合情推理与演绎推理题型整理总结

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第六章第五节合情推理与演绎推理

课下练兵场第六章第五节合情推理与演绎推理、选择题1下列表述正确的是①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A .①②③B.②③④C .②④⑤D .①③⑤解析：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理.答案：D2 •下面使用类比推理恰当的是"若 a •= b3,贝U a= b” 类推出"若 a 0 = b 0,贝U a = b”B.“（a + b）c= ac+ be"类推出"：+ £”c c c “（a + b）c= ac+ be” 类推出"*+ ?（（工0）"（ab）n= a n b n” 类推出“（a + b）n= a n+b n”解析：由类比推理的特点可知.答案：C3.由1 > 8, 即10,穿21，…若a>b>0且m>0，则鷲与a之间大小关系为（A .相等B.前者大 C .后者大 D .不确定解析：观察题设规律，由归纳推理易得吐巴> b.a+ m a答案：B4.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从起，经2019次跳后它将停在的点是B. 2a n表示青蛙第n次跳后所在的点数，则a1= 1,…，显然｛a n｝是一个周期为3的数列，故a2019 = a1= 1.答案:5.下列推理是归纳推理的是A.A, B为定点，动点P满足|PA| + |PB|= 2a> |AB|,得P的轨迹为椭圆B.由a1= 1, a n = 3n —1，求出S, S2, S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式2 2C .由圆X2+ y2= r2的面积nr猜想出椭圆字+ b2= 1的面积S= n abD •科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：从S1, S2, S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理.答案：B二、填空题&定义集合A, B 的运算：A?B= ｛x|x€ A 或x € B 且x?AQ B｝，贝U A?B?A =__________________________________________________________________________ .解析：如图，A?B表示的是阴影部分，设A?B = C,运用类比的方法可知，C?A= B，所以A?B?A = B.答案：B A B解析: a6= 4,2 5这点跳D. 4a2= 2, a3= 4, a4= 1,( )7•在平面内有n(n € N , n > 3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(5)的值是________ . f(n)的表达式是解析：本题是一道推理问题.通过动手作图，可知f(3) = 7, f(4) = 11, f(5) = 16,从中可归纳推理，得出f(n)= f(n —1)+n,贝y f(n)—f(n—1) = n,f(n —1) —f(n—2) = n—1,f(n —2) —f(n—3) = n—2,f(5) — f(4) = 5, f(4) — f(3) = 4,将以上各式累加得:f(n)-f(3) = n + (n - 1)+ (n -2) +…+ 5+ 4=(4 +"灯-3)则有 f(n) =(4 +叩-3)+ f(3) =(4+叩-3)+ 7n 2+ n + 28. (2019长春模拟)有如下真命题：“若数列｛a n ｝是一个公差为d 的等差数列，则数列｛a n +a n +1+ a n + 2｝是公差为3d 的等差数列.”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是.”(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可答案：若数列｛b n ｝是公比为q 的等比数列，则数列｛b n b n + 1 b n + 2｝是公比为q '的等比数列; 或填为：若数列｛b n ｝是公比为q 的等比数列，则数列｛b n + b n + 1+ b n + 2｝是公比为q 的等比数列.1 *n € N ),贝U X 2019= 叱丿解析：由命=x得ax 2+ (2a-1)x= 0.X 2019 = X 1+ 2X 2019= 1000 + 2010= 2019. 答案：20佃三、解答题2 2 210.已知：sin 30。

演绎推理与合情推理解题技巧-高考理科数学热点专题(学生版)

专题19 演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】1．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理．当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理．数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理．(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想3.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.1．直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．推证过程如下：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_________．(2)反证法的特点：先假设原命题__________成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．2.关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等.反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3)下结论.矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾.1.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.2.证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论.3.用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法(如放缩)把式子化为n ＝k ＋1成立时的式子.4.用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n ＝k 到n ＝k ＋1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律.5.由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项a n 或前n 项和S n ，解决与自然数有关的探索性、开放性问题等.这里猜想必须准确，证明必须正确.既用到合情推理，又用到演绎推理.猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成. 题型典例分析 1.归纳法例1已知数列{}{},n n a b 满足，，则2017b =（）A.20172018 B. 20182017 C. 20152016 D. 20162015练习1.将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……………则在表中数字2017出现在（）A. 第44行第80列B. 第45行第80列C. 第44行第81列D. 第45行第81列练习2. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则n=A. 35B. 48C. 63D. 80练习3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）A. nB. 2nC. 1n -D. 1n +练习4.九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则7S 为（） A. 1089 B. 680 C. 840 D. 2520故练习5. 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．练习6．(导学号：05856327)观察下列等式：1＝12＋13＋16；1＝12＋14＋16＋112；1＝12＋15＋16＋112＋120；…，以此类推，1＝12＋16＋17＋＋120＋130＋142，其中n∈N*.则n＝________.练习7. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．A. (－3，－1)∪(1,2)B. (1,2)C. (－1,2)D. (－3,2)练习4 ．已知数列{a n}为等差数列，若a m＝a，a n＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则.类比上述结论，对于等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，若b m＝c，b n＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到b m＋n等于()A. nB. mC. nD. m练习5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则1227用算筹表示为（）A. B.C. D.练习6. ABC的三边长分别为,,a b c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则；类比这个结论可知: 四面体P ABC-的四个面的面积分别为，内切球的半径为R，四面体P ABC-的体积为V，R=( )A. B.C.D.3.数学归纳法例3. 1．下面四个判断中，正确的是（） A. 式子，当1n =时为1 B. 式子，当1n =时为1+k C. 式子，当1n =时为111++123D. 设，则练习1. 用数学归纳法证明时，从“到”左边需增乘的代数式为( )A. B. C. D.练习2. 如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则等于( )A.20122013 B. 20132012 C. 20142015 D. 201420134．分析法例4. 淮北一中艺术节对摄影类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）. A. A 作品 B. B 作品 C. C 作品 D. D 作品练习1. 某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。

合情推理与演绎推理实务知识

合情推理与演绎推理实务知识Modified by JEEP on December 26th, 2020.【经典资料，ＷＯＲＤ文档，可编辑修改】【经典考试资料，答案附后，看后必过，ＷＯＲＤ文档，可修改】合情推理与演绎推理考情分析1．从近年来的新课标高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主．2．演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题．基础知识1、归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。

归纳推理的步骤：（1）通过观察特例发现某些相似性（2）把这种相似性推广为一个明确表达的一般性命题（3）对所得出的一般性命题进行检验，在数学上，检验的标准是能否完成严格的证明：2、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

演绎推理又称逻辑推理，它是必真推理，是从一般到特殊的推理，只要前提条件正确，推理过程准确无误，结论必然真实，数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的。

3、三段论推理：在推理中：若b c ⇒，而a b ⇒，则a c ⇒这种推理规则叫三段论推理，它包括“（1）大前提已知的一般原理（2）小前提所研究的特殊情况（3）结论根据一般原理，对特殊情况做出判断。

4、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。

类比推理就是由特殊到特殊的推理。

5、反证法:假设原命题不成立（即在原命题的条件下结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。

6、应用反证法证明数学命题的一般步骤（1）分清命题的条件和结论（2）做出与原命题结论相矛盾的假设（3）由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果（4）判断产生矛盾结果的原因是开始的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。

合情推理与演绎推理答案知识点+例题全面分类

[例2] 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖________块.24+n[巩固] 如图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按相同的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小正方形个数为)(n f ，则（1）_______)5(=f ；（2）____________)(=n f .41，1222+-n n[例3] 已知：23150sin 90sin 30sin 222=︒+︒+︒，23125sin 65sin 5sin 222=︒+︒+︒.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明.[巩固] 有以下三个不等式：22222)5491()59)(41(⨯+⨯≥++；22222)12826()122)(86(⨯+⨯≥++；22222)71010220()7102)(1020(⨯+⨯≥++.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论.二、类比推理1．定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理；简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.[例3] 椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，圆的标准方程为)0(222>=+r r y x ，及12222=+ry r x ，类比圆的面积2r S ⋅=π推理得椭圆的面积.________=S ab π[巩固] 我们知道：过圆)0(222>=+r r y x 上一点（0x ，0y ）的切线方程为200r y y x x =+，类似地，过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点（0x ，0y ）的切线方程为_________________.12020=+by y a x x[例4] 公差为3的等差数列}{n a 中，n S 是}{n a 的前n 项和，则数列1020S S -，2030S S -，3040S S -也成等差数列，且公差为300；类比以上结论，相应地，在公比为4的等比数列}{n b 中，n T 是}{n b 的前n 项积，试得出类似结论并证明.[巩固] 从三角形内部任意一点向各边引垂线，其长度分别为1d ，2d ，3d ，且相应各边上的高分别为1h ，2h ，3h ，求证：1332211=++h d h d h d .类比以上性质，给出空间四面体的一个猜想，并给出证明.1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论；简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2．三段论：三段论是演绎推理的主要形式，常用的格式为：）是（是是P S P S M S M S P M P M ---)()(三段论包含了3个命题：第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊现象；这两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题结论.例：（1）.所以，铜能导电铜是金属，所有的金属都能导电，，（2）.5237552375550的倍数是所以，，的个位数是的倍数，的正整数必是或个位数是3．合情推理与演绎推理的比较：（1）从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）从推理所得的结论看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.[例1] 按三段论式推理，进行如下推理.大前提：所有的车子都有四个轮子.小前提：自行车是车子. 结论：______________________. 自行车有四个轮子知识模块2演绎推理精典例题透析[巩固1]“3xy=是奇函数，3xy=∴的图象关于原点对称.”以上推理的大前提是_________________________. 奇函数的图象都关于原点对称[巩固2]“因134682的数字之和等于24是3的倍数，故134682能被3整除”这一推理的大前提是__________________________.数字之和能被3整除的正整数一定是3的倍数[巩固3] 将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为_______________________________.平行四边形的对角线互相平分[例2] 用三段论证明：直角三角形两锐角之和为090.[巩固1] 用三段论证明：通项为)(为常数，qpqpnan+=的数列}{na是等差数列.[巩固2] 用三段论的形式写出下列演绎推理.（1）若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不想等，则该两角不是对顶角；（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等.题型一：归纳推理[例] 设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，知识模块3经典题型同理，由等体积法知4SR ＝HS ，所以R ＝14H .7．(2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为____________________________．答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)解析由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×…×(2n －1)． 8．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.（1）求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．解 (1)∵a 1＝5，d ＝2，∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)．(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当2≤n ≤5，n ∈N 时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .9．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图所示，由射影定理 AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2. 猜想，四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.10．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是______________________.答案正方形的对角线相解析根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．11．如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比1122OM NOM NSS∆∆＝OM1OM2·ON1ON2.如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为______________________．答案111222O PQ RO P Q RVV--＝OP1OP2·OQ1OQ2·OR1OR2解析考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1－OR1Q1及三棱锥P2－OR2Q2的底面面积之比为OQ1OQ2·OR1OR2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP1OP2，故体积之比为111222O PQ RO P Q RVV--＝OP1OP2·OQ1OQ2·OR1OR2.12．数列{a n}的前n项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝n＋2n S n(n∈N*)．证明：（1）数列{S nn}是等比数列；（2）S n＋1＝4a n.证明(1)∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝n＋2n S n，∴(n＋2)S n＝n(S n＋1－S n)，即nS n＋1＝2(n＋1)S n.故S n＋1n＋1＝2·S nn，(小前提)故{S nn}是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)能力提升训练。

张合情推理与演绎推理

回忆
1.什么是归纳推理?
部分
整体
பைடு நூலகம்
特殊
一般
2.归纳推理旳一般环节:
(1)经过观察个别情况发觉某些相同性质;
(2)从已知旳相同性质中推出一种明确体现旳一般性命题(猜测).
情景引入：
1、据说春秋时代鲁国旳公输班（后人称鲁班，被以为是木匠业旳祖师）一次去林中砍树时被一株齿形旳茅草割破了手，这桩晦气事却使他发明了锯子.
一、引例
1.当我们看到乌云密布、燕子低飞、蚂蚁搬家等现象时，会得到即将下雨旳判断
2、有一小贩在卖一篮草莓，我先尝了一种，觉得甜，又尝了一种，也是甜旳，再尝了一种，还是甜旳，所以我觉得: 这一篮草莓都是甜
旳推理：从一种或几种已知命题得出另一种
新命题旳思维过程
合情推理推理
演绎推理
蛇、鳄鱼、海龟、
观察下列等式
6=3+3， 12=5+7 ，
8=3+5， 14=7+7，
10=3+7，16=5+11 …
1000=29+971，
任何一种不不大于6旳偶数都等于两个奇质数旳和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
1002=139+863 …
经过更多特例旳检验, 从6开始,没有出现反例.
注意：归纳推理有可能是错旳！
证明：满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2，有 f(x1) < f(x2)成立旳函数f(x)，是区间D上旳增函数.
大前提
任取x1 , x2 (,1),且x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 2 x1 ) ( x22 2 x2 )

(完整版)(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明★知识网络★第1讲合情推理和演绎推理★知识梳理★1.推理根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.2、合情推理:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

★重难点突破★重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性问题1<；….对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为．点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（222||ab AB ≥）3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3★热点考点题型探析★考点1 合情推理题型1 用归纳推理发现规律[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

专题69 合情推理与演绎推理(解析版)

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题69合情推理与演绎推理最新考纲1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.基础知识融会贯通1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．重点难点突破【题型一】归纳推理命题点1与数字有关的等式的推理【典型例题】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，3，4，5，则按照以上规律，若10具有“穿墙术”，则n＝（）A．48 B．63 C．99 D．120【解答】解：根据题意，2，则有2，3，则有3，4，则有4，5，则有5，若10，则有n＝102﹣1＝99；故选：C．【再练一题】观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72020的末两位数字为（）A．01 B．43 C．07 D．49【解答】解：72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，77＝823543，即7n的末两位数分别为49，43，01，07，具备周期性，周期为4，2020＝504×4+4，则72020的末两位数为与74的末两位数相同，即01，故选：A．命题点2与不等式有关的推理【典型例题】已知，经计算f（4）＞2，，f（16）＞3，，则根据以上式子得到第n个式子为．【解答】解：观察已知中等式：f（4）＝f（22）＞2，f（8）＝f（23），f（16）＝f（24）＞3，f（32）＝f（25），…，则f（2n+1）（n∈N*）故答案为：f（2n+1）（n∈N*）【再练一题】已知x＞1，观察下列不等式：x2；x23；x34；…按此规律，第n个不等式为．【解答】解：由x2；x23；x34；…按此规律，第n个不等式为：x n n+1，故答案为：x n n+1命题点3与数列有关的推理【典型例题】把数列{a n}的各项按照如图规律排成三角形数阵；若a n＝2n﹣1，n∈N*，则该数阵的第20行所有项的和为．【解答】解：由该数阵的规律可得：第1行的最后一项的项数为1＝12，第2行的最后一项的项数为4＝22，第3行的最后一项的项数为9＝32则第n行的最后一项的项数为n2，则该数阵的第20行最后一项的项为﹣a，第一项为：﹣a由已知有：第20行共20×2﹣1＝39项，则从左到右按相邻两项分组，每一组的和为2，则该数阵的第20行所有项的和S＝2×19﹣a38﹣（2×202﹣1）＝﹣761，故答案为：﹣761．【再练一题】如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y＝±x等分成八个区域（不含边界），已知数列{a n}，S n 表示数列{a n}的前n项和，对任意的正整数n，均有a n（2S n﹣a n）＝1，当a n＞0时，点P n（a n，a n+1）（）A．只能在区域②B．只能在区域②和④C．在区域①②③④均会出现D．当n为奇数时，点P n在区域②或④，当n为偶数时，点P n在区域①或③【解答】解：任意的正整数n，均有a n（2S n﹣a n）＝1，则S n（a n），∴S n+1（a n+1），∴a n+1（a n+1﹣a n），即a n+1﹣a n，∵a n＞0，∴a n+10，解得a n+1＜﹣1或0＜a n+1＜1，故点P n（a n，a n+1）只能在区域②和④故选：B．命题点4与图形变化有关的推理【典型例题】如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到255个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝255，∴n＝8，∴最小正方形的边长为（）7．故选：A．【再练一题】按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形“△”或“∇”，则该图案共有（）A．16层B．32层C．64层D．128层【解答】解：设该图案共有n层，则1+3+5+…+（2n﹣1）＝1024，即n2＝210，所以n＝25＝32，故选：B．思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【题型二】类比推理【典型例题】已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（）A．1044 B．1024 C．1045 D．1025【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2k﹣1，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2k﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，k，总共的项数为N＝1+2+3+…+k，当k＝9时，45，故该数列的前50项和为S50＝21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+29﹣1+1+2+4+8+169+31＝1044．故选：A．【再练一题】设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r．将此结论类比到空间四面体：设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝（）A．B．C．D．【解答】解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r．设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V（S1+S2+S3+S4）r，∴r．故选：C．思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．【题型三】演绎推理【典型例题】某演绎推理的“三段”分解如下：①函数f（x）＝1gx是对数函数；②对数函数y＝log a x（a＞1）是增函数；③函数f（x）＝lgx是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是（）A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．②→③→①【解答】解：①函数f（x）＝1gx是对数函数；②对数函数y＝log a x（a＞1）是增函数；③函数f（x）＝lgx是增函数，大前提是②，小前提是①，结论是③．故排列的次序应为：②→①→③，故选：C．【再练一题】矩形的对角线互相垂直，正方形是矩形，所以正方形的对角线互相垂直．在以上三段论的推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论错误【解答】解：大前提，“矩形的对角线互相垂直”，小前提，正方形是矩形，结论，所以正方形的对角线互相垂直，大前提是错误的，因为矩形的对角线相等．以上三段论推理中错误的是：大前提，故选：A．思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．基础知识训练1．===…，依此规律，=则2+a b 的值分别是（） A ．79 B ．81C ．100D ．98【答案】D 【解析】====2n ≥=9b =，29180a =−=，故2801898a b +=+=，故选：D ．2．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{}n a 中，111111,2n n n a a a a −−⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得231,1a a ==，由此归纳出{}n a 的通项公式1n a = 【答案】C 【解析】解：∵A 中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B 中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C 为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D 为不完全归纳推理，属于合情推理．故选：C ．3．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）①2019不能被2整除；②一切奇数都不能被2整除；③2019是奇数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【答案】C【解析】解：根据题意，按照演绎推理的三段论，应为：大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2019是奇数，结论：2019不能被2整除；∴正确的排列顺序是②③①．故选：C．4．将正整数排列如图：则图中数2019出现在（）A．第44行第84列B．第45行第84列C．第44行第83列D．第45行第83列【答案】D【解析】依题意，经过观察，第n行的最后一个数为n2，而令n2≤2019得，n≤44，所以2019在第45行，2019﹣442＝83，所以2019 在第45行，第83列．故选：D．5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．②C．①②③D．③【答案】C【解析】正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确；对于②，正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，∴相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；对于③，各个面都是全等的正三角形，∴各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确．∴①②③都是合理、恰当的．故选：C ．6．正切函数是奇函数，()()2tan 2f x x =+是正切函数，因此()()2tan 2f x x =+是奇函数，以上推理（）A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．以上均不正确【答案】C 【解析】大前提：正切函数是奇函数，正确；小前提：()()2tan 2f x x =+是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：()()2tan 2f x x =+是奇函数，该函数为偶函数，故错误；结合三段论可得小前提不正确. 故答案选C7．观察下列各式：1234577749734372401,716807,=====，，，，则20197的末尾两位数字为（）A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】B 【解析】根据题意，得2345749734372401,716807,====，，677117649,7823543==，8975764801,740353607...== 发现427k −的末尾两位数为49，4-17k 的末尾两位数为43，47k 的末尾两位数为01，417k +的末尾两位数为07，（1,2,3...k = ）；由于201945051=⨯−，所以20197的末两位数字为43；故答案选B8．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)； ③由向量a 的性质22||a a =类比得到复数z 的性质22||z z =；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；其中结论正确的是 A ．①② B ．③④C ．②③D ．①④【答案】D 【解析】①设a 与b 的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，cos b a b a θ⋅=⋅r r r r ，则a b b a ⋅=⋅r r r r成立；②由于向量的数量积是一个实数，设a b m ⋅=r r ，b c n ⋅=r r，所以，()a b c mc ⋅⋅=r r r r 表示与c 共线的向量，()a b c na ⋅⋅=r r r r表示与a 共线的向量，但a 与b 不一定共线，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r不一定成立；③设复数(),z x yi x y R =+∈，则222z x y =+，()()22222z x yi x y xyi =+=−+是一个复数，所以22z z =不一定成立；④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的。

高考数学考点突破——推理与证明：合情推理与演绎推理含解析(1)

高考数学考点突破——推理与证明：合情推理与演绎推理含解析(1)【考点梳理】1．合情推理2．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【考点突破】考点一、归纳推理【例1】(1)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A．2 018 B．2 019C．2 020 D．2 021(2)观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；……可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝_______________________.(3)分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2 018＝________.[答案] (1) D (2) n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) (3) 32 017－12 [解析] (1)根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a ＋15，a＋16，a＋17，a＋18，这九个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a ＋104.由9a＋104＝2 021，得a＝213，是自然数，故选D.(2)根据式子中的规律可知，等式右侧为·n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n ＋4)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．。

高中数学合情推理与演绎推理(3) 例题解析

合情推理与演绎推理(3) 例题解析【要点梳理】1、我们把的命题推演出命题的推理方法，称为推理，简称演绎法。

2、是演绎推理的主要形式，常用格式为3、演绎推理具有如下特点：（1）演绎推理是，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的结论完全蕴涵于前提之中；（2）在演绎推理中，和之间存在必然联系，只要是真实的，推理的是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中的工具；（3）演绎推理是一种的思维方法，它较少创造性，但具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。

【指点迷津】1、什么是大前提、小前提？三段论中包含了3个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊对象。

2、三段论中的大前提、小前提能省略吗？在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式。

3、演绎推理是否能作为严格的证明工具？能。

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

因此可以作为证明工具。

【典型例题】例1、用三段论的形式写出下列演绎推理（1）菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直（2）若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角（3） ∙233.0是有理数（4） ()R x x y ∈=sin 是周期函数【解析】（1）每个菱形的对角线相互垂直（大前提）正方形是菱形（小前提）所以，正方形的对角线相互垂直（结论）（2）两个角是对顶角则两角相等（大前提）1∠和2∠不相等（小前提）所以，21∠∠和不是对顶角（结论）（3）所有的循环小数是有理数（大前提）∙233.0是循环小数（小前提）所以，∙233.0是有理数（结论）（4）三角函数是周期函数（大前提） ()R x x y ∈=sin 是三角函数（小前提）所以，()R x x y ∈=sin 是周期函数（结论）例2、指出下列推理中的错误：（1）自然数是整数（大前提）—6是整数（小前提）所以，—6是自然数（结论）（2）中国的大学分布在中国各地（大前提）北京大学是中国的大学（小前提）所以，北京大学分布在中国的各地（结论）【解析】（1）推理形式错误，M 是“自然数”，P 是“整数”，S 是“—6”，故按规则“—6”应是自然数（M ）（此时它是错误的小前提），推理形式不对，所得结论是错误的（2）推理形式错误。

合情推理与演绎推理

考点演练
10. (2010·衡水模拟)设函数f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-5)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值.
解析：由题意知: f(x)+f(1-x)= ∴f(-5)+…+f(0)+…+f(6)=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(-3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]= .
举一反三
解析: ,…，猜想： .
题型二类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质. 分析实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.
从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,
解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球; （2）空间中不共面的4个点确定一个球; （3）球的表面积与体积可求; （4）在空间直角坐标系中，以点(x0,y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆; （2）平面内不共线的3个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求; （4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2.
解析: (1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41, f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61. (2)因为f(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8, f(4)-f(3)=7+5=12,…,归纳得f(n)-f(n-1)=4(n-1),则f(n+1)-f(n)=4n. f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1) =4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1 =

合情推理与演绎推理题型整理总结讲解

2
232221SSSS。
．已知椭圆C：
222
yax具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭
C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K
、KPN时，那么KPM与KPN之积
P位置无关的定值。试对双曲线
222
yax写出具有类似特性的性质，并加以证明。
。类似的性质：若M、N是双曲线
A 。解析：}5,4,3,2,1{BA，1+2+3+4+5＝15。
．观察式子：
7
131211,3531211,23211222222，…，则可归纳出式子为（）
、
211
1211222nn B、121131211222nn
、
n
12131211222 D、122131211222nnn
c增大1个单位会使得S的值增加最多
S值的变化规律；此题的大前提是隐含的，需要经过
下列说法正确的是
）
类比推理是由特殊到一般的推理
演绎推理是特殊到一般的推理
归纳推理是个别到一般的推理
.
nn
cccc321133221)(。
．“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提
。
．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由
颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,
ABCABDACDBCDRSSSS
在平面直角坐标系中，直线一般方程为
CByAx，圆心在),(
0yx的圆的
22
20)()(ryyxx；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的

高中数学合情推理与演绎推理

合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中、低档题．演绎推理大多数出现在解答题中，为中、高档题目．在知识的交汇点处命题，背景新颖的创新问题，常考常新，值得重视．
34.
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自主
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin
落实 ·
cos(30°－α)＝34.
固
基
证明如下：
础
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
高
α考体验
· 明考情
＝
1－cos 2
2α ＋
1＋cos（620°－2α）－sin
【思路点拨】
从特殊②计算结果为
3 4
，观察每个三角
函数式中三角函数名称与角的变化规律，归纳出一般性结
论；然后利根用据演(1绎)的推计理算进结行果证，将明该．同学的发现推
广为三角恒等式，并证明你的结论．
【尝试解答】 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝
01
归纳推理和类比推理的共同特点和区别是什么？
02
【提示】共同点：两种推理的结论都有待于证明．
03
不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
二．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？
【提示】演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．

合情推理与演绎推理(总结)

（1）归纳是由特殊到一般的推理; （2）类比是由特殊到特殊的推理; （3）演绎推理是由一般到特殊的推理.
2.从推理的结论来看：
合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.
联系:二者相辅相成,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的思维过程,但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理.
＋(n＋1)＝n(n＋3)/2个圈，由n(n＋3)/2≤55知，n最大为9，即前
55个圈中的●有9个，故选B.
答案：B
9．在平面几何中有如下结论：正三角ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S2(S1)＝4(1)，推广到空间可以得到类似结论：正四面体P－ABC 的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1/V2＝ ________.
C
[解析] 只有选项C是由一般到特殊的推理,属于演绎推理.
4．(2019·哈尔滨师大附中高二月考)《论语·学路》篇中
说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则
礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措
手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是
() A．类比推理
B．归纳推理
C．演绎推理
D．一次三段论
解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无
所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
答案：C
5．“指数函数是增函数，函数 f(x)＝2x 是指数函数，所
以函数 f(x)＝2x 是增函数”，以上推理( )
A．大前提不正确 B．小前提不正确
C．结论不正确
D．正确
解析：指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)，当 a>1 时，指数函
解析：正四面体的内切球的半径为r1，外接球的半径为 r2，则r1/r2＝1/3，∴V1/V2＝1/27. 答案：1/27

第五节合情推理与演绎推理

数学
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第五节
合情推理与演绎推理
结束
考点二 [典例] 解析：(1)观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)· …· (n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
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第五节
合情推理与演绎推理
结束
迁移应用· 练透 1．解析：因为 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 答案：C 2．解析：只有③正确．答案：B 3．解析：记 an＋bn＝f(n)，则 f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3) ＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现 f(n)＝f(n－1)＋ f(n－2)(n∈N*， n≥3)，则 f(6)＝f(4)＋f(5)＝18； f(7)＝f(5)＋f(6)＝29； f(8)＝ f(6)＋ f(7)＝ 47；f(9)＝ f(7)＋ f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝ 123. 所以 a10＋b10＝123. 答案：C
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Sn 故n 是以
2 为公比，1 为首项的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
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第五节
合情推理与演绎推理
结束
Sn＋1 Sn－1 (2)由(1)可知＝4· (n≥2)， n＋ 1 n－ 1 Sn－1 n－1＋2 ∴Sn＋1＝4(n＋1)· ＝4· · Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提) n－ 1 n－ 1 又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论)

专题07 合情推理与演绎推理 Word版含解析

专题07 合情推理与演绎推理【知识点总结】 1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理具有某些特征，推推出另3.(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.题型一归纳推理【例1】 (1)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________．(2)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．【解析】 (1)根据已知，归纳可得结果为43n (n ＋1)．(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3(n ∈N *)．【答案】 (1)43n (n ＋1) (2)3×2n －3(n ∈N *)【变式1】有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________．[解析] 观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. [答案] 1 051【变式2】在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，…，依此类推，在凸n 边形A 1A 2…A n 中，不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥________成立． [解析] 因为1A ＋1B ＋1C ≥9π＝32π，1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π＝422π，1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π＝523π，…，所以1A1＋1A2＋…＋1A n≥n2（n－2）π(n∈N*，n≥3)．[答案]n2（n－2）π(n∈N*，n≥3)【变式3】我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．则f(n)的表达式为()A．f(n)＝2n－1B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1【答案】D[解析] 我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n －1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.题型二类比推理【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【解】如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，在四面体P-DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．【变式4】已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)，则数列{b n }也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论． [解] 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列， b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n (n ∈N *)，则数列{b n }也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ＝na 1＋n （n －1）d 2n＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．题型三演绎推理【例3】数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，所以S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(大前提)又因为a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)【变式5】已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．[证明] 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，因为x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)．所以y ＝f (x )为R 上的单调增题型四与其他知识点的交汇【例4】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1，2，3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【解析】在△A 1B 1C 1中，b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，所以b 1>a 1>c 1.在△A 2B 2C 2中，a 2＝a 1，b 2＝c 1＋a 12，c 2＝b 1＋a 12，b 2＋c 2＝2a 1，所以c 1<b 2<a 1<c 2<b 1. 在△A 3B 3C 3中，a 3＝a 2＝a 1， b 3＝c 2＋a 22＝c 2＋a 12，c 3＝b 2＋a 22＝b 2＋a 12，b 3＋c 3＝2a 1，所以a 1<b 3<c 2，b 2<c 3<a 1，所以c 1<b 2<c 3<a 1<b 3<c 2<b 1.由归纳知，n 越大，两边c n ，b n 越靠近a 1且c n ＋b n ＝2a 1，此时面积S n 越来越大，当且仅当c n ＝b n ＝a 1时△A n B n C n 的面积最大．【答案】 B【变式6】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3【答案】 B [解析] 利用图形进行求解．因为反弹时反射角等于入射角，所以∠1＝∠2.又因为tan ∠1＝1－1313＝2，所以tan ∠2＝2.又tan ∠2＝HC CF ，所以HC ＝43，所以DG ＝16.从此以后，点P 的反射线必与EF 或FG 平行，由图可知，P 与正方形的边碰撞的次数为6.【课后练习】1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确D ．全不正确【答案】C [解析] 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确． 2．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】B [解析] (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确． 3．已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724 B ．76C.1115D ．715【答案】A [解析] 通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，以此类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以 a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724.4．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N *，则f 2 017(x )＝( ) A ．sin x ＋cos x B ．－sin x －cos x C ．sin x －cos xD ．－sin x ＋cos x【答案】A [解析] f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝sin x ＋cos x ，f 6(x )＝f ′5(x )＝cos x －sin x ，…，可知f n (x )是以4为周期的函数，因为2 017＝504×4＋1，所以f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x ．故选A. 5．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B ．5－12C.1＋52D ．1－52【答案】C [解析] 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A ．289 B ．1 024 C ．1 225D ．1 378【答案】C [解析] 观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1， a 2＝a 1＋2， a 3＝a 2＋3，…a n ＝a n －1＋n .所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225.7．在平面几何中：△ABC 的∠ACB 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．[解析] 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD .[答案]AE EB ＝S △ACDS △BCD8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有________．[解析] 因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.[答案] f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)9．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________． [解析] 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1.[答案]x 0x a 2－y 0yb 2＝1 10．某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是________．①今天是周六 ②今天是周四 ③A 车周三限行 ④C 车周五限行[解析] 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四． [答案] ②。