刘蒋巍：初三寒假特色课程(数学)

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刘蒋巍中考数学考前串讲讲义

刘蒋巍中考数学考前串讲讲义教学内容中考数学大串讲教学目标理解中考数学解题方法与技巧；理解二次函数、反比例函数、三角函数、三角形、四边形、圆、新定义与新题型解题方法教学重点理解中考数学解题方法与技巧教学难点理解二次函数、反比例函数、三角函数、三角形、四边形、圆、新定义与新题型解题方法教学准备教材教学过程教学内容第一部分中考数学解题方法与技巧技巧1：前一问的条件或结论，为后一问作铺垫如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（2）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ 的大小，并说明理由．技巧3：构造定理所需要的模型如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．第二部分二次函数已知，抛物线1C :1222-++-=m m mx x y 与其顶点P 所在直线l 的另一交点为Q ，将该抛物线1C 向下平移k 个单位（0>k ），得到的新抛物线2C 与直线l 交于N M ,两点，且M 在N 的左侧，求证：NQ MP =第三部分反比例函数第四部分圆（隐圆）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE 面积的最大值是______．（阿波罗尼斯圆）（轨迹圆）第五部分三角形与四边形已知B点坐标为)0,3(，D点坐标为)4,1(-；以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴的正半轴上一动点，连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，∠EMF，MF=60EM=（1）求证：EOM∆∆≌FBM（2）求点F所在函数图像的解析式；（3）求线段DF的长的最小值.菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．若△AEF有一个角为60°，求证△AEF是等边三角形．第七部分新定义与新题型不等式“)0,0(22>>+≥≥+b a ba abab b a ”的几何意义。

新初三数学尖子生学案Day20(主讲人：刘蒋巍)

新初三数学尖子生学案 Day20（主讲人：刘蒋巍)
教学内容新初三数学尖子生学案 Day20：根与系数的关系，圆的基本性质（涉及相似）
教学目标理解根与系数的关系；理解相似三角形；理解圆周角定理
教学重点理解根与系数的关系；理解相似三角形；
教学难点理解相似三角形；理解圆周角定理
教学准备教材，考纲
教学过程
根与系数的关系
【例题求解】
【例 1】已知、是方程 x 2 x 1 0 的两个实数根，则代数式 2 ( 2 2) 的值为
。
思路点拨：所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化
【例 2】如果 a 、 b 都是质数，且 a 2 13a m 0 ， b 2 13b m 0 ，那么 b a 的值为( ) ab
。
2、已知、是方程的两个实数根，则代数式 3 2 2 2 的值为
。
3、CD 是 Rt△ABC 斜边上的高线，AD、BD 是方程 x 2 6x 4 0 的两根，则△ABC 的面积是
。
4、设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x 2 px q 0 的两根， x1 +1、 x2 +1 是关于 x 的方程 x 2 qx p 0 的两根，则 p 、 q 的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。
【例 5】已知：四边形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB、CD 的长是关于 x 的方程 x 2 2mx (m 1 ) 2 7 0 的两个 24
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新初三数学尖子生学案Day14(主讲人：刘蒋巍)

新初三数学尖子生学案Day14主讲人：刘蒋巍（，﹣4）代入y中得，k1＝4，为，4，﹣1），＝x，，解得，或，的垂直平分线，（x＜0）的图象于点D，∵动点P从点D出发，沿射线个单位长度，到达反比例函数（点，∴设移动后的点P的坐标为（，（则代数式．或（舍去），），∴；y（；93399DE，DE∴，∴，4的最小值是．，1．0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，，解得，，＝2x﹣4，＝2，在反比例函数的图象上，∴反比例函数的关系式为y，答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y；（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，），点Q∴PQ（2n﹣4）[2，62 6B为线段AC的黄金．＝20cm，则AB的长为（10）cm；20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【解答】解：（1）∵点B为线段∴AB20＝（10故答案为：（101010，，10BCG，，，求的值；的值．AO，∴．，，+44+8 0，求的值；OB′上的一个动点，将△，求的取值范围．，∴，BM，10，，AC．，，上运动，OA＝OC，AB′6，PA，．•扬州）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数（x＞0）的图象经过点P．小明说：k值最小，在点B位置时（1）当n＝1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．）代入得：，解得：，所在直线的函数表达式为y x；不完全同意小明的说法，理由为：）（x）2，当x时，k max，则不完全同意；（2）当n＝2时，A（1当n≠2时，y x（（，时，为x5 n1．21共页第页。

刘蒋巍：「赢在新学期」《学思堂分层教程》按需研发,类题讲解,一练一得

「赢在新学期」《学思堂分层教程》按需研发，类题讲解，一练一得按需研发，类题讲解，一练一得为了更有针对性地教学，更快地提高学生的成绩，让“低起点、小步子”教学落地生根。

学思堂教育教研组特组织编写了《学思堂分层教程》（丛书）。

该丛书与学校教学同步，根据学生需要，分为“基础、进阶、拓展”等模块，让学生循序渐进地提升。

每一模块均按类题讲解，且强调解题步骤、要素的提炼，真正让学生达到“解一题，通一类”的效果。

《学思堂分层教程》数学系列丛书覆盖“有理数、实数、代数式、整式与分式、方程（组）、不等式（组）、函数、一次函数、反比例函数、二次函数、点线面角、相交线与平行线、三角形、四边形、圆、尺规作图、图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转、图形的相似、视图与投影、图形与坐标、定义命题定理、统计、概率等初中数学学习等30个专题。

《学思堂分层教程》英语系列丛书覆盖“构词法、名词、代词、数词、介词和介词短语、连词、形容词、副词、冠词、动词、时态、被动语态、非谓语动词、句子种类的概念、句子成分、主谓一致、简单句的五种基本句型、并列复合句、主从复合句、there be句型”等22个语法点、“单项选择、完形填空、阅读理解、阅读表达、词汇、用括号内所给动词的正确形式填空、根据所给中文完成句子、书面表达”等8大题型。

《学思堂分层教程》分册目录以下为《学思堂分层教程》系列丛书分册之一：《学思堂分层教程（有理数专题）》目录第1节有理数的概念Part 1基础篇类题1：正数和负数——表示相反意义的量Part 2进阶篇类题1：有理数的分类第2节数轴Part 1基础篇类题1：数轴的概念和画法Part 2进阶篇类题1：数轴比较大小Part 3拓展篇类题1：数轴的实际应用类题2：数轴的线段问题第3节绝对值与相反数Part 1基础篇类题1：绝对值与相反数Part 2进阶篇类题1：绝对值的性质类题2：绝对值的化简类题3：绝对值与数轴结合——数形结合Part 3拓展篇类题1：绝对值的应用类题2：绝对值与数轴动点问题第4节《绝对值与相反数》进阶测试第5节有理数的混合运算Part 1基础篇Part 2进阶篇第6节科学记数法第7节规律探究类问题Part 1基础篇Part 2 进阶篇第8节学法指导：如何做错题集【课程研发主持人简介】刘蒋巍，江苏如东人，CNKI大成编客推荐主编，《课程教育研究》特约编委,学思堂教育研究院教研员，高级中学教师资格（数学）证书持有者，人社部培训机构校长证书持有者，高级家庭教育指导师，注册国际高级职业培训师（CISPL）,注册国际高级礼仪培训师（CISET）,国际注册人力资源管理师（ICHRM），中国成人教育协会高级企业培训师，中国成人教育协会高级礼仪培训师，中商联商业职业技能鉴定指导中心高级行政管理师，中商联商业职业技能鉴定指导中心高级商务谈判，中商联商业职业技能鉴定指导中心高级人力资源管理师，中商联商业职业技能鉴定指导中心高级项目管理师，信息化岗位职业技能教育管理中心、信息化人才培训教育管理中心高级职业经理人。

新初三数学尖子生学案Day18(主讲人：刘蒋巍)

新初三数学尖子生学案Day18．2（2020•鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且x1x2﹣4，求实数k的值．【解答】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，∴k≤3．（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，∵x1x2﹣4，∴x1x2﹣4，∴，∴k＝5或k＝﹣3，由（1）可知：k＝5舍去，∴k＝﹣3．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD2，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为22．故答案为22．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为4﹣π．（结果保留π）【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠DCB＝90°，由勾股定理得，AC2，∴OA＝OC，∴图中的阴影部分的面积＝222＝4﹣π，故答案为：4﹣π．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C，＝S△BOD，S△ACD＝S△OCD＝2，∴S△COE∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴，＝S△OAB，∴4S△OCE∴4k＝2+2k，∴k，故答案为：．（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r a D．R a【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R+r，故A正确；∵AD⊥BC，∴∠DAC∠BAC60°＝30°，在Rt△AOE中，∴R＝2r，故B正确；∵OD＝OE＝r，∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE AC a，∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2，∴r，R a，故C错误，D正确；故选：C．（2020•随州）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（）A．1B．3C．1D．3【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x3＝x•x2＝x（x+1）＝x2+x＝x+1+x＝2x+1，x4＝x•x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（x+1）+x＝3x+2，∴x4﹣2x3+3x＝3x+2﹣2（2x+1）+3x＝3x+2﹣4x﹣2+3x＝2x，解方程x2﹣x﹣1＝0得x1，x2，∵x＞0，∴x，∴x4﹣2x3+3x＝21．故选：C．（2020•随州）如图，直线AB与双曲线y（k＞0）在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为2．【解答】解：过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足分别为M、N，∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∵AM∥BN，∴，∴CN＝MN，设BN＝a，则AM＝2a，∵点A、B在反比例函数的图象上，∴OM•AM＝ON•BN，∴OM ON，即：OM＝MN＝NC，设OM＝b，则OC＝3b，∵△AOC的面积为3，即OC•AM＝3，∴3b×2a＝3，∴ab＝1OM•AM b×2a＝ab＝1|k|，∴S△AOM∴k＝﹣2（舍去），k＝2，故答案为：2．（2020•鄂州）如图，点A是双曲线y（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y上运动时，点B在双曲线y上移动，则k的值为﹣9．【解答】解：∵点A是反比例函数y（x＜0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC ＝x ，AC，∵OB ⊥OA ，∴∠BOD +∠AOC ＝∠AOC +∠OAC ＝90°，∴∠BOD ＝∠OAC ，且∠BDO ＝∠ACO ，∴△AOC ∽△OBD ，∵OB ＝3OA ，∴，∴OD ＝3AC ，BD ＝3OC ＝3x ，∴B （，﹣3x ），∵点B 反比例函数y图象上，∴k （﹣3x ）＝﹣9，故答案为：﹣9．如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠=∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．已知：如图， ABC 为锐角三角形，AB=BC ，CD ∥AB ．求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP=12BAC ∠．作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP ．线段BP 就是所求作线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP=．∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=12∠BAC （）（填推理依据）∴∠ABP=12∠BAC【答案】（1）见解析；（2）∠BPC ，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；（2）利用平行线的性质证明：,ABP BPC ∠=∠再利用圆的性质得到：∠BPC=12∠BAC ，从而可得答案．【详解】解：（1）依据作图提示作图如下：（2）证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP=BPC ∠．∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=12∠BAC （在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．）（填推理依据）∴∠ABP=12∠BAC 故答案为：∠BPC ；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．()3如图2，连接AG，求证：EG【答案】（1）见解析；（2）152+；（3【解析】如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________关于直线m 的“特征数”为_________；②若直线n 的函数表达式为4y =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以)1,0是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线y=∵直线n的函数表达式为3当x=0时，y=4；当y=0时，x=-∴直线n经过点E（0，4），点F设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k≠0）,将点()1,4M 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中，114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①②②-①得：n-4=mk-k ，③又∵直线NF ⊥直线l ，。

尖子生学案：初三期末复习(2021.01.10)主讲人：刘蒋巍

尖子生学案：初三期末复习主讲人：刘蒋巍2021.01.10函数图像一次函数与几何轨迹问题新定义问题在直角坐标系中，点P（a，b）的“变换点”的坐标定义如下：当a≥b时，点P1的坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，点P1的坐标为（b，﹣a）．（1）直接写出点A（5，6）、B（3，2）、C（4，4）的变换点A1、B1、C1的坐标；（2）P（a，b）为直线y=﹣2x+6上的任一点，当a＜b时，点P（a，b）的变换点在一条直线M上，求直线M的函数解析式并写出自变量的取值范围；1,32k b ==-解：（1）A （5，6）的变换点坐标是（6，﹣5），B （3，2）的变换点坐标是（3，﹣2），C （4，4）的变换点坐标是（4，﹣4）；…………6分（2）∵当a ＜b 时，∴x ＜﹣2x +6，得x ＜2，…………2分在x ＜2范围内任取两点，并求出变换点坐标设直线M 的函数解析式为y =kx +m ，......3分∴13(2)2y x x =-<． (1)分定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”.（1）如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠A 为36°，求证：△ABC 是倍角三角形；（2）若△ABC 是倍角三角形，C B A ∠>∠>∠，∠B=30°，AC=24，求△ABC 面积；（3）如图2，△ABC 的外角平分线AD 与CB 的延长线相交于点D ，延长CA 到点E ，使得AE =AB ，若AB +AC =BD ，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明.（图1）（图2）（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C =180°，∠A =36°∴∠B=∠C =72°——————————————————2分∴∠A =2∠C即△ABC 是倍角三角形——————————————————3分（2）∵∠A >∠B >∠C ，∠B =30°①当∠B =2∠C ,得∠C =15°过C 作CH ⊥直线AB ，垂足为H ，可得∠CAH =45°∴AH=CH =22AC =4.∴BH =34∴AB=BH-AH=34-4—————————————————4分∴S=83821-=⋅CH AB —————————————————5分②当∠A =2∠B 或∠A =2∠C 时，与∠A >∠B >∠C 矛盾，故不存在。

初三数学寒假课程规划

初三数学寒假课程规划第一周：本周主要复习初二数学的知识点，以夯实基础为主。

每天安排3-4小时的学习时间，重点复习以下内容：1. 整数的加、减、乘、除运算：包括有理数的加、减、乘、除运算、乘方、倍数和约数等基本概念。

2. 分数的加、减、乘、除运算：包括分数的乘方运算，分数的化简等基本概念和技巧。

3. 百分数：包括百分数的意义、百分数的转换、百分数之间的关系等基本概念和应用。

4. 几何图形：包括平行四边形、三角形、四边形的性质和计算，圆的性质和计算等基本几何知识。

5. 数据统计：包括数据的收集、整理、描述、分析等基本概念和方法。

6. 代数式与方程式：包括代数式的意义和性质，方程的解的概念、解方程的基本方法等。

第二周：本周主要复习初三上学期数学的知识点，以强化能力为主。

每天安排4-5小时的学习时间，重点复习以下内容：1. 二次根式与分式：包括二次根式的性质和计算，分式的加、减、乘、除等基本概念和方法。

2. 线性方程组：包括线性方程组的概念、解的判定和解的求法等基本知识。

3. 几何变换：包括平移、旋转、镜像等基本几何变换的性质和计算。

4. 相似与全等三角形：包括相似三角形的判定、全等三角形的判定等基本知识和应用。

5. 平面向量：包括平面向量的概念、加法、减法、数量积和向量内积等基本概念和运算法则。

6. 函数与图像：包括函数的概念、函数的图像、函数的性质和函数的应用等基本知识。

第三周：本周主要复习初三下学期数学的知识点，以提高能力和应用为主。

每天安排5-6小时的学习时间，重点复习以下内容：1. 平方根与立方根：包括平方根、立方根的性质和计算，解一元二次方程等基本概念和方法。

2. 三角函数：包括正弦、余弦、正切等三角函数的概念、性质和计算。

3. 数据的分析与推断：包括数据样本的选取和描述，统计量的计算和比较，以及概率的计算等基本概念和方法。

4. 平面几何初步：包括平行线、垂直线、角的认识和计算，等腰三角形、相交线和角的性质等基本知识和应用。

互动探讨,关键点拨,规律总结,学以致用——刘蒋巍教学理念展示

互动探讨，关键点拨，规律总结，学以致用——【刘蒋巍教学理念】展示【数学教师教学理念】展示《刘蒋巍数学课堂》理念互动探讨，关键点拨规律总结，学以致用互动探讨：我们要的不仅是答案，而是形成答案的思维过程。

关键点拨：哪里是老师一点拨，你就恍然大悟的地方？规律总结：题目一旦被解决，就会被人发现其套路。

学以致用：题目变了，你还能敏锐地发现其本质，化归为研究过的题。

《刘蒋巍数学课堂》理念详解版互动探讨：知识是在互动探讨中习得的。

你要的不仅是听，你要去思考，去表达，去和刘老师一起探讨。

我们要的不仅是答案，而是形成答案的思维过程。

理解每一步，理解为什么这么去做。

探讨你的不同做法。

探讨方法的可行性。

思维在探讨中升级。

认知在探讨中迭代。

关键点拨：任何事的完成都有关键点。

任何题目的解决都有关键点。

这类题目解决的关键点是什么？哪里是老师一点拨，你就恍然大悟的地方？这个地方就是解题关键点。

研究关键点，你将一眼看到题目的破绽，提高解题效率。

规律总结：题目一旦被解决，就会被人发现其套路。

经典题，都有解题套路。

这个“套路"就是规律。

所以，我们做完一道题，不要忙着去做下一题。

题海无边，如果不去总结规律，当你做到类似题时，它认识你，你不认识它，这是多么尴尬的事！如果我们及时总结规律，形成解题步骤。

你会发现，海量的题目突然归结成一类一类的题型。

你把握这些题型的解题规律，你就具备了解题高手的能力。

学以致用：怎样检验你学会了，而不只是听懂了？那就是你自己会做类似题，会做变式题。

题目变了，你还能敏锐地发现其本质，化归为研究过的题。

找到这份“似曾相识”，找到这份亲切感。

你就找到了数学解题的乐趣，找到了“独立解答出难题”的成就感！刘蒋巍数学课堂，每一道题都经典教师简介刘蒋巍刘蒋巍，江苏如东人，中国数学会会员，CNKI大成编客推荐主编，《课程教育研究》特约编委,学思堂教育研究院院长，师生成长高级研修院院长，“刘蒋巍创业实验室”创办人，“YOUSTUDY专转本培训"创办人。

新初三数学尖子生学案Day27(主讲人：刘蒋巍)

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新初三数学尖子生学案 Day27（主讲人：刘蒋巍)
教学内容教学目标
新初三数学尖子生学案 Day27
主讲人：刘蒋巍
新初三数学尖子生学案 Day27
理解相似三角形综合问题；理解圆综合问题；理解三角函数
教学重点理解相似三角形综合问题；理解三角函数
教学难点理解相似三角形综合问题；理解圆综合问题；理解三角函数
（2）①如图②-1，当 AB＝AP 时，若 PC＝2AC，则AC＝1，∴AC＝1；······················ 4 分 AP 3 AB 3
3
新初三数学尖子生学案 Day27（主讲人：刘蒋巍)
②如图②-2，当 PA＝PB 时，易证△ABC∽△APO，∴AC＝AB， AO AP
∵2AC＝PC，设 AC＝k，则 PC＝2k，∴1AkB＝A3Bk ，AB＝
O
B
B
P2
③
④
P4
答案:D
4
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5
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教学反思
6k，∴AC＝ 1 ＝ 6．···········6 分 AB 6 6
2
P
P
C A
C A
O
O
B
②-1
B
②-2
（1）如图③④，满足条件的点 P 共有 4 个．··················································· ······9 分

刘蒋巍：2023全国1卷数学第19题函数不等式问题的源与流

2023全国1卷数学第19题函数不等式问题的源与流文/刘蒋巍【试题呈现】（2023全国1卷第19题）已知函数xa e a x f x -+=)()(（1）讨论)(x f 单调性。

（2）证明：当0>a 时，求证：23ln 2)(+>a x f 【出题背景及命制思路简析】（凸函数的“切线不等式”）若f 是区间I 上的可微凸函数，则经过点)))((,(000I x x f x ∈的切线一定在曲线)(x f y =的下方，即成立不等式Ix x x x f x f x f ∈∀-'+≥),)(()()(000又若f 为严格凸函数，则上述不等式成立等号的充分必要条件是0x x =.简证：将上述不等式的右边移项到左边，应用拉格朗日中值定理有：)))(()(())(()()(00000x x x f f x x x f x f x f -'-'=-'--ξ其中),(0x x ∈ξ.又f 是区间I 上的可微凸函数，则f '在I 上为增函数；则0)()(0≥'-'x f f ξ，又0x x >，则0)))(()((00≥-'-'x x x f f ξ即：))(()()(000x x x f x f x f -'+≥若f 为严格凸函数，则f '在I 上严格单调增加。

因此，当且仅当0x x =时，等号成立。

本题第（2）问就是以此为背景命制而成。

当0>a 时，给出函数a a ae x g x ln 2)(2-+=，其在点1(ln ,1(ln a g a 处的切线方程为：a a x y ln 12-++=，该切线与23+=x y 平行，且恒在23+=x y 上方。

【理由简述】a a a a a a ln 121041)21(21222>->-⇒>+-=+-23ln 12>-+⇒a a 23ln 12+>-++⇒x a a x 同时，当0>a 时，0)(>='x ae x g ，0)(>=''x ae x g ，则函数a a ae x g x ln 2)(2-+=为增函数且为“下凸函数”。

刘蒋巍：(参考答案)九年级10月月考(一元二次方程、相似三角形与圆基础)

（参考答案）九年级10月月考（一元二次方程、相似三角形与圆基础）策略1以静制动，巧破动点问题我们把“不变的因素”称为“静”，“变化的因素”称为“动”。

突破动点问题的关键是“以静制动”，即：在变化的过程中寻求不变的因素。

与此同时，动点问题的求解，还有一句口诀：“动点问题找临界”，即抓住动点问题的临界状态来思考动点问题。

例1如图，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别(8,0)、(0,，C 是AB 的中点，过C 作y 轴的垂线垂足为D.动点P 从点D 出发，沿DC 向C 匀速运动，过点P 做x 轴的垂线，垂足为E ，连接BP 、EC.当BP 所在直线与EC 所在直线第一次垂直时，点P 的坐标为_________.分析：延长BP 交CE 于F ，在运动过程中，FPE PBD ∠=∠保持不变（不变的因素，称为“静”，为解题突破口）。

要使BP 所在直线与EC 所在直线，则需CEP BPD ∠=∠（请读者思考），即BPD ∆∽CEP∆设P 点横坐标为x ，则x PD =，x PC -=4，则x x 334=-，3)4(=-x x ，0342=+-x x ，则3,121==x x ；第一次垂直时，点P 的坐标为)3,1(变式1（擦除法）原题添设条件“点P 运动到C 时停止运动”，并将条件“第一次”删除，求P 点的坐标。

参考答案：点P 的坐标为)3,1(或)3,3(变式2（背景转换法）已知在□ABCD 中，CD BD ⊥，3=AB ，4=BD ，点P 沿DB 方向向B 匀速运动，且到达B 点停止运动，当CPD ∆与APB ∆相似时，PD的图1图2长为______参考答案：1或2或3策略2退中求进，特殊性看问题数学家华罗庚说过，复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方。

这个“地方”是指最容易看清问题的地方，问题看清了，就解决了。

如2016嘉兴第16题第（1）问，由“运动的全过程”退到“极端位置”。

浅谈数学建模与数学探究(刘蒋巍)

浅谈数学建模与数学探究刘蒋巍（学思堂教育研究院，江苏常州，213000）数学建模（mathematical modeling）是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建数学模型解决问题的过程。

数学探究（mathematical inquiring）是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程。

数学建模连接两个世界：数学内部世界和外部世界（运用数学的知识和方法解决实际问题），而数学探究通常在数学内部世界进行探索。

数学建模核心素养有四个方面：情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思。

数学建模与数学探究活动以课题研究的形式开展，主要包括选题、开题、做题、结题四个环节。

研究报告或小论文（独立完成或2~3人小组合作）及其评价存入学生个人学习档案，为大学招生提供参考依据。

数学建模活动是在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。

建模是开放且复杂的；当学生建模时，他们必须做出真正的选择；建模问题可以来自于熟悉的任务；评价的重点在于过程，而不是结果或个别要素。

数学建模教学的推进分为以下八个层次：一是，为了帮助学生理解、建立概念，掌握函数、定理、公式等而有意设计的实际情境；二是，直接套用数学概念、函数、定理、公式等，给出有实际意义的结果（如函数值），或者解释、说明、得到结果的实际意义；三是，通过简单的变换，间接套用数学概念、函数、定理、公式等，给出有实际意义的结果；四是，教师或教材给出实际问题，并带领（教材是引领）学生完成数学化的、简单具体的数学应用；五是，教师或教材给出实际问题，学生自主完成数学化的、简单具体的数学应用；六是，教师或教材给出问题情境，学生自主提出实际问题，师生一起完成“建立模型”和“模型求解”的主要过程的数学活动；七是，全过程（选题、开题、做题、结题）、学生部分自主（发现提出问题，模型的选择和建立，求解模型，给出模型结果的解释，在这些环节中，教师部分参与，给予指导和支持）的数学建模活动；八是，全过程、全自主（学生自主发现提出问题，自主完成数学化的建模过程，自主求解模型，自主给出模型结果的解释，在整个过程中可以自主决定是否寻求教师的帮助）的数学建模活动。

刘蒋巍：初二寒假第1课：平行四边形复习课(1)

102 122 2 61 变式 1 如图，已知线段 AB 12, 点 M , N 是线段 AB 上的两点，且 AM BN 2, 点 P 是线段 MN 上的动点，分别以线段 AP、BP 为边在 AB 的同侧作正方形 APDC、正方形 PBFE ，点 G、H 分别是正方形 APDC、正方形 PBFE 的中心，点 O 是 GH 的中点，当 P 点从 M 点到 N 点运动过程中，OM OB 的最小值是______，点 O 移动路径的长为_______
（1）QB＝8－2t，PD＝ 4 t ．
3
（2）如图 3，作∠ABC 的平分线交 CA 于 P，过点 P 作 PQ//AB 交 BC 于 Q，那么四边形 PDBQ 是菱形．
过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E，那么 BE＝BC＝8．在 Rt△ABC 中，AC＝6，BC＝8，所以 AB＝ 10．图3
平行四边形章节复习
（常州外国语学校考试题）如图，已知线段 AB 12, 点 M , N 是线段 AB 上的两点，且
AM BN 2, 点 P 是线段 MN 上的动点，分别以线段 AP、BP 为边在 AB 同侧作正方形
APDC、正方形 PBFE ，点 G、H 分别为 CD、EF 的中点，点 O 是 GH 的中点，当 P 点从 M 点到 N 点
图1
图2
思路点拨
1．菱形 PDBQ 必须符合两个条件，点 P 在∠ABC 的平分线上，PQ//AB．先求出点 P 运动的时间 t，再根据 PQ//AB，对应线段成比例求 CQ 的长，从而求出点 Q 的速度．
2．探究点 M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点 M 的路径．满分解答
刘蒋巍：初二寒假第 1 课：平行四边形复习课（1）
刘蒋巍：初二寒假第 1 课：平行四边形复习课（1）教学内容寒假第 1 课：平行四边形复习课（1）教学目标掌握平行四边形的性质；理解矩形的性质及判定；理解菱形的性质及判定；教学重点掌握平行四边形的性质；理解矩形的性质及判定；教学难点理解菱形的性质及判定；理解正方形的性质及判定；教学准备教材，考纲