性，本模型仍考虑了热管的热阻。
热管与路基土壤耦合传热模型见图 1。 热管与路基土壤的耦合传热，是无内热源、热量自
Lc
r
Z
Uair Ta
土体温度 (℃)
-1
实测 计算 -2
-3
-4 0
50
100
150
200
250
时间 (日)
图10 实测与计算土体温度对比
6
陈鹏 许志键：热管稳定冻土路基的动态传热分析及数值计算
热传导的数学模型与研究
热传导的数学模型与研究热传导是我们日常生活中经常遇到的现象。
从热水壶把热水倒入杯子，到夏天太阳照射在地面上，热量的传导无处不在。
研究热传导的数学模型，不仅可以帮助我们更好地理解热力学原理，也可以应用于各种实际问题。
首先，我们需要了解热传导的基本原理。
热传导是指热量从高温区域传递到低温区域的过程。
这种过程是通过分子的碰撞和传递能量来实现的。
热量在物体内部的传导通常可以通过热传导方程来描述。
热传导方程是研究热传导现象的重要工具。
它建立在热传导过程中热量传递的基本原理上。
数学上，热传导方程可以用偏微分方程的形式表示。
通常来说，热传导方程可以分为一维、二维和三维的情况。
一维热传导方程适用于直线型的物体，如杆子或棒子。
二维和三维热传导方程则适用于更复杂的物体，如平板或立方体。
热传导方程的具体形式取决于物体的形状和性质。
不同物体的热传导模型也有所不同。
例如，对于均匀导热的杆子或棒子，热传导方程可以简化为线性扩散方程。
而对于非均匀导热的材料，我们需要考虑热导率随位置和温度的变化，以及可能的边界条件。
这些参数的变化会对热传导的过程和模型产生显著影响。
除了简单的热传导方程，还有一些扩展模型和方法被开发出来，以更好地描述和研究热传导现象。
其中之一是非线性扩散方程。
这个模型考虑了导热材料的非线性热传导性质，能更准确地捕捉到热传导过程中的非线性效应。
另一个扩展模型是相变问题的研究。
在物质发生相变时，如冰变成水或水变成蒸汽，热传导方程需要根据相变对热传导的影响进行修正。
研究热传导模型不仅可以提供对热力学原理的深入理解，也可以解决一些实际问题。
例如，在工程领域，热传导的研究可以用于设计更有效的散热系统，以避免设备过热而造成性能下降或损坏。
在环境科学领域，研究热传导可以帮助我们更好地理解地球系统中的能量传递和气候变化。
在材料科学领域，研究热传导可以用于开发更高效的绝热材料和热导材料。
总之，热传导的数学模型和研究对于我们理解和应用热传导现象都具有重要意义。
冻土路基水热迁移问题的理论模型及数值模拟
文章编号:1671-2579(2006)01-0023-04冻土路基水热迁移问题的理论模型及数值模拟毛雪松1,2,王秉纲1,胡长顺1,李 宁2(1.长安大学,陕西西安 710064; 2.西安理工大学)摘 要:路基不均匀沉陷和冻胀变形、纵向裂缝等是多年冻土区或是季节冻土区道路工程的主要病害,路基中的热状况与水分状况及其变化是引起冻害严重与否的主要因素。
路基中热量的差异和改变引起水分的迁移与转化,而传统的等温模型不能确切地反映温度变化条件下路基中水分的迁移。
该文在土体水分等温模型的基础上,建立水热耦合迁移数值模型,引进非等温扩散流方程,提出在水热梯度共同作用下的二维水热迁移的理论模型,并以青藏公路K 3363+880路段为对象,进行水热耦合计算,证明模型的有效性,从而进行温度场和水分场变化规律的研究。
关键词:水热耦合迁移;温度场;水分场;非等温扩散流;冻土路基多年冻土区或是季节冻土区的道路工程,均会由于土体冻胀融沉,引起路基不均匀沉陷和冻胀变形、纵向裂缝等病害。
路基中的热状况与水分状况及其变化规律是引起冻害严重与否的主要因素。
在寒区道路工程中预报路基热稳定状况是一个十分重要而又相当复杂的问题,主要由于在冻融过程中其热量传输、水分迁移与相变过程并不是由单独的某个因素所造成,而是各因素相互作用、相互影响的结果,路基中的温度场、水分场是动态变化的。
路基中热量的差异和改变引起水分的迁移与转化,同时,路基中的水通过改变土的热特性来影响土壤的温度,由于温度是影响水分运动不可忽视的因素,传统的等温模型就不能确切地反映温度变化条件下路基中水分的迁移。
本文以质能平衡为基础建立水、热迁移的理论模型,应用在空间域上采用有限单元法和时间域上采用有限差分相结合的方法,计算温度场和水分场。
收稿日期:2005-04-01作者简介:毛雪松,女,博士(后),讲师.幅起点至路幅宽度达到25m (2 12.5m )之前,仍然按照整体式桥梁进行设计(桥梁宽度为24.5m 逐渐变宽至25m);之后在完整的一跨距离(即桥梁宽度达到25m 之后的一个桥墩至下一个桥墩之间的距离)内将桥梁过渡成分离式桥梁(即两幅12.5m 宽的桥梁)。
热传导问题的数值模拟
热传导问题的数值模拟热传导是自然界中一种普遍存在的物理现象，其在许多领域都有着广泛的应用。
在工程领域，对于许多工程问题的求解过程中，需要对热传导问题进行数值模拟。
本文将从热传导问题的基本理论出发，介绍一些热传导问题的数值模拟方法及其应用。
一、热传导基本理论热传导是指热量从高温区传递到低温区的现象。
在热传导过程中，热流量的方向和大小受到热传导物质的性质及其温度差等因素的影响。
热传导物质分为导热性能好的导体和导热性能差的绝缘体两种类型。
根据傅里叶定律和傅立叶热传导方程，热传导问题可以用以下的偏微分方程来描述：∂u/∂t = α(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²)+f(x,y,z,t)其中，u(x,y,z,t)表示温度分布，f(x,y,z,t)表示源项（可能是热源或热损失），α为导热系数，t为时间，x、y、z为空间坐标。
二、数值模拟方法热传导问题的数值模拟主要采用有限元法、有限体积法、有限差分法等方法进行计算。
下面将分别介绍这三种方法。
1. 有限元法有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种广泛应用于数值分析领域的方法。
在热传导问题的数值模拟中，有限元法的基本思想是将要求解的物理问题离散化，将其分解成有限个简单的元件来进行求解。
具体而言，可以将热传导区域分解成一系列的小单元，然后根据有限元法的原理，通过计算每个单元内的热传导能量，并利用边界条件，在整个区域内拼凑成一个整体的方程组，在求解这个方程组后得到热传导问题的解。
2. 有限体积法有限体积法（Finite Volume Method, FVM）是一种以连续性方程为基础，采用体积平均原理离散化控制体积的方法。
有限体积法在处理不规则域的问题时具有重要的优势。
在热传导问题的求解中，可以采用有限体积法离散分析过程。
对于一个立方体体积元，可以用守恒方程将体积元内部的能量和热流量进行刻画。
热传导的机制和数学模型
热传导的机制和数学模型热传导是我们日常生活中常见的现象，它涉及热量从高温区域向低温区域的传递过程。
热传导的机制可以用分子动力学解释，同时也可以通过数学模型进行描述。
首先，我们来了解热传导的机制。
热传导主要是通过分子之间的碰撞和能量传递来实现的。
在一个固体中，分子之间存在着相互作用力，当一个分子具有较高的热能时，它会与周围的分子发生碰撞并将部分热能传递给它们。
这样，热能就会从高温区域向低温区域传导。
在液体和气体中，热传导的机制与固体有所不同。
在这些介质中，分子之间的距离较大，分子的运动更加自由。
热能的传递主要通过分子的扩散来实现。
当一个分子具有较高的热能时，它会通过碰撞和扩散将热能传递给周围的分子，随着时间的推移，热能会逐渐从高温区域向低温区域传导。
除了分子动力学的解释，热传导还可以通过数学模型进行描述。
热传导的数学模型基于热传导方程，也称为热方程。
热方程描述了热量在空间和时间上的分布。
它是一个偏微分方程，可以用来计算热传导的速率和温度分布。
热方程的一般形式如下：∂T/∂t = α∇²T其中，T是温度，t是时间，∂T/∂t表示温度随时间的变化率，∇²T表示温度的梯度。
α是热扩散系数，它与物质的热导率和密度有关。
通过求解热方程，我们可以得到热传导的数学模型。
这些模型可以用来预测物体的温度分布和热传导的速率。
在工程和科学领域中，这些模型被广泛应用于热传导问题的研究和解决。
除了热方程，还有其他一些数学模型可以用来描述特定条件下的热传导。
例如，斯托克斯方程可以用来描述流体中的热传导，它结合了流体动力学和热传导的特性。
此外，还有一些更复杂的数学模型，可以用来研究非线性热传导、相变热传导等特殊情况。
总之，热传导是热量从高温区域向低温区域传递的过程，它涉及分子之间的碰撞和能量传递。
热传导的机制可以通过分子动力学解释，并可以通过数学模型进行描述。
热方程是热传导的基本数学模型，它可以用来计算热传导的速率和温度分布。
热传导的数学模型与实际问题解析
热传导的数学模型与实际问题解析热传导是一个关于热能在物质中传递的过程的基本概念。
在许多实际问题中，热传导的数学模型可以帮助我们理解和解决各种与热相关的工程和科学问题。
本文将就热传导的数学模型及其在实际问题中的应用展开详细讨论。
一、一维热传导模型对于一维热传导，可以使用傅立叶热传导定律来描述。
该定律表达了热传导速度与温度梯度的关系，即热流密度等于热导率乘以温度梯度。
根据这一定律，我们可以推导出一维热传导方程，即热传导问题的基本方程。
二、热传导方程的解析解热传导方程是一个偏微分方程，可以使用分离变量法、拉普拉斯变换等方法求解。
在某些特殊情况下，我们可以得到热传导方程的解析解。
例如在均匀介质中的稳态热传导问题中，可以得到温度分布的解析解为线性函数。
这些解析解为我们解决实际问题提供了方便。
三、数值解法与计算模拟然而，大多数情况下，热传导方程很难得到解析解。
这时我们可以使用数值解法来求解热传导问题。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
这些数值方法可以得到近似解，帮助我们揭示实际问题中的热传导机理。
另外，计算模拟也是解决热传导问题的重要方法。
通过建立复杂的数值模型，我们可以模拟热传导在不同材料、结构和边界条件下的行为。
这种模拟方法在工程设计和科学研究中发挥着重要作用。
四、热传导问题的应用热传导问题在许多领域都有重要应用。
例如，在建筑工程中，我们需要了解建筑物的保温性能，来设计合适的隔热材料和结构。
在电子设备设计中，我们需要研究电子元件的散热问题，以确保设备的正常运行。
在材料科学中，了解材料的热传导性能对材料的性能和应用具有重要影响。
五、热传导过程中的优化与控制最后，热传导问题还可以通过优化与控制方法得到更好的结果。
例如，在工业生产中，我们需要优化工艺条件以提高热传导效率和能源利用率。
此外，在实际工程中，我们还可以通过控制边界条件、热源位置等手段来实现精确的温度控制。
综上所述，热传导的数学模型在解决实际问题中起着重要作用。
热传导问题的数值模拟及解析研究
热传导问题的数值模拟及解析研究热传导问题是工程、物理和材料科学领域中一个重要的课题。
在实践应用中，解决热传导问题可以帮助我们优化生产过程、改善设备性能以及预测材料的寿命，具有极大的意义。
数值模拟和解析研究是解决热传导问题的两种常用方法，它们各自有着自己的特点和应用范围。
数值模拟方法是在计算机上通过建立数学模型和求解方程组来模拟热传导过程的一种方法。
数值模拟方法的主要优点在于可以模拟复杂的边界条件和几何结构，具有较强的适用性。
不管是传统的有限差分法还是较新的有限元方法，数值模拟方法都可以提供非常精确的结果。
然而，数值模拟方法也存在着一些局限性。
首先，数值模拟方法需要大量的计算资源和计算时间，特别是在三维场景下，计算成本更加显著。
其次，模型设置和参数选择对结果的精确性有着重要影响，需要经验和专业知识的支持。
解析研究是研究热传导问题的传统方法，通过数学分析和求解热传导方程得到解析解。
解析解具有数学上的精确性，可以提供问题的全局性和稳定性，从而为我们提供问题的一些重要性质。
然而，在实际应用中，解析解往往只适用于简单几何形状和较为理想的边界条件。
对于复杂的问题，解析解往往无法得到，需要借助数值模拟方法。
在实际的研究和工程应用中，数值模拟和解析研究常常结合使用，互为补充。
首先，可以通过解析研究来对热传导问题进行预研，了解问题的一些基本性质和规律。
其次，可以通过数值模拟方法模拟复杂的工程场景和真实条件，提供更加详细和全面的结果。
数值模拟方法可以通过调整模型参数，优化边界条件等方式，逐步逼近真实情况，使研究结果更加准确和可靠。
当然，热传导问题的数值模拟和解析研究也面临一些挑战和限制。
首先，热传导问题的数学模型并不是完美的，它们常常需要在实际应用中进行修正和改进。
其次，参数的选择和设定需要经验和专业知识的支持，否则可能会导致结果的偏差。
此外，数值模拟方法在建模过程中需要进行网格划分，网格的选择和划分对结果的准确性和计算效率有重要影响。
热传导的数学模型与应用
热传导的数学模型与应用热传导是研究热传输过程的一种方法，它基于物质的热运动，描述了热能在空间中沿着温度梯度传导的过程。
在现实世界中，热传导的应用广泛，例如工程传热、地质传热等。
本文将介绍热传导的数学研究领域及其在应用中的一些方法和技术。
一、一维热传导的数学模型考虑一根长为L的均匀导热杆，其温度分布随时间的变化可以描述为以下偏微分方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，u表示温度，k是杆的热导率。
这个方程是著名的热传导方程，它描述了热传导现象的基本规律。
对于一维的情况，我们可以设计一些边界条件来求解这个方程。
例如，假设杆的两端分别接触两个热库，温度分别为$u_0$和$u_L$，则可以给出如下的边界条件：$$u(0,t)=u_0,\quad u(L,t)=u_L$$此外，还需确定初始条件，即$t=0$时的温度分布：$$u(x,0)=f(x)$$为了求解这个问题，我们可以采用变量分离法或者傅里叶变换等数学工具求解上述偏微分方程，进而得到温度分布随时间的变化规律。
这个问题在工程中有很多应用，例如热传导计算、材料热处理等。
二、二维热传导的数学模型对于二维的情况，即热传导在一个平面上进行时，我们需要引入两个空间变量$x,y$，此时热传导方程变为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\left(\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$同样地，我们还需要给出边界条件和初始条件。
例如，假设平面上存在一个温度分布为$u(x,y,0)=f(x,y)$的初始温度分布，则边界条件可以取如下形式：$$u(x,0,t)=u(x,L,t)=u(0,y,t)=u(W,y,t)=0$$其中，L和W分别表示平面的长度和宽度。
热传导的数学模型
热传导的数学模型热传导是指热能从高温区域向低温区域传递的过程。
在实际应用中，我们经常需要准确地描述热传导现象，以便预测和分析各种热力学系统的行为。
为此，我们可以使用数学模型来描述热传导过程。
本文将介绍几种常用的数学模型，包括傅里叶热传导定律、热扩散方程和热传导方程。
傅里叶热传导定律是描述热传导过程中温度变化的基本规律。
它的数学表达式为：q = -kA(dT/dx)其中，q是单位时间内通过物体传导的热量（热流量），k是物质的热导率，A是传热面积，dT/dx是温度随位置的变化率。
这个公式表明热流量与温度梯度成正比，热导率越大，热传导越快。
除了傅里叶热传导定律外，热扩散方程也是描述热传导过程的重要数学模型。
热扩散方程可以描述任意形状、任意材料的物体中的温度分布随时间的变化。
它的数学表达式为：∂T/∂t = α(∇^2T)其中，∂T/∂t表示温度随时间的变化率，∇^2T表示温度的拉普拉斯算子，α是热扩散率。
这个公式表明，温度变化率与温度分布的二阶空间导数成正比，热扩散率越大，温度分布改变越快。
对于一维情况下的热传导，可以使用更简化的热传导方程来描述。
热传导方程是一个关于温度T和位置x的偏微分方程，其数学表达式为：∂T/∂t = α(∂^2T/∂x^2)其中，∂^2T/∂x^2是温度T关于位置x的二阶偏导数。
除了以上几种数学模型，还有一些特殊情况下的热传导模型，如球坐标下的热传导方程、柱坐标下的热传导方程等。
这些模型在实际应用中有着广泛的应用，可以用来解决各种热传导问题。
总结起来，热传导的数学模型有傅里叶热传导定律、热扩散方程和热传导方程等。
这些模型能够帮助我们准确地描述和分析热传导现象，在工程、物理学和地理学等领域具有重要的应用价值。
通过对热传导数学模型的研究，我们可以更好地理解热传导的规律，并应用于实际问题的解决中。
严寒地区隧道围岩冻融状况分析的导热与对流换热模型
中国科学(D 辑) 第29卷 增刊1SCIE NCE I N CHI NA(Series D) 1999年6月严寒地区隧道围岩冻融状况分析的导热与对流换热模型3何春雄33 吴紫汪 朱林楠(中国科学院兰州冰川冻土研究所冻土工程国家重点实验室,兰州730000)摘要 通过对严寒地区隧道现场基本气象条件的分析,建立了隧道内空气与围岩对流换热及固体导热的综合模型;用此模型对大兴安岭西罗奇2号隧道的洞内气温分布进行了模拟计算,结果与实测值基本一致;分析预报了正在开凿的祁连山区大坂山隧道开通运营后洞内温度及围岩冻结、融化状况.关键词 严寒地区隧道 导热与对流换热 冻结与融化在我国多年冻土分布及邻近地区,修筑了公路和铁路隧道几十座.由于隧道开通后洞内水热条件的变化,普遍引起洞内围岩冻结,造成对衬砌层的冻胀破坏以及洞内渗水冻结成冰凌等,严重影响了正常交通.类似隧道冻害问题同样出现在其他国家(前苏联、挪威、日本等)的寒冷地区.如何预测分析隧道开挖后围岩的冻结状况,为严寒地区隧道建设的设计、施工及维护提供依据,这是一个亟待解决的重要课题.在多年冻土及其临近地区修筑的隧道,多数除进出口部分外从多年冻土下限以下岩层穿过.隧道贯通后,围岩内原有的稳定热力学条件遭到破坏,代之以阻断热辐射、开放通风对流为特征的新的热力系统.隧道开通运营后,围岩的冻融特性将主要由流经洞内的气流的温度、速度、气2固交界面的换热以及地热梯度所确定.为分析预测隧道开通后围岩的冻融特性,Lu2 nardini[1]借用Shamsundar[2]研究圆形制冷管周围土体冻融特性时所得的近似公式,讨论过围岩的冻融特性.我们也曾就壁面温度随气温周期性变化的情况,分析计算了隧道围岩的温度场[3].但实际情况下,围岩与气体的温度场相互作用,隧道内气体温度的变化规律无法预先知道,加之洞壁表面的换热系数在技术上很难测定,从而由气温的变化确定壁面温度的变化难以实现.本文通过气2固耦合的办法,把气体、固体的换热和导热作为整体来处理,从洞口外气温、风速和空气湿度、压力及围岩的水热物理参数等基本数据出发,计算出围岩的温度场.1 数学模型为确定合适的数学模型,须以现场的基本情况为依据.这里我们以青海祁连山区大坂山 1998207206收稿,1998209218收修改稿 3国家自然科学基金资助项目(批准号:49671020) 33现工作单位:华南理工大学应用数学系,广州510640公路隧道的基本情况为背景来加以说明.大坂山隧道位于西宁—张掖公路大通河以南,海拔3754.58～3801.23m,全长1530m,隧道近西南—东北走向.由于大坂山地区隧道施工现场附近月平均气温为负温的时间每年约长8个月,加之施工时间持续数年,围岩在施工过程中已经预冷,所以隧道开通运营后,洞内气体流动的形态主要由进出口的主导风速所确定,而受洞内围岩地温与洞外气温的温度压差的影响较小;冬季祁连山区盛行西北风,气流将从隧道出口流向进口端,夏季虽祁连山区盛行东偏南风,但考虑到洞口两端气压差、温度压差以及进出口地形等因素,洞内气流仍将由出口北端流向进口端.另外,由于现场年平均风速不大,可以认为洞内气体将以层流为主.基于以上基本情况,我们将隧道简化成圆筒,并认为气流、温度等关于隧道中心线轴对称,忽略气体温度的变化对其流速的影响,可有如下的方程:5U 5x+Vr+5V5r=0, 0<x<L,0<r<R;5U5t+U 5U5x+V5U5r=-5p5x+55xν5U5x+1r55r rν5U5r, 0<t<D,0<x<L,0<r<R;5V5t+U 5V5x+V5V5r=-5p5r+55xν5V5x+1r55r rν5V5r-νVr2, 0<t<D,0<x<L,0<r<R;5T5t+U 5T5x+V5T5r=55xα5T5x+1r55r rα5T5r, 0<t<D,0<x<L,0<r<R; T(R+0)=T(R-0);C f 5T f5t=5T5xλf5T f5x+1r55r rλf5T f5r, 0<t<D,(x,r)∈S f(t);C u 5T u5t=5T5xλu5T u5x+1r55r rλu5T u5r, 0<t<D,(x,r)∈S u(t); T f(t,ξ(t))=T u(t,ξ(t))=T0, 0≤t≤D;λf 5T f5n-λu5T u5n X=ξ(t)=L hdξd t, 0≤t≤D.(1)其中t为时间,x为轴向坐标,r为径向坐标;U,V分别为轴向和径向速度,T为温度,p为有效压力(即空气压力与空气密度之比),ν为空气运动粘性系数,α为空气的导温系数,L为隧道长度,R为隧道的当量半径,D为时间长度;S f(t),S u(t)分别为围岩的冻、融区域.λf,λu 分别为冻、融状态下的热传导系数,C f,C u分别为冻、融状态下的体积热容量,X=(x,r),ξ(t)为冻、融相变界面,T为岩石冻结临界温度(这里具体计算时取T0=-0.1℃),L h为水的相变潜热.2 中 国 科 学 (D 辑)第29卷2 求解过程由方程(1)知,围岩的温度的高低不影响气体的流动速度,所以我们可先解出速度,再解温度.211 连续性方程和动量方程的求解由于方程(1)的前3个方程不是相互独立的,通过将动量方程分别对x 和r 求导,经整理化简,我们得到关于压力p 的如下椭圆型方程:52p 52x +1r 55r r 5p 5r =25U 5x 5V 5r -5U 5r 5V 5x -2V 2r2, 0<x <L ,0<r <R.(2) 于是,对方程(1)中的连续性方程和动量方程的求解,我们按如下步骤进行:(1)设定速度U 0,V 0;(2)将U 0,V 0代入方程并求解,得p 0;(3)联立方程(1)的第一个和第二个方程,解得一组解U 1,V 1;(4)联立方程(1)的第一个和第三个方程,解得一组解U 2,V 2;(5)对(3)、(4)得到的速度进行动量平均[4],得新的U 0,V 0,返回(2);(6)按上述方法进行迭代,直到前后两次的速度值之差足够小.以p 0,U 0,V 0作为本时段的解,下一时段求解时以此作为迭代初值.212 能量方程的整体解法如前所述,围岩与空气的温度场相互作用,壁面既是气体温度场的边界,又是固体温度场的边界,壁面的温度值难以确定,我们无法分别独立地求解隧道内的气体温度场和围岩温度场.为克服这一困难,我们利用在洞壁表面上,固体温度等于气体温度这一事实,把隧道内气体的温度和围岩内固体的温度放在一起求解,这样壁面温度将作为未知量被解出来.只是需要注意两点:解流体温度场时不考虑相变和解固体温度时没有对流项;在洞壁表面上方程系数的光滑化.另外,带相变的温度场的算法与文献[3]相同.213 热参数及初边值的确定热参数的确定方法:用p =1013.25-0.1088H 计算出海拔高度为H 的隧道现场的大气压强,再由ρ=p GT计算出现场空气密度ρ,其中T 为现场大气的年平均绝对温度,G 为空气的气体常数.记定压比热为C p ,导热系数为λ,空气的动力粘性系数为μ,按α=λC pρ和ν=μρ计算空气的导温系数和运动粘性系数.围岩的热物理参数则由现场采样测定.初边值的确定方法:洞口风速取为现场观测的各月平均风速.取主导风进口的相对有效气压为0,主导风出口的气压则取为[5]-(1+k L/d )×v 2/2,这里k 为隧道内的沿程阻力系数,L 为隧道长度,d 为隧道端面的当量直径,v 为进口端面轴向平均速度.进出口气温年变化规律由现场观测资料,用正弦曲线拟合,围岩内计算区域的边界按现场多年冻土下限和地热梯度确定出适当的温度值或温度梯度.3 计算实例按以上所述的模型及计算方法,我们对大兴安岭西罗奇2号隧道内气温随洞口外气温变增刊1何春雄等:严寒地区隧道围岩冻融状况分析的导热与对流换热模型3 化的规律进行了模拟计算验证,所得结果与实测值[6]相比较,基本规律一致.西罗奇2号隧道是位于东北嫩林线的一座非多年冻土单线铁路隧道,全长1160m ,隧道近西北—东南向,高洞口位于西北向,冬季隧道主导风向为西北风.洞口海拔高度约为700m ,月平均最高风速约为3m/s ,最低风速约为1.7m/s.根据现场观测资料,我们将进出口气温拟合为年平均分别为-5℃和-6.4℃,年变化振幅分别为18.9℃和17.6℃的正弦曲线.隧道的当量直径为5.8m ,沿程阻力系数取为0.025.由于围岩的热物理参数对计算洞内气温的影响远比洞口的风速、压力及气温的影响小得多,我们这里参考使用了大坂山隧道的资料.图1给出了洞口及洞内年平均气温的计算值与观测值比较的情况,从进口到出口,两值之差都小于0.2℃.图1 西罗奇2号隧道1979年实测年平均气温与计算值的比较1为计算值,2为观测值图2给出了洞内(距进出口100m 以上)月平均气温的计算值与观测值比较的情况,可以看出温度变化的基本规律完全一致,造成两值之差的主要原因是洞口气温年变化规律之正弦曲线的拟合误差,特别是1979年隧道现场月平均最高气温不是在7月份,而是在8月份.图2 西罗奇2号隧道1979年实测月平均气温与计算值的比较1为计算值,2为观测值4 对大坂山隧道洞内壁温及围岩冻结状况的分析预测411 热参数及初边值按大坂山隧道的高度值3800m 和年平均气温-3℃,我们算得空气密度ρ=0.774kg/m 3;由于大气中含有水汽,我们将空气的定压比热取为[7]C p =1.8744k J/kg ・℃,导热系数λ=2.0×10-2W/m ・℃,空气的动力粘性系数取为μ=9.218×10-6kg/m ・s ,经计算,得出空气的导温系数α=1.3788×10-5m 2/s 和运动粘性系数ν=1.19×10-5m 2/s.考虑到车体迎风面与隧道端面相比较小、车辆在隧道内行驶速度较慢等因素,我们这里忽4 中 国 科 学 (D 辑)第29卷略了车辆运行时所形成的活塞效应对气体扩散性能的影响.岩体的导热系数皆按完好致密岩石的情况处理,取岩石的干容重γd =2400kg/m 3,含水量和未冻水含量分别为W =3%和W u =1%,λu =1.9W/m ・℃,λf =2.0W/m ・℃;岩石的比热取为0.8k J/kg ・℃,C f =(0.8+4.128W u )1+W ×γd ,C u =(0.8+4.128W )1+W×γd .另外,据有关资料,大坂山地区月平均最大风速约为3.5m/s ,月平均最小大风速约为2.5m/s ;我们将洞口风速拟合为 V (t )=[0.028×(t -7)2+2.5](m/s ),这里t 为月份.洞内风速初值取为:U (0,x ,r )=U a 1-r R 2,V (0,x ,r )=0.这里取U a =3.0m/s.而将温度的初边值取为T (t ,0,r )=T (t ,L ,r )=A +B sin2π8760t -π2,T (0,x ,R 0)=(f (x )-R 0)×0.03;T (0,x ,r )=(f (x )-r )×0.03,R <r ≤R 0;A -B , r ≤R ,这里记f (x )为多年冻土下限到隧道拱顶的距离,R 0=25m 为求解区域的半径.地热梯度取为3%,洞外天然年平均气温A =-3℃,年气温变化振幅B =12℃.对于边界R =R 0,我们先按第一类边值(到多年冻土下限的距离乘以3%)计算,发现一年后,在半径为5m 到25m 范围内围岩的热流方向已经发生转向.考虑到此后围岩会继续冷却,但在边界R =R 0上又受地热梯度的作用,我们近似地将边界R =R 0作为第二类边界处理,即把由定边值计算一年后R =R 0上的温度梯度作为该边界上的梯度值.考虑到围岩在施工过程中已经预冷,我们这里从元月份算起,在同一边值下进行迭代,直到该边值下的温度场基本稳定后,再令边值依正弦规律变化,逐时段进行求解(可以证明,很多时段后的解,将不依赖于初值的选择).412 计算结果图3和图4给出了我们预测的隧道壁温随洞口气温变化的情况,图5和图6给出了我们预测的不同部位围岩开始形成多年冻土的起始年份和多年冻土形成后围岩的年最大融化深度.413 初步结论对于大坂山隧道,按如上选取的参数及初边值进行计算,我们得出如下初步结论:(1)洞内(距进出口100m 以上)年平均壁温与洞外年平均气温基本相同,但洞内寒季较暖、暖季较凉.从图1可以看出,洞内壁温与洞外气温相比较,1,2,12月份高约1.2℃,3,11月份高约1℃,4,5,9和10月份基本相同,6月份和8月份低约1.6℃,7月份低约2℃.(2)由于隧道内部(距进出口100m 以上,特别是靠中心地段)受地热作用较强,洞内平均壁温的年变化振幅降低.年平均壁面温度约为-3℃,振幅约为10.4℃.(3)就我们所考虑的完好致密岩石、没有大量地下水流动的情况,按现有设计铺设保温材料(PU 厚0.05m ,导热系数λ=0.0216W/m ・℃,F BT 厚0.085m ,导热系数λ=0.0517W/m ・℃)后,在距进出口200m 的范围内,开通运营后第3年就开始形成多年冻土,其中40m 以内和100m 以内在第一年和第二年就开始形成多年冻土;在距进出口200m 以上的中间段,增刊1何春雄等:严寒地区隧道围岩冻融状况分析的导热与对流换热模型5 图3 大板山隧道内月平均壁温预测分布曲线1,2,…,12为月份图4 大坂山隧道洞内预测月平均壁温与洞外月平均气温的比较曲线1为洞内(距洞口100m 以上)壁温,2为洞外气温图5 围岩内形成多年冻土的起始年份开通运营8年后开始形成多年冻土,其中在距洞中心200m 的范围内,14～15年后开始形成多年冻土.多年冻土形成后的一两年内,年最大融化深度较大(尤其是中间段),以后逐年减小,6 中 国 科 学 (D 辑)第29卷图6 多年冻土形成后围岩内最大融化深度曲线至19～20年后融化深度基本达到稳定,洞口段及中间段的融化深度都在2～3m 的范围内.(4)洞内若整体性形成多年冻土,这将成为一道隔水屏障,有利于车辆运行的安全,但在目前的施工中已发现有些部位有较丰富的地下水,因此很有可能在地下水溢出带中出现永久性融区,造成洞内渗水结冰病害,这个问题我们将在以后详细讨论.参 考 文 献1 Lunardini V J.Heat T rans fer with Freezing and Thawing.Amsterdam :E lsevier Sciences Publishers ,1991.75～862 Shamsundar N.F ormulae for freezing outside a circular tube with axial variation of coolant tem perature.Int J Heat M ass T rans fer ,1982,25(10):1614～16163 何春雄,吴紫汪.大坂山隧道围岩冻融状况变化趋势的初步分析预测.第五届全国冰川冻土学大会论文集(上).兰州:甘肃文化出版社,1996.419～4254 陈景仁.流体力学及传热学.北京:国防工业出版社,1984.245～3695 金学易,陈文英.隧道通风及隧道空气动力学.北京:中国铁道出版社,1983.1～496 乜凤鸣.寒冷地区隧道气温状态.冰川冻土,1988,10(4):450～4537 陈世训,陈创买.气象学.北京:中国农业出版社,1982.211～231增刊1何春雄等:严寒地区隧道围岩冻融状况分析的导热与对流换热模型7。
热传导的数学模型
热传导的数学模型热传导是热量在物质中由高温区域向低温区域传递的过程。
我们常常会涉及到热传导，无论是在日常生活中还是在科学研究中。
为了更好地理解和预测热传导的行为，科学家们提出了一系列数学模型来描述热传导的过程。
要理解热传导的数学模型，首先需要了解热传导的基本原理。
热传导的速率取决于物质的导热性质。
常用的热传导定律是傅里叶定律，即热流密度与温度梯度成正比。
数学上可以表示为：q = -k∇T其中，q是单位面积上的热流密度，k是物质的导热系数，∇T是温度场的梯度。
这个方程可以进一步推导得到热传导方程，也被称为热量守恒方程。
它描述了温度场随时间的变化规律，数学上可以表示为：∂T/∂t = α∇²T其中，∂T/∂t表示温度随时间的变化率，α是热扩散系数，∇²T是温度场的拉普拉斯算子。
热传导方程的解可以通过求解偏微分方程来得到。
通常情况下，我们将问题简化为一维或二维情况，然后应用适当的边界条件求解。
例如，一维热传导问题可以表示为：∂T/∂t = α∂²T/∂x²其中，x是空间坐标，t是时间坐标。
为了更深入地研究热传导问题，科学家们还引入了热传导模型中的其他因素。
例如，考虑材料的非线性导热特性、辐射热传导以及相变等。
这些复杂的因素可以通过引入更复杂的数学模型来描述。
在实际应用中，热传导的数学模型有着广泛的应用。
例如，在材料科学中，通过研究热传导的数学模型，可以预测材料的热稳定性和耐热性。
在工程领域，热传导的数学模型可以帮助设计更高效的热交换器和散热系统。
在建筑领域，热传导数学模型可以优化建筑材料的选择和设计，提高建筑的能源利用效率。
总结起来，热传导的数学模型是描述热传导过程的重要工具。
从傅里叶定律到热传导方程，再到考虑各种复杂因素的模型，它们都帮助我们更好地理解热传导行为，并为实际应用提供了理论基础。
通过深入研究热传导的数学模型，我们可以在材料科学、工程和建筑等领域中做出更准确的预测和优化设计，为人类的发展和生活带来更大的便利和效益。
建筑物热传导模型建立与求解
建筑物热传导模型建立与求解建筑物热传导模型建立与求解一、热传导模型的概念与意义热传导模型是指用数学方程描述物体内部温度分布及其变化规律的模型。
在建筑领域中，热传导模型的建立与求解是非常重要的，它可以用来预测建筑物内部温度分布及其变化规律，为建筑节能设计提供理论依据。
二、热传导方程的推导热传导方程描述了物体内部温度分布及其变化规律，它可以通过能量守恒原理推导得到。
设物体内部某一点的温度为T(x,y,z)，单位时间内该点吸收的热量为Q(x,y,z)，单位时间内该点向周围环境放出的热量为q(x,y,z)，则有：Q(x,y,z)-q(x,y,z)=ρcV∂T(x,y,z)/∂t其中，ρ为物体密度，c为比热容，V为体积。
根据傅里叶定律可得：q=-k∇T其中，k为物体的导热系数，∇T为温度梯度。
将上式代入前式可得：Q=k∇^2T+ρcV∂T/∂t这就是热传导方程。
三、建筑物热传导模型的建立在建筑领域中，建筑物内部温度分布及其变化规律可以用一维、二维或三维的热传导模型来描述。
一般情况下，建筑物内部的温度分布会受到外界环境温度、太阳辐射、人员活动等因素的影响，因此需要将这些因素考虑进去。
以二维热传导模型为例，假设建筑物内部温度分布与时间无关，则有：k(∂^2T/∂x^2+∂^2T/∂y^2)+q=0其中，q为单位面积内向周围环境放出的热量。
如果考虑外界环境温度、太阳辐射等因素，则可以将q表示为：q=h(T-T0)+αS其中，h为室内表面对流换热系数，T0为室外温度，α为太阳辐射吸收系数，S为单位面积内太阳辐射强度。
四、求解方法对于简单的一维或二维热传导模型，可以采用解析法求解。
对于复杂的三维热传导模型，则需要采用数值模拟方法求解。
常用的数值模拟方法包括有限元法、有限差分法等。
以有限元法为例，其求解步骤如下：1. 将建筑物划分为若干个小单元，每个小单元内部温度近似为常数。
2. 将每个小单元的热传导方程离散化，得到一个线性方程组。
热力学中的热传导和热辐射的数学模型
热力学中的热传导和热辐射的数学模型热力学是研究能量转化与传递的科学领域，其中热传导和热辐射作为热能传递的两个重要方式，在热力学中有着重要的地位。
为了准确描述和分析热传导和热辐射的过程，数学模型成为必不可少的工具。
本文将深入探讨热传导和热辐射的数学模型。
热传导（Thermal Conduction）是指热能通过物质内部由高温区向低温区的传递过程。
一维热传导问题可以通过热传导方程进行描述。
热传导方程的一般形式为：\[ \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial^2T}}{{\partial x^2}} \]其中，\( T \) 是温度场，\( t \) 是时间，\( x \) 是空间坐标，\( \alpha \) 是热扩散系数。
该方程说明了温度场随时间和空间的变化规律。
为了求解热传导方程，需要确定边界条件和初始条件。
常见的边界条件有第一类边界条件和第二类边界条件。
第一类边界条件是指在边界上给定温度值，例如：\[ T(0,t) = T_A, \quad T(L,t) = T_B \]其中，\( T(0,t) \) 和 \( T(L,t) \) 分别是左端和右端的温度，\( T_A \)和 \( T_B \) 是给定的温度值。
第二类边界条件是指在边界上给定热流密度，例如：\[ -k \frac{{\partial T}}{{\partial x}} (0,t) = q_0, \quad -k \frac{{\partial T}}{{\partial x}} (L,t) = q_L \]其中，\( k \) 是热导率，\( q_0 \) 和 \( q_L \) 是给定的热流密度值。
初始条件是指在初始时刻 \( t = 0 \) 时的温度分布，例如：\[ T(x,0) = f(x) \]其中，\( f(x) \) 是给定的初始温度分布函数。
对含有未冻水的多年冻土数值模拟
对活动层和含有未冻水的多年冻土层地表能量平衡和土壤热状况的数值模拟摘要：本文介绍了一种基于表面能平衡方法的一维热传导模型，用于估算地表能量平衡分量和土壤热状态。
使用表面能平衡方程来估计热传导计算的上限温度条件并计算表面热通量。
传热模型考虑了未冻水对土壤热物性的影响。
通过拓展热传导解决方案到雪层，计算地表热平衡成分和积雪表面温度，将雪的影响纳入模型中。
该模型是由在巴罗，AK收集的气象数据驱动的，并对观测到的地面温度进行了验证。
模拟结果与实测结果在0.01，0.29，0.50，1米深处的温度吻合较好。
积雪覆盖时，积雪表面温度比地面温度气温低，平均温度差分别为5.36和1.55。
模型可以用一个比较合理的精度计算表面能量平衡，计算土壤温度，并且研究季节性积雪对于活动层和含有未冻结水的多年冻土层的热体系的影响。
积雪密度决定了积雪的导热系数，体积热容和反照率对模型的性能有很大的影响。
1、介绍准确模拟活动层和永久冻土的热状态是预测全球变化的重要组成部分，也是寒冷地区工程设计和建设的先决条件。
这是因为几乎所有的物理，生物和化学过程都发生在活动层之上或之内，并且由于永久冻土温度的变化会影响永久冻土支撑荷载的能力，严重影响多年冻土地区建造的结构的性能。
要分析确定活动层和永久冻土对气候变化的热响应几乎是不可能的，因为由于边界条件的变化，地面对气候变化的热响应的速率和大小与时间和温度有关。
数值模拟一般被认为是精确模拟和预测活动层和永久冻土热状态的最佳方法。
寒冷地区的地表能量平衡是季节性积雪，植被，大气辐射，地表水分含量和大气温度的复杂函数。
因此，用于描述地表温度的准确方法应该使用基于物理的模型，该模型能够解释自然系统内冻土，雪和大气成分的边界内发生的相关过程。
表面能平衡方法是建立表面温度边界条件的合理方法，因为它倾向于保持表面温度和热通量之间的因果关系。
季节性积雪对冬季地面至空气的热损失提出了屏障，是地面热状态和活动层深度的主要因素。
冻土中的热传导
哈尔滨师范大学学年论文题目冻土中的热传导学生孟琳指导教师张宏伟副教授年级2008级专业应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2011年04月论文提要为了解决冻土中的热传导问题，我们设计的几种方案并且找到了切实的解决方案。
将此问题用数学建来解决，我们建立了一个建筑物下热流的完全三维模型，区别出三种不同的热传递模式（辐射、对流和传导）。
同时我们分别考虑了地下的不同层的不同情况。
主要用到物理热学中的热量的传导和数学中的外界值问题来使建筑物和道路下面的顶层永久冰冻。
我们可以讨论地下各层用什么样的材料才能保持永冻，所以我们逐层的研究它的热传导问题，确定出具体的温度及材料。
我们建立了模型讨论了层是均匀的和无水的；层是均匀的但含有呈现冰水混杂状态的水分。
最后为了达到我们心目中的结构由均匀的但不相同的若干层组成，我们将继续假定为理想的温度连接，以致在这里温度和热通量都是连续的。
有了这些建立的模型通过数学手段将其求解从而得到我们想要的结果进而解决了这个实际问题。
它的意义在于可以在这样一个冰冻的地方进行石油的开采。
冻土中的热传导孟琳摘要：为了解决冻土中的热传导问题，我们设计的几种方案并且找到了切实可行的解决方案。
将此问题用数学建来解决，我们建立了一个建筑物下热流的完全三维模型，区别出三种不同的热传递模式（辐射、对流和传导）。
同时我们分别考虑了地下的不同层的不同情况。
主要用到物理热学中的热量的传导和数学中的外界值问题来使建筑物和道路下面的顶层永久冰冻。
我们可以讨论地下各层用什么样的材料才能保持永冻，所以我们逐层的研究它的热传导问题，确定出具体的温度及材料。
我们建立了模型讨论了层是均匀的和无水的；层是均匀的但含有呈现冰水混杂状态的水分。
最后为了达到我们心目中的结构由均匀的但不相同的若干层组成，我们将继续假定为理想的温度连接，以致在这里温度和热通量都是连续的。
有了这些建立的模型通过数学手段将其求解从而得到我们想要的结果进而解决了这个实际问题。
永冻土层热传导问题数学建模
摘要本文针对永冻土层上关于路基热传导的问题，通过对不同材料层的密度、比热容、传热系数进行研究，建立微分方程模型，利用Matlab与Lingo软件进行求解。
问题一，考虑在分析各材料层进行后，给出空气温度传入路基规律，以及各材料层的温度分布。
同时，已知外界的温度是关于时间的函数，冻土层的温度是不变的零下温度。
首先，我们通过中国选矿技术网以及中国天气网分别获得各材料层的密度、比热容、传热系数等数据，和拉萨最近24小时的温度数据。
通过拟合得到温度与时间的关系函数，建立一维热传导方程的微分方程模型。
随后利用向前差分的方法求出方程的近似数值解，因为界面处的热传导率处于平衡，且温度相等，则可以一层一层向下计算得出各材料层的温度分布规律。
问题二，考虑在一些设备的支架不能固定在解冻土层上，必须固定在永冻土层中的情况下，地下土层的解冻位置，并给出解冻砂土与冻结砂土的分界线。
由L的值，在已知上界x值与下界的0C温度值后，同问问题一的求解可以计算出4题一的求解方法可以给出解冻砂土与冻结砂土的分界线。
问题三，考虑结合温度分布、成本及耐用性，给出各层材料的最佳厚度。
结合铁路建设施工保障，我们将耐用性作为出发点，分别从压强及压实度考虑耐用性的约束条件。
由于压实度与含水量存在联系，而含水量与温度存在关系，故建立起压实度与温度的相关关系。
将成本作为目标函数，压实度与压强的限制作为约束条件，建立线性规划模型，由此解出最少成本为46334.72元。
问题四，考虑在以上问题的基础上，结合我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真，并为施工单位提出合理建议。
因为本题的前三问即是在查阅青藏铁路路基修建相关数据的基础上进行的，故问题四的仿真即已经得到相应的解决。
通过对以上问题的求解进行合理性分析，即可对施工单位给出合理建议。
为了简化计算量，提高求解速度，本题中的微分方程模型使用向前差分的方法求出近似数值解，而且对模型的可行性及有效性进行了一定的分析，所得结果十分合理。
热传导的数学模型与实验验证
热传导的数学模型与实验验证在我们的日常生活中，热传导是一种广泛存在且具有重要影响的现象。
无论是煮饭、取暖还是电器工作，热传导都扮演着不可或缺的角色。
为了更好地理解和预测热传导的规律，科学家们开发了各种数学模型，并进行了一系列实验验证。
首先，我们来讨论热传导的基本原理。
热传导是指热量沿着温度梯度从高温区域流向低温区域的过程。
它在实际中遵循热量自然向稳定状态的趋势，即热量总是从高温物体流向低温物体，直到两者达到热平衡。
为了数学建模的目的，我们假设热量的传导速度与温度差成正比。
这个关系可以用Fourier定律来描述，即热流密度与温度梯度成正比。
根据Fourier定律，我们可以推导出热传导的数学模型。
首先，我们需要引入一个重要的物理量——热扩散系数，代表了物质对热传导的响应能力。
热传导的数学模型可以用偏微分方程来表示，其中的温度分布函数随着时间和空间的变化而改变。
对于一维情况，我们可以使用著名的一维热传导方程来描述：∂u/∂t = α∂²u/∂x²在上述方程中，u代表温度分布函数，t代表时间，x代表空间坐标，α代表热扩散系数。
这个方程描述了温度分布随时间变化的规律。
为了验证这个数学模型，科学家们进行了一系列实验。
例如，他们可以通过观察烧杯中的热水在不同时间下的温度分布来收集数据，并与数学模型中的解进行对比。
实验结果表明，数学模型可以较好地预测热传导的规律。
通过不断优化模型参数和改进实验设计，科学家们逐渐提高了对热传导行为的理解和预测能力。
除了一维热传导模型，我们还可以推广到更复杂的情况。
对于二维和三维热传导，我们可以将偏微分方程扩展为二维和三维形式，并使用适当的初始条件和边界条件。
这些扩展的模型可以更准确地描述现实世界中的热传导过程，比如在传热工程、材料科学等领域的应用。
此外，为了进一步提高对热传导的模拟和预测能力，科学家们也使用了其他数值方法，比如有限元法、有限差分法等。
这些方法通过将连续的偏微分方程离散化为差分方程，求解出更精确的近似解。
偏微分方程在热传导问题中的数学建模
偏微分方程在热传导问题中的数学建模热传导是物质内部热量的传递过程。
在许多实际问题中，我们需要对热传导进行建模和分析，以便更好地理解和解决相关的工程和科学问题。
而偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要工具，其中热传导问题常常用到的偏微分方程是热传导方程。
热传导方程是一个描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它的一般形式是：∂u/∂t = α∇²u其中u是温度场，t是时间，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。
我们可以通过对热传导方程的数学建模，来研究和解决与热传导相关的问题。
下面，我们将以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个长方形的金属棒，它的一端被加热源加热，另一端与环境接触。
我们想要研究金属棒内部的温度分布随时间的变化情况。
首先，我们需要确定金属棒的几何形状和初始条件。
假设金属棒的长度为L，宽度为W，高度为H。
我们可以将金属棒划分为若干个小的立方体单元，每个单元的边长为Δx，Δy，Δz。
这样，我们可以用一个三维网格来表示整个金属棒。
接下来，我们需要确定边界条件。
在这个例子中，我们假设金属棒的一端被加热源加热，另一端与环境接触。
因此，我们可以将加热源处的温度设为一个常数T1，而环境温度设为另一个常数T2。
这样，我们就确定了边界条件。
然后，我们可以利用有限差分法来离散化热传导方程。
我们可以用u(i,j,k)来表示网格点(i,j,k)处的温度。
根据有限差分法的思想，我们可以将热传导方程离散化为以下形式：u(i,j,k,t+Δt) = u(i,j,k,t) + αΔt((u(i+1,j,k,t)-2u(i,j,k,t)+u(i-1,j,k,t))/Δx² + (u(i,j+1,k,t)-2u(i,j,k,t)+u(i,j-1,k,t))/Δy² + (u(i,j,k+1,t)-2u(i,j,k,t)+u(i,j,k-1,t))/Δz²)其中Δt是时间步长。
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摘要本文针对永冻土层上关于路基热传导的问题，通过对不同材料层的密度、比热容、传热系数进行研究，建立微分方程模型，利用Matlab与Lingo软件进行求解。
问题一，考虑在分析各材料层进行后，给出空气温度传入路基规律，以及各材料层的温度分布。
同时，已知外界的温度是关于时间的函数，冻土层的温度是不变的零下温度。
首先，我们通过中国选矿技术网以及中国天气网分别获得各材料层的密度、比热容、传热系数等数据，和拉萨最近24小时的温度数据。
通过拟合得到温度与时间的关系函数，建立一维热传导方程的微分方程模型。
随后利用向前差分的方法求出方程的近似数值解，因为界面处的热传导率处于平衡，且温度相等，则可以一层一层向下计算得出各材料层的温度分布规律。
问题二，考虑在一些设备的支架不能固定在解冻土层上，必须固定在永冻土层中的情况下，地下土层的解冻位置，并给出解冻砂土与冻结砂土的分界线。
由L的值，在已知上界x值与下界的0C温度值后，同问问题一的求解可以计算出4题一的求解方法可以给出解冻砂土与冻结砂土的分界线。
问题三，考虑结合温度分布、成本及耐用性，给出各层材料的最佳厚度。
结合铁路建设施工保障，我们将耐用性作为出发点，分别从压强及压实度考虑耐用性的约束条件。
由于压实度与含水量存在联系，而含水量与温度存在关系，故建立起压实度与温度的相关关系。
将成本作为目标函数，压实度与压强的限制作为约束条件，建立线性规划模型，由此解出最少成本为46334.72元。
问题四，考虑在以上问题的基础上，结合我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真，并为施工单位提出合理建议。
因为本题的前三问即是在查阅青藏铁路路基修建相关数据的基础上进行的，故问题四的仿真即已经得到相应的解决。
通过对以上问题的求解进行合理性分析，即可对施工单位给出合理建议。
为了简化计算量，提高求解速度，本题中的微分方程模型使用向前差分的方法求出近似数值解，而且对模型的可行性及有效性进行了一定的分析，所得结果十分合理。
本文的优点在于利用差分方法求解一维热传导微分方程模型的近似数值解，使得材料内界面的条件处理得较为容易。
同时，在前三个问题的求解中，将问题背景设定在青藏铁路的修建中，在一定程度上对问题四的求解提供了较大的帮助。
关键词：热传导问题抛物型方程数值模拟1 问题重述在永冻土地上铺设道路、飞机跑道和某些结构的地基。
分析这类地基的结构，有沥青层、混凝土层、干砂层、石子层、绝缘材料层，再下面是湿的沙土层和冻土层（参见图1）。
已知，外界的温度是关于时间的函数，冻土层的温度是不变的零下温度。
请回答以下问题：外界温度α（t ） K1 K2 K3 K4 K5 永冻土层温度T 0图1：永冻土地地基结构图（1）分析空气温度传入路基规律，各材料层的温度分布；（2）由于一些设备的支架不能固定在解冻土层上，必须固定在永冻土层中，因此确定地下土层的解冻位置非常重要，请给出解冻砂土与冻结砂土的分界线；（3）请给出各层材料的最佳厚度（结合温度分布、成本和耐用性 ）；（4）请结合我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真，并给施工单位给出合理建议。
2 问题分析本问题要求建立模型和设计算法，在永冻土地上铺设道路、飞机跑道和某些结构的地基的问题背景中，结合温度分布、成本和耐用性，给出各层材料的最佳厚度，并对我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真。
由于问题的局限性，我们首先应该找到合理的数据来对相关背景进行一定的了解，定位模型的求解方法，循序渐进地对此问题进行合理的求解。
问题一中，要求在题中所给的情况下，分析空气温度传入路基规律，以及各材料层的温度分布。
经过分析，我们发现建立模型所需的数据不足，故应首先搜集题目中各材料热传导相关的密度、导热系数、比热容以及环境温度等数据。
问题二中，要求确定地下土层的解冻位置，给出解冻砂土与冻结砂土的分界线，以应对由于一些设备的支架不能固定在解冻土层上，必须固定在永冻土层中的情况。
由问题一建立的模型，本问题即是求出温度为0C 时所对应的距离。
问题三中，要求结合温度分布、成本和耐用性，给出各层材料的最佳厚度。
在分析问题一、二后，则是对各目标进行权重约束，以求得最佳的厚度。
问题四中，要求结合我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真，并给施工单位给出合理建议。
L0L1L2L3L4L5χ 沥青层 混凝土层 干砂石层 防水隔温层 半冻砂土层3 模型假设1、假设环境温度不会发生突变，没有极端天气出现；2、假设路基材料分布均匀；3、假设考虑压实度时，可以将半冻砂土层以上的四层材料合并为一层；4、假设对于各层只考虑重力所产生的压强。
4 符号说明 ,5) 每个材料层的热传导率每个材料层的比热每个材料层的密度要求解的第5 模型的建立与求解5.1模型一的建立与求解问题一中要求分析空气温度传入路基规律，以及各材料层的温度分布。
我们知道，一切稳定的数学物理问题都可以用椭圆型微分方程模型来描述，若在稳态之前有一个过程，则讨论这种渐进稳定的数学物理过程可以用抛物型为方程模型来描述[1]。
5.1.1模型一的建立分析题目可知，地基的结构有沥青层，混凝土层，干砂石层，防水隔温层，半冻砂土层，外界的温度是关于时间的函数a()t ，冻土层的温度是不变的零下温度0T ，每个材料层都有热传导率(1,2,,5)i k i =，问题一则要分析空气温度传入路基的规律，以及各材料层的温度分布[2]。
首先，由于路基各材料层是均匀的，所以要分析的热传导方程可归为一维的热传导方程研究。
路基各材料层则化为一维热传导方程为22i i i i i i u k u t c xρ∂∂=∂∂ （1） 其中，i u 是要求解的第i 个材料层的温度分布；i k ，i c ，i ρ为此材料层的传热系数，比热和密度，它们都是已知的常数，且0i i ik c ρ>。
由模型假设可知，层与层的界面处传导率处于平衡，且温度相等，即111,,,(1,2,3,4)i i i i i i i u u k k u u x L i x x+++∂∂====∂∂ （2） 基于以上分析，在半冻砂土层假设为湿砂层（5k 是其传热系数）的情况下，所建立的路基热传导微分方程模型为221110550),,,(1,2,3,4(0,)()(,)i i i i i i i i i i i i u k u t c x u u k k u u x L i xx u t a t u L t T ρ+++⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂====⎨∂∂⎪⎪=⎪=⎩ （3） 5.1.2模型一的求解由以上所建立的抛物型微分方程模型进行分析，对问题一的求解我们给出了如下的具体步骤：（1）依据题意，我们在中国选矿技术网中找到沥青层，混凝土层，干砂石层，防水隔温层和半冻砂土层的密度，比热容和热导系数等值，部分难以确定的材料选取了最接近的材料进行替代，所找到的数据材料如下表。
)k )()KJ K p (元1.6828000.92770.5需要考虑，故在这里一起给出）的数据。
此外，由于温度的传导涉及到冻土地带的环境温度，故我们结合青藏铁路的修建，选取拉萨最近24小时内的温度[3]。
考虑到中国天气网只可以给出最近24小时的较精确温度，故我们问题的季节背景选择在夏秋之交[4]。
（2）通过查阅铁路建设国家规范，我们将沥青层的厚度设定为4cm ，混凝土层设定为10cm ，干砂石层设定为7cm ，防水隔温层设定为10cm [5]。
（3）通过拟合数据得到外界温度关于时间的关系式，根据问题一中建立的第一种边界的一维抛物型方程，考虑到解析解不易求得，故在这里我们利用差分的方法求出其近似的数值解[6]。
差分求解抛物型偏微分方程的过程则是首先对xt 平面进行网格剖分，分别取h ，τ为x 方向和t 方向的步长，用两族平行直线(1,2,)k x x kh k ===±±，(0,1,2,)j t t j j τ===，将xt 平面剖分成矩形网格，节点为(,)k j x t ，为简单起见，记(,)(,)k j k j x t =，(,)(,)k j u k j u x t =，则在网格内点(,)k j 处，对u t∂∂采取向前差商公式，对22u x∂∂采用二阶中心差商公式，可得到一维热传导方程的差分近似： 2(,1)(,)(1)2()(1)0i i i k u k j u k j u k u k u k c h τρ+-+-+--= （4） （4）求出第一层底部的温度后，令k 1=，依据公式（2）即可求得下一层底部的温度，以下每一层材料温度的求解依次循环以上步骤。
5.1.3模型一的结果及分析针对5.1.2中的求解步骤，运用Matlab 编程求解。
针对附录一（1）中的程序文件，运行可得到如下结果。
外界环境温度随时间的变化函数为：a(t) = 15.11 + 2.216cos(1.757t) + 3.687sin(1.757t) -1.895cos(3.514t) + 1.728sin(3.514t)（5）外界温度随时间变化的函数如下图：图1 外界温度随时间变化的函数第一层求解所得的温度随距离或时间变化的图像分别为：图2 第一层温度随距离分布图图3 第一层温度随时间分布图其他层温度随时间，随距离的变化图像见附录一（2）。
由上可知，当固定另一因素时，温度随着与路基表面距离的增加越来越小，其随时间的变化则呈现先增加后减少的趋势。
5.2模型二的建立与求解根据题意，问题二中要求确定地下土层的解冻位置，给出解冻砂土与冻结砂土的分界线，以应对由于一些设备的支架不能固定在解冻土层上，必须固定在永︒时所对应的距离。
冻土层中的情况。
由问题一建立的模型，本问题即是求出0C5.2.1问题二模型的建立根据问题一中所建立的模型，即可得出第五层温度随着距离变化的图像关系。
︒时所对应的距离[7]。
由图分析，即可给出0C5.2.2问题二模型的求解问题二中建立的模型用来确定第五层的解冻位置，即在已知上界的x值与下︒界温度后，给出解冻砂土与冻结砂土的分界线。
由函数图象分析，即可给出0C时所对应的距离。
5.2.3问题二模型的结果分析针对5.2.2中的求解步骤，依据问题一中所得的第四层温度随距离的图像分析进行求解。
所得图像如下图：图4 第五层温度随距离变化图像解得解冻砂土与冻结砂土之间的分界线为路面下120cm-140cm。
结合国家公路施工技术规范，分析数据可知所得结果比较合理，故可作为问题而的求解答案。
5.2.4模型二的误差分析因为差分法是对数值解得近似，所以对最后结果的误差分析十分重要。
依据附录二中的程序文件，得出如下的误差分析图像：图5 数值解与精确解比较图像由上可知，数值解与精确解的最大相对误差非常小，为0.42877% ，且数值解的求解结果是稳定收敛的，故该结果可以作为本问题的求解。