微分与导数的概念

解 由于 y (x) 0 (x) ，所以 x 0 时 y 0 。因此 y x 在 x 0 处连 续；但因 x 0 时 y 作为无穷小量，比 x 低阶，因而不能表为 x 的线性项与 高阶项之和。按定义，它在 x 0 处是不可微的。 如果函数 f 在区间 (a, b) 中每一点处均是可微的， 则称 f 是 (a, b) 上的可微函数。 例 2.1.1 说明 f(x) = x 2 是 (,) 上的可微函数。
微分与导数的概念
一般说来， 当函数关系中的自变量有微小变化时， 因变量随之有相应的变化。 微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也很微小时 ，能够精确而 又简便地估计出这个改变量。
一个实例 维持卫星作环绕地球的圆周运动所需要的最低速度 v 称为第一宇宙速度。 根 据重力等于向心力，可得这个速度约为 7.9km/s。下面我们尝试以另一条思路作 推导。
lim g (2t 0 t ) gt0 。 = t 0
1 2
1 2
例 2.1.4
细菌的增长率
设 t 时刻细菌的总数为 N(t) ，则在时段 [t 0 , t 0 t ] 中细菌数的变化量为
N N (t 0 t ) N (t 0 ) ，
N 是细菌在该时段的平均增长率，当 t 0 时其极限 t
设某时刻卫星处于地球表面附近的 A 点（见图 2.1.1）其运动速度沿圆周切 线方向。若无外力影响，一秒钟后它本应到达切线上 B 点，线段 AB 的长度即 圆周运动速度的大小。但实际上卫星受地球引力的作用到达 C 点，BC 的长度即 自由落体在第一秒中走过的路程。
A
当 OA 和 OC 近似地取为地球的平均半径 6371000m 时，AB 长度即卫星所应具有的最小飞 行速度的大小。注意到 BC g 12 4.9(m) ，点 O ，
在函数 f 的可微点处，因为当 x 0 时 y kx o(x) ，所以 y = o(1)，这个 事实可表述为以下定理： 定理 2.1.1 设函数 f 在 x 处可微，则 f 在 x 处连续。
2
例 2.1.2
讨论 y x 3 在 x = 0 处的连续性与可微性。
2 3 2 3 2 3
我们再对上面关于 AB 2 的计算作一个几何解释： 作一个 边长为 R OA 的正方形，当它的边长由 R 增加到 R+ R 时 （这里 R = BC） ，记其面积 S = R 2 改变的大小为 S（见图 2.1.2） ，即 S ( R R) 2 R 2 。显然， S 即所求的 AB 2 。易 知
所当然地可以用第一部分近似代替，这一部分就被称作 S 的微分。
这里， 略去关于 R 的高阶无穷小， 而以 R 的线性函数取代 S 的处理方法， 正是微分概念的本质所在。 微分的概念 定义 2.1.1 设函数 y f ( x) 定义于 x 的某邻域，如果存在常数 k ，使得
f ( x x) f ( x) kx o(x) ，
存在，则称 f 在 x 处可导，并称此极限为 f 在 x 处的导数，记作 f ( x) 或 y ( x) 。 把上述定义中的 x 0 改为 x 0 0 或 x 0 0 ， 相应地得到 f 在 x 处的左 导数和右导数的概念，分别记作 f ( x) 和 f ( x) 。显然， f 在 x 处可导等价于在该 点处左、右导数均存在且相等。
既然可导和可微都是研究 y 关于 x 变化的性态， 它们之间必然有本质的联 系，下面定理 2.1.2 说明了这一点。
定理 2.1.2 设函数 f 定义于 x 的某个邻域，则 f 在 x 处可导的充要条件是 f 在 x 处可微，且此时成立
f ( x x) f ( x) f ( x)x o(x) 。
则称函数 f 在 x 处可微，称 k x 为因变量 y f ( x) 在 x 处对应于自变量增量 x 的 微分，记作 dy 或 df ( x) 。 我们再对这个定义作几点说明。 首先，这里的 k 仅与 x 有关而与 x 无关，因而 k 是使函数 f 可微的点 x 的集合 上的一个函数： k k ( x) 。
另一方面，前面的分析已指出 f 在 x 处可微时必在 x 处可导，同时易知定理 所示的两个关系式在函数可微的条件下成立。 由定理可知， f ( x) 与 记号表示为
dy df ( x ) 或 。 dx dx
证毕
df ( x ) 同时存在且相等，因而导数 f ( x) 也可直接用微分 dx
如果 f 是 (a, b) 上的可微函数，则称 f 是 (a, b) 上的可导函数。此时，我们可得 到定义于 (a, b) 上的一个新的函数 f ，
由定理 2.1.1 可知，若 f 是 (a, b) 上的可微函数，则 f 在 (a, b) 上连续。 一般说来，当自变量 x 有增量 x 时，因变量的增量 y 不但可能形式复杂， 而且计算量很大。但是如前所述，当这个函数在 x 处可微时，只要 x 充分小， 用 dy 代替 y 不失是一种有效的近似计算方法。因为 dy k ( x)dx ，所以问题归结 为 k(x)的计算。下面我们就来讨论这个量。 导数概念 若函数 f 在 x 处可微，则 df ( x) kx ，所以 k
B ， C 大致在一条直线上，所以
O
B C
1 2
图 2.1.1
AB 2 (6371000 4.9) 2 6371000 2 。
显然，直接按上式计算 AB 2 是不可取的。这将导致两个 10 13 量级的数相减， 计算量甚大，并且在字长较短的计算机上还可能产生较大的误差。利用乘法公 式把上式改写为
其次，如取 g ( x) x ，则
g ( x x) g ( x) x ，
于是
dx dg( x) x 。
因此， 我们规定： 自变量的微分等于自变量的增量， 即 dx x 。 于是， 对于 y f ( x) ， 其微分 dy k x 或 df ( x) kx 又可写作
N (t 0 ) 就是 t 0 时刻细菌的瞬时增长率。
在例 2.1.3 和例 2.1.4 中，导数都是用来度量某个量变化快慢，即变化速度 的。这类问题其实随处可见。诸如物理学中的光、热、磁、电的各种传导率、 化学中的反应速率乃至经济学中的资金流动比率、人口学中的人口增长速率等 等，都是各种广义的“速度” ，因而都可以用导数表述。一言而敝之，导数是因 变量关于自变量的变化率。
v(t 0 ) lim
t 0
s(t 0 t ) s(t 0 ) 。 t
因此， v(t 0 ) = s (t 0 ) 。 例如，自由落体的运动方程为 s gt 2 ，因此时刻 t 0 的瞬时速度为
1 1 2 g (t 0 t ) 2 gt0 s 2 v(t 0 ) = s (t 0 ) = lim lim 2 t 0 t t 0 t
y kx o(x) 1 o(1) ， dy kx
即当 x 0 时，
y ~ dy 。
例 2.1.1
设 y x 2 ，则对任意的 x (,) 有
y ( x x) 2 x 2 = 2 xx (x) 2 。
由定义，函数 y x 2 在 x 处可微，且其微分为 dy 2xdx ，这正是我们用来计算第 一宇宙速度的近似式。
df ( x) ，即 k 是因变量的微分与 dx
自变量的微分之商，这就是下面要讨论的导数概念。为了对这一概念有更直接 的理解，我们再从增量出发引入导数的定义。
定义 2.1.2 设函数 y f ( x) 在 x 的某邻域有定义。如果极限
lim
x 0
y f ( x x ) f ( x ) lim x 0 x x
即 df ( x) f ( x)dx 。 证 显然，f 在 x 处可导等价于当 x 0 时，
f ( x x) f ( x) f ( x) o(1) ， x
即
f ( x x) f ( x) f ( x)x o(1) x 。
显然 o(1) x o(x) ，因此，上式又导出 f 在 x 处可微。
AB 2 = 2 6371000 4.9 4.9 2 。
上式右端的两项相比，第二项显然大大地小于第一项，从而可以忽略不计。于 是，可把计算简化为
AB 2 2 6371000 4.9 ，
由此得到 AB 7.9(km) 。这就是说，卫星速度至少要达到 7.9km/s 才能维持其环绕 地球的飞行，此即所求的第一宇宙速度。
导数研究的另一重大动力源自数学自身的需要。 这方面典型的数学问题是求 切线的斜率。 设平面上有一条光滑的曲线 要求出 y f ( x) 。P0 ( x0 , y 0 ) 是曲线上一点， 曲线在 P0 处切线的斜率（见图 2.1.3） 。
在曲线上 P0 附近取一点 P( x, y) ，作割线 P0 P，当点 P 沿曲线趋于 P0 时，如果 割线 P0 P 趋于一确定的极限位置 P0 T，就称 P0 T 为曲线在 P0 处的切线。
dy kdx或 df ( x) kdx。
由于一般来说， k 随 x 变化而变化，故而由
dy k ( x)dx
可见因变量的微分 dy 依赖于两个量：自变量和自变量的增量，即 x 和 dx 。
由定义可知，如果函数 y f ( x) 在 x 处可微，则当 x 0 时， y dy o(x) 。 如果 k 0 ，当 x 0 时，
S
图 2.1.2
= 2R R+ ( R ) 2 。
可见 S 分为两部分：第一部分 2R R 是 R 的“线性函数” ，即图中两个小矩形 面积之和，而第二部分为 ( R ) 2 ，对应于图中右上角的小正方形。因为 R 0 时
( R ) 2 = o (R) ，所以当边长 R 改变很微小，即 | R | 很小时，面积改变量 S 理
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记 x x x0 ， y f ( x) f ( x0 ) ，则割线 P0 P 的斜率为
k tan y 。 x
显然当 P P0 时 x x0 ，即 x 0 ，因此切线的斜率 k tan 为
lim k = lim k = x 0 x 0
s s (t 0 t ) s (t 0 ) ，则有
v
s s(t 0 t ) s(t 0 ) 。 t t
如果质点作的是变速运动，上式只能表示相应时段中的平均速度。当时间间 隔 t 很小时，可以认为上述平均速度是 t 0 时刻瞬时速度的一个近似。为了精确 地求得瞬时速度 v(t 0 ) ，还得借助于 t t 0 的极限过程，即
y ， x
于是
k f ( x0 ) 。
这就是说， 导数 f ( x0 ) 的几何意义是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率。
由此进一步可得，曲线 y f ( x) 在点 P0 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程是
f ： x f ( x), x (a, bBiblioteka Baidu ，
称 f 为 f 的导函数，简称导数。
导数的意义 下面我们将通过一些实例的分析介绍导数的科学意义。 例 2.1.3 直线运动的速度 设有某质点沿直线作运动，已知其位移 s 与时间 t 的函数关系：s = s(t)，要 求出时刻 t 0 时质点运动的速度（瞬时速度） 。 如 果 质 点 作 的 是 匀 速 运 动 ， 考 察 时 段 [t 0 , t 0 t ] 中 位 移 的 变 化