排队论与服务过程管理
排队论
11.排队论11.1基本概念排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。
顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。
服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。
服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。
11因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图1.所示:商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线社会服务法庭,医疗机构为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。
表2.11列举了一些排队系统的到达和服务过程。
表11.2: 排队系统举例)1(到达过程通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。
在许多实际(Poisson流,或指数分布。
顾客源可能是有限的,也可情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松)能是无限的。
顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。
比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。
一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。
以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。
但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。
第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。
另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。
排队论问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。
在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。
通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。
本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。
二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。
2. 掌握排队模型的建立方法。
3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。
4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。
5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。
三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。
该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。
2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。
假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。
3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。
4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。
四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。
2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。
3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。
（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。
（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。
4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。
5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。
五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。
2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。
3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。
4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。
（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。
（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。
排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
交通流理论—排队论
组成
排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到 达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
组成
排队系统的组成
(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： • 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 • 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，
离去 1
到达
离去 2
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
(组1)成单通道服务系统
到达
离去
服务台的排列方式1
服务台
单通道单服务台系统
(2)多通道服务系统
(2) 多通道服务系统
离去
1
到达
离去 2
3
离去
可通的多通道系统
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
2
到达
M/M/1系统及其应用
其他参数
平均非零排队长度：
qw
1
1
(qw q ) （辆）
即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度， 即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。
M/M/1系统及其应用
其他参数
系统中顾客数超过k的概率：
P(n k) 1 P(n k)
k
1- Pi 1 (1 (1 ) ... k (1 )) i 0
排队论及其运用于服务系统建模
排队论及其运用于服务系统建模引言：在现代社会中，服务系统扮演着越来越重要的角色。
从餐厅点餐到银行处理业务，服务系统的设计和运作对于提高效率和顾客满意度至关重要。
而排队论作为研究服务系统的一门数学理论，可以帮助我们理解和优化服务系统的运行。
本文将深入探讨排队论的概念和其在服务系统建模中的应用。
第一部分：排队论概述排队论是一门专注于研究顾客到达、排队和离开系统的数学理论。
它以概率论和统计学为基础，通过建立数学模型来描述和分析排队过程。
排队论的核心是研究以下几个重要指标：到达率、服务率、排队长度、平均等待时间以及系统利用率。
第二部分：排队模型为了对服务系统进行建模，排队论提供了几种常用的排队模型。
其中最常见的是M/M/1模型，指的是顾客到达过程和服务过程均服从指数分布，并且只有一个服务员的情况。
M/M/1模型可以通过排队模型的参数（到达率λ和服务率μ）来计算出系统稳态下的指标，如平均等待时间、顾客在系统中的平均逗留时间等。
除了M/M/1模型，还有其他排队模型，如M/M/c模型（指定有c个服务员）、M/M/∞模型（无限个服务员）等。
每个排队模型都可以根据实际情况进行调整和适用。
第三部分：优化服务系统排队论不仅仅是对服务系统进行建模，还可以为我们提供优化服务系统的方法和策略。
通过对排队模型的分析，我们可以确定合适的服务员数量、调整服务速度或者重新分配资源来提高服务系统的效率。
一种常用的优化方法是引入优先级调度。
通过设定不同类型顾客的优先级，可以确保特定顾客获得更快的服务，提高服务的公平性和满意度。
此外，排队论可以帮助我们评估和优化服务系统的容量。
通过模拟排队模型，可以预测系统的瓶颈和峰值时段，从而优化资源分配和服务安排。
第四部分：实际案例为了更好地理解排队论的应用，我们可以通过一个实际案例来说明。
假设一家特定规模的餐厅，我们需要优化其服务系统以提高顾客满意度和经营效益。
首先，通过调查和数据收集，我们可以确定顾客的平均到达率和服务的平均速度。
排队论在餐厅排队管理中的应用
排队论在餐厅排队管理中的应用餐厅作为人们日常生活中非常重要的一部分，其经营管理的效率和质量直接关系到顾客的用餐体验和餐厅的经济效益。
然而，由于顾客数量众多和服务过程中存在一定的不确定性，餐厅排队管理一直是一个具有挑战性的问题。
为了提高顾客满意度和经营效益，越来越多的餐厅开始应用排队论来优化其排队管理。
本文将探讨排队论在餐厅排队管理中的应用，并分析其对提高服务质量和经营效益所起到的作用。
首先，我们来了解一下什么是排队论。
排队论是运筹学中研究顾客到达过程、服务过程以及系统性能指标等问题所使用的数学工具。
它通过对系统各个要素进行建模，并运用概率统计方法进行分析，从而得出关于系统性能指标（如平均等待时间、平均逗留时间等）以及资源利用率、吞吐量等方面有关问题答案。
在餐厅中，顾客到达过程是指顾客从进入餐厅到排队的过程。
排队过程是指顾客在餐厅内等待的过程。
服务过程是指顾客点餐、制作、上菜等环节。
在这个过程中，排队论可以帮助餐厅管理者更好地理解和优化顾客到达和服务的规律，从而提高整个排队系统的效率。
首先，排队论可以帮助餐厅管理者预测和优化顾客到达过程。
通过对历史数据的分析和概率统计方法的运用，可以建立到达模型，预测不同时间段内顾客到达的数量和间隔时间。
这对于餐厅来说非常重要，因为它可以帮助餐厅管理者合理安排人员和资源，并提前做好准备工作，以应对高峰期的突发情况。
其次，排队论可以帮助餐厅管理者优化服务过程。
通过对服务环节进行建模，并运用概率统计方法进行分析，可以得出不同服务环节所需时间以及不同菜品制作所需时间等数据。
这些数据对于合理安排人员、提高工作效率非常重要。
例如，在高峰期增加点单窗口或者增加制作人员数量等措施都是根据排队论的分析结果进行的决策。
最后，排队论可以帮助餐厅管理者优化排队策略。
通过对排队模型进行建模，并运用概率统计方法进行分析，可以得出最优的排队策略。
例如，可以根据顾客到达的规律和服务环节所需时间等因素，确定最佳的服务窗口数量和顾客受理规则等。
排队论方法讲解
M－负指数分布 D－确定型分布 Ek k阶爱尔朗分布 － 阶爱尔朗分布
GI －一般相互独立的时间间隔分布 G －一般服务时间的分布
如 D/M/10/1000/∞ / F
排 队 论 方 法 讲 解
1.3 排队系统的运行指标
⑴ Ls： 队长 －系统中顾客数的期望 ： ⑵ Lq： ： 排队长 －系统中等待服务的顾客数 Ln： ：正在接受服务的顾客数 Ls=Lq+Ln ⑶ Ws：逗留时间 ：
排 队 论 方 法 讲 解
(3)普通性： 普通性： 普通性
内有2个或 对于充分小的△t，在[t,t+△t]内有 个或 ， 内有 多个顾客到达的概率极小,可以忽略不 多个顾客到达的概率极小 可以忽略不 计,即 ∞ 即
∑ P (t , t + ∆t ) = o(∆t )
n=2 n
下面研究系统状态为n的概率分布：
= 1 − λ∆t − o(∆t )
P0 ( t , t + ∆ t ) = 1 − P1 ( t , t + ∆ t ) − ∑ Pn ( t , t + ∆ t )
n=2
∞
分为[0,t)和[t,t+△t), 将[0,t+△t)分为 分为 和 则在时间段[0,t+△t)内到达 个顾客的 内到达n个顾客的 则在时间段 内到达 概率为
n
由上结果可知,在长度为 的时间段内到达 由上结果可知 在长度为t的时间段内到达 在长度为 n个顾客的概率 服从泊松分布 个顾客的概率,服从泊松分布 个顾客的概率 服从泊松分布. 其中期望、 其中期望、方差为 E[ N (t )] = D[ N (t )] = λt
排 队 论 方 法 讲 解
1.5.2 负指数分布
第一讲 排队论
此外还有：
L
nP
n 0
n
Lq
(n s) P
ns
n
nP
n 0
sm
只要知道Pn(n=0,1,2…)，则L或Lq就可由上式求得，从 而再由Little公式就能求得四项主要工作指标。
常见的服务排队模型
输入过程
定长输入：这是指顾客有规则地等距到达，每隔时 间到达一个顾客。此时相继顾客到达间隔的分布 函数F(t)为
基本概念与基本理论
基本概念与理论
排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”, 而把提供服务的人或机构称为“服务台”或 “服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各 样的服务系统。 顾客为了得到某种服务而到达系统、若不 能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等 待队伍，待获得服务后离开系统。
例如
到达的顾客
服务机构
工作强度
用于服务顾客的时间
服务设施总的服务时间
1
用于服务顾客的时间
服务设施总的服务时间
与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲 的时间长度.
常用记号
N(t)：时刻t系统中的顾客数(又称为系统的状 态)，即队长； N q(t)：时刻t系统中排队的顾客数，即排队 长； w(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留 时间； w q(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的等 待时间。
排队论
闵超
内容概要
背景 基本概念与理论 常见的服务排队模型（如M/M/1系统） 排队系统的最优化模型
背景
背景
排队论起源于 1909 年丹麦电话工程师 A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问 题进行了研究。 1917年，爱尔朗发表了他的著名的文章—―自 动电话交换中的概率理论的几个问题的解 决” 。 已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、 服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类 的排队系统的问题。
运筹学排队论
降低平均服务时间
降低服务时间旳可变性
增长服务人员
降低平均到达人数
经过顾客预约等方法来降低到达旳可变性
集中使用服务资源
更加好地计划和调度
23
处理排队问题旳措施
2.其他措施
服务场合提供娱乐设施
医生等待室放报纸杂志
自动维修间用收音机或电视
航空企业提供空中电影
等待电梯处放镜子
超级市场把冲动性商品摆放在收款台附
排队论
1
2
•
排队论，又称随机服务系统理论(,是一
门研究拥挤现象(排队、等待)旳科学。详细
地说，它是在研究多种排队系统概率规律性
旳基础上，处理相应排队系统旳最优设计和
最优控制问题。
•排队论是1923年由丹麦工程师爱尔朗
(A.K．Erlang)在研究电活系统时创建旳.
3
案例-1 银行排队系统
4
案例-2 医院排队系统
用更快旳服务人员、机器或采用不同旳设施布局和政
策来影响顾客旳到达时间和服务时间。
9
1 排队论旳基本问题
1.1 排队论旳主要研究内容
• 数量指标
– 研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下旳
概率分布及其数字特征，了解系统旳基本
运营特征。
• 统计推断
– 检验系统是否到达平稳状态；检验顾客到
达间隔旳独立性；拟定服务时间分布及参
数。
• 系统优化
– 系统旳最优设计和最优运营问题。
10
1.2排队论旳经济含义
• 排队问题旳关键问题实际上就是对不同
原因做权衡决策。管理者必须衡量为提
供更快捷旳服务（如更多旳车道、额外
旳降落跑道、更多旳收银台）而增长旳
排队论与服务过程管理
Waiting Line Management
21
电话(服务)中心
Waiting Line Management
22
电话中心
美国共有35万多个电话中心。 对电话中心的投资已达到250亿美元，年增长
率为20%。 在美国所有的客户与企业相互交往中，有70%
发生在电话中心。 电话中心雇佣了超过3%的美国劳动力（150万
Ò» ¸ö ¼ò µ¥ µÄ µÈ ºò ¶Ó Îé
0.2
0.4
0.6
0.8
ʹ Óà ÂÊ
Waiting Line Management
1 19
实例：M/M/1 模型
随着使用率接近100%，系统内的平均人数趋于无 限多。
平均等候时间也是如此。 出现这种现象的原因是由于用户到达时间和服务
– 20:80 规则意味着: N*＝411。
Waiting Line Management
31
电话中心的其它问题
运作模型：
– 优先服务 – 放弃 – 再试
管理问题：
– 不是接电话，是联系。 – 将电话中心迁到总部。 – 使看门人变成找点子的人。 – 保持通话
Waiting Line Management
– 90% 的利用率意味着 N*＝133；这样。 – 这样, 顾客每等一小时的价值，就相当于每名雇员1
小时收入的3倍。 – 有15%的顾客需等待。 – 只有5%的顾客等待时间超过20秒。 – “平均应答速度”: ASA＝2.7秒。
Waiting Line Management
29
服务质量（续）
假设一个电话中心想达到这样一个目标：需等 待的顾客不超过1%。
随机服务系统排队论模型
随机服务系统排队论模型随机服务系统排队论模型随机服务系统排队论模型是一种用于研究排队现象的数学模型。
排队现象无处不在，无论是在日常生活中的超市、银行，还是在工业生产中的生产线，都存在着等待服务的过程。
排队论通过建立数学模型，可以对排队系统中的各种指标进行预测和优化，以提高服务效率和顾客满意度。
在随机服务系统排队论模型中，通常包括以下几个要素：顾客到达过程、服务过程、服务台数量和服务策略。
顾客到达过程是指顾客到达系统的时间间隔，可以是按照某种概率分布进行模拟；服务过程是指服务台为顾客提供服务的时间，也可以按照概率分布进行模拟；服务台数量是指系统中可同时提供服务的服务台数量，可以是一个或多个；服务策略是指服务台的调度规则，如先来先服务、最短任务优先等。
----宋停云与您分享----通过建立数学模型，可以计算出排队系统的一些重要指标，如平均等待时间、顾客平均逗留时间、服务台利用率等。
这些指标可以帮助管理者评估当前系统的性能，并提出改进措施。
例如，如果发现系统的平均等待时间过长，可以考虑增加服务台数量或改变服务策略，以提高服务效率。
随机服务系统排队论模型在实际应用中具有广泛的价值。
在超市或银行等零售行业，可以通过对顾客到达过程进行建模，预测顾客的到达情况，从而合理安排服务台的工作人员；在工业生产中，可以通过对生产线的排队进行建模，优化生产过程，降低生产成本。
除了传统的排队论模型，近年来还出现了基于仿真的排队论模型。
基于仿真的排队论模型利用计算机技术，通过模拟大量的顾客到达和服务过程，可以更加真实地模拟排队系统的运行情况。
这种模型可以帮助管理者直观地了解系统的运行状况，以及不同决策对系统性能的影响。
----宋停云与您分享----总之，随机服务系统排队论模型是一种重要的数学工具，可以帮助我们理解和优化排队系统的运行。
通过合理应用排队论模型，可以提高系统的效率和顾客的满意度，为各行各业的管理者提供有力的决策支持。
管理运筹学讲义 第12 章 排队理论
10
OR:SM
第三节 标准M/M/1模型
一、模型特征
输入过程
顾客源无限； 顾客到达方式是单个到达，且相互独立； 输入过程服从参数为 的泊松分布，到达过程平稳。 队列为单队； 队长无限，即系统容量无限； 系统按先到先服务的等待制规则进行服务 只有一个服务台； 服务方式为单个服务，服务时间相互独立； 服务时间服从相同参数 的负指数分布。
第12 章 排队理论
学习要点 Sub title
正确理解排队系统中排队规则和服务规则 顾客输入过程和服务过程的时间分布函数 排队问题的求解步骤及运行指标间的关系 标准M/M/1模型的状态方程及其运行指标 标准M/M/c模型与c个M/M/1模型的差别 典型排队系统的结构优化和运行优化问题
求运行指标:
• 顾客数 • 排队时间 • 忙期
8 OR:SM
第二节 排队问题求解
二、分布函数
• 泊松分布
条件：
输入流的平稳性 输入流无后效性 输入流的普通性 输入流的有限性
n! 期望E (t ) t 方差 2 t
v0 v0
Pn (t )
性质： ( t ) n
平均等待时间 Wq Ws [服务时间]
忙期概率
P 0 忙 1 P
Ws Wq 1
Ws
1
Ws
Ls Ws
Lq Wq
16
Ls Lq Lq
OR:SM
第三节 标准M/M/1模型
例题
为了评价某单人理发馆随机服务系统，记录了100个工作小时， 每小时来理发的顾客数的统计情况。又记录了100次理发所用的时 间，如表所示。
随机服务系统理论排队论
随机服务系统理论排队论
第三，排队系统是由顾客到达过程、服务过程和排队结构组成的。
排
队结构主要包括单通道排队系统、多通道排队系统和并行排队系统等。
单
通道排队系统是指只有一个服务设施，顾客依次等待服务；多通道排队系
统是指有多个并行的服务设施，顾客可以选择一个通道等待服务；而并行
排队系统是指有多个并行的服务设施，顾客可以同时接受多个设施的服务。
通过对排队系统的研究，可以分析系统的繁忙程度、排队长度和等待时间
等指标，为系统的设计和管理提供依据。
最后，排队系统的性能评估和优化是排队论研究的核心任务。
性能评
估主要包括系统的平均等待时间、平均服务时间、系统繁忙度等指标；而
优化问题主要包括如何设计系统的排队结构、如何分配资源和如何调整服
务策略等。
通过对性能评估和优化的研究，可以提高系统的服务能力和服
务质量，提高顾客满意度和系统的效益。
排队论模型
排队论模型1. 引言排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中顾客的到达、等待和服务过程。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的场景，如银行、超市、医院等。
通过排队论模型的分析，可以帮助我们优化服务过程，提高效率和顾客满意度。
本文将介绍排队论模型的基本概念和常用模型。
2. 基本概念2.1 排队系统排队系统是指顾客到达一个系统，并等待被服务的过程。
一个排队系统通常包含以下几个要素：•到达过程：顾客到达系统的时间间隔可以是随机的，也可以是确定的。
•排队规则：系统中的顾客通常按照先来先服务原则排队。
•服务过程：系统中的服务员或服务设备为顾客提供服务，服务时间也可以是随机的或确定的。
•系统容量：排队系统中通常有一定的容量限制，即同时能够容纳的顾客数量。
2.2 基本符号在排队论中，通常使用以下符号来表示不同的概念：•λ：到达率，表示单位时间内系统的平均到达顾客数量。
•μ：服务率，表示单位时间内系统的平均服务顾客数量。
•ρ：系统利用率，表示系统的繁忙程度，计算公式为ρ = λ / μ。
•L：系统中平均顾客数，包括正在排队等待服务的顾客和正在接受服务的顾客。
•Lq：系统中平均等待队列长度，即正在排队等待服务的顾客数。
•W：系统中平均顾客逗留时间，包括等待时间和服务时间。
•Wq：系统中平均顾客等待时间，即顾客在排队等待服务的平均时间。
3. 常用模型3.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，其中M表示指数分布。
M/M/1模型满足以下几个假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
•服务率μ满足均值为μ的指数分布。
M/M/1模型的特点是顾客到达率和服务率是独立的，且符合指数分布。
根据排队论的理论分析，可以计算出系统的性能指标，如系统利用率、平均顾客数、平均等待队列长度等。
3.2 M/M/c模型M/M/c模型是M/M/1模型的扩展，其中c表示服务员的数量。
M/M/c模型满足以下假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
排队论在服务系统优化中的运筹学方法研究
排队论在服务系统优化中的运筹学方法研究服务系统是现代社会中不可或缺的组成部分，如银行、医院、机场等各类场所的服务流程都需要进行优化，以提高效率和用户体验。
排队论作为运筹学的一个重要分支，研究如何合理组织和管理服务系统中的排队现象，对于服务系统优化具有重要意义。
本文将探讨排队论在服务系统优化中的运筹学方法。
一、排队论基本模型排队论是研究排队现象的一门学科，其基本模型由顾客到达过程、顾客排队等待过程和顾客接受服务过程组成。
下面我们将介绍三个基本模型。
1. M/M/1模型M/M/1模型是最简单的排队论模型，代表顾客到达过程和服务过程都符合随机过程。
其中的M表示到达过程和服务过程都满足泊松过程，/表示到达过程和服务过程是独立的，1表示只有一个服务台。
该模型可以通过计算平均等待时间、平均队长等指标，来评估系统的运行效果。
2. M/M/c模型M/M/c模型是多通道排队系统的模型，代表顾客到达过程和服务过程都符合随机过程，但服务台的数量有多个。
该模型可以用于评估多个服务台的效率分配问题，提高服务系统的整体服务水平。
3. M/G/1模型M/G/1模型是顾客到达过程满足泊松分布，而服务过程满足一般分布的排队系统模型。
该模型相比于前两个模型更加复杂，但也更加接近现实服务系统的情况。
通过研究和优化M/G/1模型，可以为实际服务系统提供更准确的优化方案。
二、排队论方法在服务系统中的应用排队论方法在服务系统中的应用十分广泛，涉及到客户流量预测、服务水平评估、服务台数量决策等多个方面。
1. 客户流量预测客户流量预测是排队论方法在服务系统优化中的重要应用之一。
通过对历史数据的分析和建模，可以预测未来客户到达的概率分布，进而确定合理的服务台数量和服务水平指标。
例如，某银行可以通过排队论方法预测未来客户到达和离开的概率，从而优化柜员人数和窗口开放时间，提高客户满意度。
2. 服务水平评估排队论方法可以用于评估服务系统的服务水平，比如平均等待时间、平均队长等指标。
排队论 (2)
排队论概述排队论是研究排队系统的数学理论，排队系统是指在一定的输入流程下，有限数量的客户通过服务设备排队等待服务的过程。
排队论可以用来分析和优化各种服务系统，如银行、医院、机场等等。
在实际生活中，我们常常会遇到排队等待的情况，如购物时的排队结账、乘坐公交车时的候车等。
排队论可以帮助我们理解和预测这些排队系统的性能，从而提供改进和优化的方案。
重要概念排队系统的元素排队系统由以下几个重要元素组成：1.顾客/客户: 排队系统中需要接受服务的个体，如顾客、乘客等。
2.独立到达过程: 顾客到达的时间间隔服从某种概率分布。
3.队列: 用来存放等待服务的顾客的序列。
4.服务设备: 用来提供服务的设备或人员，如收银员、服务员等。
5.服务过程: 顾客从进入服务设备开始到完成服务的整个过程，包括服务时间、等待时间等。
常用性能度量排队系统的性能可以通过以下度量指标进行评估：1.排队长度: 队列中等待服务的顾客数量。
2.平均等待时间: 顾客在队列中等待服务的平均时间。
3.平均逗留时间: 顾客在系统中的平均逗留时间，包括等待和服务的时间。
4.系统利用率: 服务设备的利用率，即服务设备的工作时间占总时间的比例。
常见排队模型排队系统可以根据不同的特征进行不同的建模，常见的排队模型包括以下几种：1.M/M/1模型: 单个服务设备的排队系统，服务时间和顾客到达时间都符合指数分布。
2.M/M/c模型: 多个并行服务设备的排队系统，服务时间和顾客到达时间都符合指数分布。
3.M/G/1模型: 单个服务设备的排队系统，服务时间符合一般分布，顾客到达时间符合指数分布。
4.M/D/1模型: 单个服务设备的排队系统，服务时间符合确定分布，顾客到达时间符合指数分布。
排队论的应用排队论可以应用于各种排队系统的优化和改进，以下是一些常见的应用场景：银行排队系统优化银行是我们常见的排队系统之一，银行的服务质量和效率直接关系到客户的满意度。
排队论可以帮助银行分析和优化服务系统，提高服务效率和客户满意度。
排队论在公共服务领域中的应用研究
排队论在公共服务领域中的应用研究1. 引言公共服务是现代社会不可或缺的一项基本功能。
但是，由于资源有限和需求多样化的原因，公共服务的提供往往面临一定的挑战。
为了提高效率和满足公众需求，排队论的应用在公共服务领域日益受到重视。
本文将探讨排队论在公共服务中的应用，旨在提供理论支持和实践指导。
2. 排队论概述排队论是一门研究队列理论和应用的学科。
它主要研究排队系统中顾客到达、服务和离开的随机过程。
排队论通过建模和分析，可以帮助我们了解和优化排队系统的各个方面，如等待时间、服务能力和资源利用率等。
在公共服务领域，排队论被广泛应用于交通管理、医疗服务、公共事务办理等方面。
3. 排队论在交通管理中的应用交通拥堵是城市面临的一大难题。
排队论可以用于交通流量的预测和路口的信号控制。
通过对车辆到达和通过路口的随机过程建模，可以优化信号灯的配时方案，减少交通拥堵，提高路口的通行能力。
4. 排队论在医疗服务中的应用医疗资源有限，患者需求多样化。
排队论可以帮助医院管理者合理分配医疗资源，提高服务效率。
通过建立患者到达和就诊的随机过程模型，可以预测等待时间和医疗资源的利用率，并进行资源调配。
此外，排队论还可以优化手术室的调度和急诊科的资源配置，提高抢救成功率和患者满意度。
5. 排队论在公共事务办理中的应用公共事务办理是公民权益保障的重要方面。
排队论可以用于优化窗口的开设和人员的调配，提高公共事务的办理效率。
通过建立办事人员和办事人到达和处理的随机过程模型，可以评估等待时间和窗口利用率，并优化窗口的布置和人员的分配。
6. 排队论在其他公共服务领域的应用排队论还可以在其他公共服务领域发挥作用，如银行业、餐饮服务、电力供应等。
通过建模和分析排队系统，可以优化服务流程和资源利用，提高用户体验和服务效率。
7. 挑战与展望尽管排队论在公共服务领域的应用取得了一些成就，但仍然面临一些挑战。
首先，排队论的建模和分析需要大量的数据支撑，而公共服务领域的数据往往难以获取。
排队论在学校食堂窗口服务中的应用
排队论在学校食堂窗口服务中的应用当我们谈论排队论时，我们通常是在讨论一种数学理论和方法，用于研究等待队伍的形成和流动。
这种理论在许多领域都有广泛的应用，包括通信网络、生产过程和交通管理等。
最近，排队论也开始在学校食堂窗口服务中发挥重要作用。
学校食堂是学生们每天用餐的地方，窗口服务的质量直接影响到学生的饮食体验和生活质量。
在传统的学校食堂窗口服务中，学生们经常需要排队等待取餐，而窗口工作人员也需要花费大量的时间来处理点餐和配餐。
这种模式存在一些问题，例如排队等待时间过长、服务效率低下等。
排队论的应用可以帮助学校食堂窗口服务解决这些问题。
排队论可以通过预测队伍长度和等待时间之间的关系，帮助学生和窗口工作人员更好地规划和管理排队等待问题。
通过设置合理的队列通道和制定有效的服务流程，可以减少学生的等待时间和窗口工作人员的工作压力。
排队论还可以应用于餐具摆放和饮料供应等环节。
例如，通过分析餐具摆放的位置和顺序，以及制定合理的饮料供应计划，可以大大提高窗口服务的效率和质量。
同时，排队论还可以为学校食堂提供有关用餐高峰期的预测，帮助学校更好地规划和管理食堂的运营。
某高校食堂就曾经采用排队论对窗口服务进行优化。
他们首先对食堂的窗口布局进行了调整，设置了合理的队列通道，并引入了先进的点餐系统，使学生可以更快地点餐。
他们还优化了餐具摆放的位置和顺序，以及饮料供应的计划，使窗口工作人员可以更高效地提供服务。
经过这些改进后，学生们的等待时间明显减少，窗口工作人员的工作效率也得到了显著提高。
排队论在学校食堂窗口服务中具有广泛的应用前景和意义。
通过应用排队论，学校食堂可以优化窗口服务，提高服务效率和质量，从而为学生提供更好的饮食体验和生活质量。
排队论还可以帮助学校更好地规划和管理食堂的运营，提高整体运营效率。
随着科技的不断发展，未来排队论可能会在学校食堂窗口服务中发挥更大的作用，例如通过和大数据等技术的应用，实现更加智能化的服务管理。
排队论
统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之
间取得平衡，找到最适当的解。 – 排队论是优化理论的重要分支。排队论是1909年由 丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang）在研究电话系统 时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。
第一节 排队论的基本概念及所研究的问题
一、基本概念 （一）排队系统的组成 • 一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到 达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图所 示。
1 e t ，t≥0
– 例如，若单位时间（每分钟）被服务完顾客数为μ =0.8位，则有
P(服务时间T 0.5分） 1 e 0.80.5 1 0.6703 0.3297 P(服务时间 T 1分） 1 e 0.81 1 0.4493 0.5507
顾客达到 排队 接受服务 服务后顾客离 去
排队系统
1．输入过程 ——顾客按什么样的规律到达。包括如下三个方面的 内容： （1）顾客总体（顾客源）——有限还是无限；
（2）顾客到达的类型——单个还是成批；
（3）顾客相继到达的时间间隔分布 ——确定的（定 期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的， 顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负 指数分布）；
– 对无记忆性的证明。
命题：对于负指数分布，任取y，z≥0，有 P（X>y+z | X>y）= P(X>z)
证： P（X>y+z）=1－P（X<y+z）
=1－（1－e－λ(y+z)）= e－λ(y+z) 同理 P（X>y）=1－P（X<y）= e－λy 又 P（X>y+z | X>y）= =
P( X y z ) ( X y ) PX y
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单服务员服务速率:
服务员使用率:
平均系统内的人数为:
(c 2 a
cs2 )
1-
Waiting Line Management
18
系统内的平均人数
简单的排队模型
பைடு நூலகம்
100 80 60 40 20 0 0
一个简单的等候队伍
0.2
0.4
0.6
0.8
使用率
Waiting Line Management
讨论问题
1、这家银行如何解决出现的具体问题：能否立即为他办理手续？
2、这家银行服务质量有问题吗？如果有，存在什么问题？
3、这家银行选址规划有问题吗？如果有，存在什么问题？
4、这家银行的设施布置有问题吗？如果有，存在什么问题？
5、这家银行的排队系统设计有问题吗？如果有，存在什么问题？
引导案例
6 ……
14
排队构成的例子
单队单服务员 单队多服务员 多队多服务员 串联式排队网络 工作车间式排队网络
Waiting Line Management
15
管理排队的建议
为你的客户确定一个可以接受的等候时间。 在客户等候时，尽量转移他们的注意力。 告诉你的客户将要做的事情。 不要让客户见到那些不直接给客户提供服务
1 19
实例：M/M/1 模型
随着使用率接近100%，系统内的平均人数趋于无 限多。
平均等候时间也是如此。 出现这种现象的原因是由于用户到达时间和服务
时间的随机性；此现像存在于普遍的排队系统中。 使系统有额外的能力是非常重要的。 减少系统的随机性可以提高系统的系统效率；如，
只要有可能，就应使用约时系统，使用户到达的 间隔时间保持一定。
排队论与服务过程管理
曹文彬
引导案例
案例文本
这家银行为什么种瓜没有得瓜?
“本营业所已搬到马路对面ZX路××号，给您带来了不便，敬请 谅解，……”梁大爷读着这则通知，微微点点头，“这下好了，这下 好了，以后存钱、取钱、交话费再也不用穿行这条让人堵心的马路了 。”
一走进新的营业大厅，梁大爷就在工作人员的引导下取号，就座 等候。与老储蓄所相比，这里不用站着排队。营业大厅宽敞明亮、窗 明几净，新装的银灰色座椅干净整齐。窗口增加了，一米警戒线没有 了，顾客是坐在服务台前的转椅上办理手续的。“这里的环境真是太 好啦！我得尽快告诉邻居。”梁大爷脸上绽出了灿烂的笑容。
这家银行为什么种瓜没有得瓜?（续）
随着事态的发展，顾客们由窃窃私语变成了对这位顾客的声援，大 家你一句，他一句，七嘴八舌：“你们就是不对，办理同样的业务，有 钱人就可以与别人不同吗？”“你们这是在为谁服务？”“如果这样下去， 我们就不会再来了。” 更出乎大家意料的是，一位储蓄所工作人员扔出 一句骂人的话，然后，重重地摔上门，溜进后台。“她在骂人，把她揪 出来！”“她的号码是多少，向总行反映。”“这丫头我是认定她了，除非 她不露面。”一时间，场面极度混乱，令人目不忍睹……
12
客户服务人员来源
人员来源
有限的
例如：公司只有3台机 器时，需要维修的机 器数量。
无限的
例如：排队等候公 共汽车的乘客人数
Waiting Line Management
13
服务方式
服务方式
确定不变的
例如：从汽车装配生 产线下来的产品。
随机的
例如：人们花时间 购物。
Waiting Line Management
Waiting Line Management
20
Little 公式
L lW
L = 系统中的平均顾客数； l = 单位时间里平均到来顾客； W = 系统中的平均等待时间。
Waiting Line Management
10
客户到达
排队系统的组成
服务系统 排队
服务人员
出口
Waiting Line Management
11
排队的实例
在饭店等候服务 航空公司旅客验票及领取登机牌的柜台 通过电话网络拨打的电话 汽车装配工厂或晶片制造厂（排队网络） 电话中心 办公室里等待处理的文书
Waiting Line Management
的雇员。 将客户分类.
Waiting Line Management
16
管理排队的建议 (续)
对你的服务人员进行培训，使他们热情友好。 鼓励客户在生意清淡的时期也来光顾。 告诉客户可能的等待时间。 对消除排队等候现象进行长远思考。
Waiting Line Management
17
一个简单的排队模型
“我就现在办！”一位又高又瘦的顾客冲着窗口里面的服务员高声叫喊 着。随着这声叫喊，本来就不平静的营业大厅荡起一阵骚动。“你是普通 卡，请您换取‘人民币业务’号排队”，胸前挂着“营业经理”标示牌的女士耐 心地解释着。“有什么用，我原来取的是‘人民币业务’197号，已经等了40 多分钟，鬼才知道还要等多久。最令人可气的是，别人一刚进来就办手续 ，这平等吗。我就现在办！”这位顾客涨红着脸。营业经理坚决地说，“现 在叫的是‘金卡’号，现在请您等候，您不能影响银行的工作。”经理的这句 话显然激怒了这位顾客，甚至说出过激的话语：“… …，我就现在办，谁 来也没用。”
3
2
1
VIP专柜
银行窗口
引导案例
6 ……
3
2
1
银行窗口
引导案例
➢种瓜
✓散客户等的时间少了 ✓VIP客户等的时间也少了
➢没有得瓜
✓散客户不满意 ✓VIP客户也不满意
讨论
➢第1个问题 ➢第3个问题： ➢第4、5两个问题：引向主题，引向深入
服务能力规划
服务能力管理
为什么会有排队现象？如何规划服务能力？
➢服务系统的特征性指标
✓顾客到达率λ ✓服务系统服务率μ
➢服务系统的费用指标
✓与顾客等待有关的费用Cw ✓与服务能力有关的费用Cc
排队论与服务过程管理
排队特征 管理排队的建议 排队模型实例 电话中心的人员配置优化 IBM信用处理的工作流程设计
Waiting Line Management
这家银行为什么种瓜没有得瓜?（续）
时间到了2005年2月6日。今天是星期日，春节前的最后一个星期天。 你知道的，2月8日就是大年三十了！与其他储蓄所一样， ELZH储蓄所里 面挤满了人，不断有顾客进进出出，有的顾客在大厅里四处走动，随便取 些理财方面的宣传材料打发时间，排队机在机械地叫着号，声音听起来也 不如以前悦耳动听了。不过，好在场面还算在控制之中。