直接开平方公式法
解一元二次方程的四种方法
解一元二次方程的四种方法在数学中，一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c是已知的常数，而x是未知量。
解一元二次方程是求出满足方程的x的值。
本文将介绍解一元二次方程的四种常用方法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以直接通过因式分解的方法来求解。
具体步骤如下：1.将一元二次方程进行因式分解，将方程转化为两个一次方程的乘积形式。
2.令每个一次方程的乘积等于0，分别求解出x的值。
3.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
因式分解法的优势在于速度快，但适用于一元二次方程能够进行因式分解的情况。
2. 完全平方公式法当一元二次方程无法进行因式分解时，我们可以使用完全平方公式来求解。
完全平方公式给出了一元二次方程的解的公式形式。
下面是求解步骤：1.将一元二次方程转化为标准形式，确保系数a为1。
2.根据完全平方公式，解得一元二次方程的两个解为：x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a3.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
完全平方公式法适用于一元二次方程无法进行因式分解的情况，通过公式进行计算求解。
3. 直接开平方法直接开平方法是一种通过直接对一元二次方程进行开平方运算来求解的方法。
求解步骤如下：1.将一元二次方程转化为标准形式，确保系数a为1。
2.通过移项将方程变形为x的平方等于一个已知常数。
3.对方程两边同时开平方，得到x的值。
4.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
直接开平方法适用于一元二次方程能够通过开平方运算求解的情况，且结果是有理数。
4. 配方法配方法是一种通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，然后进行解的方法。
求解步骤如下：1.将一元二次方程转化为标准形式，确保系数a为1。
2.通过配方法将方程转化为完全平方形式：(x + p)^2 + q = 0。
3.依据完全平方公式，解得一元二次方程的解为：x = -p ± √q4.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
一元二次方程有四种解法
一元二次方程有四种解法：1 、直接开平方法；2 、配方法； 3、公式法； 4 、因式分解法 .1、直接开平方法：例•解方程(3x+1)A2;=7(3乂+1)人2=7/•(3x+1)A2=7•••3x+仁±辺(注意不要丢解符号).•.x=(- 1 ±v7 ) /32 •配方法：例.用配方法解方程3x2-4x-2=0将常数项移到方程右边 3x 2-4x=2方程两边都加上一次项系数一半的平方： x2-( 4/3 ) x+( 4/6) 2=2 +(4/6 ) 2 配方： (x-4/6) 2= 2 +(4/6 ) 2直接开平方得：x-4/6= ± v(2 +(4/6 ) 2 ]•••x= 4/6 ± V[2 +(4/6 ) 2 ]3 •公式法：例 .用公式法解方程2x 2-8x=-5将方程化为一般形式： 2x2-8x+5=0• a=2,b=-8,c=5b 24ac=(-8) 2-4 X2 X5=64-40=24>0•••x=[(-b ±v(b2-4ac)]/(2a)4 •因式分解法：, 右边为零 ) 例．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (1)(x+3)(x-6)=-8化简整理得 x2-3x-10=0 ( 方程左边为二次三项式 (x-5)(x+2)=0 ( 方程左边分解因式 )•••x -5=0 或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) •••X 仁5,x2=-2 是原方程的解.学习课件等等 THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书,打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
一元二次方程的概念和解法(直接开平方法、配方法、公式法)
一元二次方程的概念和解法一、学习目标：1、掌握一元二次方程的概念和一般形式，会找出一元二次方程的各项及其系数；2、会用直接开平方法解一元二次方程。
二、旧知回顾与训练：1、什么叫方程？什么叫整式方程？什么叫方程的解？2、什么是一元一次方程？怎样理解方程“元”和“次”的含义？解一元一次方程的方法和步骤是怎样的？3、解方程：12223x x x -+-=-三、新知学习与训练：（一）一元二次方程的概念： 类比一元一次方程的概念得出一元二次方程的概念：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___ 的 方程叫做一元二次方程。
思考：怎样理解一元二次方程的概念？ 方法小结：1、方程必须是整式方程；2、方程中只能有一个未知数，并且未知数的最高次数只能为二次；3、方程化简后含未知数的二次项的系数不能为0。
练习：下列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？（1）250x -= ； （22x -= ；（3）21230x x+-=； （4）330x x -=； （5）230x xy +-=； （6）-x 2＝0； （7）x （5x -2）＝x （x ＋1）＋4x 2 。
（二） 一元二次方程的一般形式：类比一元一次方程的一般形式得出一元二次方程的一般形式： 。
其中＿＿、＿＿＿、＿＿＿分别叫做二次项、一次项和常数项； 、分别叫做二次项系数、一次项系数。
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
思考：1、一元二次方程的一般形式的结构特征是什么？2、一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）中，为什么“a ≠0”？ 3、怎样把一元二次方程整理为一般形式？范例：例1、方程013)2(=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，求m 的值。
例2、把方程3x （x-1）＝2（x ＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项，一次项系数及常数项？练习：1、下列关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：032)1(2=++x ax ；023)2(2=+mx x ；0128)1)(3(2=----m mx x m ；（4）（b 2＋1）x 2－bx ＋b ＝2；（5） 2tx （x -5）＝7-4tx 。
一般的一元二次方程的解法(直接开平方法,因式分解法)知识讲解
一般的一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法）知识讲解1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：类型二、因式分解法解一元二次方程【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
开平方公式
开平方公式全部最热最新筛选开平方的计算在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。
而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。
如化简√1024，因为1024=2^10,所以。
√1024=2^5=32；又如√1256=√开方公式手动开立方术立方公式设A=X^3，求X。
这称为开立方。
开立方有一个标准的公式：开方公式开方公式X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3(n，n+1是下角标）例如，A=5，即求5平方根公式制义务教育课程标准试验教材八直接开平方公式法笔算开方公式笔算开方公式（竖式）今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。
只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。
既然今日想起，不手算开平方今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。
只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。
既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出用近似公式开平方用近似公式开平方我上初中的时候，计算器还没普及，那时每个学生一本《中学数学用表》，可以查到一个数平方根的4位有效数字。
课本里有笔算开平方的方法，但要列竖式，感觉麻烦，没多久就忘了。
高中的时候，知道有开方公式的推导开方公式的推导一、问题的提出在数学中，再也没有比开方更加自然的事了，当人类产生了自然数概念并且规定了四则运算之后，人们发现，如果按照乘法性质，一个数自身相乘的逆行运算是一件不太容易的事情。
一个整数开根号基础公式开根号基础公式是什么如果一个非负数x的平方等于a，即x=a，（a≥0），那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，即开根号的公式为√a。
1开根号的运算及公式（excel表格开方公式的用法excel表格开方公式的用法 excel表格开方公式的用法：开方公式使用步骤1：打开excel2010，点击菜单栏里的“函数”，选择“数学和三角函数”弹出一个“函数参数”的对话框，同时在单元格里页显示手开方公式的推导手开方公式的推导今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。
①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法
①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法因式分解法、直接开平方法、公式法和配方法都是解题方法，用于解决一元二次方程的题目。
下面将对这四种方法进行详细的解释。
因式分解法是一种将一元二次方程进行因式分解，从而得到方程的解的方法。
一般来说，对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，若a、b、c都是整数及其系数，且方程的解为有理数，那么可以用因式分解法来求解。
首先，将方程的左边进行因式分解，得到(ax + m)(x + n) = 0的形式，然后根据乘法公式，可以得到ax^2 + (m + n)x + mn = 0，与原方程进行比较，可以得到 a = 1，b = m + n，c = mn的关系。
接下来，便可以根据这些关系，将方程进行求解。
直接开平方法是另一种求解一元二次方程的方法。
对于形如ax^2 +bx + c = 0的方程，可以通过将方程的左边进行完全平方的形式，即(a^2x^2 + 2abx + b^2) - b^2 + c = 0，然后将其化为一个二次幂减去一个常数的形式。
接下来，可以将其化为(x + a)^2 = b的形式，然后对其两边进行开平方，可以得到方程的解。
公式法是解一元二次方程的一种常用方法。
对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，可以通过求解方程的根的公式来得到方程的解。
一般来说，方程的根的公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程的系数。
根据方程的根的公式，可以得到方程的两个根，从而求解方程。
配方法也是解一元二次方程的常用方法之一、对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，可以通过一系列变形，将方程转化为一个可以进行因式分解的形式，从而求解方程。
一般来说，配方法的步骤包括将方程的左边进行变形，得到(a^2 + 2abx + b^2) - b^2 + c = 0的形式，然后将其化为一个二次幂减去一个常数的形式。
二元一次方程解法大全
二元一次方程解法大全小编寄语：同学们对于二元一次方程的解法了解多少呢，自己又掌握了几种？下面小编为大家精心整理了二元一次方程的解法，供大家参考。
1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n0)的方程，其解为x=根号下n+m. 例1．解方程〔1〕(3x+1)2=7〔2〕9x2-24x+16=11分析：〔1〕此方程显然用直接开平方法好做，〔2〕方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解。
〔1〕解：(3x+1)2=7(3x+1)2=53x+1=(注意不要丢解)x=原方程的解为x1=,x2=〔2〕解：9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x-4=x=原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b^2-4ac0时，x+=x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方〕解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=x=原方程的解为x1=,x2=.3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-425=64-40=240x=[(-b(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)原方程的解为x1=,x2=.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
二元一次方程[解法][最新]
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一元二次方程基本解法，“降次”化为两个一元一次0有4种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n. 0例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 0分析：一、此方程显然用直接开平方法好做，0二、左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7 ∵(3x+1)2=7 ∴3x+1=±√7 (注意不要丢解)∴x=(﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=(﹣√7-1﹚/3（2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=(4±√11)/3∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3 , x2=(4﹣√11﹚/3 02．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+b/ax+( b/2a)2=- c/a+( b/2a)2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当△=b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x={﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a (这就是求根公式) 0例2．用配方法解方程3x²-4x-2=0 0解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2 将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= 2/3方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 2/3)²=2/3 +(2/3 )²配方：(x-2/3)²= 2/3 +(2/3 )²直接开平方得：x-2/3=±√[2/3+(2/3 )² ] =±√10 /3 ∴x= 2/3±√10 /3∴原方程的解：x1=2/3﹢√10 /3 , x2=2/3﹣√10 /3 . 0 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (△=b²-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程的解法(公式法)
b2 4ac 0
小结
1.一元二次方程的求根公式你记住吗？ 2.你会用公式法求解一元二次方程了吗？
3.你会利用 b2 4ac与零的大小关系来判断一
元二次方程根的情况了吗？
思考题
m取什么值时，方程x²+(2m+1)x+m²-4=0 有两个相等的实数根？
课后作业
1. 课本29 ~ 30页习题18.2第4，7题 2.《基础训练》18.2 第三课时
二、探 索
用配方法解方程ax2 bx c 0 a 0
a 0
x2 b x c 0 aa
x2 b x c
a
a
x 2 b x b 2 c b 2
a 2a
a 2a
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
4a2 0
当b2 4ac 0时,
复习旧知
1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？
2、解下列方程
（1）4x² ＝ 27；
（直接开平方）
（2）2x² - 4x + 1＝0 . （配 方 法）
一、回 顾
配方法解一元二次方程的步骤：
v 化 1 ：将二次项系数化为1； v 移项:把常数项移到方程的右边; v 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; v 开方:根据平方根意义,方程两边直接开平方; v 求解:解一元一次方程; v 定解:写出原方程的解.
x ___ _5_6__7 _
1
即：x1 __3__, x2 __2__
1 6t2 13t 5 0
2 x2 2 2x 3 0
2
解方程 x2 3 2 3x
二元一次方程解法大全.
二元一次方程解法大全1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m.例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b^2-4ac≥0时，x+=±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方）解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)∴原方程的解为x1=,x2=.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
开平方的原理与探究
(10a b) 100a 20ab b
2 2
2
将其变形会有：
(10a b) 100a (20a b)b
2 2
任何完全平方数都可以用上述公式表示！！！
完全平方数演示
演示数据一：
441 100 2 (20 2 1) 1
2
演示数据二：
413449 100 640 (20 640 3) 3
2 3 5 2 5' 52' 25
4
2 20 3 1' 52
43 1'
23 20 5 465
29 23' 25
23' 25
7.对新试商的检验 如前法。（右例中 最后的余数为0，刚 好开尽，则235为所 求的平方根） 如遇开不尽的情况， 可根据所要求的精 确度求出它的近似 值。在《九章算术》 里就已经介绍了上 述笔算开平方法
第一步:2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2 ;即 5/2.5=2, 2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25 ， 2.5+（-0.25）=2.25，取2位数2.2
第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23 ；即 5/2.2=2.272727 ，2.27272-2.2=-0.07272，0.072727×1/2=-0.036363， 2.2+0.03636=2.23.取3位数2.23 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236 ；即 5/2.23=2.242，2.242-2.23=0.012, 0.012×1/2=0.006，2.23+0.006=2.236，取 4位数 每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开 方，即使你输入一个错误的数值，也没有 关系，输出值会自动调节，接近准确值。
一元二次方程解法
01一元二次方程有四种解法，它们分别是直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
有四种解法，它们分别是直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
1、直接开平方法例：解方程（3x+1）2=7；（3x+1）2=7；∴（3x+1）2=7；∴3x+1=±√7（注意不要丢解符号）；∴x=﹙﹣1±√7﹚/3。
2、配方法例：用配方法解方程x²+4x-8=0：将常数项移到方程右边x²+4x=8；方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²+4x+4=8+4；配方：（x+2）2=12；直接开平方得：x+2=±√12；∴x=-2±√12。
3、公式法例：用公式法解方程2x²-8x=-5；将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0；∴a=2，b=-8，c=5；b²-4ac=（-8）²-4×2×5=64-40=24>0；∴x=[（-b±√（b²-4ac）]/（2a）。
4、因式分解法例：用因式分解法解方程y2＋7y＋6＝0；方程可变形为（y＋1）（y＋6）＝0；y＋1＝0或y＋6＝0；∴y1＝-1，y2＝-6。
九上 一元二次方程 含义 解方程(直接开平方、配方法、公式法、因式分解法) 分类含答案
①4x2＝3x；②（x2－2)2＋3x－1＝0；③13x2＋4x－33＝0；④x2＝0；⑤1x ＝2；⑥6x(x＋5)＝6x2．A．1个B．2个C．3个D．4个2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋3＝0(a≠0)的解是x＝1，则2014－a－b的值是 ( ) A．2018 B．2008 C．2014 D．20123．把一元二次方程（x－5）(x＋5)＋(2x－1)2＝0化成一般形式后所得的一元二次方程是( )A．5x2－4x＋6＝0 B．5x2－2x＋1＝0 C．x2－5＝0 D．5x2－4x－4＝04．若m是方程x2－2014x－1＝0的根，则(m2－2014m＋3) (m2－2014m＋4)的值为 ( )A．16 B．12 C．20 D．305．有一个面积为16 cm2的梯形，它的一条底边长为3 cm，另一条底边长比它的高长1 cm，若设这条底边长为x cm，依据题意，列出方程整理后得 ( )A．x2＋2x－35＝0 B．x2＋2x－70＝0C．x2－2x－35＝0 D．x2－2x＋70＝06．一元二次方程(1＋3x)(x－3)＝2x2＋1化为一般形式为_______，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______．7．当m_______时，方程(m2－1)x2－mx＋5＝0不是一元二次方程．8．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a－1＝0的一个根是0，则实数a的值为_______．9．已知，如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程_______．10．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若x＝1是它的一个根，A．B．C．D．8．一元二次方程16x2＝25的根为x1＝_______，x2＝_______．9．当k_______时，关于x的方程x2＝k有实数解，它的解是_______．10．规定一种新运算a*b＝a2－2b，如1*2＝－3．若x*（－2）＝6，则x＝_______．11．方程(m2－2)x2＋3x－1＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为_______．12．一元二次方程（2x一1)2＝（3－x)2的解是_______．13．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则= ．14．用直接开平方法解下列方程：(1)2x2－8＝0 (2)(y－5)2－36＝0 (3) (x－1)(x＋1)＝1(4)(x＋3)(x－3)＝6 (5)(2x－1)2＝(2－1)2(6)(x－1)2＝(2x＋3)2 (7)(3x－1)2＝1.962．D3．B4．B5．A6．A7.38.4 2 －5 529.492324p2p10.16 ±2311.－812.2313.(1)x1＝8，x2＝－2 (2)x1＝12，x2＝－1 (3) x1＝2313+，x2＝2313-（4）．x1＝8，x2＝0；(5)x1＝3a＋2b，x2＝3a－2b.14. －415.m2-8m+17=(m-4)2+1不等于0.所以无论m取何值，二次项系数不为016．(1) 当x＝0、1、2时，1993,, 444(2) 当x 取任意值时，多项式的值总是正值(3)当x ＝3时，多项式的值最小，最小值是1417.赞同小明的观点知识点3 根据一元二次方程根的判别式确定方程根的情况（重点）我们把 叫做一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式。
一元二次方程解法
∴x=[(-b±√（b²-4ac)]/（2a)∴原方程的解为x?=,x?= .4．因式分解法（十字相乘法）：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
（老教材中这种方法称为十字相乘法）例4．用因式分解法解下列方程：⑴ (x+3）（x-6）=-8 ⑵ 2x²+3x=0 ⑶ 6x²+5x-50=0 （选学）⑷x²-4x+4=0 （选学）⑴解：（x+3）（x-6）=-8化简整理得x²-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
⑵解：2x²+3x=0 x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
⑶解：6x²+5x-50=0（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=,x2=- 是原方程的解。
⑷解：x²-4x+4 =0（∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）（x-2）（x-2）=0∴x1=2,x2=2是原方程的解。
小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
人教版初三数学上册 一元二次方程的解法 讲义
一元二次方程的解法一元二次方程的解法：1.直接开平方法、2.配方法、3.公式法、4.因式分解法一、直接开平方法：利用“开平方根”得出“±”两个数从而解出方程281x = 2121x = 2144x =2375x = 22274x += 238139x -=22(1)6x -= 23(2)250x ++= 211(32)10121x -+=方程492=x 与a x =23的解相同，则a = 。
二、配方法：配成完全平方公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2或(a-b)2=a 2-2ab+b 2关键两步！！！！！！1. 二次项系数化为12. 加上一次项系数一半的平方1、2x 2-3x+1=0变为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对2、以配方法解3x 2＋4x ＋1＝0时，我们可得下列哪一个方程式？( )A 、(x ＋2)2＝3B 、(3x ＋23)2＝ 54C 、(x ＋23)2＝13D 、(x ＋23)2＝193、2x 2+4x+10=12中，可以配方得到( )A 、2(x+1) 2=3B 、2(x+2) 2=3C 、(2x+1) 2=3D 、(2x+1)2=54、用配方法填空++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2)25x x -+ +=x ( 2)；-2x 3(x += 2)212x x -+ +=x ( 2)；-2x 9(x += 2)232x x -+ +=x ( 2)；-2x 11(x += 2)5、用配方法解下列方程：x 2+6x-27=0 2x 2+6x-8=0 2x 2+5x-8=0三、公式法：先化为一般式，再套公式2b x a -±=，其中24b ac∆=-1、用公式法解下列方程：3x 2+4x+1=2 2x 2+3x+1=34x 2+x+1=52、若代数式5242--x x 与122+x 的值互为相反数，则x 的值是 。
人教版数学九年级上册 21.2 一元二次方程的解法-提升版1直接开平方、配方法
16.已知当x＝2时，二次三项式x2－2mx＋8的值等于4，那么当x为何值时，这个二次三项式的值是9?
17.阅读理解阅读下面求y2＋4y＋8的最小值的解答过程．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.
∵(y＋2)2≥0，
9．已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的( )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9 C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
10．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为( )
A．(x＋4)2＝17 B．(x＋4)2＝15 C．(x－4)2＝17 D．(x－4)2＝15
A．(x－2)2＝3 B．(x－2)2＝
C．(x－1)2＝ D．2(x－1)2＝
7．把方程2x2－4x－1＝0化为(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值是()
A．m＝2，n＝ B．m＝－1，n＝
C．m＝1，n＝4 D．m＝n＝2
8．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是
x＋6＝4，则另一个一元一次方程是____________．
9．方程(x＋3)2－4＝0的解为__________________．
10．若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n＝________．
11．若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋4x＋a2－1＝0的一个根是0，则a＝________．
◎练习
1.用直接开平方法解下列方程。
（1） （2） （3） （4）
2.用直接开平方法解下列方程。
22.2_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--
9.x 12x 27 0;
2
8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9.
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系 数 p的一半的平方。 x2+px+( )2 = -q+( ) 2= )2 -q
1 2
例2：用配方法解下列方程
x 6 x 16 0
2
x 8x 1 0
2
二次项系数为1
2 x 1 3x
2 2
二次项系数不为1
3x 6 x 4 0 可以先将系数化为1
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 系数化为1：将二次项系数化为1； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用公式法解一元二次方程的一般
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a，
b，c的值。
例1.用公式法解方程2x2+5x3=0
①
2、求出b2-4ac的值。
解: a=2, b=5,
∴ 3)=49 ∴x =
= =
c= -3,
②
3、代入求根公式 : X=
b2-4ac=52-4×2×(③
对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
还有其它的解法吗？
直接开平方公式法
直接开平方公式法
需要注意的是，直接开平方公式只适用于一些简单和常见的平方数，对于较大或复杂的平 方数，可能需要使用其他更精确的方法来计算平方根。
直接开平方公式法
直接开平方公式是求解平方根的一种方法，适用于一些特定的平方数。直接开平方公式如 下：
1. 完全平方数的开平方公式：如果一个数是完全平方数，那么它的平方根可以直接求得。 例如：√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4，等等。
2. 近似开平方公式： 对于非完全平方数，可以使用近似开平方公式来估算平方根的值。 例如：√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，√5 ≈ 2.236，等等。