随机过程的微分及积分

随机过程的微分和积分

9在高等数学中，数列的收敛与极限是微积分的基础。

9在随机过程中，随机序列的收敛与极限的则是随机过程微积分的基础。

随机序列收敛的几种定义

9在“处处收敛”的定义中，Ω中只要有“一个”ξi 对应的样本序列不收敛，则随机序列{X (n )}就不是“处处收敛”的。9这个条件一般的随机序列都不容易满足。{}()i x n

2、以概率1收敛（“几乎处处收敛”）

almost .every.where

若随机序列{X(n)}相对试验E 的所有可能结果ξ∈Ω满足：则称：随机序列{X(n)} “以概率1收敛”于随机变量X 。简记：{lim ()}1.{()}n P X n X a e X n X

→∞==⎯⎯⎯→

5、均方收敛（平均意义下的收敛）Mean.square 设随机序列{X(n)}对所有的n=1,2,…二阶矩存 在，随机变量X的二阶矩也存在。 若{X(n)}、X满足：
lim E{ X (n) − X } = 0
2 n→∞
则称：随机序列{X(n)} “均方收敛”于随机变量X。
l 记作： ⋅ i ⋅ m X (n) = X ，或：
n→∞
X (n) ⎯⎯→ X ⎯
M ⋅S

均方收敛的充要条件（柯西准则）
若随机序列{X(n)}和随机变量X的二阶矩均存 在，则{X(n)}均方收敛于X的充要条件是：
n →∞ m →∞
lim E{ X (n) − X (m) } = 0
2
2
只需要对随机序列{X(n)}的一个方差 E[ X (n) − X (m) ] 进行检验，比较方便。 进行检验 方便 在随机过程中运用的是均方收敛。

四种收敛模式之间的关系
a⋅e
e
M ⋅S
P
d
a⋅e
e P
d
M ⋅S

随机过程的均方连续

1、定义 若二阶矩过程在t∈T上满足
Δt →0
lim E{[ X (t + Δt ) − X (t )] } = 0
2
则称X(t) 在t∈T上，“在均方意义下”连续。或 称该二阶矩过程X(t)具有“均方连续性”。常表 示为
l ⋅ i ⋅ m X (t + Δt ) = X (t )
Δt →0
t ∈T
或者简称过程m.s连续。

2、均方连续的准则 （过程X(t) 在t∈T上均方连续的“充要条件”） （1）若X(t) 的自相关函数 R X (t1 , t 2 ) 在t∈T (t1=t2=t)上连续，则X(t)便在t∈T上均方连续。 上均方连续
t2 T 0 T
t1 = t 2 = t ∈ T
t1

（2）若X(t) 在t∈T上均方连续，则 R X (t1 , t 2 ) 在t1=t2=t上一般连续。 上一般连续

证明：
R X (t + Δt1 , t + Δt 2 ) − R X (t , t ) = E[ X (t + Δt1 ) X (t + Δt 2 )] − E[ X (t ) X (t )] = E{[ X (t + Δt1 ) − X (t )] X (t + Δt 2 )} + E{ X (t )[ X (t + Δt 2 ) − X (t )]}
⑴ 利用许瓦兹不等式 ⑴
⑵
1 E{[X (t + Δt1 ) − X (t)]⋅ X (t + Δt2 )} ≤ {E{[X (t + Δt1 ) − X (t)]2 }⋅ E[ X 2 (t + Δt2 )]} / 2
E{ X (t ) ⋅ [ X (t + Δt 2 ) − X (t )]} ≤ {E[ X 2 (t )] ⋅ E{[ X (t + Δt 2 ) − X (t )]2 }}1 / 2
⑵ 对不等式两端取 lim (1) ≤ lim {∗} 1 及 lim (2) ≤ lim {∗} 1 2 2 Δt1→ 0 Δt1→0 Δt 2→0 Δt 2→0 极限：

随机过程的微分 随机过程
一. 随机过程的微分（导数） 1. 均方导数的定义 设均方连续过程[ X(t), t∈T ]和随机过程[X (t) ′，t∈T],若 在整个T内当 Δt → 0 时，满足
2 ⎧⎡ X (t + Δt ) − X (t ) ⎪ ⎪ ⎤ ⎫ ′⎥ ⎬ = 0 − X (t ) lim E ⎨⎢ Δt → 0 Δt ⎪⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭
或
X (t + Δt ) − X (t ) l ⋅i ⋅m = X (t )′ Δt →0 Δt
则称过程X(t)在t∈T上均方( m.s )可导（可微）。 而
X (t )′ =
dX (t ) dt
便称为过程X(t)在t∈T上的均方导数。

2. 均方可微的条件
在检验过程X(t)是否均方可微时，我们遇到了一个 问题，在上式中， X (t) ′是待求的。 在X (t) ′尚未求出时，检验X(t)是否均方可微，我 是否均方可微 们可以运用一个能避开X (t) ′的准则－Cauchy准 则。即，如果X(t)满足：
⎧⎡ X (t + Δt ) − X (t ) X (t + Δt ) − X (t ) ⎤ 2 ⎫ ⎪ ⎪ 1 2 − lim E⎨⎢ ⎥ ⎬=0 Δt1 ,Δt2 →0 Δt1 Δt 2 ⎪⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭
则称X(t) 在均方意义下可微。

]

)()([)]()([),(212121•

•==t X t X E t Y t Y E t t R Y 2、Y(t)的自相关函数

根据自相关函数的定义，有

随机过程的均方积分