等差数列前n项和求法(1)
等差数列前n项和(1)
an +1 − an = d (d 是与n无关的常数）
等差数列
an = a1 + (n − 1)d
{an} 的通项公式为
当d≠0时，这是关于 的 时 这是关于n的 一个一次函数。 一个一次函数。
如果在a与 中间插入一个数 中间插入一个数A， 成等差数列， 如果在 与b中间插入一个数 ，使a，A，b成等差数列， ， ， 成等差数列 那么A叫做 叫做a与 的等差中项 的等差中项。 那么 叫做 与b的等差中项。 a+b
一堆钢管堆积在一起，一共有20层，如何算 出钢管的总数？
用高斯的思路我们想
1 + 2 + 3 + + 18 + 19 + 20 =x 20+19+18+ + 3 + 2 + 1 =x (1+20)+(2+19)++(19+2)+(20+1)=2x 21×20=2x X=210
等差数列前n项和 等差数列前 项和
这种求和的方法我1
a 在等差数列 {an } 中，已知 n = 15 ， n = −10， = 2，求 a1 和 S n d
解： 由an = a1 + ( n − 1) d 知
a1 = −38
n ( a1 + an ) 又由S n = 可得 2
Sn = an + an −1 + L + a3 + a2 + a1
2S n = ( a1 + an ) + ( a2 + an −1 ) + ( a3 + an − 2 ) L + ( an + a1 )
等差数列的前n项和(一)
2.2 等差数列的前n 项和(一)[学习目标] 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一 数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n . a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)． 思考 由S n 与S n －1的表达式可以得出a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n －S n －1 (n ≥2)S 1 (n ＝1). 知识点二 等差数列前n 项和公式、推导和认识1．公式：若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2. 2．若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d . 3．推导：(方法：倒序相加法)过程：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a n ＋a 1，∴2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2. 4．从函数角度认识等差数列的前n 项和公式(1)公式的变形S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n . (2)从函数角度认识公式①当d ≠0时，S n 是项数n 的二次函数，且不含常数项；②当d ＝0时，S n ＝na 1，不是项数n 的二次函数．(3)结论及其应用已知数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ＋C ，若C ＝0，则数列{a n }为等差数列；若C ≠0，则数列{a n }不是等差数列．思考 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．－2B ．－13C ．1D ．3答案 A解析 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝6，∴a 2＝2，又a 1＝4，∴d ＝－2.知识点三 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 2．若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 4．若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 5．若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 思考 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是________． 答案 210解析 设{a n }的前3m 项和是S ，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 分别为30,70，S －100.由性质知30,70，S －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S －100)，∴S ＝210.题型一 与等差数列S n 有关的基本量的计算例1 在等差数列{a n }中．(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d . (2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝(56－32)2＝－5，解得n ＝15. 又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16. ∴n ＝15，d ＝－16. (2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172， 解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.∴a 8＝39，d ＝5.反思与感悟 a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中；(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340. 题型二 等差数列前n 项和性质的应用例2 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S n n}的前10项的和为________．答案 (1)C (2)D (3)75解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49. (2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214. (3)∵S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)． ∴S n n ＝n ＋2，数列{S n n}是以首项为3，公差为1的等差数列， ∴{S n n }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 反思与感悟 等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解． (2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S n n＝an ＋b (a ≠0)进行计算． (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解．跟踪训练2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.(2)已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．解 方法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57. 方法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列，∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n .又S n T n ＝2n ＋13n －2， ∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R .∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1)＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1)＝t (4n －1)(n ≥2)，b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5)＝t (6n －5)(n ≥2)．∴a n b n ＝t (4n －1)t (6n －5)＝4n －16n －5， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 题型三 等差数列前n 项和公式在实际中的应用例3 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板S 9＝9a 1＋9(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)． 答 第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．答案 2 000解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000 米．1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．48答案 B解析 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝120， ∴a 1＋a 10＝24.2．已知数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A ．－1B ．－11C ．－13D ．－15答案 D解析 易知(a 3＋a 8)2＝9.∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝－15. 3．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，∴4(a 1＋a n )＝280，∴a 1＋a n ＝70.又S ＝n (a 1＋a n )2＝n 2×70＝210，∴n ＝6. 4．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 20解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.5．在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，则等差数列{a n }从第100项到第200项之和S 的值为________．答案 30 603解析 ∵a 100＝203，∴S ＝203×101＋101×1002×2＝30 603.1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p 的应用．3．本节的思想方法：方程思想、函数思想、整体思想．。
求数列前n项和8种的方法(史上最全)
求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
等差数列前n项求和公式方法
等差数列前n项求和公式方法等差数列是数学中常见的一种数列。
其中，首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
要求等差数列前n项求和的公式，可以通过以下几种方法来推导。
一、首项与末项求和法首项与末项求和法是最常见的一种方法。
设首项为a₁，末项为aₙ，则数列的项数为n。
1.求首项与末项首项a₁为数列的第一项，末项aₙ为数列的第n项。
可以根据等差数列的通项公式推导得到，通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d其中，d表示公差。
2.求和公式根据等差数列的性质，首项与末项之和等于各项的平均数乘以项数，可以得到求和公式：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2其中，Sₙ表示前n项的和。
二、差法差法是一种较为简便的求和公式推导方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.推导公式将数列分为两组，一组从首项开始，另一组从末项开始。
则两组数列的和相等，可以得到以下等式：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁+aₙ)×(n/2)+(a₁+aₙ)×(n/2)化简可得：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁×n+aₙ×n)/2再次化简可得：(a₁+aₙ)×n=a₁×n+aₙ×n进一步化简可得：Sₙ=(a₁+aₙ)×(n/2)其中，Sₙ表示前n项的和。
三、差分法差分法是另一种可以用于推导等差数列前n项求和公式的方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.构造数列构造一个新数列b₁、b₂、b₃、..，其中，b₁为a₁，b₂为a₁+(a₁+d)，b₃为a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)，以此类推。
3.求和求这个新数列的和S₁，其中S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ。
4.推导公式可以得到以下等式：S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ=(n/2)×(2a₁+(n-1)d)将b₁展开，可以得到：S₁ = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d)再次化简可得：S₁ = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d) = (n / 2) × (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和。
2000.求数列前N项和的七种方法 (1)
求数列前N 项和的七种方法1.公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+ ，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和：q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q -≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.[例2]设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值.2.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-13.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例5]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
求前n项和的几种方法
求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。
各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种形式及应用
各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种
形式及应用
一、定义：
等差数列（Arithmetic Sequence）是指一组数满足相邻两项之差均为常数的数列。
它是有序数列中最为常见的类型，而且它在数学中有着重要的应用。
二、公式：
等差数列的前n项和公式有五种形式，即：
1. 极差法：Sn = n*a + [(n-1)*d]/2；
2. 等比数列的和公式：Sn = a*(1-rn) / (1-r)；
3. 通项法：Sn = n/2(a+l)；
4. 等差前n项和公式：Sn = n/2(2a+(n-1)d)；
5. 首项和末项乘积法：Sn = n/2(a×l)。
三、应用：
1. 等差数列可以用于说明几何形体的对称性，如三角形、正方形和正多边形。
2. 等差数列可以用于推断和解决实际问题，如求解时间与距离的关系等。
3. 等差数列可以用于衡量某一事物的递增规律或趋势，如检测股价的波动趋势、记账的收入支出趋势等。
4. 等差数列可以用于估算一组数据的平均值，如计算某一时间段内股票的平均价格、计算某一地区的平均气温等。
5. 等差数列可以用于表达函数的性质，如线性函数y=ax+b、抛物线函数y=ax2+bx+c等。
2.3等差数列的前n项和公式(1)
3.公式的应用(知三求一)。
2.3.2等差数列的前n项和
复习
1、等差数列{an}的基本性质：
(1) a1+an=a2+an-1=a3+an-2=· · ·
(2) a、A、b成等差数列
A=（a+b)/2
(3)如果数列{an}的通项公式是 an=An+B (A、B是与n无关的常数），那么数列{an} 一定是等差数列。
Sn
50 （50 1) 50 100 (2) 2550 2
(3)a1 14.5, d 0.7, an 32.
32 14.5 n 1 26, S 26 0.7
26 (14 .5 32 ) an a (n 1604 .5 . 1)d 2
求集合 M m | m 7n, n N , 且m 100 的元素个数，并求这些元素的和. 100 2 解： 7 n 100 n 14
例3
所以集合M中的元素共有14个.
将它们从小到大列出，得
7
7
7, 2 7, 3 7, 4 7,
即
,
14 7,
例1:根据下列条件，求相应的等差数列
an
的
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
(2)a1 100 , d 2, n 50;
S50
10 (5 95) 500 . 2
n（a1 an ) Sn 2
n（n 1) S n na1 d 2
2、等差数列{an}的前n项和公式 n(n 1) n(a1 an ) sn na1 d sn 2 2
练习1、计算 提示： （1） 5+6+7+…+79+80 3230 n=76 （2） 1+3+5+„+（2n-1） n2 法二： （3）1-2+3-4+5-6+„+（2n-1）-2n -n
等差数列前n项和求法
平均值
等差数列的平均值等于中间项。 等差数列的平均值也可以通过首项和末项的算术平均数来计算。
04
CHAPTER
等差数列前n项和的应用
在数学中的应用
数学公式推导
等差数列的前n项和公式是数学中 常用的公式之一，广泛应用于解 决与等差数列相关的问题，如求 和、求项数等。
02
CHAPTER
等差数列前n项和的推导
推导过程
01
首先，我们可以通过观察等差 数列的特性，发现其相邻两项 之差是常数。
02
其次，我们可以通过累加等差 数列的前n项，得到一个求和 公式。
03
最后，我们可以通过数学推导 ，将累加的结果进行简化，得 到等差数列前n项和的公式。
推导公式
等差数列前n项和的公式为：$S_n = frac{n}{2} times (2a_1 + (n-1)d)$， 其中$a_1$是首项，d是公差。
VS
这个公式可以用来计算等差数列的前 n项和，只需将首项和公差代入公式 即可。
推导公式的应用
01 02 03 04
等差数列前n项和的公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用 。
在数学中，它可以用来解决与等差数列相关的问题，如求和、求特定 项的值等。
在物理中，它可以用来描述周期性变化的现象，如振动、波动等。
总结词：实际应用
详细描述：等差数列的前n项和在实际生活 中有广泛的应用。例如，在金融领域，等差 数列的前n项和可以用于计算年金、养老金 等；在物理领域，等差数列的前n项和可以 用于计算周期性现象的总能量等。此外，等 差数列的前n项和还可以用于解决一些数学
问题，如求解线性方程组等。
THANKS
2.3等差数列的前n项和(1)
2
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面 一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面 上铺了19层，共铺瓦片多少块？ 解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数 构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
19 19 1 S19 19 21 1 570 块 2
3/30/2015
想 一 想
3/30/2015
在等差数列 {an} 中，如果已知五个 量 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
（ n n 1) d S n na1 2 an a1 (n 1) d
结论：知 三 求 二
3/30/2015
复习引入
数列的通项公式能够反映数列的基 本特性，而在实际问题中，常常需要求 数列的前n项和.对于等差数列，为了方 便运算，我们希望有一个求和公式，这 就是本节课我们需要探究的课题.
3/30/2015
3/30/2015
高斯(Gauss,1777—1855), 德国著名数学家，他研究的内 容涉及数学的各个领域，被称 为历史上最伟大的三位数学家 之一，他与阿基米德、牛顿齐 名，是数学史上一颗光芒四射 的巨星，被誉为“数学王子”.
环县二中
梁万聪
复习引入
1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式：
(1) an＝a1＋(n－1)d .
(2) an＝am＋(n－m)d .
3/30/2015
复习引入
3. 等差中项
ab A a , A, b 2
*
成等差数列.
4. 等差数列的性质 m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq. (m，n，p，q∈N*)
等差数列前n项和
从上而下第一层是1颗宝石，第一层是2颗宝石，第三层是3颗宝石… …第一百层是100颗宝石 即: 1+2+3+······+100=？
点击此处添加正文，文字是您思想的提炼。
2.2 等差数列的前n项和
02
德国古代著名数学家高斯10岁的时候就已经解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？
2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1)
21个22
探究问题1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？
这实质上就是数学中数列求和的一种重要方法--------倒序相加法 总结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？
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等差数列前n项和的公式；
等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；
在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素. （两个）
课堂小结
问题2:等差数列1,2,3,…,n, …的前n项和怎么求？
sn=1 + 2 + … + n-1 + n
2sn =(n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1)
sn=n + n-1 + … + 2 + 1
北京天坛圆丘
由等差数列前n项和公式,
解 (1)设从第1圈到第9圈石板数构成数列 ,由题意可知 是等差数列,其中
(块)
故
(块)
方式1
答 第9圈有81块石板, 前9圈一共有405块石板
等差数列的前N项和(1)上课使用
问题1
1.计算：1 2 3 99 100
1+100=2+99=3+98= =50+51=1(n 1) n
此种求 n＋(n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 和法称 为倒序 相加法 难点在于两两配对问题上，要分偶数项和
2.3 等差数列的前n项和 (一)
一.复习回顾与知识准备
等差数列的通项公式: an a1 (n 1)d 等差数列的性质:
an am (n m)d
若 m n p q, 则 am an ap aq
我们把 a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an 叫做数列｛ an ｝ 的前n项和，记作Sn
结论：等差数列{an}的前2n-1项和公式：
（2n 1 (a1 a2 n 1 ) ） S2 n 1 (2n 1)an 2
2. 在a、b之间插入10个数，使它们同这两个数成等 差数列，求这10个数的和。 5(a+b)
变式. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若
S10＝310，S20＝1220，求S30.
练 习
根据条件，求相应等差数列{an}的Sn: ①a1=5, an=95, n=10; ②a1=100, d=－2, n=50;
③a1=14.5, d=0.7, an=32.
答案：①500； ②2550； ③604.5
课堂小结
等差数列前n项和公式
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
奇数项讨论
一、新课
100(100 1) 问题：1+2+3+…+100=？ 2
等差数列前n项和性质
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解 ] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，公差
10a ＋1010－1d＝100， 1 2 为 d，则 100100－1 100a1＋ d＝10. 2
1 099 a ＝ 1 100 ， 解得 d＝－ 11 . 50 110110－1 ∴S110＝110a1＋ d 2 1 099 110×109 11 ＝110× 100 ＋ × ( － 2 50)＝－110.
返回
n＋1 44 4 ＝ n ＝33＝3，得 n＝3. 又∵S 奇＝(n＋1)· an＋1＝44，∴an＋1＝11. 故这个数列中间项为 11，项数共有 2n＋1＝7 项.
返回
变式2．项数为2n+1的等差数列，奇数项之和为51， 偶数项之和为42.5，首项为1，求这个数列的项数及通
项公式．
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
法三：(新数列法)∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110 －S100，…成等差数列， 10×9 ∴设该数列公差为 d，则其前 10 项和为 10×100＋ d＝10， 2 解得 d＝－22. 10×11 10×11 ∴前 11 项和为 11×100＋ d＝11×100＋ ×(－22)＝ 2 2 －110.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且lg(Sn＋1)＝n＋1，求
通项公式．
解：因为lg(Sn＋1)＝n＋1， 所以Sn＋1＝10n＋1.即Sn＝10n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n，
等差数列前n项和公式(一)
∵a7＝1.∴d＝a7－a6＝1－3＝－2
亲爱的同学们，下节课见！
B. 20
C. 30
D. 40
2.在等差数列{an}中，若a1＝2，a9＝18，则前9项的和S9＝（ D ）.
A. 60
B. 70
C. 80
D. 90
3.若等差数列{an}的前7项和S7＝14，则a1＋a7＝（ C ）.
A. 1
B. 2
C. 4
Hale Waihona Puke D. 84.在等差数列{an}中，首项为1，公差d＝2，则前3项的和S3＝（
2
3.在等差数列{an}中，若a5＝2，d＝3，求前5项的和S5.
解：a5＝2， d＝3可得a5＝a1＋4d＝2，∴a1＋4×3＝2，∴a1＝－10
(1 +5 )×5
(−10+2)×5
∴S5＝
＝
＝－20
2
2
解答题
1.在等差数列{an}中，若第3项与第6项分别为2和4，求前8项的和S8.
3 = 1 + 2 = 2
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
C ）.
二、填空题
1.正整数数列1，2，3，…的前10项的和S10＝
55 .
2.在等差数列{an}中，若a1＝2，a6＝8，则S6＝ 30 .
3.在等差数列{an}中，a1＝－3，d＝4，则数列前7项的和S7＝ 72 .
三、解答题
1.在等差数列{an}中，若首项a1＝3，a10＝48，求：
（1）数列的公差d；
∵a10＝a1＋9d ∴48＝3＋9d解得d＝5
（2）前10项的和S10.
(1 +10 )×10
(3+48)×10
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。
在数学中，求等差数列的前n项和是一个常见的问题。
本文将介绍如何计算等差数列的前n项和并提供一种简便的计算方法。
一、等差数列的定义等差数列可以用以下公式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
二、等差数列前n项和的计算方法计算等差数列的前n项和，可以使用以下公式：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示前n项和。
三、计算等差数列前n项和的步骤1. 确定等差数列的首项a1和公差d。
2. 根据公式an = a1 + (n-1)d，计算出第n项an的值。
3. 根据公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入a1、an和n的值，计算出前n 项和Sn的值。
四、示例假设有一个等差数列，首项a1 = 3，公差d = 2，我们来计算前10项的和。
1. 首先确定等差数列的首项a1和公差d。
a1 = 3, d = 22. 根据公式an = a1 + (n-1)d，计算出第n项an的值。
a10 = 3 + (10-1) * 2= 3 + 9 * 2= 3 + 18= 213. 根据公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入a1、an和n的值，计算出前n项和Sn的值。
S10 = (10/2)(3 + 21)= 5 * 24= 120所以，该等差数列前10项的和为120。
五、结论通过以上步骤，我们可以计算出等差数列的前n项和。
计算过程中使用的公式简便而实用，可以帮助我们快速求解等差数列的前n项和。
掌握这一方法，可以在数学问题中更加灵活地应用。
综上所述，等差数列的前n项和的计算方法是通过确定首项和公差，然后应用相应的公式计算出前n项和。
这是一个实用而简单的方法，有助于我们更好地理解和应用等差数列的概念。
数列的前n项和求法
数列的前n 项和一、公式法1、通项公式：（1）、等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m)d ； （2）、等比数列的通项公式：11-=n n q a a ＝m n m n q a a -=；2、a n 与Sn 的有关系：a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2(,)1(,11n S S n S n n3、前n 项和：（1）、等差数列前n 项和：Sn ＝2)(1n a a n +＝na 1＋d n n 2)1(- （2）、等比数列前n 项和：Sn ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(11)1()1(,111q q q a a q q a q na n n例1：已知n S ＝1＋2＋3＋4＋……＋n ，（n ∈N ＋），求1)32(++n nS n S 的最大值。
【解析】： )1(21+=n n S n ，1)32(++n n S n S ＝64342++n n n＝34641++nn ≤501变式练习1：在等比数列{n a }中，2a －1a ＝2，且22a 为31a 和3a 的等差中项，求数列{n a }的通项公式及前n 项和。
【解析】：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝312n -.变式练习2：已知{n a }是公差不为零的等差数列，1a ＝1，且1a ，3a ，9a 成等比数列。
（1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n a2}的前n 项和n S 。
【解析】：n a ＝n n S ＝221-+n二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
例2： 求数列的前n 项和：121，241，381，……(n ＋n 21) 【解析】： n n n n S 2112)1(-++=变式练习1：求数列0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999……的前n 项和Sn 。
求前n项和公式的常用方法
求前n项和公式的常用方法
1.等差数列的前n项和：
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
设等差数列首项为a，公差为d，则其前n项和公式为：
Sn=(n/2)*[2a+(n-1)d]
其中，Sn表示前n项和，n表示项数。
2.等比数列的前n项和：
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
设等比数列首项为a，公比为r，则其前n项和公式为：
Sn=a*(1-r^n)/(1-r)
其中，Sn表示前n项和，n表示项数。
3.平方数数列的前n项和：
平方数数列是指其每一项都是一些正整数的平方的数列。
设平方数数列的首项为1，则前n项和公式为：
Sn=(n/6)*(2n+1)*(n+1)
其中，Sn表示前n项和，n表示项数。
4.等差数列与等比数列混合的前n项和：
在一些问题中，数列既具有等差又具有等比的规律。
设数列的前n项和公式为：
Sn = (a1 * r^n - an) / (r - 1)
其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比，an表示前n项的末项。
5.其他特殊数列的前n项和：
除了上述常用的数列，还有其他特殊的数列，如斐波那契数列、调和数列等。
它们的前n项和公式可以通过递归、推导等方法得到。
综上所述，求前n项和的公式主要是根据数列的特点和规律进行推导得出的。
通过掌握不同类型数列的性质和规律，可以得到相应的前n项和公式，从而更快地求解数学问题。
等差数列的前n项和公式(第1课时)
高斯（Gauss，1777－
1855），德国数学家，
近代数学的奠基者之一.
他在天文学、大地测量
高斯的算法实际上解决了求等差数列：
学、磁学、光学等领域
1，2，3，⋯ ，n ， ⋯ ① 前100 项的和的问题. 都做出过杰出贡献.
5
导入新课：
p18你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?
4
情景导入：
前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下
面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题.
200多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：
1+2+3+4+5+ ⋯ +98 +99 +100 =？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时, 10岁的
高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)
=102×101
S101
102 101
2
5151.
等差数列 {an} 的性质, (m,n,p,q∈N*)
若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq
8
导入新课：
思考2:你能用高斯的方法求1+2+ 3+⋯+n 吗?
解析：Sn = 1 +2 +3 + ⋯ + (n-1) +n ①
Sn = n + (n-1) + ⋯ + 3 + 2 + 1 ②
d (2)
2
11
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1
a1
5
100
d
10
n
10
an
95
2
sn
500
-2
2
50
15
2550
-360
604.5
-38 14.5-10 320Fra bibliotek726
四、书面作业
P118习题 3.3第1，2，5，7 题
再
见
思考题：如何求下列和？
1+2+3+4+‥‥‥+99+100=？ 5050
(1)+ (2)得
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1
(1) (2)
由等差数列性质p,q,m,n N +，ap aq am an
2S (a1 an ) (a2 an1 ) (a3 an2 )
㈡【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 倒序相加法 ； ②等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式； 2+bn S = an ③{an}为等差数列 n ，这是一个关于 n 的 没有 常数项 的“二次函数 （ 注意 a 还可以是 0） ”
例1：某长跑运动员7天里每天训练量（单
位：m）： 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 这位长跑运动员7天共跑了多少米？ 63000m 例2：等差数列-10，-6，-2，2，……的前 多少项的和是54？
一、知识巩固
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b （k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项AA ac 2b= a+c b 2 【说明】 an am 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d= nm am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
n1=9,n2=-3(舍)
例3. 求集合M={m|m=7n,nN+且m<100} 的元素个数，并求这些元素的和. 14个，和是735
例4.已知一个等差数列的前10项和是 310,前20项的和是1220,由此可以确定求 其前n项和的公式吗？
可以，Sn=3n2+n.
三、课堂练习
n
知三求二 等差数列{a }的首项为a ，公差为d，项数为n，第n
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？
5. 在等差数列{an}中a1+an
= a2+ an-1 = a3+ an-2 = …
二、学习新课
把Sn a 1 a 2 a 3
a n叫做
数列{an}的前n项和
(an a1 ).
a1 an a2 an1
2Sn= n(a1+ an)
2Sn (a1 an ) (a1 an )
n个
an1 a2 an a1
(a1 an )
n(n 1) na1 d 2
等差数列前n项和公式
n(a1 an ) n(n 1) Sn na1 d 2 2