计量经济学讲义第三讲(共十讲)

第三讲 假设检验一、经典线性模型假定对于模型01i i i y x ββε=++，利用OLS 有：112()ˆ()i i ix x x x εββ-=+-∑∑ 在高斯-马尔科夫假定下，OLS 估计量的抽样分布完全取决于误差项的分布。

在高斯-马尔科夫假定中，我们要求误差项是序列无关与同方差的，现在，我们施加更强的假定，即误差项服从正态分布，即2(0,)i N δε。

应该注意到，当误差项服从正态分布时，序列无关与独立性是等价的。

因此，我们可以把上述分布假设写为：..2(0,)i i di N δε，即误差项服从独立同正态分布。

为什么要施加更强的假定呢？这是为了进行小样本下的假设检验。

2(0,)iN δε与高斯-马尔科夫假定一起，被称为经典线性模型假定。

在经典线性模型假定下，可以证明，OLS 估计量是方差最小的无偏估计量（注意！此时不需要把比较范围限制在线性估计量之中）。

笔记：1、假设误差项服从正态分布的合理性在于，误差项是由很多因素构成的，当这些因素是独立同分布时，依照中心极限定理，那么这些因素之和应该近似服从正态分布。

当然，这并不意味着用正态分布来近似误差项的分布总是恰当的，例如，各因素或许并不同分布。

另外，如果y 是价格这样的变量，那么假设误差项服从正态分布是不合理的，因为价格不可能是负数，不过我们可以进行变量变换，例如对价格取自然对数或者考察价格的变化率，那么经过变量变换之后，或许再假设误差项服从正态分布就变得合理了。

2、如果能够对误差项是否服从正态分布进行检验，那最好不过了。

一种常用的检验方法是Jarqe-Bera 检验，这可以参见相关的教科书。

问题是，尽管我们能观察到解释变量、被解释变量的取值，然而，由于对参数的真实取值无法确定，因此误差是观测不到的，我们或许不得不利用残差来代替误差以进行相关的检验。

当然，一个前提是残差确实是对误差的良好近似，这进而要求，我们对参数的估计是合理的。

3、根据公式：111221()()1ˆ()()i i i i i iN x x N x x x x x x εεβββ=•--=++--∑∑∑∑ 考虑x 非随机这种简单情况，显然，当样本容量很大时，只要误差项是独立同分布的（并不需要要假定误差项服从正态分布），那么根据中心极限定理，1ˆβ应该近似服从正态分布。

当然，为了保证误差项的独立性，抽样的随机性十分关键。

二、 利用标准正态分布作假设检验假定01i i i y x ββε=++是真实模型，当然我们并不知道各参数的真实值是多少。

但某一经济经济理论预言1βω=。

如果你手中掌握一样本，一个问题是，你所掌握的样本支持这个预言吗？在经典线性模型假定下，1121ˆˆ(,)N βββδ~或者111ˆˆ()/()(0,1)sd N βββ-~①，其中122ˆ2()ix x βδδ=-∑，1ˆ()sd β=。

练习：确定ˆβ的分布。

现在，假设经济理论的预言是正确的，那么针对特定的样本你将得到标准正态分布图横坐标上的一个点：11ˆˆ()/()sd βωβ-②。

现在来考察标准正态分布。

在该分布上，存在对称的两点：0.025z与0.025z -，其中：0.0250.025Pr()Pr()0.025Z z Z z ≥=≤-=①定义111ˆˆz ()/()sd βββ=-，则z 就是所谓的z 统计量。

估计量是用来估计真实参数的，而统计量是用来做统计推断(或者假设检验）的；统计量是随机的，其分布也被称为抽样分布，针对特定样本，我们得到统计量值，它是非随机的。

②在这里，该式是非随机的，而特别应该注意的是，分子中的1ˆβ是估计值，而分母中的1ˆβ是估计量。

估计值的标准差是零！。

如果把概率为5%的事件称为小概率事件，那么，当11ˆˆ()/()sd βωβ-的取值大于0.025z 或者小于0.025z -时，我们认为小概率事件发生了！小概率事件一般是不容易发生的，现在居然发生了，因此，我们应该怀疑上述经济理论所作出的预言。

笔记：另外一种直觉性的解释：当1ωβ=这个假设为真时，粗略看来，即使估计值1ˆβ 与ω完全相等不太可能，但估计值1ˆβ 应该接近于ω。

然而我们也要注意到，对1β的估计还存在精确性问题，这通过1ˆβ统计量的标准差体现出来。

也就是说，在原假设为真时，即使估计值1ˆβ与ω有一定的差异，然而如果1ˆ()sd β较大，那么出现1ˆβ与ω的较大差异也许是正常的。

不过总的来看，当原假设为真时，z 统计量值是应该接近于0的，这要么是因为11ˆˆ()/()z sd βωβ=-中的分子确实接近于0，要么是因为尽管1ˆβ与ω有一定的差异，但主要是由1ˆ()sd β较大所引起的。

当z 统计量值与0具有较大差异时，那么1ωβ=这个假设的真实性是值得怀疑的！假设检验的正式步骤是：（1）建立原假设与备择假设：0111::H H βωβω=≠笔记：原假设与备择假设互斥；假设体系应该是完备的，即原假设与备择假设两者之一必为真，但两者不能同时为真。

（2）确定小概率标准a 。

经常我们把1%、5%或者10%作为小概率标准。

对a 更加正式的称呼是“显著水平”。

（3）考察统计量值11ˆˆ()/()sd βωβ-是否落在拒绝域：/2/2(,][,)a a z z -∞-⋃+∞之内。

如果落在上述区间之内，那么在a 显著水平上，我们拒绝原假设，接受备择假设；反之，我们不拒绝原假设，拒绝备择假设。

笔记：1、为什么当统计量值落在拒绝域/2/2(,][,)a a z z -∞-⋃+∞之外时我们说“不拒绝原假设”而不是说“接受原假设”？其解释是：我们可以作出很多的原假设，例如11βω=或者12βω=而我们所计算出来的一些统计量值恰好都落在/2/2(,][,)a a z z -∞-⋃+∞之外，难道我们既接受11βω=也接受12βω=显然更恰当的表达方式是，即不拒绝11βω=也不拒绝12βω=。

2、“接受原假设”没有留有余地，而“不拒绝原假设”表明我们的结论是留有余地的，即，在另外的原假设下也可能不拒绝12βω=。

“接受备择假设”留有余地吗？应该注意到，备择假设是11:H βω≠，因此，即使说“接受备择假设”，这也是留有余地的。

3、设定1%、5%或者10%为显著水平显得有点随意，为何不设2%、6%、7%等为显著水平呢？是否可以依据一个更一般的标准来进行假设检验？答案是肯定的，我们可以依据一个更一般的标准来进行假设检验！既然我们已经计算出统计量值11ˆˆ()/()z sd βωβ=-，如果z 为正，那么根据正态分布表，我们就能够确定Pr()Z z Z z ≥⋃≤-的值（如果z 值为负，那么我们能够确定Pr()Z z Z z ≥-⋃≤的值），我们通常把这个概率值称为伴随概率，简写为P 或者Prob.这个概率值很有用处！例如，假定P 值是0.062，那么，显然，以任何小于6.2%的概率为小概率标准，我们并不拒绝原假设；以任何大于6.2%的概率为小概率标准，我们拒绝原假设。

4、一个总结：在进行双尾检验时，当P 小于给定的显著水平时，那么在给定的显著水平下应该拒绝原假设；反之，则不拒绝原假设。

上述检验都属于双尾检验，即/2/2(,][,)a a z z -∞-⋃+∞是拒绝域。

如果假设体系是：0111::H H βωβω=>那么在显著水平a 下，拒绝域应该是[,)a z +∞，我们进行的是单侧（尾）检验。

为了理解单侧检验，我们回答如下两个问题：问题一：为什么拒绝域是[,)a z +∞？答案：当原假设为真时，那么11ˆˆ()/()Z sd βωβ=-应该在0左右不远处；当备择假设为真时，1ˆβ在真实参数1β左右不远处。

因此，只要真实参数远大于ω，则11ˆˆ()/()Z sd βωβ=-远大于0是非常可能的，而在这种情况下Z 远小于0则不太可能的。

因此，我们把拒绝域设定为[,)a z +∞。

当实际计算出的Z 值落在该区间内时，我们拒绝原假设，接受被择假设。

问题二：为什么/2[,)a z -∞-并不是拒绝域？答案：如果实际计算出的Z 值落在该区间内时我们拒绝了原假设，那么我们更应该拒绝被择假设。

因为当备择为真时，实际计算出的Z 值落在该区间内的概率更小。

基于假设体系的完备性，故我们不把/2[,)a z -∞-设定为拒绝域。

问题三：为何要设置这样的假设体系？答案：这依赖于先验的理论与判断。

例如，假定1β是某正常商品的消费收入弹性，那么1β不可能为负。

我们可以通过建立如下的假设体系：0111:0:0H H ββ=>并基于样本来判断10β=是否为真。

思考题：在假设体系：0111::H H βωβω=≠下，计量软件包计算出为正的统计量值z ，而且P 值为0.120【注：计量软件包默认的P 值是双尾的概率，当z 为正时，它计算的是Pr()Z z Z z ≥⋃≤-】。

问：在假设体系 0111::H H βωβω=>下，以10%为显著水平，我们是否拒绝原假设？三、 t 检验虽然在经典线性模型假定下：111ˆˆ()/()(0,1)sd N βββ-~然而，在1ˆ()sd β==之中，2δ经常是未知的，需要我们估计。

在第二讲时，我们已知道，在高斯马尔可夫假定下，22ˆˆ11iRSS N k N k εδ==----∑是对2δ的一个无偏估计。

我们记1ˆ()se β=，（注：the standard error,se;the standard deviation,sd ）。

可以证明，111ˆˆ()/()se βββ-服从t(N-2)分布。

证明：在经典线性模型假定下有：11111222ˆˆˆ()/()()/(0,1)ˆ/2)i sd N N βββββεδχ⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭-=-~-∑（112)ˆ()/[t N ββ--（化简可得：111ˆˆ()/()2)se t N βββ--（笔记：1、关于随机变量概率分布的知识点见本讲附录1；2、在经典线性模型假定下可证明222ˆ/1)i N k εδχ--∑（具体可参见一些较为高级的教科书。

另外，根据附录1的知识点，一个服从卡方分布的随机变量其期望值等于自由度，故22ˆ(/)1i E N k εδ=--∑。

实际上在第二讲我们已经表明22ˆ[/(1)]i E N k εδ--=∑，这验证了该知识点。

接下来，检验步骤和应该注意的细节就和第二小节没有差异了，除了所利用的是t 分布而不是标准正态分布。

笔记：随着自由度趋于无穷大，t 分布渐进于与标准正态分布，见附录1知识点4。

事实上，当自由度趋于无穷大时，1ˆ()se β在概率上收敛于1ˆ()sd β【前者是对后者的一致估计】，因此，随着自由度趋于无穷大，111ˆˆ()/()se βββ-渐进服从于标准正态分布。