第3章资产组合理论解读
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资产组合的理论与应用
资产组合与投资选择
资产组合与投资选择
无风险资产与风险资产同时存在时的效率前 沿
一条通过无风险收益率Rf与风险资产组合效率 前沿相切的直线。
这条直线称为资本市场线（Capital Market Line,缩写为CML）。
其表达公式为：
E(Rp)
Rf
E(RM ) R f
M
p
资产组合与投资选择
• CML线的推导
资产组合与投资选择
E(R)
Rf σ
资产组合与投资选择
分离原理： 投资者对风险资产组合构成的投资选择与 其风险偏好是不相关的。投资者的投资选择 分为两步：
• 第一步：选择市场组合，这时不考虑自身 的风险偏好。
• 第二步：根据自身的风险偏好在自己的投 资组合中选择市场资产组合与无风险资产的 比例。
资产组合与投资选择
非系统风险，又称个别风险。只与个别 资产（企业）或少数资产（企业）自身 的状况相联系，是由每项资产自身的经 营状况和财务状况决定的，可通过多项 资产的组合加以分散。 非系统风险可进一步分解为经营风险和 财务风险，经营风险又可分解为外部原 因和内部原因。
系统风险与非系统风险
系统风险，又称市场风险。是由整个经 济系统的运行状况决定的，是经济系统 中各项资产相互影响，共同运动的总体 结果，无法通过多项资产的组合来分散。
• 投资者按照投资的期望收益和风险状况 进行投资决策，即投资者的效用函数是 投资期望收益和风险的函数；
资产组合理论的基本假设（续）：
• 投资者是理性的，即给定一定的风险水 平，投资者将选择期望收益最高的造成 或资产组合，给定一定的期望收益，投 资者将选择风险最低的资产或资产组合；
• 人们可以按照相同的无风险利率R借入 借出资金；
全版资产组合理论.ppt
资产组合理论
一、资产选择
▪ 对资产的考虑因素包括： 1、资产本身的收入（预期回报率） ； 2、价格收入（资本损益）； 3、交易成本； 4、风险 ▪ 其他因素还包括：个人财富和流动性
..。..
1
二、投资收益率的计算
（一）单期投资收益率的计算
单期证券持有期收益率 Rt 的计算公式：
Rt
Pt
Ct Pt 1
度和方向不尽相同，因此存在通过分散投资使风 险降低的可能。
..。..
16
资产组合的收益——组合的预期收益率 portfolio expected return
投资组合中 的资产数目
n
E rP XiE ri
i 1
第i项资产的
资产组合的
预期收益率
预期收益率
第i项资产的
n
或作： RP wi Ri
➢存在一种无风险资产，投资者可以不受限制地以 无风险利率借入和贷出；
➢证券市场上任何证券都在单一期限内向投资者提 供收益；
➢投资者对证券的预期收益率、方差、协方差具有 相同的看法；
➢证券市场是完善的，不存在投资障碍，证券价格 是一种均衡价格。
..。..
39
一种风险资产与一种无风险资产所构成组合 的风险-收益关系
Pt 1
其中：
Pt t期期末证券的价格 Ct t期由持有该证券得到的现金收入，例如股利和利息 Pt1 t期期初证券的价格
..。..
2
（三）计算多期收益率
持有期从1到T
R1, R2 ,, RT
0 RT 1 R1 1 R2 1 RT 1
..。..
3
汇总历史收益率
▪ (算术)平均收益率：衡量你预期未来各期平均
一、资产选择
▪ 对资产的考虑因素包括： 1、资产本身的收入（预期回报率） ； 2、价格收入（资本损益）； 3、交易成本； 4、风险 ▪ 其他因素还包括：个人财富和流动性
..。..
1
二、投资收益率的计算
（一）单期投资收益率的计算
单期证券持有期收益率 Rt 的计算公式：
Rt
Pt
Ct Pt 1
度和方向不尽相同，因此存在通过分散投资使风 险降低的可能。
..。..
16
资产组合的收益——组合的预期收益率 portfolio expected return
投资组合中 的资产数目
n
E rP XiE ri
i 1
第i项资产的
资产组合的
预期收益率
预期收益率
第i项资产的
n
或作： RP wi Ri
➢存在一种无风险资产，投资者可以不受限制地以 无风险利率借入和贷出；
➢证券市场上任何证券都在单一期限内向投资者提 供收益；
➢投资者对证券的预期收益率、方差、协方差具有 相同的看法；
➢证券市场是完善的，不存在投资障碍，证券价格 是一种均衡价格。
..。..
39
一种风险资产与一种无风险资产所构成组合 的风险-收益关系
Pt 1
其中：
Pt t期期末证券的价格 Ct t期由持有该证券得到的现金收入，例如股利和利息 Pt1 t期期初证券的价格
..。..
2
（三）计算多期收益率
持有期从1到T
R1, R2 ,, RT
0 RT 1 R1 1 R2 1 RT 1
..。..
3
汇总历史收益率
▪ (算术)平均收益率：衡量你预期未来各期平均
财务管理第3章投资组合
中兴 00063 0.13
假设 中兴 0.19
0.07348 0.07348 0.5652 0.3867
例：股票收益的方差
公司名称
联通 60050
中兴 000063
未来 状况 景气
不景 气 景气
不景 气
发生 概率
0.4 0.6
0.4 0.6
可能 期望 报酬 报酬 0.18 0.12 0.08
0.22 0.13 0.07
当两证券的收益率是完全正相关的时候投资组合的风险才 等于单个证券风险与其在组合中的比重的乘积，即投资组 合不具有分散风险的作用。
2、结论： 随着加入投资组合中的资产数量增 加，投资组合的方差不断下降，组合 中的资产相关性越小，则组合的风险 分散效果越好，相反资产收益相关性 越强，则组合的风险分散效果越差。
0.1
2
1/3
0.1
0.05
3
1/3
E rp
2 p
0.15 0.10 0.00167
0.30 0.15 0.01167
资产组合的收益与风险
年 概率
1 1/3
2 1/3
3 1/3
E rp
2 p
资产组合
1
1 A 1B 22
0.075
2
1 A 4B 55
0.09
0.075
0.06
0.225
0.27
0.125
➢ 历史数据是母集团从取出的样本，所以历史数 据的平均值和方差以及标准差的定义可以参照 前面的样本的情形下各自的定义。
➢二、资产组合的收益和风险的度量
➢对于资产组合，组合的收益率：
rp
n i 1
riWi
➢Wi是资产i的权重，即投资比例。
《资产组合理论》课件
建有效资产组合的方法。
发展与创新
随着时间的推移，资产组合 理论不断发展与创新，出现 了许多新的理论和方法，如 Black-Litterman模型、风险 平价等。
资产组合理论的应用场景
个人投资
01
个人投资者可以使用资产组合理论来构建适合自己的投资组合
，以实现财富的保值增值。
机构投资
02
机构投资者如保险公司、养老基金等也可以利用资产组合理论
2023
《资产组合理论》课 件
REPORTING
2023
目录
• 资产组合理论概述 • 资产组合的构建与优化 • 资产组合的风险管理 • 资产组合的绩效评估 • 资产组合理论的未来发展
2023
PART 01
资产组合理论概述
REPORTING
定义与概念
定义
资产组合理论是指投资者将资金 分散投资于多种资产，以实现风 险和收益的平衡。
绩效评估实践
数据收集与处理
收集资产组合的历史数据，并进行清洗和整 理。
数据检验与调整
对数据进行检验，排除异常值和错误数据， 并进行必要的调整。
绩效评估计算
根据选定的评估方法和指标，计算资产组合 的绩效数据。
绩效分析
对计算出的绩效数据进行深入分析，找出优 势和不足，提出改进建议。
2023
PART 05
测。
区块链在资产组合管理中的应用
区块链技术可以为资产组合管理提供 更安全、更可靠的数据存储和处理方 式。
区块链还可以通过去中心化技术，降 低交易成本和中介成本，为投资者提 供更低成本、更高效的资产组合管理 服务。
区块链可以通过智能合约技术，自动 执行投资协议和交易条款，提高交易 的效率和安全性。
发展与创新
随着时间的推移，资产组合 理论不断发展与创新，出现 了许多新的理论和方法，如 Black-Litterman模型、风险 平价等。
资产组合理论的应用场景
个人投资
01
个人投资者可以使用资产组合理论来构建适合自己的投资组合
，以实现财富的保值增值。
机构投资
02
机构投资者如保险公司、养老基金等也可以利用资产组合理论
2023
《资产组合理论》课 件
REPORTING
2023
目录
• 资产组合理论概述 • 资产组合的构建与优化 • 资产组合的风险管理 • 资产组合的绩效评估 • 资产组合理论的未来发展
2023
PART 01
资产组合理论概述
REPORTING
定义与概念
定义
资产组合理论是指投资者将资金 分散投资于多种资产，以实现风 险和收益的平衡。
绩效评估实践
数据收集与处理
收集资产组合的历史数据，并进行清洗和整 理。
数据检验与调整
对数据进行检验，排除异常值和错误数据， 并进行必要的调整。
绩效评估计算
根据选定的评估方法和指标，计算资产组合 的绩效数据。
绩效分析
对计算出的绩效数据进行深入分析，找出优 势和不足，提出改进建议。
2023
PART 05
测。
区块链在资产组合管理中的应用
区块链技术可以为资产组合管理提供 更安全、更可靠的数据存储和处理方 式。
区块链还可以通过去中心化技术，降 低交易成本和中介成本，为投资者提 供更低成本、更高效的资产组合管理 服务。
区块链可以通过智能合约技术，自动 执行投资协议和交易条款，提高交易 的效率和安全性。
金融考研之资产组合理论知识点整理
2018年金融考研之资产组合理论知识点整理二、资产组合理论风险和收益成正比，是否有收益较高但风险较低的资产呢?(一)单一资产预期收益率和风险度的计算1、单一资产预期收益率的计算E(r)=Σripiri表示在i状态下获取的收益率，pi表示获得ri的概率，E(r)表示单一资产预期收益率假定股票A现在价格是10元，未来价格波动情况可能是：一个月后上涨到16元的可能性是0.25上涨到12元的可能性是0.5还是10元的可能性是0.25E(r)=Σripi=0.25×60%+0.5×20%+0.25×0%=25%2、单一资产风险度的计算公式以σ2表示方差，ri表示i状态下的收益率，pi表示获得ri的概率，E(r)表示预期收益率，则σ2= Σpi [ E(r) -ri]2σ表示标准差，即方差的平方根σ= (Σpi [ E(r) -ri]2)1/2假定股票A现在价格是10元，未来价格波动情况可能是：一个月后上涨到16元的可能性是0.25上涨到12元的可能性是0.5还是10元的可能性是0.25σA2=0.25×(0.6-0.25)2+ 0.5×(0.2-0.25)2+ 0.25×(0-0.25)2=0.0475(二)资产组合预期收益率和风险度的计算1、资产组合预期收益率的计算E(rp) = Σ?jE(rj)j表示j资产在总投资中所占的比重，E(rj)表示j资产的预期收益率，E(rp)表示资产组合的期望收益率2、资产组合风险度的计算2、资产组合风险度的计算公式P154δp2=[∑?i2 σi2 +2∑ij σiσjρij]½δp=[∑?i2 σi2 +2∑ij σiσjρij]½两种风险资产组合时，则资产组合的风险度σp2=?A2 σA2+ B2 σB2 +2 A ?B σA σBρABρAB =1，A、B两种资产完全正相关时，σp2=?A2 σA2+ B2 σB2 +2 A B σA σB，即σp=A σA+ B σBρAB =-1，A、B两种资产完全负相关时，σp=?A σA- ?B σBρAB =0，A、B两种资产相互独立时，σp2=?A2 σA2+ ?B2 σB24、资产选择原则在投资组合中，选择存在正相关关系的资产就达不到分散风险的目的。
第3章 资产组合理论
第三章 资产组合理论（1）
第一节 投资的收益与风险
▪ 引子：如证券A可无风险地获得10％的 回报率，证券B以50％的概率获得20％ 的收益，50％的概率的收益为0，你将 选择哪一种证券？
2020/7/22
引言
投资学的基本指导理念:风险与收益的最优匹配 对一个理性投资者而言，所谓风险与收益的最
2020/7/22
r ( 1 ) ( 1 4 0 1 0 0 4 )/1 0 0 4 4 %
2020/7/22
三、投资组合的期望收益和方差
2020/7/22
基金资产配置表
2020/7/22
基金持股的行业分布
2020/7/22
基金持有的债券分布
2020/7/22
（一）资产组合的收益
▪ 1、假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券， 每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi， 则组合收益为：
风险的含义
➢ 指收益（或未来结果）的不确定性
虽然结果是不确定的，但每种结果本身和出现的 客观概率是已知的或可估计的
➢ 所谓不确定就是偏离预期的可能性，方差是 最好的衡量工具
2020/7/22
（二）风险的类别
▪ 与证券投资相关的所有风险称为总风险， 总风险可分为系统风险和非系统风险。
➢ 系统性风险 ➢ 非系统性风险
2020/7/22
2020/7/22
协方差与组合风险
▪ 不仅每种资产的风险会影响组合的风险， 资产间的相互关系也会对组合风险产生影 响
▪ 资产间的相互关系可用协方差来表示
➢ 协方差是衡量两个随机变量间互动性的统计 量
2020/7/22
相关系数与组合风险
▪ 资产间的相互关系还可用另一个统计量—相关 系数来表示
第一节 投资的收益与风险
▪ 引子：如证券A可无风险地获得10％的 回报率，证券B以50％的概率获得20％ 的收益，50％的概率的收益为0，你将 选择哪一种证券？
2020/7/22
引言
投资学的基本指导理念:风险与收益的最优匹配 对一个理性投资者而言，所谓风险与收益的最
2020/7/22
r ( 1 ) ( 1 4 0 1 0 0 4 )/1 0 0 4 4 %
2020/7/22
三、投资组合的期望收益和方差
2020/7/22
基金资产配置表
2020/7/22
基金持股的行业分布
2020/7/22
基金持有的债券分布
2020/7/22
（一）资产组合的收益
▪ 1、假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券， 每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi， 则组合收益为：
风险的含义
➢ 指收益（或未来结果）的不确定性
虽然结果是不确定的，但每种结果本身和出现的 客观概率是已知的或可估计的
➢ 所谓不确定就是偏离预期的可能性，方差是 最好的衡量工具
2020/7/22
（二）风险的类别
▪ 与证券投资相关的所有风险称为总风险， 总风险可分为系统风险和非系统风险。
➢ 系统性风险 ➢ 非系统性风险
2020/7/22
2020/7/22
协方差与组合风险
▪ 不仅每种资产的风险会影响组合的风险， 资产间的相互关系也会对组合风险产生影 响
▪ 资产间的相互关系可用协方差来表示
➢ 协方差是衡量两个随机变量间互动性的统计 量
2020/7/22
相关系数与组合风险
▪ 资产间的相互关系还可用另一个统计量—相关 系数来表示
第三章资产组合理论
的风险，还要考虑资产收益率相互之间的关系。
例：某投资公司已将50%的资金投资于A公司的股票，剩下50%的投资，投资经理决定在A 公司、B公司股票和无风险资产（收益率为3%）之间选择其一，哪一种选择更有利？A、 B公司的收益分布如下表所示。
原料生产的正常年份 股市的牛市 概率 A公司 B公司 无风险资产 收益率（%） 收益率（%） 收益率（%） 0.5 20 2 3 股市的熊市 0.3 10 -10 3 0.2 -20 40 3 原料生产危机年份
资产1所占 资产2所占 比重（W1） 比重（W2） ρ=+1 ρ=0 ρ=-1
r
σ
r
σ
r
σ
1.00 0.65 0.50 0.25 0.00
0.00 0.35 0.50 0.75 1.00
5.00 5.75 6.50 7.25 8.00
4.00 5.50 7.00 8.50 10.0
5.00 5.75 6.50 7.25 8.00
在马克维茨的投资组合理论中，投资组合的风险用投资组合的方差来衡量。 由两种资产组成的投资组合的方差为:
2 2 2 2 2 Var A B A W W WAWBCOVAB B A A BB 2
式（3.8）
包含n种资产的投资组合的方差为：
2 Var RP P
14
3.3 资产组合的收益和风险
经计算，三种选择方案投资组合的预期收益率和风险如下表示：
资产组合 全部投资于A公司股票 A、B公司股票各投资50% 预期收益率（%） 9 7.5 方差 0.0229 0.002425
A公司股票与无风险资产各投资50%
6
0.005725
以上的例子说明，尽管B公司股票本身波动性很大，但根据均值—方差决 策准则，由A、B股票构成的资产组合显然比A与无风险资产构成的组合具有优 势，原因是显而易见的，A公司与B公司的收益率是呈反方向波动的。因此，度 量资产组合的风险必须要考虑到各资产收益间的关系。
第3章_金融市场风险的度量
例1：假设有一笔面额为1000元、6年期
的付息债券，年付息率和收益率都是８ ％，每年付息一次，试计算该债券的久 期. 当利率上升0.01%,该债券的价格将如 何变动?
解：
时间t
１ ２ 80 68.59 ３ 80 63.51 ４ 80 58.80 ５ 80 54.45 ６ 1080 合计 1480
E(ri) 是资产i 的预期回报率rf 是无风险率 βim 是[[Beta系数]]，即资产i 的系 统性风险 E(rm) 是市场m的预期市场回报率 E(rm) − rf 是市场风险溢价（ market risk premium），即预期市场回 报率与无风险回报率之差
11
金融市场风险度量方法的演变
16
金融市场风险度量方法的演变
期望理论是行为金融学的重要理论基础。卡纳曼 Kahneman和阿莫斯· 特沃斯基Tversky(1979)通过实验对比 发现，大多数投资者并非是标准金融投资者而是行为投资者 ，他们的行为不总是理性的，也并不总是风险回避的。期望 理论认为投资者对收益的效用函数是凹函数，而对损失的效 用函数是凸函数，表现为投资者在投资帐面值损失时更加厌 恶风险，而在投资帐面值盈利时，随着收益的增加，其满足 程度速度减缓。 期望理论成为行为金融研究中的代表学说，利用期望理论解 释了不少金融市场中的异常现象：如阿莱悖论、股价溢价之 迷(equity premium puzzle)以及期权微笑(option smile)等， 然而由于Kahneman和Tversky在期望理论中并没有给出如 何确定价值函数的关键——参考点以及价值函数的具体形式 ，在理论上存在很大缺陷，从而极大阻碍了期望理论的进一 17 步发展。
9
金融市场风险度量方法的演变
资产组合理论
资产组合理论投资组合理论⼀、资产组合理论简介资产组合理论是与投资问题紧密联系在⼀起的，所以也被称为投资组合理论。
该理论产⽣于上世纪50年代，是财务学家们在探索如何定量风险、选择最佳资产组合以分散和控制风险的道路上逐步发展起来的。
资产组合理论学派的代表⼈物包括马克维兹、威廉·夏普、斯蒂芬·罗斯等。
其中马克维兹分别于1952和1959年发表了《资产组合选择》的论⽂和《组合选择》的专著，论述了投资收益率的⽅差确定⽅法和风险资产组合模型，成为资产组合理论学派的创始⼈。
威廉·夏普在马克维兹理论的基础上于1964年建⽴了著名的CAPM模型，并与1990年与马克维兹分享了第22界诺贝尔经济学奖。
斯蒂芬·罗斯于1976发表了题为《资本资产定价套利理论》的论⽂，对CAPM模型提出极⼤的挑战。
另外，该学派的理论还包括了单指数模型和多因素模型。
⼆、⼏个前提性概念1、风险厌恶和效⽤价值由于⼈们对风险的偏好程度不同，可以将投资者分为三类，即风险厌恶者、风险中性者和风险爱好者。
我们可以使⽤效⽤函数度量投资者对收益和风险的偏好：U ＝E（r）－0.005Aσ2其中E(r)为期望收益，σ2为收益⽅差，A为风险厌恶系数，其取值区间为（－∞，＋∞）数值越⼤，投资者的风险厌恶程度越⾼，当A＝0时，即为风险中性者。
在资产组合理论中，假设所有投资者都为风险厌恶者，因此投资者的效⽤值与期望收益呈正向变化，与风险和风险厌恶系数呈反向变化，所以其效⽤函数可以⽤下图表⽰：2、资本配置线和酬报与波动性⽐率在包括了⼀个风险资产和⼀个⽆风险资产的资产组合中，其期望收益和标准差可以⽤下式表⽰：E （r c ）＝wpE （r p ）＋（1－w p ）r f ＝r f ＋w p （E （r p ）－r f ）σc＝w pσp其中w p 为风险资产在组合中所占的⽐例，将以上两式结合可以得到： E （r c ）＝rf＋σσpc （E （r p ）－r f ）⽤图形表⽰如下：图中的直线就是资本配置线（CAL ），表⽰了投资者的所有的可⾏的风险收益组合。
第3章资产组合理论
1
对于上述带有约束条件的优化问题，可引入拉格朗日乘 子λ 和μ 来解决。（求条件极值）
构造拉格朗日辅助函数如下：
nn
n
n
L
wiwj ij ( wiri c) ( wi 1)
i1 j1
i 1
i 1
上式分别对wi求导数，令其一阶导数为0，得到方程组：
rp
p 1
r1
(1 p 1
)rf＝rf
(r1 rf
1
)
p
可以发现这是一条以rf
为截距,以
r1
rf
1
为斜率的直线。
命题成立，证毕。
2019/12/25
资投本资学配第4置章 线的斜率称为报酬与 波动性比率，即风险的边际收益
（二）存在无风险资产时的有效边界
原有效边界凸向纵轴，因此存在唯一的 切点R
2019/12/25
投资学第4章
2019/12/25
投资学第4章
命题3.3：一种无风险资产与一个风险组合构成 的新组合的结合线为一条直线
2019/12/25
投资学第4章
组合的标准差为
一种风险资产与无风险资产构 成的组合，其标准差是风险资 产的权重与标准差的乘积。
p w11
(2)
由（1）和（2）可得
i1
wi ri
c
n
wi 1
i 1
投资学第4章
上述方程是线性方程组，可通过线性代数加 以解决。
例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1， 2，3，方差都为1，若要得到期望收益为2的 该三项资产的最优组合，求解权重。
2019/12/25
金融数学
0 0 θ1 ( X 10 − P θ2 ( X 2 − P20 ) 1 ) + 0 0 0 0 P P 1 θ1 + P 2 θ2 1 θ1 + P 2 θ2 0 0 0 θ1 P θ 2 P20 X10 − P X2 − P20 1 1 + 0 0 0 0 0 P P P P20θ 1 θ1 + P 2 θ2 1 1 θ1 + P 2 θ2
金融数学教材——第三章 资产组合理论
目录
第三章 资产组合理论 .................................................................................................................... 2 3.1 问题引入 ........................................................................................................................... 2 3.1.1 单一资产的收益与风险......................................................................................... 2 3.1.2 资产组合的收益与风险......................................................................................... 3 3.2 不存在无风险资产条件下的资产组合理论.................................................................... 4 3.2.1 期望-方差准则 ....................................................................................................... 4 3.2.2 数学准备 ................................................................................................................ 6 3.2.3 资产组合理论的假设条件..................................................................................... 7 3.2.4 资产组合前沿边界的推导..................................................................................... 8 3.2.5 前沿边界性质 ...................................................................................................... 13 3.2.6 P- 零协方差组合 .................................................................................................... 15 3.2.7 前沿资产与可行资产关系................................................................................... 17 3.2.8 q-零协方差组合 .................................................................................................... 19 3.3 存在无风险资产条件下的资产组合理论...................................................................... 21 3.3.1 资产组合前沿边界的推导................................................................................... 21 3.3.2 前沿边界性质 ...................................................................................................... 24 3.3.3 前沿资产与可行资产关系................................................................................... 28 3.4 VaR 风险度量下的资产组合理论.................................................................................... 30 3.4.1 从期望-方差准则到 VaR 与 C-VaR 风险度量 ...................................................... 30 3.4.2 数学基础 .............................................................................................................. 31 3.4.3 VaR 与 C-VaR 的概念、性质 ................................................................................. 32 3.4.4 VaR 与 C-VaR 准则下的资产组合理论 ................................................................. 39
第3章资产组合理论与因素模型
E(Ri ) Rj
E
(R
j
)
i1
i1 j1 i j
N
NN
Wi2 E Ri E(Ri )2
WiWj E Ri E(Ri ) R j E(R j )
i1
i1 j1
i j
N
NN
Wi
2
2 i
WiW j ij
i 1
i1 j1
NN
i j
上式也可化为
2 p
WiW j ij
i1 j 1
第3章 资产组合理论与因素模型
3.1 现代资产组合理论的基本思想 3.2 资产组合的收益与风险 3.3 最佳资产组合的确定 3.4 因素模型
1
证券投资理论与实务（第二版）
2020/9/2
3.1.1 马克维茨资产组合分析
资产组合分析的起点：单个证券的信息。 一方面是来自于单个证券过去的历史表现；一方面
4
证券投资理论与实务（第二版）
2020/9/2
3.1.2 投资者的期望效用
马克维茨在资产组合可行集的基础上，设立了区别
有效资产组合与无效资产组合的准则。有效集具备
的条件：第一，必须是可行的；第二，如果存在比
该组合更大期望收益的组合，那么更大期望收益的
组合的方差也应更高；第三，如果存在比该组合更
低方差的组合，那么更低方差组合的期望收益也应
2 p
Rp
R2
R2
1
R1
2
2 p
两证券完全负相关时
Rp
R2
R1
1
R2
2
2 p
Rp
R2
R1
1
R2
2
2 p
11
复旦大学精品课程《.投资学原理》课件,第三章资产组合理论课件复习精品
资产B
概率 1/2 1/2 110 150 130
资产C
收益 概率 1/2 1/2
资产A期望收益率
130 1 30% 100
1 120 1 140 1 32.5% 2 98 2 98
1 110 1 150 1 37% 2 95 2 95
五、均值-方差准则（MVC） Markowitz（1952）提出“期望收益-收益方差” （expected return-variance of return）准则， 认为投资者在实际中按照这一法则进行投资。 其现实基础： 1、投资者的风险厌恶性 2、投资者的不满足性 其理论形式：均值-方差准则
（二）证券市场风险的种类 市场风险 利率风险 汇率风险 通胀风险 财务（违约）风险 经营风险 流动性风险
Байду номын сангаас
信用违约掉期——次贷危机引发全球 金融风暴的真正元凶
金融资产的违约保险：信用违约掉期（CDS，Credit Default Swap）
按期支付固定费用 标 的 资 产
信用 违约 保险 购买 方
i 1 n
期望收益率的两大要素：各种状态下可能收益 率及其发生概率。
（三）风险的度量——方差与标准差 方差：对资产实际收益率与期望收益率的偏离的测 度方法。单一风险资产的方差：
2 pi [ri E (r )]2
i 1
n
标准差（standard deviation）：方差的平方根。
第三节 最优资产组合选择
问题的提出： 当面临多个不同风险-收益关系的资产组合时， 投资者应该如何进行分析与选择？ 构建最优资产组合的基本要素： 1、基本方法：马科维茨的均值-方差理论 2、主观判断标准：无差异曲线
第3讲资产组合理论(完整版)
－1 表明两种证券的收益率变化方向完全相反，称为完全负相关； ＋1 表明收益率变化方向完全相同，称为完全正相关； 0 则表示两个收益率之间不存在任何关系。 如果相关系数位于（－1，0）区间，则两种证券的收益率存在普通的 负相关关系； 如果相关系数位于（0，＋1），则收益率存在普通的正相关关系。
4
(4)资产组合的方差
式：
(R2
− R1 )2
×
σ
2 p
=
R
2 p
×
(σ
2 1
+
σ
2 2
− 2ρ12 ) +
[ ( ) ] 2Rp × ρ12σ1σ 2
R1 + R2
−
R2σ
2 1
−
R1σ
2 2
+
R22σ
2 1
+
R12
×
σ
2 2
− 2ρ12 R1R2
（4.17）
( ) 根据二次曲线的判别式，有Δ =
4(R1
−
R2 )2
σ
则两资产组合的期望收益率为： R p = W1 × R1 + W2 × R2
= W1 × R1 + (1 − W1 ) × R2 组合的方差为：
σ
2 p
= W12
×
σ
2 1
+ W22
×
σ
2 2
+ 2W1 ×W2
× σ 12
（4.12）
=
W12
×
σ
2 1
+ W22
×σ
2 2
+
2ρ12
× W1
× W2
×σ1
第三章 投资组合理论
合，并根据自己对风险和回报的偏好，在资本市场线上 选择一个借贷比例。剩下的任务是搞明白M点所代表的
有风险组合是什么样的组合？
3.7 市场组合
市场组合是这样的投资组合，它包含所有市场上 存在的资产种类，各种资产所占的比例和每种资产的
总市值占市场所有资产的总市值的比例相同。
有风险资产的市场组合就是指从市场组合中拿掉无 风险证券后的组合。我们的结论：
产的市场组合和无风险证券的一个线性组合，
而所有这样的线性组合构成了资本市场线。
3.8 借贷利率不相等时的有效组合边界
三、对风险的厌恶程度；
四、投资组合的种类。
两基金分离定理
两基金分离定理：在所有有风险资产组合的有 效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离 的有效投资组合，而有效组合边界上任意其他的点 所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点
所代表的有效投资组合的线性组合生成。
3.6 具有无风险资产时的有效组合边界
M
p
p xM M
例3.2
设点M代表的投资组合的标准差和预期汇报率水平分
别为18％和21％；无风险国债的标准差和预期汇报率分 别为0和8％。对点M代表的组合和无风险国债投资的比 例各为50％，形成一个新的投资组合A。这个组合就等 于是投资人购买了50％的组合M之后，将剩余的50％资 金在金融市场上放贷给政府。求解A组合的预期收益和 标准差各为多少？
max
rp
x r
i 1 n n
n
i i
min 2 p
n
x x
i j ij i i 1 j 1 i
j
x
i 1
1 xi 0
转化为单目标问题形式
有风险组合是什么样的组合？
3.7 市场组合
市场组合是这样的投资组合，它包含所有市场上 存在的资产种类，各种资产所占的比例和每种资产的
总市值占市场所有资产的总市值的比例相同。
有风险资产的市场组合就是指从市场组合中拿掉无 风险证券后的组合。我们的结论：
产的市场组合和无风险证券的一个线性组合，
而所有这样的线性组合构成了资本市场线。
3.8 借贷利率不相等时的有效组合边界
三、对风险的厌恶程度；
四、投资组合的种类。
两基金分离定理
两基金分离定理：在所有有风险资产组合的有 效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离 的有效投资组合，而有效组合边界上任意其他的点 所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点
所代表的有效投资组合的线性组合生成。
3.6 具有无风险资产时的有效组合边界
M
p
p xM M
例3.2
设点M代表的投资组合的标准差和预期汇报率水平分
别为18％和21％；无风险国债的标准差和预期汇报率分 别为0和8％。对点M代表的组合和无风险国债投资的比 例各为50％，形成一个新的投资组合A。这个组合就等 于是投资人购买了50％的组合M之后，将剩余的50％资 金在金融市场上放贷给政府。求解A组合的预期收益和 标准差各为多少？
max
rp
x r
i 1 n n
n
i i
min 2 p
n
x x
i j ij i i 1 j 1 i
j
x
i 1
1 xi 0
转化为单目标问题形式
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第三章
马科威茨资产组合理论
第三节 最优组合选择
—— 阐述投资者如何建立适合 自己的最优风险资产组合
—— 投资范围中不包含无风险 资产
一、基本假设
❖ 投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资 ❖ 投资者根据收益率的期望值和方差来评价和选择
资产组合 ❖ 投资者是风险规避的，追求期望效用最大化 ❖ 所有投资者处于同一单一投资期
2020/11/17
投资学第4章
❖ 命题3.1：完全正相关的两种资产组合的可行 集是一条直线
2020/11/17
投资学第4章
结论：组合收益是组合风险的线性函数
收益 Erp
(r1,1)
2020/11/17
(r2 , 2 )
投资学第4章
风险σp
命题3.2：完全负相关的两种资产组合的可行集 是两条直线(一条折现)
2020/11/17
投资学第4章
有效组合的微分求解法*
❖ 均值-方差模型建立的目的是寻找有效边界
❖ 这是一个优化问题，即
给定收益的条件下，风险最小化
给定风险的条件下，收益最大化
❖ 马科维茨模型是以资产权重为变量的二次规划问题，
采用微分中的拉格朗日方法求解。在限制条件下使
组合风险最小时的最优投资比例。
min s.t.
2020/11/17
n
n
wi w j ij
i 1 j 1
n
wi ri c, i 1
n
wi i 1 投资学第4章
1
❖ 对于上述带有约束条件的优化问题，可引入拉格朗日乘
子λ和μ来解决。（求条件极值）
❖ 构造拉格朗日辅助函数如下：
nn
n
n
L
wiwj ij ( wiri c) ( wi 1)
2020/11/17
投资学第4章
rp (
p)
p＋ 2 1 2
r1＋(1
p＋ 2 1 2
)r2
r1
1
r2
2
p
r1
1
r2
2
2
r2
2020/11/17
投资学第4章
同理可证
当w1
2 1 2时,p (w1)(1 w1) 2
w1
，则
1
rp (
p)
r1
1
r2
2
p
r1
1
r2
2
2
r2
命题成立，证毕。
r2
2
2
r2
2020/11/17
ρ=-1
(r1,1)
ρ=1
(r2 , 2 )
投资学第4章
ρ=0
风险σp
（二）三种风险资产组合的可行集
❖ 一般，当资产数量较多时，要保证资产间两两完全 相关不可能。因此，一般假设两种资产不完全相关。
收益rp
3 4
2
2020/11/17
1
投资学第4章
风险σp
（三）n种风险资产组合的可行集
wi ri
c
wi 1
i 1
投资学第4章
❖ 上述方程是线性方程组，可通过线性代数加 以解决。
例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1， 2，3，方差都为1，若要得到期望收益为2的 该三项资产的最优组合，求解权重。
2020/11/17
投资学第4章
1 0 0
由于 0 0
1 0
0 1
r =(11, 2, 3)T , c 2
2020/11/17
投资学第4章
完全负相关的两种证券组合的可行集图示
收益rp
(r1,1)
r1 1
r2
2
2
r2
2020/11/17
(r2 , 2 )
投资学第4章
风险σp
3、不完全相关的两种资产组合的可行集
2020/11/17
投资学第4章
不同相关程度的两种风险资产组合的可行集
收益Erp
r1 1
风险σp
三、有效集
❖ 在可行集中，有些组合从风险和收益角度来 评价，明显优于另一些组合
❖ 任意给定风险水平有最大的预期回报和任意 给定预期回报水平有最小风险的集合叫 Markowitz有效集，又称为有效边界
投资者的最优组合将从有效边界中产生
2020/11/17
投资学第4章
❖ 可行集中，G为最小方差组合，GS即为有效集 ❖ Ｐ、Ａ、Ｂ
❖ 类似于3种资产组合的情形
收益rp
2020/11/17
投资学第4章
风险σp
（四）可行集的性质
在n种资产中，如至少存在3项资产彼此不 完全相关，则可行集将是一个二维实体区 域。
可行区域是向左侧凸出的 为什么？
2020/11/17
投资学第4章
不可能的可行集
收益rp
A B
2020/11/17
投资学第4章
2020/11/17
投资学第4章
路径
❖ 从经济学的角度分析，就是投资者预先确 定一个期望收益率，然后确定组合中每种 资产的权重，使其总体投资风险最小
❖ 在不同的期望收益率水平下，得到相应的 使方差最小的资产组合解，这些解构成了 最小方差组合集合
2020/11/17
投资学第4章
例：特定期望收益的最小方差组合的计算
i1 j1
i 1
i 1
❖ 上式分别对wi求导数，令其一阶导数为0，得到方程组：
2020/11/17
投资学第4章
2020/11/17
L
w1
n
w j1 j r1 0
j 1
L
w2
n
w j 2 j r2 0
j 1
L
wn
n
w j nj rn 0
j 1
n
i 1 n
0 1/3
w1 1/ 3 w2 1/ 3 w3 1/ 3 由此得到组合的方差为： 2 1
3
2020/11/17
投资学第4章
四、最优风险资产组合（optimal risky portfolio）的确定
2020/11/17
投资学第4章
❖ 另假定：
不存在无风险资产 风险资产不允许买空卖空
2020/11/17
投资学第4章
二、风险资产组合的可行集
❖ 可行集：又叫机会集，是由给定的一组资 产构成的所有可能的证券组合的集合
2020/11/17
投资学第4章
（一）两种风险资产构建的组合的 可行集
❖ 若已知两风险资产的期望收益、方差和它 们间的相关系数，则组合之期望收益和方 差为：
2020/11/17
投资学第4章
上述两方程构成了组合在给定条件下的 可行集！
2020/11/17
投资学第4章
组合风险的几种情形
❖ ρ=1时，
2 p
(1 1
2 2 )2
组合风险等于两种证券各自风险的加权平均
❖ ρ=0时，
2 p
1212
22
2 2
❖ ρ=-1时，
2 p
(11
22 )2
组合的风险最小。如 11 2 2 ,组合的风险降为0
L
w1
3
w j1 j
j 1
r1
w1
0
L
w2
3
w j 2 j
j 1
r2
w2 2
0
L
w3
3
w j 3 j
j 1
r3
w2 3
0
3
wiri w1 2w2 3w3 2
i1
3
2020/11/17 i1
wi
w1 w2
w3 1
投资学第4章
马科威茨资产组合理论
第三节 最优组合选择
—— 阐述投资者如何建立适合 自己的最优风险资产组合
—— 投资范围中不包含无风险 资产
一、基本假设
❖ 投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资 ❖ 投资者根据收益率的期望值和方差来评价和选择
资产组合 ❖ 投资者是风险规避的，追求期望效用最大化 ❖ 所有投资者处于同一单一投资期
2020/11/17
投资学第4章
❖ 命题3.1：完全正相关的两种资产组合的可行 集是一条直线
2020/11/17
投资学第4章
结论：组合收益是组合风险的线性函数
收益 Erp
(r1,1)
2020/11/17
(r2 , 2 )
投资学第4章
风险σp
命题3.2：完全负相关的两种资产组合的可行集 是两条直线(一条折现)
2020/11/17
投资学第4章
有效组合的微分求解法*
❖ 均值-方差模型建立的目的是寻找有效边界
❖ 这是一个优化问题，即
给定收益的条件下，风险最小化
给定风险的条件下，收益最大化
❖ 马科维茨模型是以资产权重为变量的二次规划问题，
采用微分中的拉格朗日方法求解。在限制条件下使
组合风险最小时的最优投资比例。
min s.t.
2020/11/17
n
n
wi w j ij
i 1 j 1
n
wi ri c, i 1
n
wi i 1 投资学第4章
1
❖ 对于上述带有约束条件的优化问题，可引入拉格朗日乘
子λ和μ来解决。（求条件极值）
❖ 构造拉格朗日辅助函数如下：
nn
n
n
L
wiwj ij ( wiri c) ( wi 1)
2020/11/17
投资学第4章
rp (
p)
p＋ 2 1 2
r1＋(1
p＋ 2 1 2
)r2
r1
1
r2
2
p
r1
1
r2
2
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2020/11/17
投资学第4章
同理可证
当w1
2 1 2时,p (w1)(1 w1) 2
w1
，则
1
rp (
p)
r1
1
r2
2
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r1
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命题成立，证毕。
r2
2
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ρ=-1
(r1,1)
ρ=1
(r2 , 2 )
投资学第4章
ρ=0
风险σp
（二）三种风险资产组合的可行集
❖ 一般，当资产数量较多时，要保证资产间两两完全 相关不可能。因此，一般假设两种资产不完全相关。
收益rp
3 4
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1
投资学第4章
风险σp
（三）n种风险资产组合的可行集
wi ri
c
wi 1
i 1
投资学第4章
❖ 上述方程是线性方程组，可通过线性代数加 以解决。
例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1， 2，3，方差都为1，若要得到期望收益为2的 该三项资产的最优组合，求解权重。
2020/11/17
投资学第4章
1 0 0
由于 0 0
1 0
0 1
r =(11, 2, 3)T , c 2
2020/11/17
投资学第4章
完全负相关的两种证券组合的可行集图示
收益rp
(r1,1)
r1 1
r2
2
2
r2
2020/11/17
(r2 , 2 )
投资学第4章
风险σp
3、不完全相关的两种资产组合的可行集
2020/11/17
投资学第4章
不同相关程度的两种风险资产组合的可行集
收益Erp
r1 1
风险σp
三、有效集
❖ 在可行集中，有些组合从风险和收益角度来 评价，明显优于另一些组合
❖ 任意给定风险水平有最大的预期回报和任意 给定预期回报水平有最小风险的集合叫 Markowitz有效集，又称为有效边界
投资者的最优组合将从有效边界中产生
2020/11/17
投资学第4章
❖ 可行集中，G为最小方差组合，GS即为有效集 ❖ Ｐ、Ａ、Ｂ
❖ 类似于3种资产组合的情形
收益rp
2020/11/17
投资学第4章
风险σp
（四）可行集的性质
在n种资产中，如至少存在3项资产彼此不 完全相关，则可行集将是一个二维实体区 域。
可行区域是向左侧凸出的 为什么？
2020/11/17
投资学第4章
不可能的可行集
收益rp
A B
2020/11/17
投资学第4章
2020/11/17
投资学第4章
路径
❖ 从经济学的角度分析，就是投资者预先确 定一个期望收益率，然后确定组合中每种 资产的权重，使其总体投资风险最小
❖ 在不同的期望收益率水平下，得到相应的 使方差最小的资产组合解，这些解构成了 最小方差组合集合
2020/11/17
投资学第4章
例：特定期望收益的最小方差组合的计算
i1 j1
i 1
i 1
❖ 上式分别对wi求导数，令其一阶导数为0，得到方程组：
2020/11/17
投资学第4章
2020/11/17
L
w1
n
w j1 j r1 0
j 1
L
w2
n
w j 2 j r2 0
j 1
L
wn
n
w j nj rn 0
j 1
n
i 1 n
0 1/3
w1 1/ 3 w2 1/ 3 w3 1/ 3 由此得到组合的方差为： 2 1
3
2020/11/17
投资学第4章
四、最优风险资产组合（optimal risky portfolio）的确定
2020/11/17
投资学第4章
❖ 另假定：
不存在无风险资产 风险资产不允许买空卖空
2020/11/17
投资学第4章
二、风险资产组合的可行集
❖ 可行集：又叫机会集，是由给定的一组资 产构成的所有可能的证券组合的集合
2020/11/17
投资学第4章
（一）两种风险资产构建的组合的 可行集
❖ 若已知两风险资产的期望收益、方差和它 们间的相关系数，则组合之期望收益和方 差为：
2020/11/17
投资学第4章
上述两方程构成了组合在给定条件下的 可行集！
2020/11/17
投资学第4章
组合风险的几种情形
❖ ρ=1时，
2 p
(1 1
2 2 )2
组合风险等于两种证券各自风险的加权平均
❖ ρ=0时，
2 p
1212
22
2 2
❖ ρ=-1时，
2 p
(11
22 )2
组合的风险最小。如 11 2 2 ,组合的风险降为0
L
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3
w j1 j
j 1
r1
w1
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L
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3
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j 1
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L
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j 1
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0
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i1
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wi
w1 w2
w3 1
投资学第4章