数学模型复习题

1 设某种新产品要推向市场，t 时刻产品销售增长率与销售量x （t ）成正比，设市场容量为N ，试确定产品销售增长曲线。

设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率t

x

d d 与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明t

x

d d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有

t

x

d d =kx(N=x)， (1043)

其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得

x(t)=kNt

C N

-+e

1 (1044)

方程(104

3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10

4

4)也称为逻辑斯谛曲线．

由

t x d d =()

2

21kNt kNt

C k CN --+e e 以及

22t x d d =()

3231)

1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-e

e e ， 当x(t*)＜N 时，则有t

x

d d ＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)

2

N

时，2

2t x d d 0;当x(t*)

＞2N 时，22t x d d ＜0；当x(t*)＜2

N

时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半

时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售

速度逐渐减小．

国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(1044)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．

2 一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A 元，银行的年利率为r ，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？

设月利率为r ，按月按复利进行计算，

第一个月存款所得的复利终值为1F =60

)1(100r +; 第二个月存款所得的复利终值为2F =59)1(100r +；

第三个月存款所得的复利终值为3F =58

)1(100r +；

r

n n n r n C p --⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=

21212121r

n n n r

n C p --⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212122r

n n

r n r

n n n

r n C C p p p ----⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22221212121······

第五年的最后一个月存款所得的复利终值为60F =)1(100r +。

五年后，养老金为 F=1F +2F +···+

60

F

=)]1(``````)1()

1[(1005960

r r r ++++++

=r

r r 60

60)1](1)1[(100+-+

3某人随身携带了两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n 根火柴。每次使用时，随机地从其中一盒中取出一根，试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律。

我们不妨把使用一次火柴看作一次试验，每次试验的结果只有两个：取于甲盒（记为 A ）和取于乙盒（记为）由于使用时从任一盒中取，因此

假如甲盒已空而乙盒还剩根火柴，则在此之前一定已经取过 2n-r 次，其中恰好有 n 次取于甲盒，有 r 次取于乙盒，而第2n-r+1次必然抓了甲盒，因此这种情况的概率为

假如乙盒已空而甲盒还剩 r 根火柴，同样的道理可得概率为

因此一盒火柴已经用完另一盒中还剩根的概率为

4在某城市中有15万人具有本科以上学历，其中有1.5万人是教师，据调查，其中每年有10%的教师从教师职业转为其他职业，又有1%的其他职业者转入教师职业，试预测10年后这15万人中有多少人还在从事教师职业。（0.8910=0.3118）

用()

i X

表示第i 年后做教师职业和其他职业的人数，则()

0 1.513.5X

⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

。用矩阵⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡=99..010.001.090.0A 表示教师职业和其他职业间的转移，90.011=a 表示每年有90%的人原来是教师现在还是教师；10.021=a 表示每年有10%的人从教师职业转为其他职业。

120.01

a =表示每年有1%其它职业的人转为教师；22

0.99

a =表示其它职业的人每年有99%

的人仍为其他职业。显然

()()100.900.01 1.5 1.4850.100.9913.513.515X AX ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

===⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即一年后从事教师职业和其他职业的人数人别为1.485万及13.515万.

又 ()()()()()()21010

2,,n n n X AX A X X AX A X -====L

所以()

()100

10X

A X =.为计算10A 先需把A 对角化。即找出和A 相似的矩阵。

()()890

.089.1001.0891.089.1001.099.09.099

.01

.001

.09

.022+-=-+-=---=----=

-λλλλλλλλλA E 2121,89.0,1λλλλ≠==,故A 可对角化。

11=λ代入()0=-x A E λ.得其对应特征向量⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=1011p .

89.02=λ代入()0=-x A E λ.得其对应特征向量⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=112p .

令 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1101121p p P ，有⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=Λ=-89.00011

AP P ,Λ为A 的相似矩阵. 1-Λ=P P A ,P P A 1010Λ=,而⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=

-11011111110111111P ()

()

100101

10111

011 1.5 1.5425110100.8910113.513.457511X

P P X

-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

所以10年后.有1.54万人当教师，13.46万人从事其他职业。