全国第八届青年数学教师优质课教学设计：任意角的三角函数4 含答案

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全国第八届青年数学教师优质课教学设计：任意角的三角函数3 含答案

“任意角的三角函数”第一课时教学设计一、教学内容解析1、本节课是人教A版《数学4》第一章“三角函数”中的“任意角的三角函数（第一课时）”，其重点内容是任意角的三角函数概念的建构.通过引入直角坐标系，实现用锐角终边上点的坐标表示锐角的三角函数值（坐标化）；随着单位圆的引入（形式优化），进而引导学生注意到在单位圆中，锐角和单位圆上的点有对应关系，因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，从而发现锐角的弧度数和单位圆上点的坐标之间形成函数关系（函数化）；最终形成任意角的三角函数的概念（一般化）.之后，通过例题闯关，应用了概念，加强了对概念的理解（概念理解强化）.2、任意角的三角函数是三角学内容的基础，是后续内容学习的思维起点，是整个三角学认知结构的生长点.它的学习既是学科系统内部知识发展的需要，又是坐标思想、数形结合思想的载体，更是对函数概念理解和认识的一次升华.学习过程中的认知冲突，容易激发学生思维的积极性，有助于探究、创新能力的培养.由锐角三角函数的定义到任意角三角函数的定义是学生认识上的突破，也是体会特殊到一般思想的良好素材.二、教学目标设置1、知识与技能：①借助单位圆让学生认识和理解任意角的三角函数的定义②让学生能根据定义判定三角函数的符号③让学生知道公式一，并由此体会三角函数的周期性特点.2、过程与方法：①通过回忆初中的锐角三角函数定义，发现角概念推广后其局限性，必须寻找其它方式定义；②在形成新的锐角三角函数定义的过程中领悟坐标法的优越性，加深对函数概念的理解；③由特殊到一般的思想推广到任意角的三角函数定义；④通过探究任意角正弦函数定义，类比得到任意角的余弦函数和正切函数，培养学生类比分析的能力；⑤通过对三角函数值在各个象限符号的确定，培养学生利用规律解决问题的意识；⑥通过对公式一的学习，培养学生数形结合的意识，让学生体会三角函数的周期性.3、情感态度与价值观：①培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；②通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂，培养学生团队合作的意识；③通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思维的能力.三、教学重点1、对任意角的三角函数定义的理解；2、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内符号的确定；3、三角函数的周期性特点（公式一）.四、教学难点任意角的三角函数概念的建构过程.五、学生学情分析学生在初中学习的锐角三角函数是以锐角为自变量，以边的比值为函数值的函数，以及高中学习过的函数的定义和任意角及弧度制，这些是学生学习任意角的三角函数知识的基础和依据.本节课从研究锐角三角函数的概念出发，更容易激发学生学习的热情，从而催生学生创造性思维.在概念建构的过程中，学生必需经历由特殊到一般的认识过程以及把新的概念纳入到一般函数的结构之中，这是认知过程的一道坎，又是认知的一次升华.六、教学策略分析本课采用“引”“探”相结合的方式，将问题以问题串的形式展现，让学生在愤悱中形成认知冲突，体会、感悟数学研究的一般思路和方法. 课堂中以学生为主体，将学生分成若干小组，使学生全员参与课堂，通过学生之间合作交流，教师间或参与学生的讨论，对有困惑的小组或者个别学生进行帮助和引导，培养学生主动探究新知识的能力.此外，为了提高教学效果，使课堂教学更生动形象，利用多媒体课件进行教学.七、教学过程（一）创设情境，导入新课（问题1到问题2是温故知新化过程）问题1 初中我们在直角三角形中学习过锐角三角函数，你能回忆出初中锐角的正弦、余弦、正切函数是怎样定义的吗？你能说出它们的自变量是什么，又以什么为函数值呢？自变量的范围是什么？设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然.问题2 在高中，随着角的概念的推广和弧度制的引入，角的范围变成了全体实数R ，那么对于任意角α，比如当α为钝角时，角α 的“斜边”这种说法还存在吗？那么任意角的三角函数该如何定义呢？设计意图：利用角α的变化作为思维的切入点，打破学生已有的认知结构的平衡，感受学习新知识的必要性，即角的范围扩大了，初中锐角三角函数的定义也应该与时俱进，这有利于将探究的主动权交给学生.（二）提出问题，探求新知（问题3到问题5是定义坐标化过程）问题3 中国有句古话说的好，“工欲善其事，必先利其器”.随着角的概念推广和弧度制的引入，我们一般借助什么工具来研究角？设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠定研究的基础.问题4 我们先研究哪种角呢？是直接研究任意角的情形还是先研究锐角的情形呢？设计意图：以锐角三角函数的研究为本节课知识的“生长点”，这样的研究符合学生的认知规律，学生有思考的落脚点，更能够激发学生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本节课任意角三角函数概念的建构这一教学难点.问题5 对于任意角α都有始边和终边.在直角坐标系中，如何放置锐角α可以方便研究？在锐角α的终边上任取一点(,)P a b ，它与原点O 的距离为r ，你能用点P 的坐标及r 来表示锐角α的三角函数吗？设计意图：把锐角α放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一目了然的，这样可以把复习的初中的锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标关系，为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫.提及“始边”、“终边”也是为了概念一般化做铺垫.（问题6到问题7是表达式形式优化过程）问题6 当锐角α确定，如果改变α的终边上的P 点位置，角α的正弦值会发生改变吗？设计意图：问正弦值这一种情况，方便师生研究.余弦值和正切值可以类比得到，更方便学生理解（下面有类似问法也是同样考虑）;由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三角函数值. 这是为单位圆定义的提出做好铺垫.问题7 数学追求“简洁美”，既然这三个比值与终边上点P 的位置无关，那么当P 点选在何处时，sin cos αα和的形式最简单？设计意图：通过问题的形式过渡，自然得出单位圆的概念.由此便可顺势得出sin cos αα和的简化形式，体现了数学的“简洁美”.同时也明确在单位圆的背景下，锐角和单位圆上P 点有对应关系.（问题8到问题10是函数化过程）问题8 当锐角α发生变化时，P点的坐标会发生相应的改变吗？（追问）当锐角α确定了，P点的坐标是否唯一确定？（配合动画演示）（教师板书：任意锐角α（实数）→唯一实数b；任意锐角α（实数）→唯一实数a.）设计意图：初中学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内涵，突出了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要环节，是准确理解三角函数概念的关键.问题9 你能给这个函数（任意锐角α（实数）→唯一实数b）命名吗？设计意图：只单问一个函数，可以方便学生思考，也方便师生共同总结，还可以让学生在自行总结任意角的三角函数概念时有参照对象.问题10 既然是函数，你能说出锐角α正弦函数的自变量吗？以什么为函数值呢？设计意图：让学生能更好的理解锐角三角函数的定义，同时为总结任意角三角函数定义打好基础.（问题11到问题12是特殊到一般化过程）问题11 我们现在得到的锐角三角函数的定义和初中所学锐角三角函数定义有什么区别？设计意图：加强学生对新的定义方式的理解，让学生意识到任意角没有“斜边”，但是有“始边”、“终边”，从而发现对于任意角，如果始边放在x轴非负半轴上，其终边定与单位圆有唯一交点，从而能形成函数关系.为归纳任意角三角函数概念扫清心理障碍.问题12 由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗？（教师在与学生交流中，板书定义）设计意图：利用类比、迁移的认知规律，学生容易给出任意角的三角函数定义.学生可以意识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角三角函数是锐角三角函数的自然延伸. （三）分析思考，加深理解（下列问题是概念理解强化过程）问题13 既然它们是函数，就要注意其定义域，它是函数的“生命之域”，那么正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？设计意图：因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数，强调了其函数属性.问题14 当α为锐角时，sin,cos,tanααα的值都是正数，当α的终边落在各个象限时，它们分别取什么符号？设计意图：对比锐角三角函数，让学生再次回忆任意角三角函数的定义，培养学生利用规律解决问题的意识.设置一个阅读环节，让学生阅读“三角函数名称由来简史”.设计意图：通过三角知识简史的阅读，让学生有新奇感，同时提高课堂的数学文化感，让学生感知数学是源于生活的.以此，进一步激发学生的学习热情.（四）强化训练，巩固双基第一关求53π的正弦、余弦和正切的值.设计意图：将例题以闯关的形式呈现，和综艺节目设置相似，寓教于乐，能激发学生的学习热情；明确已知角的终边，要求其三角函数值，可以先求终边与单位圆的交点坐标，通过运用概念，巩固对概念的理解.问题15 （追问）求113π的正弦、余弦和正切的值.设计意图：引起学生发现这两个角的终边是重合的，所以它们与单位圆的交点坐标相同，由任意角三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值是相等的.让学生体验到公式一的作用和三角函数的周期性.第二关确定下列三角函数值的符号：（1）cos 260o ；（2）sin()4π-；（3）tan(700)-o ；（4）tan3π.第三关求下列三角函数值：(1)sin(1050)-o ； 9(2)cos 4π； 11(3)tan()6π-. 设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本节课的教学目标之一，引导学生抓住定义、数形结合判断三角函数值的正负符号，同时应用终边相同的角的同一三角函数值是相等的这一结论.第四关已知角α的终边经过点0(3,4),P --求角α的正弦，余弦和正切值. 0(3,4)(0),P a a a --≠情况又如何？设计意图：该点不在单位圆上，与例题1的解法对比；为课后探究“角α终边上任一点(,)Q x y ，求角α的正弦、余弦和正切的值.”这一问题作铺垫；增加了一个问题，加强了学生对任意角三角函数定义的理解，同时渗透了分类讨论的思想.（五）课堂小结,升华提高知识与技能：任意角三角函数的定义（单位圆）；能根据定义判定三角函数的符号；公式一（终边相同的角的同一三角函数值相等）即三角函数的周期性特点.思想与方法：坐标法、特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论.设计意图：让学生自己总结，教师补充，并且提醒学生知识重要，探究的思想与方法更重要，体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念.（六）作业布置：1、课本15页练习2、3、5.2、假设角α的顶点是直角坐标系的原点，始边与x 轴的非负半轴重合，已知角α终边上任一点(,)Q x y ，求角α的正弦、余弦和正切函数值.3、通过本节课学习，你对任意角三角函数有哪些新的认识？利用定义你能解决哪些问题？你还有哪些不明白的地方？请把它写下来.设计意图：体现作业的多样性，鼓励学有余力的同学课后探究，因材施教，多元发展. 教师和学生同唱励志歌曲《奔跑》，课堂在歌声中结束.设计意图：拉近师生关系，也鼓励学生不畏艰难，在学习过程中保持奔跑的态度.在数学课堂也可以渗透品德教育.。

数学人教A版必修4教学设计：1.2.1任意角的三角函数 Word版含解析

教学设计1．2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．3．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．4．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时教学过程第1课时作者：范福太，上杭县明强中学教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖一、复习引入、回想再认(情景1)我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数．请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？图1学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：sinα＝对边斜边，cosα＝邻边斜边，tanα＝对边邻边设计意图学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程(类似于从有理数到实数的扩展)．温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少．二、引申铺垫、创设情景(情景2)我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对个别学生作启发引导．能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答．用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到(否则教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数．设计意图从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程．教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！师生共做(学生口述，教师板书图形和比值)：把锐角α安装(如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合)在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，构造一个Rt △OMP ，则∠MOP ＝α(锐角)，设P (x ，y )(x ＞0、y ＞0)，α的邻边OM ＝x ，对边MP ＝y ，斜边长|OP |＝r .图2根据锐角三角函数定义用x 、y 、r 列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数的比值：sin α＝斜边对边＝r y ，cos α＝斜边邻边＝r x ，tan α＝邻边对边＝xy . ？＝y r ？＝x r ？＝y x 设计意图此处做法简单，思想重要．为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形．初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数的定义．这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识，能够形成迁移能力，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础．(情景3)思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长r ＝1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin α＝MP OP＝y ； cos α＝OM OP＝x ； tan α＝MP OM ＝y x. 思考上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利于推广到任意角呢？本节课就研究这个问题——任意角的三角函数.先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化．图3三、探究新知1．探究：结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了．所以，我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？如图4，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图4(1)y 叫做α的正弦(sine)，记做sin α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α，即cos α＝x ；(3)y x 叫做α的正切(tangent)，记做tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同(指出对边，邻边，斜边所在)；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P (x ，y )，从而就必然能够最终算出三角函数值．设计意图初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键．这样做能够使学生有效地增强函数观念．四、探索定义域(情景4)1.函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域．正弦函数sin α的对应法则是什么？正弦函数sin α的对应法则，实质上就是sin α的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y r 与之对应，即α→y r＝sin α. 2．布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，填写下表：如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围．关于sin α＝y r 、cos α＝x r ，对于任意角α(弧度数)，r ＞0，y r 、x r恒有意义，定义域都是实数集R .对于tan α＝y x ，α＝k π＋π2时x ＝0，y x 无意义，tan α的定义域是{α|α∈R ，且α≠k π＋π2}…… 教师指出：sin α、cos α、tan α的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟．设计意图定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域．指导学生根据定义自主探索确定三角函数的定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握．五、符号判断、形象识记(情景5)能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数的定义来分析，r ＞0，三角函数值的符号决定于x 、y 值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：图5sin α＝y r ：上正下负横为0；cos α＝x r：左负右正纵为0； tan α＝y x：交叉正负．设计意图判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求．要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键．六、例题讲解、理解记忆1．自学例1：求5π3的正弦、余弦和正切值． 2．例2：角α的终边经过点P (－3，－4)，求α的正弦，余弦及正切值．活动：教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答．明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数，但用单位圆上点的坐标来定义，既不失一般性，又简单，更容易看清对应关系．教师要点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意α角的任意性．如图6，设α是一个任意角，P (x ，y )是α终边上任意一点，点P 与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0，那么：图6①y r 叫做α的正弦，即sin α＝y r； ②x r 叫做α的余弦，即cos α＝x r； ③y x 叫做α的正切，即tan α＝y x(x ≠0)．这样定义三角函数，突出了点P 的任意性，说明任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P 在角的终边上的位置无关，教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点．3．例3：求下列三角函数值：(1)sin390°；(2)cos 19π6；(3)tan(－330°)．活动：引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点，终边相同的角相差2π的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系？为什么？引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论，然后再用三角函数的定义证明．由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)：0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．这个公式称为三角函数的“诱导公式一”．解：(1)sin390°＝sin(360°＋30°)＝sin30°＝12； (2)cos 19π6＝cos(2π＋7π6)＝cos 7π6＝－32； (3)tan(－330°)＝tan(－360°＋30°)＝tan30°＝33. 点评：本题主要是对诱导公式一的考查，利用公式一将任意角都转化到0～2π范围内求三角函数的值．七、课堂练习课本本节练习题1、2,3.处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义．强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π2、π、3π2等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值．设计意图及时安排例题讲解，自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终．八、回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？(建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合……在终边上任意取定一点P ……)．2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？(根据定义……)3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？(根据定义，想象坐标位置……)设计意图遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策．此处以问题的形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力．布置课外作业1．书面作业：习题1.2A组第1、2题．2．认真阅读本节“阅读与思考：三角学与天文学”，了解三角学在天文学中的重要作用．教学反思新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意角三角函数》的教案，主要围绕这一点来设计．到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢？让学生提出自己的想法，同时让学生去辩证这个想法是否是科学的？因为一个概念是严谨的，科学的，不能随心所欲地编造，必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突．在这个立—破的过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成的，在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思．这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解．再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的．培养数形结合的思想．第2课时作者：孟丽华教学背景1．教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学．借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图象和性质，可以说，三角函数线是研究三角函数的有利工具．2．学生学情分析：学习本节前，学生已经掌握任意角三角函数的定义，三角函数值在各象限的符号，以及诱导公式一，为三角函数线的寻找做好了知识准备．高一上学期研究指、对数函数图象时，已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验．教学目标1．知识目标：使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．2．能力目标：借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展探究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力．3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．教学重点难点1．重点：三角函数线的作法及其简单应用．2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来．教学方法与教学手段1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学．2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展．3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验；借助网络论坛交流各自的观点，展示自己的才能．教学过程一、设置疑问，实验探索(17分钟)，O为起点，M绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；与坐标轴反向，取负值．如：OM续表当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关二、作法总结，变式演练(13分钟)三、思维拓展，论坛交流(10分钟)1．让计算机软件和网络真正走入数学课堂，发挥它们的辅助作用．“让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号，但是如何真正让多媒体在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题．本节课有较广的延展面，是培养学生发现、探索、创新能力的很好素材，但是要在一节课45分钟时间内实现构想，对课的安排提出了非常高的要求．几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学实验，探讨数学问题；网络论坛可以让他们充分交流，相互学习．为此，我把授课地点放在多媒体网络教室，充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高．2．不仅要让学生掌握数学的基础知识，更要让他们领悟科学的研究方法．课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂，独立学习，所以不仅要让学生掌握数学的基础知识，更要让他们领悟科学的研究方法．本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路，让学生逐步领悟这种科学的研究方法，有利于他们今后能够独立地开展科研活动．3．使学生始终保持学习兴趣，快乐学数学．苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者．”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！附 1.2.1 任意角的三角函数第1课时作者：苏飞文，南安侨光中学教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖整体设计教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用．学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣．我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍有太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味．所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索．如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义．第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象)，解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函数内容处理上的一个突出特点．根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号．设计理念本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图象，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣．并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程中的强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力．教学目标1．借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．2．从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．教学重点与难点1．教学重点：任意角三角函数的定义．2．教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域．教学过程第一部分——情景引入问题1：如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？图1设计意图高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解．这个数学模型很好地融合了初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，揭示函数的本质．第二部分——复习回顾锐角三角函数让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”分析：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知∠AOP ＝30°，作PH 垂直地面交OA 于M ，又知MH ＝h 0，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM .图2要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数．问题2：锐角α的正弦函数如何定义？学生自主探究：学生很容易得到图3sin α＝|MP ||OP |＝|MP |R⇒|MP |＝R sin α⇒|PH |＝h 0＋R sin α⇒h ＝h 0＋R sin α，所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒，你离地面的高度h 为多少”．h 1＝h 0＋R sin30°；h 2＝h 0＋R sin45°.教师总结：t °在锐角的范围中，h ＝h 0＋R sin t °. 第三部分——引入新课问题3：请问t 的范围为多少？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想h ＝h 0＋R sin t °？分析：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦．今天我们就要来学习任意角的三角函数．问题4：如图4建立直角坐标系，设点P (x P ，y P )，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)?图4学生自主探究：sin α＝|MP ||OP |＝y PR，。

高中数学_任意角的三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思

《任意角的三角函数》教学设计本节课作为高三一轮复习的一节复习课，将角的概念推广与任意角的三角函数合并为一节，重点是任意角的三角函数。

本教学设计主要就三角函数部分做设计说明。

总体来说，由旧及新,由易及难，逐步加强，逐步推进，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识，拓展、完善定义。

先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义，过渡到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义。

（一）创设情境——揭示课题问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？【设计意图】学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）。

温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。

问题2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？问题3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。

能表示吗？怎样表示？针对刚才的问题点名让学生回答。

用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数。

【设计意图】从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程。

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）。

问题4：对于确定的角α，这三个比值是否与P在α的终边上的位置有关？为什么？先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。

全国第八届青年数学教师优质课教学设计：函数的概念1Word版含答案

1.2.1函数的概念教学设计一、教材分析：本节内容为《1.2.1函数的概念》，是人教A版高中《数学》必修一《1.2函数及其表示》的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一，在初中，学生已经学习过函数的概念，它是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式.后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究.例如：1当X是有理数时，f （x）=」Q,当X是无理数时.对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出X的物理意义是什么•但用集合、对应的观点来解释，就十分自然.函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一、而函数概念是函数思想的基础，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具.函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法.二、学情分析：在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数比较抽象，但是函数现象大量存在于学生的周围，教科书选用了运动、自然界、经济生活中的实际例子进行分析，从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念，对学生的抽象、归纳能力要求比较高，能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解.三、教学目标：（一）知识与技能理解函数的定义，能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素.（二）过程与方法通过三个实例共性的分析到函数概念的形成，再对三个实例进行拓展，让学生对函数概念进行辨析，体现从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，渗透了归纳推理，实现了感性认识到理性认识的升华.（三）情感、态度与价值观通过从实际问题中抽象概括函数的概念，培养学生的抽象概括能力，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，感受数学的抽象性和简洁美.四、教学重点与难点：（一）教学重点体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并能用集合与对应的语言来刻画函数•(二)教学难点函数概念的理解及符号“ y二f(x) ”的含义.五、教学策略：首先，通过魔术表演，体现函数在实际生活中的运用，激发学生进一步学习函数的积极性；其次，在学生习惯用解析式表示函数的基础上借助教科书实例，从解析法、图象法、列表法等不同的方式，结合函数的数与形两个方面给学生充分的认识，为学生用集合与对应的语言刻画函数打下感性基础；再次，分析讲解函数概念中的关键点时，对于对应关系f函数关系中多对一的情况、值域是集合B的子集等较为抽象问题的理解采取放乒乓球的实验，让抽象问题具体化；最后，通过对三个实例进行拓展让学生抛开物理运动背景，用集合与对应的语言来分析函数并强调函数关系中对应关系的方向六、教学基本流程:七、教学情景设计:教学流程教学内容设计意图师生活动教学流程教学内容设计意图师生活动。

任意角的三角函数及弧度制教案及练习(含答案)

第一章：三角函数第一课时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广1.回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2.讲解：“旋转”形成角突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角α或α∠可以简记成α4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒³2=720︒） 3周（360︒³3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒ 390︒-330︒是第Ⅰ象限角， 300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒ 1180︒是第Ⅲ象限角，-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)k∈个周角的和(Zk390︒=30︒+360︒)1k(=-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0³360︒ )0(=k 1470︒=30︒+4³360︒ )4(=k -1770︒=30︒-5³360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和五、小结： 1︒ 角的概念的推广，用“旋转”定义角，角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角”第二课时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。

【教学设计】任意角的三角函数

【教学设计】任意角的三角函数一、教材分析（一）教材地位和作用本节课是关于任意角的三角函数的概念课．在初中，学生已学过锐角三角函数，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，本节课自然地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数．紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质.任意角三角函数的定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.（二）教学目标1、知识与技能了解任意角三角函数定义产生的背景和应用，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；会求特殊角的三角函数值，能够判断三角函数值的符号.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想、数形结合思想,以及类比的学习方法，培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力.3、情感态度与价值观通过教师指导下的学生交流探索活动，使学生经历数学概念发生、发展、应用的过程，让学生感受从中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神.（三）教学重点和难点重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.难点：任意角的三角函数概念的构建过程.二、教学方法（一）教法与学法问题探究式-----教师启发引导、学生合作探究.即采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，同时突出学生的主体地位．（二）教学准备多媒体、投影仪、三角板、圆规.三、教学过程四．设计思路1．突出单位圆的作用。

具体表现在三个方面：第一是将锐角三角函数坐标化，引入单位圆；第二是利用单位圆写出任意角的三角函数；第三是利用单位圆探究三角函数的定义域三角函数在各象限的符号和诱导公式一；第四是在练习1的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。

高中数学人教A版必修四教学案任意角的三角函数含答案

y 12 [尝试解答] (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝ 52＋（－12）2＝13，则 sin α＝＝－，
r 13
x5
y 12
cos α＝＝，tan α＝＝－ .
r 13
x5
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，
3
1
3)，则 r＝（－1）2＋（ 3）2＝2，所以 sin α＝，cos α＝－，tan α＝－ 3；在第
3 (3)∵(－3，a)为 α 终边上的一点，cos α＝－，
5
－3
3
∴
＝－，∴a2＝16.
（－3）2＋a2 5
4 又∵α 为第二象限角，∴a＞0，即 a＝4.∴sin α＝ .
5 34 答案：(1)D (2)－ (3) 25
讲一讲
cos α
2．(1)若 sin αtan
α＜0，且 tan
α＜0，则角 α 是( )
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点 P(x，y)在终边上的位置
无关，只与角 α 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
(2)若角 α 与 β 的终边相同，根据三角函数的定义，你认为 sin α与 sin β，cos α与 cos
β，tan α与 tan β之间有什么关系？
2
第三象限角．所以 α 是第一或第三象限角．又因为 cos α＜0，所以 α 为第三象限角．
(2)①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，∴sin 105°＞0，cos 230°＜0.
于是 sin 105°·cos 230°＜0.
( ) π
2π
2π
②∵ 2 ＜3＜π，∴3 是第二象限角，∴cos 3＜0，又－ 3 是第三象限角，∴tan － 3

全国第八届青年数学教师优质课教学设计：任意角的三角函数1 Word版含答案

任意角的三角函数教学设计福建师大附中张春晓一、教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张.引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程.二、教学目标知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用.情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性.重点:任意角三角函数的定义.难点：任意角三角函数概念的建构过程.三、教学流程1．复习通过对任意角的概念的学习，你认为它与初中角的概念有什么区别？设计意图对任意角概念的理解是学习本节课的基础.2．创设情境、引出主题h,它的直径为2r，逆时针方向做匀速转动，转问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点A出发，求相对于地面的高度h与时间t的函数关系式.师生：开始高度h设计意图的“周期性”特点.师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？让我们先从特殊情形入手.例如，过了20s生：00sin20h h r =+.师：你能对这个式子做一解释吗？生：0h 表示水平位置OA 距离地面的高度，0sin 20r 表示P 距离水平位置OA 的高度，即0|MP|h h =+.师：如果过了40s 呢？对上面式子做怎样修改？师生：将020换成040，即：00sin40h h r =+.一般地，过了t 秒呢？猜想: 0sin h h r t =+ 师：这样猜想合情，但合理吗？随着摩天轮的转动，POA ∠从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角α，sin α该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数.设计意图为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，让学生感受到接下来学习新知识的必要性. 3．概念生成师：当P 在水平但位置OA 上方时，0|MP|h h =+；当P 在水平位置OA 下方时，0-|MP|h h =，即：0|MP|h h =±与0sin h h r t =+相比较，要想两者和谐统一，必须有：sin |MP|r t =±，即：MPsin rt =±. 师生小结：当点P 在圆周上运动时，POA ∠随之变化，任一个POA ∠，对应着唯一点P ，进而有唯一||MP ，得到：MPsin rt =±. 师：不过这样表述|MP|±时，还是不够简洁,M P 何时取正值，何时取负值？能否用一个量去代替MP ±，使上述表示形式更简单？它的绝对值与M P 的长度相等，符号在OA 上方表示正的，OA 下方表示负的.生:引入直角坐标系，用点P 的纵坐标y 来替代||MP 或-||MP .设计意图让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的.师：接下来，我们把角α放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为r 做圆，与角α的终边交于点P ，假设点P 坐标为(,)x y ，利用我们刚才对上述问题的分析，这里，sin =y rα. 师：当α是锐角时，此规定与初中规定是否吻合？生：吻合，利用初中对锐角三角函数定义，|MP|sin =|OP|α，|MP|即y ，|OP|即r . 师：三角函数只有这一个吗？生：还有余弦，正切.师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？生：cos x r α=，tan y xα= 师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？生：是的，任意给定角α，其终边唯一确定，终边与圆的交点P 就唯一确定，比值随之唯一确定.师：比值会随着点P 在终边上的变化而变化吗？生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的.师：很好，任意给定α→唯一确定比值.那如果α是任意角呢，我们不妨假设此时α终边落在第二象限，终边与圆的交点仍然是P ，坐标为(,)x y 显然，我们已经不能把α终边唯一确定，其与圆的交点P 唯一确定，仍然符合函数的定义. 师：这种比值形式能进一步简化吗？生：另=1r ，则sin =y α，cos x α=，tan y xα= 师：此时点P 具有什么特点？生：点P 即是角终边与单位圆的交点. 师：它们是函数吗？生：是的，当α给定时，点P 即定，函数值唯一确定. 师：既然是函数，则有三要素，它们的定义域是什么？生：sin y α=，cos y α=的定义域均为R ，tan y α=的定义域是{|k +,k Z}2πααπ≠∈师：很好，我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实，我们可以发现，任意角的三角函数是以角作为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，即从角的集合到实数集的一种对应关系.设计意图这里采用概念同化的学习方式，让学生理解定义的合理性，理解概念的背景和生成过程.4．概念运用例1.（口算）求下列三角函数值：(1)0sin 270; (2)cos3π; (3)3tan()4π-.变式：若已知cos 1θ=-,你能写出θ的一个角吗？例2.角α的终边经过点1(,2P ，求它的三角函数值. 设计意图让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤.. 例3.设sin 0θ<且tan 0θ>,确定θ是第几象限的角.设计意图通过定义的应用，让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想. 例4.不求值，判断下列三角函数值的符号. (1) 0sin(1060)-; (2) 16cos()5π; (3)0tan556. 设计意图引出公式一sin(2)sin k απα+⋅=，cos(2)cos k απα+⋅=，tan(2)tan k απα+⋅=，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.5．探究发现在如图所示的单位圆中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为OP ，则有向线段,,,,,MP OM AT BS OT OS 分别称为角α的正弦线，余弦线，正切线，余切线，正割线和余割线.图中的正弦线M P ，余弦线OM 均为圆O 上的弦的一段.如M P 是圆O 的弦上'PP 的一段，OM 是圆O 的弦'AA上的一段.图中正切线AT ,余切线BS 均为圆O 上的切线段.图中正割线OT ,余割线OS 均为圆O 上的割线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释，并说明理由？设计意图也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔. 6．小结反思通过本节课的学习，谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？设计意图让学生回顾所学内容，体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以角为自变量，以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的应用.。

高一数学人教A版必修四教案：1.2.1 任意角的三角函数 Word版含答案

任意角的三角函数教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

授课类型：新授课教学模式：讲练结合教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．三角函数的定义及定义域、值域：练习1：已知角α的终边上一点()P m ，且sin α=，求cos ,sin αα的值。

解：由题设知x =y m =，所以2222||(r OP m ==+，得r =从而sin4α=m r ==，解得0m =或21662m m =+⇒=当0m =时，r x ==cos 1,tan 0x yr xαα==-==；当m =r x ==cos tan x y r x αα====；当m =r x ==cos tan x y r x αα==== 2．三角函数的符号：练习2：已知sin 0α<且tan 0α>，（1）求角α的集合；（2）求角2α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 222ααα的符号。

3．诱导公式：练习3：求下列三角函数的值：（1）9cos4π，（2）11tan()6π-，（3）9sin 2π．二、讲解新课：当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MPr α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP AT AT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)

任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点．则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二三角函数值符号的判断例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第象限的角．答案四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三诱导公式一的应用例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．错解令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案－43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案一或二解析要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案－2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}．三、解答题11．解当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5，得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。

高一数学人教A版必修四教案：任意角的三角函数 Word版含答案

任意角的三角函數教學目的：知識目標：1.復習三角函數的定義、定義域與值域、符號、及誘導公式； 2.利用三角函數線表示正弦、余弦、正切的三角函數值；3.利用三角函數線比較兩個同名三角函數值的大小及表示角的範圍。

能力目標：掌握用單位圓中的線段表示三角函數值，從而使學生對三角函數的定義域、值域有更深的理解。

德育目標：學習轉化的思想，培養學生嚴謹治學、一絲不苟的科學精神；教學重點：正弦、余弦、正切線的概念。

教學難點：正弦、余弦、正切線的利用。

授課類型：新授課教學模式：講練結合教具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：1．三角函數的定義及定義域、值域：練習1：已知角α的終邊上一點()P m ，且sin α=cos ,sin αα的值。

解：由題設知x =y m =，所以2222||(r OP m ==+，得r =從而sin4α=m r ==，解得0m =或21662m m =+⇒=當0m =時，r x ==cos 1,tan 0x yxαα==-==；當m =r x ==cos tan x y r x αα====；當m =r x ==cos tan x y r x αα==== 2．三角函數的符號：練習2：已知sin 0α<且tan 0α>，（1）求角α的集合；（2）求角2α終邊所在的象限；（3）試判斷tan ,sin cos 222ααα的符號。

3．誘導公式：練習3：求下列三角函數的值：（1）9cos4π，（2）11tan()6π-，（3）9sin 2π．二、講解新課：當角的終邊上一點(,)P x y 1=時，有三角函數正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數線。

1．單位圓：圓心在圓點O ，半徑等於單位長的圓叫做單位圓。

2．有向線段：坐標軸是規定了方向的直線，那麼與之平行的線段亦可規定方向。

規定：與坐標軸方向一致時為正，與座標方向相反時為負。

3．三角函數線的定義：設任意角α的頂點在原點O ，始邊與x 軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點P (,)x y ，過P 作x 軸的垂線，垂足為M ；過點(1,0)A 作單位圓的切線，它與角α的終邊或其反向延長線交與點T .由四個圖看出：當角α的終邊不在坐標軸上時，有向線段,OM x MP y ==，於是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP AT AT x OM OAα====．我們就分別稱有向線段,,MP OM AT 為正弦線、余弦線、正切線。

苏教版2018-2019学年高中数学必修四教学案：第1章 1.2 任意角的三角函数 -含答案

第1课时任意角的三角函数如图，直角△ABC .问题1：如何表示角A 的正弦、余弦、正切值？提示：sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b.问题2：如图，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P (a ，b )，作PM ⊥x 轴，如何用图中的数据表示sin α，cos α，tan α？提示：∵PM ⊥x 轴，∴△OPM 为直角三角形， ∴|OP |＝|OM |2＋|PM |2＝a 2＋b 2，∴sin α＝|PM ||OP |＝b a 2＋b 2，cos α＝|OM ||OP |＝aa 2＋b 2，tan α＝|MP ||OM |＝ba.在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离为r (r ＝x 2＋y 2>0)规定：问题1：由三角函数的定义知sin α在什么条件下函数值为正？提示：α的终边在第一、二象限或y 轴正半轴．问题2：tan α在什么情况下为负数？提示：因tan α＝y x，则x 、y 异号为负数，即α的终边在二、四象限为负数．三角函数值在各象限内的符号，如图所示：如图，由单位圆中的三角函数的定义可知sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 问题：sin α是否等于PM 的长？若不等，怎样才能相等？提示：不一定，可能等于PM 的长，也可能等于PM 长的相反数，把MP 看成有向线段即可．1．有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段．2．有向线段数量根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量．3．单位圆圆心在原点，半径等于单位长度的圆．4．三角函数线设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M.(1)则有向线段MP、OM就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP＝sin α，OM＝cos α；(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，则有向线段AT就是角α的正切线，即AT＝tan_α.1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．2．三角函数值的符号，用角α的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段．这些线段分别可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示．[例1] 已知角α的终边上有一点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．[思路点拨] 由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a ，而a 的条件为a ≠0，所以必须对a 进行分类讨论．[精解详析] ∵x ＝－3a ，y ＝4a ， ∴r ＝－3a2＋a2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，角α为第二象限角，∴sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝2×45－35＝1.当a <0时，r ＝－5a ，角α为第四象限角， ∴sin α＝y r ＝4a －5a ＝－45，cos α＝x r ＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－1.[一点通] 已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r ，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．1．角α的终边过点P (－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值是____________．解析：P (－8m ，－3)，由cos α＝－45可得－8m 64m 2＋9＝－45，解得m ＝12(m ＝－12不合题意，舍去)．答案：122．已知角α终边上点P (x,3)(x ≠0)，且cos α＝1010x ，求sin α，tan α. 解：∵r ＝x 2＋9，cos α＝x r， ∴1010x ＝xx 2＋9.又x ≠0，则x ＝±1. ∵y ＝3＞0，∴α在第一或第二象限．当α在第一象限时，sin α＝31010，tan α＝3.当α在第二象限时，sin α＝31010，tan α＝－3.3．已知角的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1，2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2. (2)当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－2＋－2＝5，得sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2.[例2] 确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π 3；(3)tan 191°－cos 191°；(4)sin 3·cos 4·tan 5.[思路点拨] 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．[精解详析] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.从而tan 108°·cos 305°<0，∴式子符号为负．(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角．∴cos 5π6<0，tan 11π6<0，sin 2π3>0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3>0.∴式子符号为正．(3)∵191°是第三象限角， ∴tan 191°>0，cos 191°<0. ∴tan 191°－cos 191°>0. ∴式子符号为正．(4)∵π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. ∴sin 3·cos 4·tan 5>0. ∴式子符号为正．[一点通] 对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．4．判断下列各式的符号： (1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3.解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin 105°＞0，cos 230°＜0. 于是sin 105°·cos 230°＜0. (2)∵π2＜3＜π，∴3是第二象限角，∴cos 3＜0，又－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＞0， ∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＜0.5．已知sin α·tan α>0，则α是第几象限角？解：∵sin α·tan α>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，tan α>0，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α<0，tan α<0.当sin α>0，且tan α>0时，α为第一象限角；当sin α<0，且tan α<0时，α为第四象限角． ∴α为第一、四象限角.[例3] 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3与sin 4π5，cos 2π3与cos 4π5，tan 2π3与tan 4π5的大小．[思路点拨] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时依据三角函数线的长度和正负．[精解详析] 在直角坐标系中作单位圆如图，以Ox 轴正方向为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.由图形可知：MP >M ′P ′，符号相同⇒sin 2π3>sin 4π5，OM >OM ′，符号相同⇒cos2π3>cos 4π5，AT <AT ′，符号相同⇒tan 2π3<tan 4π5.[一点通] 利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．6．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________．解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较可得．答案：sin 1.5>sin 1.2>sin 17．利用三角函数线，求满足下列条件的角x 的集合． (1)sin x ≤12； (2)cos x ＜32.解：(1)利用角x 的正弦线，作出满足sin x ≤12的角x 的终边所在位置的范围．如图(1)的阴影部分，由图形得角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .(2)利用角x 的余弦线，作出满足cos x ＜32的角x 的终边所在位置的范围，如图(2)的阴影部分，由图形得角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜x ＜2k π＋11π6，k ∈Z .1．准确理解三角函数的定义根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．2．确定三角函数的符号根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y 、横坐标x 的符号；正切值则是纵坐标y 、横坐标x 同号时为正，异号时为负．3．三角函数线的应用三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小．课下能力提升(三)一、填空题1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________.解析：∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：0 2．有下列命题：(1)若sin α>0，则α是第一、二象限的角； (2)若α是第一、二象限角，则sin α>0； (3)三角函数线不能取负值；(4)若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的序号是________．解析：只有(2)正确；∵sin π2＝1>0，但π2不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cos α＝x x 2＋y 2(∵α是第二象限角，已有x <0)，∴(4)不正确．答案：(2)3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．解析：由cos α≤0及sin α＞0知角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上．故⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案：(－2,3]4．角α的终边上有一点P (a,4)，且tan α＝43，则3sin α－2cos α的值为________．解析：∵tan α＝43，∴a ＝3.∴r ＝32＋42＝5，sin α＝45，cos α＝35，∴3sin α－2cos α＝125－65＝65.答案：655．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4； ③tan π8>tan 3π8；④sin 3π5>sin 4π5.其中判断正确的有________．解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin π6＝－sin 7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4，tanπ8<tan 3π8，sin 3π5>sin 4π5，∴②④正确．答案：②④ 二、解答题6．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，若角α终边过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α的值．解：依题意，P 到原点O 的距离r ＝|OP |＝－32＋y 2＝3＋y 2. ∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16. ∴y 2＝73，y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限，且cos α＝－33＋y2＝－33＋73＝－34.7．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.8．已知π4<θ<π2，试用三角函数线比较sin θ，cos θ，tan θ的大小．解：如图，在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线， sin θ＝MP >0, cos θ＝OM >0， tan θ＝AT >0，由图知OM <MP <AT ，即cos θ<sin θ<tan θ.第2课时同角三角函数关系若角α的终边与单位圆交于P (x ，y )，如图．问题1：角α的三角函数值是什么？提示：sin α＝y .cos α＝x .tan α＝y x. 问题2：sin α与cos α有什么关系？提示：sin 2α＋cos 2α＝y 2＋x 2＝1.问题3：sin αcos α的值与tan α有什么关系？提示：sin αcos α＝y x＝tan α.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而tan α＝sin αcos α并不是对任意角α∈R 都成立，此时α≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] (1)若sin α＝－45，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；(2)已知tan α＝2，求2sin α－2cos α4sin α－9cos α的值．[思路点拨] 第(1)题应先利用平方关系求余弦，再由商的关系求正切；第(2)问先把所求式化为只含tan α的代数式，再代入求值． [精解详析] (1)∵sin α＝－45，α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35，tan α＝sin αcos α＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(2)∵tan α＝2， ∴2sin α－2cos α4sin α－9cos α＝2tan α－24tan α－9＝2×2－24×2－9＝－2.[一点通] 已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意： (1)角所在的象限；(2)用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；(3)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tan α＝sin αcos α代入sin α、cos α的值即可求得tan α.1．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.解析：∵sin α＋cos α＝12，∴(sin α＋cos α)2＝14，即1＋2sin αcos α＝14.∴sin αcos α＝－38.答案：－382．若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝__________.解析：由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， ∴sin θcos θ＝－12.∴tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－2. 答案：－23．若cos α＝513，求sin α和tan α.解：∵cos α＝513>0，∴α是第一或第四象限角．当α是第一象限角时，sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝125；当α是第四象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－5132＝－1213.∴tan α＝sin αcos α＝－125.4．保持本例(2)的条件不变，求4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α的值．解：4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.[例2] 化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α·sin α1＋sin α.[思路点拨] 采用切化弦，减少函数种类，以达到化简的目的． [精解详析]原式＝tan α＋sin αtan α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α1＋sin α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α· sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tan α.[一点通] 化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简． (2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的．5.sin θ－cos θtan θ－1＝________.解析：sin θ－cos θtan θ－1＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ.答案：cos θ6．化简1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为________．解析：原式＝sin 210°－2 sin 10°cos 10°＋cos 210°sin10°－cos 210° ＝－2sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. 答案：－17．若3π2＜α＜2π，化简：1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α.解：∵3π2＜α＜2π，∴0＜cos α＜1，－1＜sin α＜0，∴原式＝－cos α2＋cos α－cos α＋＋cos α2－cos α＋cos α＝－cos α21－cos 2α＋＋cos α21－cos 2α＝（1－cos α）2sin 2α＋（1＋cos α）2sin 2α＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α.[例3] 求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ. [思路点拨] 从较复杂的一边入手，采用切化弦的方式，即把左边的正切值用tan θ＝sin θcos θ替换．[精解详析] 左边＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θsin θ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θcos θ＋cos θ ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． ∴原式成立．[一点通] 证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有： (1)从一边开始证明它等于另一边； (2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．8．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x.证明：法一：右边＝1＋sin x cos x 1－sin x cos x ＝cos x ＋sin xcos x －sin x＝x ＋sin x 2x －sin x x ＋sin x＝cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋2sin x cos xcos 2x －sin 2x ＝左边，∴原式成立．法二：左边＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos xcos x －sin x ＝x ＋cos x 2x ＋sin x x －sin x ＝sin x ＋cos xcos x －sin x＝tan x cos x ＋cos x cos x －tan x cos x ＝1＋tan x1－tan x＝右边，∴原式成立．9．求证：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α.证明：左边＝α－cos α＋α＋cos α＋α＋cos α－α＋cos α＋＝α＋2－cos 2αα＋cos α2－1＝sin 2α＋2sin α＋1－cos 2α1＋2sin αcos α－1＝2sin α＋sinα2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边．∴原等式成立．1．对同角三角函数的基本关系式的理解“同角”有两层含义，一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin 23α＋cos 23α＝1，tan α2＝sinα2cosα2.2．同角三角函数的基本关系式的应用(1)应用同角三角函数关系式时，应灵活选择和使用．如cos 2α＝1－sin 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos α＝sin αtan α，sin α＝tan α·cos α等，上述关系都必须在定义域允许的范围内才成立．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外的三角函数值，且因为利用“平方”关系公式，最终需求平方根，会出现两解，所以要注意角所在的象限．这类问题通常会出现以下这几种情况：①如果已知三角函数值，且角的象限已被指定，那么只有一组解；②如果已知三角函数值，但没有指定角所在的象限，那么先由三角函数值确定角所在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；③如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角所在的象限，则需要分类讨论．课下能力提升(四)一、填空题 1．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m ＝________. 解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1.即(m －3)2＋(4－2m )2＝(m ＋5)2，∴4m 2－32m ＝0. ∴m ＝0或m ＝8 答案：0或82．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝________.解析：∵sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，∴tan α＋12tan α－1＝2.∴tan α＋1＝4tan α－2 即3tan α＝3，∴tan α＝1. 答案：13．化简：cos 4α＋sin 2α·cos 2α＋sin 2α＝________. 解析：cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＋sin 2α ＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：14．已知tan α＝m (π＜α＜3π2)，则sin α＝________.解析：∵tan α＝m ，π＜α＜3π2.∴m ＞0且sin α＜0.又tan 2α＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α＝m 2. ∴sin 2α＝m 21＋m2.∵sin α＜0，∴sin α＝－m1＋m2.答案：－m1＋m25．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________. 解析：∵sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x ＋y ＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0.答案：0 二、解答题6．已知tan x ＝2，求： (1)cos x ＋sin x cos x －sin x 的值； (2)23sin 2x ＋14cos 2x 的值．解：(1)cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋21－2＝－3.(2)23sin 2x ＋14cos 2x ＝23sin 2x ＋14cos 2xsin 2x ＋cos 2x＝23tan 2x ＋14tan 2x ＋1＝23×4＋144＋1＝712. 7．求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.证明：法一：左边＝sin 2αsin α－sin α cos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin α cos αsin 2α＝1＋cos αsin α，而sin 2α＝1－cos 2α， ∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，故左边＝右边，∴原式成立．法二：tan α·sin αtan α－sin α－tan α＋sin αtan α·sin α＝tan 2αsin 2α－2α－sin 2αα－sin ααsin α＝tan 2α2α－＋sin 2αα－sin ααsin α＝－tan 2αcos 2α＋sin 2αα－sin ααsin α＝－sin 2α＋sin 2αα－sin ααsin α＝0，∴tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.8．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．解：法一：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75.法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15 ①，sin 2x ＋cos 2x ＝1 ②，由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0，解得cos x ＝－35，或cos x ＝45.∵－π2<x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos x ＝45，sin x ＝－35，∴sin x －cos x ＝－75.第3课时三角函数的诱导公式一～四对于任意角α.问题1：2k π＋α(k ∈Z )与α的三角函数之间有什么关系？提示：由于α与2k π＋α(k ∈Z )的终边相同，所以三角函数值对应相等．问题2：观察下图，角π－α，π＋α，－α的终边与角α的终边之间有什么关系？你能利用它们与单位圆的交点的坐标之间的关系推导出它们的三角函数之间的关系吗？提示：π－α，π＋α，－α的终边与α的终边分别关于y 轴，坐标原点，x 轴对称．能.诱导公式公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：(1)记忆方法：2k π＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，一句话概括：即“函数名不变，符号看象限”．(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.[例1] 求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6；(3)tan(－945°)．[思路点拨] 利用诱导公式进行化简求值．[精解详析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945° ＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°) ＝－tan 45°＝－1.[一点通] 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．要准确记忆特殊角的三角函数值．1．tan 690°的值为________．解析：tan 690°＝tan(720°－30°)＝－tan 30°＝－33. 答案：－332．cos 29π6＝________.解析：cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos(⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.答案：－323．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解：(1)原式＝sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π4＝22cos 7π6tan π4 ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝22(－cos π6) ＝－22×32＝－64. (2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan 37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4 ＝－3×33sin 60°－22＝－2＋32.[例2] 化简下列各式： (1)π＋αα＋2π－α－π－π－α； (2)－－－.[思路点拨] 利用诱导公式一、二、四将函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．[精解详析] (1)原式＝－cos αα－α＋ππ＋α＝－cos α·sin αsin α－cos α＝1.(2)原式＝－－＝＋＋－360°＋＝－－cos 10°·tan 225°＝sin 30°＋＝sin 30°tan 45°＝12. [一点通] 三角函数式的化简有如下方法：(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.4．化简：＋α－αα－＝____________.解析：＋α－αα－＝sin[360°＋＋αα－－α＝＋ααtan α＝－sin αcos αtan α＝－sin αcos αcos αsin α＝－cos 2α. 答案：－cos 2α5．设k 为整数，化简：k π－αk －π－α]k ＋π＋αk π＋α.解：当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，原式＝m π－αm －π－α]m＋π＋αm π＋α＝－απ＋απ＋αα＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，原式＝m π＋π－αm π－αm ＋π＋αm ＋π＋α]＝π－α－αsin απ＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上可知，当k 为整数时k π－αk －π－α]k ＋π＋αk π＋α＝－1.6．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求siπ－α＋π－απ－α－－α的值．解：由sin(α－π)＝2cos(2π－α)，得－sin α＝2cos α，所以tan α＝－2.所以原式＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝tan α＋5－3＋tan α＝－2＋5－3＋－＝－35.[例3] 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos x －1； (2)g (x )＝x 3sin x ；(3)h (x )＝sin 2(π＋x )＋cos(π－x )cos(－x )－3. [思路点拨](1)判断函数的定义域是否关于原点对称． (2)通过判断f (－x )与f (x )的关系得出结论． [精解详析] (1)∵x ∈R ，又f (－x )＝3cos(－x )－1＝3cos x －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数． (2)∵x ∈R ，又g (－x )＝(－x )3sin(－x )＝x 3sin x ＝g (x )， ∴g (x )为偶函数．(3)∵x ∈R ，h (x )＝sin 2x －cos 2x －3，又h (－x )＝sin 2x －cos 2x －3＝h (x )， ∴h (x )为偶函数．[一点通] 根据诱导公式可知，正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，余弦函数y ＝cos x 为偶函数，正切函数y ＝tan x 为奇函数．7．函数y ＝cos(sin x )的奇偶性为________．解析：令f (x )＝cos(sin x )，则f (－x )＝cos[sin(－x )]＝cos(－sin x ) ＝cos(sin x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．答案：偶函数8．若函数f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋π－－x －π＋12＋2cos π＋x ＋－x，(1)求证：y ＝f (x )是偶函数；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值．解：(1)证明：∵f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x ＝2cos 3x －－cos 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x ＝2cos 3x ＋cos 2x ＋2cos x 2＋2cos x ＋cos x ＝cos x s 2x ＋cos x ＋2cos 2x ＋cos x ＋2＝cos x ，即f (x )＝cos x ，x ∈R .则f (－x )＝cos(－x )＝cos x ＝f (x )， ∴y ＝f (x )是偶函数． (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.诱导公式的应用利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意负角的三角函数――→用公式一或二任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式三或四锐角三角函数可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角再求值”．课下能力提升(五)一、填空题1．sin 480°的值等于________．解析：s in 480°＝sin(360°＋120°) ＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. 答案：322．化简：－απ＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos απ＋απ＋α＝cos αtan α－sin α＝sin α－sin α＝－1.答案：－13．已知cos(π＋α)＝－12，3π2＜α＜2π，则sin(2π－α)的值是________．解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，又3π2＜α＜2π，∴sin α＝－32， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝32. 答案：324．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：∵cos(508°－α)＝1213，∴cos[360°＋(148°－α)]＝1213，即cos(148°－α)＝1213.∴cos(212°＋α)＝cos[360°－(148°－α)] ＝cos(148°－α)＝1213.答案：12135．设函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 013)＝－1，则f (2 014)的值为________．解析：∵f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝－1， ∴f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：1 二、解答题 6．求值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)∵cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋－4π＝tan π4＝1，∴cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(60°＋360°)cos(30°＋2×360°)＋sin[30°＋(－2)×360°]cos[60°＋(－2)×360°]＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60° ＝32×32＋12×12＝1.7．已知sin(3π＋θ)＝14，求cos π＋θcos θ[cos π＋θ－1]＋cos θ－2πcos θ＋2πcos π＋θ＋cos －θ的值．解：sin(3π＋θ)＝－sin θ，∴sin θ＝－14.原式＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos θcos θ－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2 θ＝32. 8．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角．求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．解：∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．又cos(75°＋α)＝13>0，α为第三象限角，可知角75°＋α为第四象限角，则有sin(75°＋α)＝－1－cos 2＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13.第4课时三角函数的诱导公式五～六如图，设角α，π2－α，π2＋α的终边分别与单位圆交于P 1，P 2，P 3.问题1：若点P 1的坐标为(x ，y )，那么P 2，P 3的坐标分别是什么？提示：P 2(y ，x )，P 3(－y ，x )．问题2：你能根据P 1，P 2，P 3的坐标间的关系得出α，π2－α，π2＋α的三角函数之间的关系吗？提示：根据三角函数的定义可求出α，π2－α，π2＋α的三角函数值，从而可推出它们之间的关系．诱导公式诱导公式五～六的巧记方法π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号看象限”．[例1] 化简：π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ＋α.[思路点拨] 充分利用诱导公式及同角三角函数的基本关系进行化简． [精解详析] ∵tan(3π－α)＝－tan α， sin(π－α)＝sin α，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π＋α)＝cos α， sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，∴原式＝－tan αsin α－cos α＋－sin α－sin α－cos α·cos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1. [一点通] (1)本题化简主要采用“异角化同角，导名化同名”的解题策略． (2)注意同角三角函数关系的应用，如sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α等．1．化简sin(π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos(π＋α)＝________.解析：原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－(sin 2α＋cos 2α)＝－1. 答案：－12．化简：π－απ＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－απ＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝________.解析：原式＝sin α－cos αα－cos α－sin αα＝－tan α. 答案：－tan α3．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α－α－π－α－π.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－tan απ＋απ＋α＝－cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－tan αtan α－sin α＝cos α·sin α－sin α＝－cos α.(2)由于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α＝15，所以sin α＝－15.又α是第三象限角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265，故f (α)＝－cos α＝265.[例2]若sin α＝55，求π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－απ＋α⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π2＋α的值．[思路点拨] 可利用诱导公式首先把所求式进行化简，使化简的结果与已知条件sin α＝55建立联系，最后求得数值．[精解详析]π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－απ＋α⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π2＋α＝cos[2π＋π－αcos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π2＋α－1＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αcos α－cos α－＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α. ∵sin α＝55，∴2sin 2α＝10. 即原式＝10.[一点通] (1)利用公式五、六化简时一定要注意符号的准确性及名称的变化． (2)求值时整体把握角与角之间的相互关系及恒等变形，这是常用的解题策略．4．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，则sin(3π－α)＝________.解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，∴－sin α＝12，即sin α＝－12.∴sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝－12.答案：－125．已知π＋θπ＋θπ－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝1，求3sin 2θ＋3sin θ cos θ＋2cos 2θ的值．解：∵π＋θπ＋θπ－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝sin θtan θπ－θ－sin θπ＋θ＝－sin θtan 2θ－sin θtan θ ＝tan θ＝1. ∴3sin 2θ＋3sin θ cos θ＋2cos 2θ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2 ＝3＋31＋3＋2＝1.6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．解：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－33＋33＝0.[例3] 求证：π－α－2π－απ－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.[思路点拨] 解答本题可直接把左边利用诱导公式进行化简推出右边． [精解详析] 左边＝－α－α－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan α－sin ααsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．[一点通] 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活运用，其主要思路是利用诱导公式化同角后，利用同角三角函数关系进行化简证明，可从左边推得右边，也可从右边推得左边．7．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，求证：sinB ＋C2＝cos A2. 证明：∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C ＝π－A . ∴B ＋C 2＝π2－A2∴sinB ＋C2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.8．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝π＋θ＋1π＋θ－1. 证明：左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.右边＝π＋θ＋1π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原式成立．1．利用诱导公式解决条件求值问题的基本思路化简条件三角代数式的常见思路有：(1)若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件； (2)若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式； (3)若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止． 2．利用诱导公式证明三角恒等式(1)三角函数式证明的过程也是化简的过程，它是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直变到0°～90°角的过程．对同一角的化归方式可以多种多样．(2)证明条件等式，一般有两种方法：一是从被证等式一边推向另一边的适当时候，将条件代入，推出被证式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法．课下能力提升(六)一、填空题1．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α)＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α2．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案：－23．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－α＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－a .答案：－a4．若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α＋1，且f (2 013)＝2，则f (2 015)＝________.解析：∵f (2 013)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 013＋α＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 006π＋π2＋α＋1 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1＝cos α＋1＝2，∴cos α＝1.∴f (2 015)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 015＋α＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π＋π2＋α＋1＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1 ＝－cos α＋1＝0. 答案：05．f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)的值为________．解析：∵sin 15°＝cos 75°，∴f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32. 答案：－32二、解答题6．若sin(180°＋α)＝－1010(0°<α<90°)，求－α＋－90°－α－α＋－270°－α的值．解：由sin(180°＋α)＝－1010(0°<α<90°)，得sin α＝1010，cos α＝31010，。

全国第八届青年数学教师优质课教学设计：三函数角的诱导公式含答案

课题：1. 3三角函数的诱导公式(第1课时)教材：人教A版高中数学必修4Ⅰ．教学内容解析本节课的教学内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式四，是三角函数的主要性质。

前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，在此基础上继续学习公式二至公式四为下节课研究公式五，公式六以及以后的三角函数求值、化简打好基础。

三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用.本节课的重点是诱导公式的探究，即利用三角函数的定义借助单位圆，通过寻找角的终边的对称性与角终边与单位圆交点的对称性发现并推导出诱导公式，从而提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识。

Ⅱ．教学目标设置1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简.2.学生经历自主探究发现问题（任意角的三角函数值与ααπαπ-+-,,的三角函数值之间的内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称关系，从三角函数的定义得出相应的关系式）并完成推导过程，体会数形结合及转化思想的运用.3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，从探索中获得成功的体验，感受数学中结构的对称美，形式的简洁美。

Ⅲ．学生学情分析授课班级学生敦化市实验中学实验班学生．1.学生已有认知基础学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，推导公式的关键是明确单位圆上对称点的坐标关系，这一点对于实验班的学生来说是可以独立完成的，学生数学基础与思维能力较好，具有一定的分析问题和解决问题的能力，初步养成了独立思考、合作交流的学习习惯．2.难点及突破策略难点：1、如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法。

《任意角的三角函数》优质课教学设计

任意角的三角函数一、教学内容分析三角函数是重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。

任意角的三角函数是学习诱导公式、三角函数的图象与性质的前提。

它不仅是本节的核心概念，也是三角函数内容的核心概念。

由于角的概念的推广，锐角三角函数的概念也必然要扩充，任意角的三角函数的概念的出现是角的概念推广的必然结果。

二、教学目标分析（一）知识与技能1.能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数、任意角的三角函数。

2.了解三角函数是以角为自量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。

3.知道三角函数是研究一个实数集到另一个实数集的对应关系。

（二）过程与方法1.经历从锐角三角函数定义过渡到任意角的三角函数定义的学习过程，体验三角函数概念的产生、发展过程。

2.在定义任意角的三角函数过程中，领悟直角坐标系的工具功能，体会数形结合的魅力。

（三）情感态度与价值观1.引导学生积极探索、深入思考，在任意角三角函数定义建构的过程中，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，培养学生敢于探索、勇于创新的学习品质。

2.在任意角的三角函数概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。

三、学情分析在概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用，发挥其正迁移，防止其负迁移。

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。

以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫；第三，由于研究范围的改变，更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。

全国第八届青年数学教师优质课教学设计：平面及其基本性质3 Word版含答案

课堂教学设计表
进一步用几何画板动态演示从该物体中抽取一个长方体出来，追问：
长方体是由哪些几何元素构成的？
设计意图：从整体到局部，从现实世界中抽象出数学模型，这么一栋赏心悦目的别墅竟然是由一些几何体组成的，让学生感受到自己生活在一个充满几何体的世界里！那么这些几何体到底是怎样的结构呢？接着，以学生熟悉的长提出新的问题，激发学生的兴趣，让学生感到学习数学是必要的、
师生共同体会公理2在生活中的简单应用．比如相机、测量仪器的三角架定位、三角形所在平面的稳定性等都是公理2的实际应用．
的内容不仅给出了确定一个平面的依据，即“过不在一条直线的三点有一个平面”；而且给出了这样的平面具有唯一性，即
外，该公理还可以判断直线与平面的位置关系，如不共线的三点中任意取两点
的三种表示，总结三种语言的特点和公理
为我们提供了一种判断直线是否在平面内的方法，同时也为我们在纸面上画一条直线在平面内提供了理论依据．进一步分析，直线是向两边无限
是否平整，木匠将绳子拉紧，将两端置于桌旁，通过是否漏光来检查桌面是否用直线的“直”来检查平面的“平”．
在此，向学生介绍平面的数学史．其实，早在几千年前，数学家们就尝试
设计意图：对于“平面”这个极其抽象的概念，教材没有说明其存在性，使得学生对平面的存在性产生疑惑，这会影响学生对平面三个公理的学习．此环节让学生真切感受到平面的存在．点动成线，线动成面！
研究活动：课后请同学们查阅相关书籍，借助网络，了解平面概念的发展史，撰写研究报告．。