高中数学人教版必修2 4.2.2圆与圆的位置关系教案(系列二)

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必修2 4.2.2 圆与圆的位置关系教学设计

第四章圆与方程4.2.2 圆与圆的位置关系高中数学必修2（人教A 版）第四章4.2.2圆与圆的位置关系一节，本节课是在前面已学习直线方程与圆的方程基础上，通过方程思想与几何法判定圆与圆的位置关系，培养学生方程思想和数形结合的思想方法。

重点：掌握用几何法和解析法判断圆与圆的位置关系。

难点：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题。

【问题导思】对于圆与圆的位置关系，是在将两圆放在同一平面内运动状态下，通过观察、分析、比较、判断得到平面上两圆位置关系有五种.1．如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？2．已知两圆的方程，能否用方程组的观点来判断两圆的位置关系？如何判断？【知识讲解】圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r 1、r 2的关系 d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 d ＝|r 1－r 2| d <|r 1－r 2|(2) ⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含【知识运用】▶例1已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋4y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －8y －8＝0，判断圆C 1与圆C 2的位置关系． ▶课堂练习两圆x 2＋y 2＝a 与x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，求a 的值．▶例2 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．▶课堂练习1. 两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线l ：x －y ＋c ＝0上，则m ＋c ＝________.2. 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)试用几何法证明两圆相交；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．▶例3已知P (－1,2)为圆x 2＋y 2＝8内一定点．(1)求过点P 且被圆所截得的弦最短的直线方程；(2)求过点P 且被圆所截得的弦最长的直线方程．▶课堂练习1. 求过直线2x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．2. 点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．【课堂小结】判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较为简便。

人教高一数学教学设计之《4.2.2圆与圆的位置关系》

人教高一数学教学设计之《4.2.2圆与圆的位置关系》一. 教材分析《4.2.2圆与圆的位置关系》这一节内容主要让学生了解和掌握圆与圆之间的位置关系，包括内含、内切、外切和外离。

教材通过具体的图形和实例，引导学生探究圆与圆之间的位置关系，并学会用数学符号表示。

这一节内容是学生在学习了圆的基本概念和性质之后，进一步深化对圆的理解和运用。

二. 学情分析高一的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的基本概念和性质有所了解。

但是，对于圆与圆之间的位置关系，他们可能还比较陌生，需要通过具体的图形和实例来进行理解和掌握。

同时，学生可能对于数学符号的运用还不够熟练，需要老师在课堂上进行引导和练习。

三. 教学目标1.让学生了解和掌握圆与圆之间的位置关系，包括内含、内切、外切和外离。

2.让学生能够用数学符号表示圆与圆之间的位置关系。

3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.圆与圆之间的位置关系的理解和掌握。

2.数学符号的运用和表示。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察和思考来发现和理解圆与圆之间的位置关系。

2.使用多媒体教学，通过动态的图形和实例来呈现圆与圆之间的位置关系，增强学生的直观感受。

3.采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中加深对圆与圆之间位置关系的理解。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.相关的教学PPT和教学素材。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考圆与圆之间的位置关系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）使用多媒体教学，呈现圆与圆之间的位置关系的图形和实例，让学生直观地感受和理解。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和思考，找出圆与圆之间的位置关系，并用数学符号表示出来。

4.巩固（5分钟）让学生进行小组讨论，分享各自找出的圆与圆之间的位置关系，加深对知识的理解和运用。

5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些与圆与圆之间位置关系相关的实际问题，提高学生的应用能力。

人教课标版高中数学必修二《圆与圆的位置关系》教案-新版

4.2.2 圆与圆的位置关系（一）核心素养通过学习圆与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――代数法、几何法. （二）学习目标1.明确两个圆之间的五种位置关系.2.能根据给定的两个圆的方程判断两个圆的位置关系.3.两圆相交时的公共弦方程及弦长计算.（三）学习重点圆与圆的位置关系及其判断方法.（四）学习难点1.用圆的方程解决问题.2.用几何法和代数法判断两圆之间的位置关系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材，明确：圆与圆的五种位置关系——外离、外切、相交、内切、内含的几何含义是：（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法方法一：几何方法设两圆的圆心距d ，半径12,r r ，则： ①当12d r r >+时，圆1C 与圆2C 相离； ②当12d r r =+时，圆1C 与圆2C 外切； ③当<-||21r r 12d r r <+时，圆1C 与圆2C 相交； ④当12||d r r =-时，圆1C 与圆2C 内切； ⑤当12||d r r <-时，圆1C 与圆2C 内含；步骤：①计算两圆半径12,r r ；②计算两圆圆心距d ；③根据d 与12,r r 的关系判断两圆的位置关系. 方法二：代数方法方程组22111222220x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 有两组不同实数解⇔相交；有两组相同实数解⇔相切（内切或外切）；无实数解⇔相离（外离或内含）. 2.预习自测（1）根据图片说出圆与圆之间的位置关系.【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果【思路点拨】看两圆交点个数【答案】（图一至图六依次为）外离、内含、内含、外切、内切、相交. （2）判断下列两圆的位置关系()()12222=-++y x 与()()165222=-+-y x .【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合 ()()221222255r r --+-==+，所以两圆外切.【思路点拨】看圆心距和半径间的关系【答案】外切. (二)课堂设计 1.知识回顾（1）直线与圆的位置关系：相离、相交、相切；（2）判断直线与圆的位置关系的方法：根据圆心到直线的距离；根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数；（3）与圆相切的直线方程的计算方法. 2.问题探究探究一圆与圆的位置关系★●活动① 明确概念我们知道根据圆心到直线距离的长度与圆半径长度的比较之后，明确了直线与圆有三种位置关系，分别是：相离、相切和相交. 那么圆与圆之间也同样有这样的关系，我们通过两个圆半径之间与两圆圆心之间距离的长度还有公共点的个数比较来判断两个圆的位置关系：当公共点个数为0时，若21r r d +>，则两圆外离，若21r r d -<，则两圆内含；当公共点个数为1时，若21r r d +=，则两圆外切，若21r r d -=，则两圆内切；当公共点个数为2时，2121r r d r r +<<-，则两圆相交. 【例题】【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系【答案】（图一至图五依次为）外离、外切、相交、内切、内含. 【设计意图】解决数学问题，体会概念与数形结合方法. ●活动② 给定方程，判断位置关系当我们给定两圆的方程，有几种判别两圆位置关系的方法呢？（抢答）首先是代数法：设两个圆的方程组成的方程组为22111222220,0,x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 如果方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交；有两组相同的实数解⇔两圆外切或内切；无实数解⇔ 两圆相离或内含. 其次是几何法：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2(r 1≠r 2)，则O 1O 2＞r 1＋r 2⇔相离；O 1O 2＝r 1＋r 2⇔外切；|r 1－r 2|＜O 1O 2＜r 1＋r 2⇔相交；O 1O 2＝|r 1－r 2|⇔内切；O 1O 2＜|r 1－r 2|⇔内含.看下面的例题判断两圆07622=-++x y x 与027622=-++y y x 的位置. 【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】第一个圆的方程07622=-++x y x 可以改写为()16322=++y x ，第二个圆的方程027622=-++y y x 可以改写为()36322=++y x ，两圆圆心的的距离为()()23030322=-+-半径和为1021=+r r ，半径差为122r r -=，故两圆相交.【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系【答案】相交.【设计意图】通过对概念理解和计算方法的运用，加深对圆与圆位置关系的理解. 探究二两圆相交时的公共弦方程及弦长计算 ●活动① 根据图像判断公切线的条数在直线与圆的位置关系一节中我们探究了在圆内、圆上、圆外一点做圆的切线的问题，发现在圆内没有切线、在圆上有一条切线、在圆外有两条切线. 同理我们可以探究两圆的位置关系，再以此判断两圆的公切线的条数. 那么大家可以总结出来吗？（抢答）总结公切线条数如下：若两圆外离，两圆有四条公切线；相交，两圆有两条公切线；若两圆外切，两圆有三条公切线；若两圆内切，两圆有一条公切线；若两圆内含，两圆没有公切线.●活动② 给定两圆的方程，判断公切线的条数我们想要判定公切线的条数首先需要我们判定两圆位置关系.【例题】判断两圆07622=-++x y x 与027622=-++y y x 的公切线条数. 【知识点】圆与圆位置关系、公切线【数学思想】数形结合【解题过程】2211(3)16,(3,0),4x y o r ++=-=，2221(3)36,(0,3),6x y o r ++=-=122121210o o r r r r =-=<<+=则，则两圆相交，所以有2条公切线【思路点拨】两圆的位置关系是相交【答案】2●活动③ 过两圆交点的圆系方程的应用当两圆相交时，两圆有两个交点，这两个交点所在直线就是一条公共弦，那么这条弦的方程该如何计算呢？（举手回答）法一：联立两圆方程求出两圆交点，并用两点式求出直线方程. 法二：两圆相交，则两圆相减的方程为公共弦方程.例1 圆224410x y x y ++--=与圆222130x y x ++-=相交于,P Q 两点，求直线PQ 的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题【数学思想】方程思想【解题过程】两圆的公共弦方程就是两式相减的直线方程，22(441)x y x y ++---22(213)0x y x ++-=可得260x y -+=【思路点拨】两圆方程相减得出一条直线【答案】260x y -+=；【同类训练】求以圆1C ：22122130x y x y +---=和圆2C ：221216250x y x y +++-=公共弦为直径的圆的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题【数学思想】方程思想【解题过程】解法一：22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+++-=⎪⎩相减得公共弦所在直线方程4320x y +-=，再由224320122130x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩联立得两交点坐标()1,2A -、()5,6B -.∵所求圆以AB 为直径，∴圆心是AB 的中心点()2,2M -，圆的半径为152r AB ==.于是圆的方程()()222225x y -++=. 解法二：（使用圆系方程求解：120o o λ+=）设所求圆2212x y x +--()222131216250y x y x y λ-++++-=()λ参数，得圆心()()1212162,2121λλλλ⎛⎫---- ⎪ ⎪++⎝⎭， ∵圆心在公共弦AB 所在直线上，∴()()121216243202121λλλλ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得12λ=. 故所求圆的方程2244170x y x y +-+-=即()()222225x y -++=. 【思路点拨】圆心在公共弦上【答案】2244170x y x y +-+-= 探究三两圆位置关系中的参数问题 ●活动① 已知两圆位置关系，求参数范围同直线与圆位置关系一样，我们在圆与圆位置关系的题目中同样涉及到参数的求解问题，接下来就根据这一道例题来掌握这一类问题中使用的代数思想. 例2 m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，求实数m 的范围. 【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】圆0118622=--++y x y x 改写为()()364322=-++y x ，则两圆圆心距离为5，使得两圆相交，则6562121+=+<<-=-m r r m r r ，最终解出.()121,1∈m【思路点拨】根据定义即可【答案】()121,1∈m 【同类训练】已知圆0542:2221=-++-+m y mx y x C ，圆03222222=-+-++m my x y x C ：，当m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切；(2)圆C 1与圆C 2内含？【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后()()92221=++-y m x C ：；()()41222=-++m y x C ：. (1)如果C 1与C 2外切，则有()()232122+=+++m m ,()()252122=+++m m ，01032=-+m m ，解得25=-=m m 或.(2)如果C 1与C 2内含，则有()()232122-<+++m m ，1)2()1(22<+++m m ，0232<++m m ，解得12-<<-m ，∴当25=-=m m 或时，圆C 1与圆C 2外切；当12-<<-m 时，圆C 1与圆C 2内含. 【思路点拨】根据定义建立不等式【答案】25=-=m m 或；12-<<-m 3.课堂总结知识梳理（1）两个圆的位置关系一共有五种：外离、外切、相交、内切、内含. （2）给定两圆方程来判断两个圆之间的位置关系可以使用代数方法和几何方法. （3）两圆相交时公共弦所在直线和弦长的计算以及该弦的圆系方程. 重难点归纳（1）圆与圆的位置关系及其判断方法. （2）圆系方程解决问题. （三）课后作业基础型自主突破1.两个大小不等的圆，其位置关系有几种？分别是什么？【知识点】考察几种圆与圆位置关系的定义【数学思想】归类总结【解题过程】直接根据定义回答【思路点拨】根据定义即可【答案】五种，内含、内切、相交、外切、外离2.圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为__________.【知识点】两圆方程判断两圆位置【数学思想】【解题过程】∵两圆的圆心距为17)01()22(22=-++，又∵231723+<<-，∴两圆相交【思路点拨】定义【答案】相交3.已知圆0882221=-+++y x y x C ：和圆0144:222=---+y x y x C ，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.【知识点】已知两圆方程判断两圆位置【数学思想】【解题过程】圆心距：5335-<<+ 【思路点拨】定义解题【答案】相交4.若圆222x y m +=与圆2268x y x y ++-110-=相交，求实数m 的取值范围. 【知识点】已知位置关系，求参数范围，不等式【数学思想】不等式方程思想【解题过程】1122(0,0),;(3,4),6O r m O r =-=，125,O O = 则因为两圆相交，所以656,m m -<<+解得m ∈(11,1)(1,11)--.【思路点拨】使用相交时圆心距离与两圆半径之间的关系来求解【答案】(11,1)(1,11)--.5.判断两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的位置关系，若相交，请求出其公共弦长 .【知识点】两圆位置关系，弦长【数学思想】方程思想【解题过程】把两圆改写成222212:(1)1;:(2)4;o x y o x y -+=+-=122112o o -<=<+ ,所以两圆相交，两圆相减可得直线方程为20x y -=，1o d l ===到直线的弦长【思路点拨】定义解题. 6.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于A ,B 两点，则直线AB 的方程是 .【知识点】两圆相交时求公共弦的方程【数学思想】方程思想【解题过程】()()0122442222=-++--++x y x y x y x 【思路点拨】两圆方程相减即可【答案】260x y --=. 能力型师生共研7.已知01r <<+，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是 .【知识点】圆与圆的位置关系判别【数学思想】数形结合【解题过程】两圆心距离为2，与两圆半径和与两圆半径差比较【思路点拨】定义解题【答案】相交8.已知圆()22422010x y ax ay a +-++-=与圆224x y +=相切，则a 的值为_________.【知识点】圆与圆的位置关系【数学思想】方程思想.、分类讨论【解题过程】圆()22422010x y ax ay a +-++-=改写成222(2)()5(2)x a y a a -+-=-，d =圆心距相切可得22+或者22-解得1a =±.【思路点拨】定义解题，得出方程【答案】1a =±探究型多维突破9.求过圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程. 【知识点】过两圆交点的圆系问题【数学思想】方程思想【解题过程】圆方程可设为222242(24)0x y x y x y y λ+-+++--=，求出圆心21(,)11λλλ-++，带入直线:2410l x y +-=可得13λ=，再代入所设方程可得圆的方程为22310x y x y +-+-=【思路点拨】圆系【答案】22310x y x y +-+-=10.已知圆2260x y x +-=与圆22244x y y m +-=-(0)m >，则m = 时，两圆相切.【知识点】两圆位置【数学思想】分类讨论思想【解题过程】两圆改成2211(3)9,(3,0),3x y o r -+==，22222(2),(0,2),x y m o r m +-==d =圆心距,若外切则3,3;3m m m =+=-=-，解得3m =+【思路点拨】两圆相切分为两种：内切和外切3±自助餐1.已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.【知识点】相交两圆的公共弦问题【数学思想】数形结合【解题过程】两圆相减【思路点拨】结论解题【答案】0643=+-y x ；245. 2.已知圆0342:22=+-++y x y x C .若圆Q 与圆C 关于直线03=--y x 对称，求圆Q 的方程；【知识点】圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合【解题过程】(1)将圆的方程化成标准式()()22122=-++y x ，圆心()21，-C ，半径2=r ，圆心()21，-C 关于直线03=--y x 的对称点()45-，Q ，圆Q 半径2=r ，∴圆Q 的方程为()()24522=++-y x . 【思路点拨】圆关于直线对称还是圆【答案】()()24522=++-y x ； 3.已知点(5,4)P ，圆C ：2268110x y x y +---=，过P 作圆D ，使C 与D 相切，并且使D 的圆心坐标是正整数，求圆D 的标准方程.【知识点】位置关系、圆的方程【数学思想】分类讨论思想【解题过程】点P 在圆C 内部，所以圆D 与圆C 内切，设圆D ()()222x a y b r -+-=，由点在圆上和两圆内切得到133a r =-，14r ≤≤，讨论r后只有2r =和4满足，圆D 方程为()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=.【思路点拨】在圆与圆的位置关系中有内切和外切两种【答案】()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=.4.圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且面积最小，求此圆的方程.【知识点】两圆位置关系、圆系方程【数学思想】数形结合【解题过程】抓住直线即为直径【思路点拨】通过圆系方程可知，该直径是公共弦【答案】221364()()555x y ++-= 5.已知圆1C ：222210x y kx k +-+-=和圆2C ：2222(1)20x y k y k k +-+++=，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何?【知识点】两圆位置关系、最值【数学思想】函数思想【解题过程】圆1C 的方程可以改写为()122=+-y k x ，圆2C 改写为()()1122=+-+k y x 两圆圆心距离最短时1222++k k ，21-=k ，此时22min =d 【思路点拨】两圆距离最短不仅大于0而且小于2.【答案】两圆的位置关系为相交.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆4)1()3(221=-++y x C ：和圆4)5()4(222=-+-y x C ：.(1)若直线l 过点)04(，A ，且被圆C 1截得的弦长为32，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.【知识点】直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】(1)由于直线4=x 与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在设直线l 的方程为)4(-=x k y ，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为32，所以1)3(222=-=d . 由点到直线的距离公式，得21)43(1k k d +---=，从而0)724(=+k k ，即0=k 或247-=k ，所以直线l 的方程为0=y 或028247=-+y x .(2)设点),(b a P 满足条件，不妨设直线l 1的方程为0),(≠-=-k a x k b y ，则直线l 2的方程为)(1a x kb y --=-. 因为圆C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即2211)4(151)3(1kb a k k b a k +--+=+----，整理得bk a k b ak k --+=-++4531，从而bk a k b ak k --+=-++4531或bk a k b ak k ++--=-++4531，即3)2(+-=-+a b k b a 或5)8(-+=+-b a k b a ，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎨⎧=+-=-+0302a b b a 或⎩⎨⎧=-+=+-0508b a b a ，解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或⎪⎩⎪⎨⎧=-=21323b a 这样点P 只可能是点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,251P 或点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,232P . 经检验点P 1和P 2满足题目条件【思路点拨】条件直译【答案】（1）0282470=-+=y x y 或；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,251P 或点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,232P .。

高中数学：4.2.2《圆与圆的位置关系》教案(新人教A必修2)

4..2.2圆与圆的位置关系教学目的：让学生掌握用解方程组法或求圆心之间距离与两圆半径之和、两圆半径之差之间的关系判断圆与圆的位置关系。

教学重点：圆与圆位置关系的判断。

教学难点：圆与圆位置关系的判断。

教学过程一、复习提问初中学过圆与圆有几种位置关系？怎样用数量关系表示圆与圆的位置关系？设两圆半径为r 1，r 2，圆心距为d ，关系如下表〔用数轴也可以表示〕。

外离外切相交内切内含d ＞r 1＋r 2 d ＞r 1＋r 2 r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2 d ＝r 1－r 2 d ＜r 1＋r 2二、新课例3、圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，试判断圆C 1与圆C 2的关系。

解法一：圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组：①－②，得：x ＋2y －1＝0，即y ＝21x 代入①，并整理，得： x 2－2x －3＝0此方程的判别式：△＝16＞0方程有两个不同的实数根，所以两圆有两个公共点，解上述方程，可求得两个交点坐标。

解法二：把圆C1化成标准方程：〔x＋1〕2＋〔y＋4〕2＝25，圆心为点〔－1，－4〕，半径为5圆C2化成标准方程：〔x－2〕2＋〔y－2〕2＝10，圆心为点〔2,2〕，半径为10两圆的连心线长〔圆心距〕为：22)2-+-＝35-(-41()2两圆半径之和：r1＋r2＝5＋10两圆半径之差：r1－r2＝5－10因为5－10＜35＜5＋10，即r1－r2＜35＜r1＋r2所以，两圆相交，有两个公共点解答此题之前，也可以根据圆心和半径画出两个圆的草图，看两圆有无交点，对解题有一定的帮助。

练习：P141作业：P1444、5、6、7。

2024年圆与圆的位置关系教案必修2

2024年圆与圆的位置关系教案必修2一、教学目标知识与技能目标学生能够掌握圆与圆之间的五种位置关系（相离、外切、相交、内切、内含）的定义和判定方法。

学生能够利用几何图形和代数方法分析圆与圆的位置关系。

过程与方法目标培养学生运用直观图形辅助理解和解决问题的能力。

提高学生的逻辑推理能力和空间想象能力。

情感态度与价值观目标激发学生学习几何的兴趣和热情。

培养学生积极探索、合作交流的学习习惯。

二、教学重点和难点教学重点圆与圆的位置关系的五种类型的理解。

应用几何和代数知识分析、判定圆与圆的位置关系。

教学难点圆与圆相交、内切时半径与圆心距关系的理解和运用。

综合运用代数和几何知识解决实际问题。

三、教学过程1. 导入新课回顾之前学习的圆的基本性质，如半径、直径、圆心等概念。

展示几个生活中的例子，如两个轮胎的摆放关系，引出圆与圆位置关系的主题。

2. 讲解新课（1）圆与圆的位置关系定义相离：两个圆没有公共点。

外切：两个圆有一个公共点，且两圆的半径之和等于圆心距。

相交：两个圆有两个公共点。

内切：两个圆有一个公共点，且一个圆的半径等于两圆心之间的距离减去另一个圆的半径。

内含：一个圆完全在另一个圆内部，没有公共点。

（2）判定方法代数法：通过比较两圆半径之和（差）与圆心距的大小关系来判定。

几何法：通过绘制图形，观察两圆是否有公共点以及公共点的个数来判定。

（3）例题解析选择几个典型例题，如给定两圆半径和圆心距，判断两圆的位置关系。

引导学生运用代数法和几何法共同解决问题。

3. 学生练习提供一些基础题目让学生自主练习，巩固新知。

鼓励学生在练习过程中相互交流，互相帮助。

4. 课堂互动开展小组讨论，让学生分享解题思路和方法。

教师巡视指导，及时解答学生的疑问。

5. 总结提升总结圆与圆位置关系的判定方法。

强调几何与代数结合的解题思路。

四、教学方法和手段采用启发式教学法，通过问题引导学生主动思考。

利用多媒体教学资源，如PPT、几何画板等，辅助学生理解。

高中数学 4.2.2 圆与圆的位置关系教案新人教A版必修2

河北武中·宏达教育集团教师课时教案备课人授课时间课题 4.2.2 圆与圆的位置关系课标要求利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；教学目标知识目标理解圆与圆的位置的种类技能目标利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；情感态度价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．重点用坐标法判断圆与圆的位置关系．难点用坐标法判断圆与圆的位置关系．教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法过程与方法：1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？教师：引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生：回顾知识点时，可互相交流．2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？教师：引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．学生：观察图形并思考，发表自己的解题方法．3．例3你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？教师：应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？1河北武中·宏达教育集团教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置．生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．6．如何判断两个圆的位置关系呢？师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法．7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题．师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题．8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法．生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？师：引导学生验证结论．生：互相讨论、交流，验证结论．河北武中·宏达教育集团教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动10.教师总结：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21rrl+>时，圆1C与圆2C相离；（2）当21rrl+=时，圆1C与圆2C外切；（3）当<-||21rr21rrl+<时，圆1C与圆2C相交；（4）当||21rrl-=时，圆1C与圆2C内切；（5）当||21rrl-<时，圆1C与圆2C内含；教学小结（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？课后反思4。

【高中教育】高中数学 4.2.2 圆与圆位置关系导学案新人教A版必修2.doc

4.2.2 圆与圆的位置关系【学习目标】（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．【学习重点】用坐标法判断圆与圆的位置关系．【知识链接】1．直线与圆的位置关系，， .2．直线50x y --=截圆06422=-++y y x 所得的弦长 .3.圆与圆的位置关系有哪几种？(作图说明)4. 设圆两圆的圆心距设为d.当d R r >+时，两圆当d R r =+时，两圆当||R r d R r -<<+ 时，两圆当||d R r =-时，两圆当||d R r <-时，两圆【基础知识】问题1：圆与圆的位置关系两个大小不等的圆，其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种，在平面几何中，这些位置关系是如何判定的？问题2:判断圆和圆的位置关系的方法(1)几何法(2)代数法【例题讲解】例1 已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆22:C x 24420y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？相交变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C 的方程是:22224x y mx y m +-++ 50-=，圆2C 的方程是:22222x y x my m ++-+30-=,m 为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.（1） m=-2或m=-1（2） m=-5或m=2（3） -5<m<-2或-1<m<-2（4） m>2或m<-5（5） -2<m<-1【达标检测】1、判断下列两圆的位置关系：(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16外切(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0相交2、x 2+y 2=m 与圆x 2+y 2+6x-8y-11=0相交，求实数m 的范围1<m<1213、已知以（-4,3）为圆心的圆与x 2+y 2=1 相切，求圆C 的方程..(x+4)2+(y-3)2=16或()()363422=-++y x4、求过点A(0,6)且与圆x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。

高中数学4.2.2圆与圆的位置关系学案设计新人教A版必修2

第四章圆与方程
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系
学习目标
1.理解并掌握圆与圆的位置关系及其判定方法.
2.通过用代数法和几何法分析圆与圆的位置关系,培养分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.
学习过程
一、设计问题,创设情境
在前面我们学习了点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系,
问题1:点与圆的位置关系有哪几种?如何判断?
问题2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判断?
问题3:初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种?我们怎样判断圆与圆的位置
关系呢?
二、学生探索,尝试解决
如何判断圆与圆的这五种位置关系?
1.从方程的角度来看:由两个圆组成的方程组的解的情况来看:方程组有两个解,则两圆;方程组有一个解,则两圆;方程组没有实数解,则两圆;
2.判断两圆位置关系的方法多采用几何方法:设两圆的圆心距d,半径r1,r2,通过两个圆的和之间的关系进行判断.
三、信息交流,揭示规律
3.几何法
(1)当时,圆C1与圆C2相离;
(2)当d=r1+r2时,圆C1与圆C2;
(3)当时,圆C1与圆C2相交;
(4)当d=|r1-r2|时,圆C1与圆C2;
(5)当时,圆C1与圆C2内含;
步骤:(1)计算两圆半径r1,r2;(2)计算两圆圆心距d;(3)根据d与r1,r2的关系判断两圆的位置关系.
4.代数方法:方程组
有两组不同实数解?;有两组相同实数解?相切();
无实数解?(外离或内含)
1。

新人教A版必修2高中数学学案教案： 4.2.2圆与圆的位置关系

数学 4.2.2圆与圆的位置关系教案新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能：（1）能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系；（2）掌握求圆的切线方程的方法。

2、过程与方法：探索圆与圆的位置关系的判断方法；会求圆的切线的方程。

3、情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。

二、教学重点、难点：重点：圆与圆的位置关系的判断，圆的切线方程的求法。

难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系，求圆的切线的方程。

三、教学过程（一）实例引入例1、已知圆C 1：088222=-+++y x y x ，圆C 2：024422=---+y x y x ，试判断圆C 1与圆C 2的关系。

思考：圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？（二）解决问题圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含。

判断方法：方法一：联立方程组，考察方程组有无实数解。

方法二：依据圆心距l = |C 1C 2|与两半径长的和21r r +或两半径的差的绝对值||21r r -的大小关系，判断两圆的位置关系：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含。

解法一：联立方程组，相减得：x + 2y – 1 = 0，代入圆的方程，并整理得： 0322=--x x ，因为△ > 0，所以两个圆有两个公共点。

解法二：因为10),2,2(;5),4,1(2211==--r C r C ，所以53||21=C C ，得10553105+<<-，所以<-||21r r 21r r l +<，两个圆相交。

高一数学：4.2.2 圆与圆的位置关系教案

教师课时教案备课人授课时间课题 4.2.2 圆与圆的位置关系课标要求利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；教学目标知识目标理解圆与圆的位置的种类技能目标利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心情感态度价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，重点用坐标法判断圆与圆的位置关系．难点用坐标法判断圆与圆的位置关系．教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法过程与方法：1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？教师：引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生：回顾知识点时，可互相交流． 2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？教师：引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解学生：观察图形并思考，发表自己的解题方法．3．例3你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的教师：应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动点评：由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．学过程及方法师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观6．如何判断两个圆的位置关系呢？师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题．师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题．8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法．生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个师：引导学生验证结论．生：互相讨论、交流，验证结论．教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动10.教师总结：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几（1）当21rrl+>时，圆1C与圆2C相离；（2）当21rrl+=时，圆1C与圆2C外切；（3）当<-||21rr21rrl+<时，圆1C与圆2C相交；（4）当||21rrl-=时，圆1C与圆2C内切；（5）当||21rrl-<时，圆1C与圆2C内含；教学小结（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？课后反思4。

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4.2.2 圆与圆的位置关系整体设计教学分析本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.重点难点教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距OO2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.1两圆的位置关系：在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.讨论结果：①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d＞R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；3°当|R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2相交；4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d＜|R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路1例1 已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.解:方法一:圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(.0244)1(,08822222y x y x y x y x①-②得x+2y-1=0, ③ 由③得y=21x +,把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0. ④ 方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C 1与圆C 2相交.方法二:把圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.圆C 1的圆心是点(-1,-4),半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点(2,2),半径长r 2=10.圆C 1与圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1与圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=5-10.而5-10＜35＜5+10,即r 1-r 2＜35＜r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交,它们有两个公共点A 、B.点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观. 变式训练判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()2(2[-+--=5.因为d=r 1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=23)03()30(22=-+-.因为|r 1-r 2|＜d ＜r 1+r 2,所以两圆相交.例2 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x 2项、y 2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C 1到直线的距离为d=22)4(3|63431|-++⨯-⨯-=59. 所以AB=2524)59(322222=-=-d r ,即两圆的公共弦长为524. 点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.图1活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.解:将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A(4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程. 活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2；当动圆P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|－2.综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.将此关系式坐标化,得 |2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x －2)2－32y =1. 解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系||OP|－|PA||=2,即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2,所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点,2为实轴长的双曲线,中心在OA 中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=322=-a c ,所以轨迹方程为(x －2)2－32y =1. 点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练课堂练习P练习题141课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法. 作业习题4.2 A组8、9、10、11.。