(完整版)高中数学平面向量知识点

高考圈-让高考没有难报的志愿

高中数学必修4之平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平仃

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：设uuu r ULUT r r uuu uuu uuu AB a,BC b，贝V a + b = AB BC = AC

(1) 0 a a0 a ；（2）向量加法满足交换律与结合律；

uuu uuu UULT AB BC CD

UUT UUU UUU

L PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”.

3、向量的减法：①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终

点的向量（a、b有共同起点）

4、实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：

（I）a a ；（n）当0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a 0，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b = a

6、平面向量的基本定理：如果e i,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1, 2使：a 1e1 2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

r 一、r r r 、r

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成a xi yj ,记作a=（x,y）。

2平面向量的坐标运算：

r

r r r

（1）若a X1,% ,b X2,y2，则a b 石x?,% y?

高耆圖

HU

(2)若 Ax i ,y i ,B X 2, y ，则 AB x ? %, y? %

r r r r

(3) a b =0不能得到a =o 或b =o 7两个向量的数量积的坐标运算：

r r

已知两个向量a （h, y i ）,b （屜以），则a b =X i X 2 yy

(3)若 a =(x,y),贝y

a =( X, r b

% X1> y2 X2, y) r r ,则 a//b

x 1y 2 x 2y 1 0 ra 若 5)

rb % X1, y2 y1 X2 X1 r b r a 贝 X2, 若 a b ，则 x i X 2 y i y 2 0 三. 平面向量的数量积 1两个向量的数量积： r r r 已知两个非零向量 a 与b ，它们的夹角为 ，则a b = | a 丨4 b I cos r r 叫做a 与b 的数量积（或内积）规定o a o 2向量的投影：| Hr € R,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 r r 3数量积的几何意义：a b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 r r r 2 , r 12 4向量的模与平方的关系： a a a | a | 5乘法公式成立： 2 r b 2 ra 2 r - 2 ra r b ra r b ra

2 r b r b r a 2 2 r a 2 r b 2 r b r b r a 2 2 6平面向量数量积的运算律：

r r

① 交换律成立：ab ba

②

对实数的结合律成立： a r

③ 分配律成立：a b c a

特别注意：（i ）结合律不成立：

r r r r r b a a b R r r r r r r

c b c c a b r r r r r r a b c a b c ； 不能得到b c

r r uur r uuu r 0 0 r r 8向量的夹已知两个非零向量 a 与b ，作OA =a , OB =b ,则/ AOB= ( 00 1800)叫做向量a 与b 的

r r r

当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，& =o o ，当且仅当a 与b 反方向时& =i8o o ，同时o 与其它任何非零向量 之间不谈

夹角这一问题

r r r

9垂直：如果a 与b 的夹角为90°则称a 与b 垂直，记作a 丄b

10两个非零向量垂直的充要条件：

a 丄

b a • b = O x 1x 2 y 1y 2 0 ■平面向量数量积的性质

夹角

r

cos =cos a,

r 1 a?b X 1X 2 y 』2