计量经济学讲义第三讲(共十讲)

第三讲 假设检验

一、

经典线性模型假定

对于模型

01i i i y x ββε=++，利用OLS 有：

112()ˆ()i i i

x x x x εββ-=+-∑∑ 在高斯-马尔科夫假定下，OLS 估计量的抽样分布完全取决于误差项的分布。

在高斯-马尔科夫假定中，我们要求误差项是序列无关与同方差的，现在，我们施加更强的假定，即误差项服从正态分布，即

2(0,)i N δε。应该注意到，当误差项服从正

态分布时，序列无关与独立性是等价的。因此，我们可以把上述分布假设写为：

..2(0,)i i d

i N δε，即误差项服从独立同正态分布。为什么要施加更强的假定呢？这是为

了进行小样本下的假设检验。2(0,)i

N δε与高斯-马尔科夫假定一起，被称为经典线性模型假定。在经典线性模型假定下，可以证明，OLS 估计量是方差最小的无偏估计量（注

意！此时不需要把比较范围限制在线性估计量之中）。 笔记：

1、假设误差项服从正态分布的合理性在于，误差项是由很多因素构成的，当这些因素是独立同分布时，依照中心极限定理，那么这些因素之和应该近似服从正态分布。当然，这并不意味着用正态分布来近似误差项的分布总是恰当的，例如，各因素或许并不同分布。另外，如果y 是价格这样的变量，那么假设误差项服从正态分布是不合理的，因为价格不可能是负数，不过我们可以进行变量变换，例如对价格取自然对数或者考察价格的变化率，那么经过变量变换之后，或许再假设误差项服从正态分布就变得合理了。

2、如果能够对误差项是否服从正态分布进行检验，那最好不过了。一种常用的检验方法是Jarqe-Bera 检验，这可以参见相关的教科书。问题是，尽管我们能观察到解释变量、被解释变量的取值，然而，由于对参数的真实取值无法确定，因此误差是观测不到的，我们或许不得不利用残差来代替误差以进行相关的检验。当然，一个前提是残差确实是对误差的良好近似，这进而要求，我们对参数的估计是合理的。

3、根据公式：

111221()()1ˆ()

()i i i i i i

N x x N x x x x x x εεβββ=•

--=++--∑∑∑∑ 考虑x 非随机这种简单情况，显然，当样本容量很大时，只要误差项是独立同分布的（并不

需要要假定误差项服从正态分布），那么根据中心极限定理，1

ˆβ应该近似服从正态分布。当然，为了保证误差项的独立性，抽样的随机性十分关键。

二、 利用标准正态分布作假设检验

假定

01i i i y x ββε=++是真实模型，当然我们并不知道各参数的真实值是多

少。但某一经济经济理论预言1βω=。如果你手中掌握一样本，一个问题是，你所掌握

的样本支持这个预言吗？

在

经

典

线

性

模

型

假

定

下

，

11

21ˆ

ˆ(,)N βββδ~或者

111

ˆˆ()/()(0,1)sd N βββ-~①

，其中

1

2

2

ˆ2()i

x x β

δδ=

-∑，

1

ˆ()sd β=。

练习：确定

ˆβ的分布。

现在，假设经济理论的预言是正确的，那么针对特定的样本你将得到标准正态分布图横坐标上的一个点：

11

ˆˆ()/()sd βωβ-②

。

现在来考察标准正态分布。在该分布上，存在对称的两点：0.025z

与

0.025z -，其

中：

0.0250.025Pr()Pr()0.025Z z Z z ≥=≤-=

①

定义111

ˆˆz ()/()sd β

ββ=-，则z 就是所谓的z 统计量。估计量是用来估计真实参数的，而统计量是用来做统计推断(或者假设检验）的；统计量是随机的，其分布也被称为抽样分布，针对特定样本，我们得到统计量值，它是非随机的。

②

在这里，该式是非随机的，而特别应该注意的是，分子中的1

ˆβ

是估计值，而分母中的1

ˆβ是估计量。估计值的标准差是零！。

如果把概率为5%的事件称为小概率事件，那么，当

11

ˆˆ()/()sd βωβ-的取值大于0.025z 或者小于0.025z -时，我们认为小概率事件发生了！小概率事件一般是不容易发生

的，现在居然发生了，因此，我们应该怀疑上述经济理论所作出的预言。

笔记：

另外一种直觉性的解释：当

1ωβ=这个假设为真时，粗略看来，即使估计值1

ˆβ 与ω完全相等不太可能，但估计值1

ˆβ 应该接近于ω。然而我们也要注意到，对1β的估计还存在精确性问题，这通过

1

ˆβ统计量的标准差体现出来。也就是说，在原假设为真时，即使估计值

1ˆβ与ω有一定的差异，然而如果1ˆ()sd β较大，那么出现1

ˆβ与ω的较大差异也许是正常的。不过总的来看，当原假设为真时，z 统计量值是应该接近于0的，这要

么是因为

11ˆˆ()/()z sd βωβ=-中的分子确实接近于0，要么是因为尽管1

ˆβ与ω有一定的差异，但主要是由1

ˆ()sd β较大所引起的。当z 统计量值与0具有较大差异时，那么1ωβ=这个假设的真实性是值得怀疑的！

假设检验的正式步骤是：

（1）建立原假设与备择假设：

0111::H H βωβω

=≠

笔记：

原假设与备择假设互斥；假设体系应该是完备的，即原假设与备择假设两者之一必为真，但两者不能同时为真。

（2）确定小概率标准a 。

经常我们把1%、5%或者10%作为小概率标准。对a 更加正式的称呼是“显著水平”。 （3）考察统计量值

11

ˆˆ()/()sd βωβ-是否落在拒绝域：