同角三角函数的基本关系-PPT课件
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(2) 1 sin2
(3) 1 cos 1 cos (α为第四象限角). 1 cos 1 cos
Company Logo
三、数学应用:化简
2 cos 2 1
(4) 1 2sin2 1换为sin2 cos2
解：2cos2 1 1 2sin2
2cos2 (sin2 cos2 ) (sin2 cos2 ) 2sin2
2、已知tan 1 ，求1 2sin cos的值.
2
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题型三: sinα+cosα，sinα-cosα，
sinαcosα的互相转化
1 1、已知0<α<π,sinα+cosα= 5 .
求:(1)sinαcosα; (2) sinα－cosα.
（3）tan α
2、 已 知sin cos 1 ， 且 ,
三、数学应用:求值
例2 已知tan 12 ,求sin, cos的值.
5
解：由 sin tan 12 ,
cos
5
可得sin 12 cos
5
又sin2 cos2 1，故（12）2 cos2 cos2 1
解得cos2 25 。
169
5
先定象限,后定值
又由tan 0,知是第一或第三象限角。
cos2 sin2 cos2 sin2 1
Company Logo
规律归纳 化简三角函数式的一般要求： ①函数种类最少； ②项数最少； ③函数次数最低； ④能求值的求出值； ⑤尽量使分母不含三角函数； ⑥尽量使分母不含根式．
Company Logo
练习:
(1) 1 sin2 440 cos 800
若是第一象限角，则cos 5 , tan 12，sin 12
13
5
13
若是第三象限角，则cos 5 , tan 12，sin 12
13
5
13
小结：(1)注意方程思想的运用； (2)分类讨论的数学Com思pany想Log．o
题型二:齐次式求值
已知tan α=2,求:
(1) 2sin 3cos 4sin 9 cos
84
2
求cos sin的 值.
Company Logo
练习：
如果角α满足条件sin
cos
k 3, k 5 4 2k
,Biblioteka Baidu
则α是(
B
)
A.第二象限角
k 5
B.第二或第四象限角
C.第四象限角
D.第一或第三象限角
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题型四:化简
例5.化简
（1）sin cos 1 tan 1 cos2
商数关系: sin tan (二)公式的应用: cos
知一求二:由一个角的某一三角函数值 求出其它的两个三角函数值；
(三)数学思想方法: ①分类讨论； ②方程(组)的思想．
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小结：
1.证明方法
（1）由左往右证 （2）由右往左证
由复杂的一端向 简单的一端化简
（3）两面夹
2.技巧
一、创境设问：填一填
sin
cos
tan sin2 cos2
sin cos
30 1
3
3
2
2
3
1
3 3
45 2
2
2
2
1
1
1
60 3
1
3
1
3
2
2
150 1 2
3 2
3 3
1
3 3
sin2 cos2 1
tan sin cos
二、结论
请根据以上结果讨论,当角α确定后, α的正弦、 余弦、正切值也随之确定，它们之间有何关系？
(2) 1 sin2 4
cos 4
(3) 1 2sin 2 cos 2
sin 2 cos 2
1 2sin10 cos10 (4)
sin10 1 sin2 10
1
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题型五:证明
求证：sin4 cos4 sin2 cos2 恒等式证明常用方法?
分析：由左往右证
证明三角恒等式的基本思路：由繁到简
一般方法：（1）左边 右边 （2）右边 左边 （3）左边 中间式 右边
（4）转化①A=B A – B = 0
②A B A 1(B 0)
B
③ A C AD BC
BD
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小结：
(一)同角三角函数的基本关系式:
平方关系: sin 2 cos2 1
称为平方关系
sin2 cos2 1 直接可以用单位圆得到.
sin tan cos
称为商数关系
可以证明吗？
角α 是否可以为任意角？
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判一判 判断下列式子是否成立?
(1).sin 2 33 cos2 47 1
(2).sin2 2 cos2 2 1
(3).若是第二象限角，则tan sin . cos
(1) 1换为sin2 cos2 (2)切化弦：tan sin
cos (3)1 2sin x cos x (sin x cos x)2
(4) (1 sin x)(1 sin x) 1 sin2 x cos2 x
Company Logo
欢迎你的提问！
2sin2 3cos2 (2) 4sin2 9 cos2
(3) 1
sin cos
（5）1 -
1 sin a
+1 1 + sin a
(4) sin2 2sin cos 4 cos2
(1) 1
(2) 5
7
(3) 5 2
(4) 4 5
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练习：
1、已知sin cos -7，求sin cos的值. sin cos
三、数学应用:求值
例1 已知sin 4 ,且是第二象限角，求cos, tan的值.
5
解：Q sin2 cos2 1
先定象限,后定值
cos2 1 sin2 1 ( 4)2 9
5 25
又是第二象限角，cos 0
cos 3 ,
54
tan
sin cos
5 3
4 3
5
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sin2 cos2 1
1 2sin x cos x 1 tan x
cos2
x sin2
x
1 tan x
分析：1 2sin xcosx
sin2 x cos2 x 2sin x cosx
(sin x cos x)2
cos2 x sin 2 x (cosx sin x)(cosx sin x) Company Logo
证明：左边 sin4 cos4
(sin 2 cos2 )(sin 2 cos2 )
sin2 cos2 1
sin2 cos2 右边
原式成立
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例.证明：
cos 1 sin 1 sin cos
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求证：sin4 sin2 cos2 cos2 1.
(4).sin 2 cos 2 1
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简单应用
下列四个命题中可能成立的一个是（ B ）
A.sin 1 且 cos 1
2
2
B.sin 0且 cos 1
C.tan 1且 cos 1
D.在第二象限时, tan sin cos
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(3) 1 cos 1 cos (α为第四象限角). 1 cos 1 cos
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三、数学应用:化简
2 cos 2 1
(4) 1 2sin2 1换为sin2 cos2
解：2cos2 1 1 2sin2
2cos2 (sin2 cos2 ) (sin2 cos2 ) 2sin2
2、已知tan 1 ，求1 2sin cos的值.
2
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题型三: sinα+cosα，sinα-cosα，
sinαcosα的互相转化
1 1、已知0<α<π,sinα+cosα= 5 .
求:(1)sinαcosα; (2) sinα－cosα.
（3）tan α
2、 已 知sin cos 1 ， 且 ,
三、数学应用:求值
例2 已知tan 12 ,求sin, cos的值.
5
解：由 sin tan 12 ,
cos
5
可得sin 12 cos
5
又sin2 cos2 1，故（12）2 cos2 cos2 1
解得cos2 25 。
169
5
先定象限,后定值
又由tan 0,知是第一或第三象限角。
cos2 sin2 cos2 sin2 1
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规律归纳 化简三角函数式的一般要求： ①函数种类最少； ②项数最少； ③函数次数最低； ④能求值的求出值； ⑤尽量使分母不含三角函数； ⑥尽量使分母不含根式．
Company Logo
练习:
(1) 1 sin2 440 cos 800
若是第一象限角，则cos 5 , tan 12，sin 12
13
5
13
若是第三象限角，则cos 5 , tan 12，sin 12
13
5
13
小结：(1)注意方程思想的运用； (2)分类讨论的数学Com思pany想Log．o
题型二:齐次式求值
已知tan α=2,求:
(1) 2sin 3cos 4sin 9 cos
84
2
求cos sin的 值.
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练习：
如果角α满足条件sin
cos
k 3, k 5 4 2k
,Biblioteka Baidu
则α是(
B
)
A.第二象限角
k 5
B.第二或第四象限角
C.第四象限角
D.第一或第三象限角
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题型四:化简
例5.化简
（1）sin cos 1 tan 1 cos2
商数关系: sin tan (二)公式的应用: cos
知一求二:由一个角的某一三角函数值 求出其它的两个三角函数值；
(三)数学思想方法: ①分类讨论； ②方程(组)的思想．
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小结：
1.证明方法
（1）由左往右证 （2）由右往左证
由复杂的一端向 简单的一端化简
（3）两面夹
2.技巧
一、创境设问：填一填
sin
cos
tan sin2 cos2
sin cos
30 1
3
3
2
2
3
1
3 3
45 2
2
2
2
1
1
1
60 3
1
3
1
3
2
2
150 1 2
3 2
3 3
1
3 3
sin2 cos2 1
tan sin cos
二、结论
请根据以上结果讨论,当角α确定后, α的正弦、 余弦、正切值也随之确定，它们之间有何关系？
(2) 1 sin2 4
cos 4
(3) 1 2sin 2 cos 2
sin 2 cos 2
1 2sin10 cos10 (4)
sin10 1 sin2 10
1
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题型五:证明
求证：sin4 cos4 sin2 cos2 恒等式证明常用方法?
分析：由左往右证
证明三角恒等式的基本思路：由繁到简
一般方法：（1）左边 右边 （2）右边 左边 （3）左边 中间式 右边
（4）转化①A=B A – B = 0
②A B A 1(B 0)
B
③ A C AD BC
BD
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小结：
(一)同角三角函数的基本关系式:
平方关系: sin 2 cos2 1
称为平方关系
sin2 cos2 1 直接可以用单位圆得到.
sin tan cos
称为商数关系
可以证明吗？
角α 是否可以为任意角？
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判一判 判断下列式子是否成立?
(1).sin 2 33 cos2 47 1
(2).sin2 2 cos2 2 1
(3).若是第二象限角，则tan sin . cos
(1) 1换为sin2 cos2 (2)切化弦：tan sin
cos (3)1 2sin x cos x (sin x cos x)2
(4) (1 sin x)(1 sin x) 1 sin2 x cos2 x
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欢迎你的提问！
2sin2 3cos2 (2) 4sin2 9 cos2
(3) 1
sin cos
（5）1 -
1 sin a
+1 1 + sin a
(4) sin2 2sin cos 4 cos2
(1) 1
(2) 5
7
(3) 5 2
(4) 4 5
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练习：
1、已知sin cos -7，求sin cos的值. sin cos
三、数学应用:求值
例1 已知sin 4 ,且是第二象限角，求cos, tan的值.
5
解：Q sin2 cos2 1
先定象限,后定值
cos2 1 sin2 1 ( 4)2 9
5 25
又是第二象限角，cos 0
cos 3 ,
54
tan
sin cos
5 3
4 3
5
Company Logo
sin2 cos2 1
1 2sin x cos x 1 tan x
cos2
x sin2
x
1 tan x
分析：1 2sin xcosx
sin2 x cos2 x 2sin x cosx
(sin x cos x)2
cos2 x sin 2 x (cosx sin x)(cosx sin x) Company Logo
证明：左边 sin4 cos4
(sin 2 cos2 )(sin 2 cos2 )
sin2 cos2 1
sin2 cos2 右边
原式成立
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例.证明：
cos 1 sin 1 sin cos
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求证：sin4 sin2 cos2 cos2 1.
(4).sin 2 cos 2 1
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简单应用
下列四个命题中可能成立的一个是（ B ）
A.sin 1 且 cos 1
2
2
B.sin 0且 cos 1
C.tan 1且 cos 1
D.在第二象限时, tan sin cos
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