我的微分算子法总结
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微分算子法小结
一、n 阶微分方程 1、二阶微分方程：
22
d y d x
+p(x)
x
d dy +q(x)y=f(x)
2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y (n-1)
+a 2y (n-2)+a 3y (n-3)+ ... +a n y=f(x)
二、微分算子法 1、定义符号：
D
x =d d ，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x
求导n 次；D
1表示积分，如D
1
x=
x 2
12 ,
n
D
1x 表示
对x 积分n 次，不要常数。 2、计算
将n 阶微分方程改写成下式：
D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3y + ... +a n-1Dy +a n y=f(x) 即 （D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n ）y=f(x) 记F(D)=D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n
规定特解：
y *
=)
(F(D)
1
x f
3、
F (D )
1
的性质
(1)性质一：
F(D)
1e kx
=F(k)1
e kx
(F (k) 不等于0）
注：若k 为特征方程的m 重根时，有
F (D )
1
e kx
= x
m
(D)
F
1(m)
e kx
= x m
(k)
F
1
(m)
e
kx
(2)性质二：
F(D)
1e kx
v (x)= e
kx k)
F(D 1+v (x)
(3)性质三：特解形如F(D)1
sin(ax)和 F(D)1
cos(ax) i.考察该式（该种形式万能解法）：
F(D)
1
e
iax
利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部
作为原方程的特解 注：欧拉公式 e
iax
= cos(ax)+i sin(ax)
虚数 i 2
= -1
ii.若特解形如) F(D 1
2sin(ax)和) F(D 1
2cos(ax)，也
可按以下方法考虑： 若F (-a 2)≠ 0，则
)
F (D 12
sin(ax)=)F(-a 1
2
sin(ax)
)F(D 1
2
cos(ax)=)F(-a 1
2
cos(ax)
若F (-a 2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a 2为F (-a 2)
的m 重根，则
)F(D 12
sin(ax)=x m
)
(D F
12
(m)
sin(ax)
)
F(D
1
2
cos(ax)=x
m
)
(D F 12
(m)
cos(ax)
(4)性质四（多项式）：
F(D)
1（x p +b 1x p-1+b 2x p-2
+...+b p-1x+b p ）
= Q(D)（x p
+b 1x p-1
+b 2x p-2
+...+b p-1x+b p ） 注：Q (D)为商式，按D 的升幂排列，且D 的最高次幂为p 。
(5)性质五（分解因式）:
)
(F(D)
1x f =)
()
(F (D)F 1
2
1
x f D •=)()
(F (D)F
112
x f D •
(6)性质六: ))
()((F(D)
121x f x f +=)(F(D)
1)(F(D)
1
21x f x f +
三、例题练习
例1.
2
2
d y d x
+4y =e x
则(D 2
+4)y =e
x
,特解y *
=
4
12
+D
e x
=
4
11
2
+e x
=51
e x
(性质一)
例2、 y (4)+y =2cos(3x ），则(D 4+1)y = 2cos(3x ） 特解y
*
=
1
14
+D 2cos(3x ）= 21
14
+D cos(3x ）
= 2
1
)3-(1
2
2+cos(3x ）=
41
1cos(3x ）(性质三)