复变函数考题

福师《复变函数》课程练习题

作业一

一、判断题（对的用T 表示，错的用F 表示）

1、如果0()f z '存在，那么()f z 在0z 解析。（ F ）

2、()

n Ln z nLnz =。（ F 3、当且仅当z 为实数时，z

e 为实数。（ F ）

4、设()f z u iv =+在区域D 内是解析的，如果u 是实常数，那么()f z 在整个D 内是常数；如果v 是实常数，那么()f z 在D 内也是常数。（ T ）

二、填空 1

、Re n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦=

；Im n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 。 考核知识点：棣莫佛公式，实部、虚部的定义

提示：将函数化为复数的三角函数形式。

2、设ω是1的n 次根，1ω≠，则211n ωωω-++++= 。

考核知识点：复数的n 次方根及等比数列求和公式.

3、在映射2z ω=下，扇形区域0arg ,14z z π<<

<的像区域为 。 考核知识点：复数的乘幂运算

4、若()()11n n i i +=-，则n = 。

考核知识点：欧拉公式，棣莫佛公式

三、计算

1、计算下列函数值：1）()

n i L e ；2

考核知识点：复数对数函数。

提示：可以查看视频课件第二章第三节初等多值函数。

2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？

1

； 2）()()

2222x y x i xy y --+- 。

考核知识点：以上两个函数的可导性，解析性。

提示：两个函数的解题思路是相似的，利用C-R 条件。

3、函数2322()2f z x y x y i =-+是否为解析函数？求出其导数。

考核知识点：解析函数。

提示：利用C-R 条件。

4、已知222371(),:3C f z d C x y z

ζζζζ++=+=-⎰，求()1f i '+。 考核知识点：柯西积分公式。 提示：22371()2(371)C f z d i z z z

ζζζπζ++==++-⎰ 5、计算积分1）()2311z z dz z z =--⎰； 2）211sin 41

z z dz z π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭-⎰； 3）()1

2121z z e dz z z -=+⎰； 4）()23132z dz

z z -=-⎰。

考核知识点：柯西积分公式。

提示：以上四道积分题的解题思路是类似于的，可以参看视频课件第三章第三节柯西积分公式及其推论。

四、证明：若积分路径不经过i ±，则

1

20,14dz k k z ππ=+∈+⎰。 考核知识点：柯西定理。

提示： 积分路径绕过i ±，由柯西定理知：

411102102π=+=+⎰⎰x dx z dz 五、证明：设v 是u 的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由：

1）,Au Bv Bu Av -+（,A B 为常数）；

2）22,u v uv -。

参考答案：可根据共轭调和函数的定义来判断。

作业二

一、判断题

1、0(2)n n

n a z ∞=-∑在z=0收敛，在z=3发散。（错 ）

2、在区域z R <内解析，且在区间（-R ，R ）取实数值的函数f(z)展开成z 的幂级数时，展开式的系数都是实数。（ 对）

3、1tan z 在圆环区域0(0)z R R <<<<+∞内不能展开成罗朗级数。（错 ）

4、z=0是1

tan ()z f z e

=的本性奇点。（ 对）

二、填空

1、0(1)

n n n i z ∞=+∑的收敛半径为 。

考核知识点：幂级数的收敛半径。利用柯西-阿达玛公式求.

2、22sin z e z 展开成z 的幂级数的收敛半径= 。

考核知识点：幂级数和的解析性，整函数的解析性.

3、z=0是()sin tan f z z z =-的 级零点。

考核知识点：零点.

4、(),()f z g z 以z=a 为m 级和n 级极点，则z=a 为()()f z g z 的 级 点。

考核的知识点：函数的极点。

三、计算

1、求2

1z 在01z =-处的泰勒展开式。 考核知识点：解析函数的泰勒展式 2、求11:2n n z z ∞Γ=-⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭

∑⎰ 考核知识点：柯西积分公式。 提示：首先可以将和函数求出为

z -11，再对该复函数在21=z 内利用柯西积分公式计算。 3、求23()124f z z z z =+-+在z=1处的泰勒展开式。

考核知识点：解析函数的泰勒展式

4、将21()()

f z z z i =-在以i 为中心的圆环域内展开为罗朗级数。 考核知识点：解析函数的洛朗展式

四、若()f z 为整函数，且()lim ()max ()n r z r M r M r f z r →+∞=⎛⎫<+∞= ⎪⎝⎭

，则()f z 是不高于n 次的多项式。 考核知识点：柯西不等式与Liouville 定理。提示：可以参看视频课件第三章第三节柯西积分公式及其推论。

作业三

一、判断题（对的用“T ”表示，错的用“F ”表示）

1、若()f z 在区域D 内单叶解析，则在D 内()0f z '=。（ F ）

2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。（T ）

3、解析函数具有保形性。（F ）

4、函数在可去奇点处的留数为0。（ F ）

二、填空题

1、方程6426210z z z -+-=在单位圆内有 4 个根。

考核知识点：复数根的求法。

2、i 关于1z i -=的对称点为 。

考核知识点：关于圆周的对称点的定义

3、21(),:2(1)(5)(43)

f z C z z z z i ==+-+-，则ar

g ()C f z ∆= 。 考核知识点：辐角原理

4、5z 在点1z i =+处的旋转角为 ，伸缩率为 。

考核知识点：旋转角的定义，伸缩率的定义

三、计算题

1、49(1)(2)(48)(50)z dz z z z z =----⎰ 考核知识点：利用留数计算积分

2、

204sin d πθθ+⎰ 考核知识点：利用残数计算积分。提示：可参考视频课件第六章。

3、2sin 16x x dx x +∞

-∞

+⎰ 考核知识点：利用残数计算积分。提示：可参考视频课件第六章。

4、求把z 平面的单位圆变为ω平面的单位圆，并使1成为不动点，使1i -变为无穷远点的线性变换()L z ω=。考核知识点：分式线性变换的应用

5、求把z 平面的单位圆1z <变为ω平面的单位圆1ω<的线性变换()L z ω=，使

110,arg 33L L π⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。考核知识点：分式线性变换。提示：由103L ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分式线性变换把13z =变到0ω=。