由教材一道例题教学引发的思考与...

由教材一道例题教学引发的思考与探讨

福建省晋江市第二中学 362212 施国龙

在华师版九年级《数学》上册第39页的例2中,教材所用的证明方法与证明过程值得仔细体会与探讨.

题目 例2 (1)如果

d c b a =,那么d

d c b b a +=+; 证明 ∵d

c b a =,在等式两边同加上1, ∴11+=+

d c b a ,∴d d c b b a +=+. 学生提问1:前面刚学了比例的基本性质,为什么不是像以前那样用刚学的知识去证明呢?

教师思考1:学生讲的有道理呀!以前我们都是这样的学习模式:学生学到一个知识后就会马上去应用,在此处为什么没有呢?如果采用此种方法会怎样呢?心动不如行动.

证明: ∵d

c b a =, ∴bc a

d =, 在等式两边同加上bd , ∴bd bc bd ad +=+, 即b d c d b a )()(+=+,

两边同时除以bd , ∴d

d c b b a +=+. 这种方法其实质是用到了教材中刚学的“比例的基本性质”,这是解决此类问题的常用解法之一.在教材中没有采用这种方法确实与以往的教材安排大不一样,结果让学生适得其反,理解不到位,容易产生误解.让学生认为这道例题的方法与前面刚学的内容无关.

学生提问2:为什么要用“等式两边同加上1”的方法去证明呢?

教师思考2:在华师版数学教材中第一次出现这种“加上1”的方法,学生确实无法马上理解为什么是“加上1”?而不是“加上2”或“加上3”?

经过仔细的思考与对比发现,事实上其实质是:此处是采用了高中数学中证明等式常用的“分析法与综合法”的证明思路.以下为用“分析法”证明.

证明: 要证 d d c b b a +=+, 只要证 11+=+d

c b a , 即证

d c b a =, 而d

c b a =是已知成立的,

∴d

d c b b a +=+. 在此基础上,反过来用综合法写出证明过程就是上述教材中的证明过程了.教材中的方法也就是常见的“构造法”证明.在实际教学中学生普遍感到较难理解,不容易掌握.这就要求我们在实际的教学中深入到学生的学习实际,深化对学生知识水平的理解,争取做到让学生认为本题所采用的方法是水到渠成的事.

引申与探讨:本题的解法中,实际上还可以有一种更常用、更普遍采用的解法,即设“比例的比值为k ”.

证明 设

k d

c b a ==, 则dk c bk a ==,, ∴,1)1(+=+=+=+k b

k b b b bk b b a ,1)1(+=+=+=+k d

k d d d dk d d c ∴d d c b b a +=+. 在教学中,教师要能让学生自己分析对比出各种证明方法的优劣,并能深刻理解与领会.这样才能促使学生提高思维的灵活性与深刻性,也就培养了学生的思维品质与个性发展.

题目 例2 (2)如果d c b a =,那么d

c c b a a -=-. 证明 ∵d

c b a =, ∴bc a

d =, 在等式两边同加上ac , ∴ac bc ac ad +=+, ∴,bc ac ad ac -=-

两边同是除以))((d c b a --, ∴d

c c b a a -=-. 学生提问3:学生小组讨论后,一位同学提出:若4,3====

d c b a ,则要证明的式子的分母b a -与d c -就没有意义了!

教师思考3:这位同学思考的问题不无道理呀!问题出在哪呢?

经过仔细思考之后,发现在证明过程中,两边同时除以))((d c b a --,存在一定的问题.根据等式的基本性质,等式的两边同时除以一个不为0的数,左右两边的值相等,而题目中并未给出))((d c b a --的值不为0的条件.因此,给合本节课的内容,在此应补充:a 、b 、c 、d 是互不相等的四条线段,这样就可以证明成立.

当然,本题除以用课本的“等式的性质”证明外,也可用设“比例的比值为k ”

这种方法.

证明 设

k d c b a ==, 则dk c bk a ==,, ∴,1

)1(-=-=-=-k k k b bk b bk bk b a a ,1

)1(-=-=-=-k k k d dk d dk dk d c c ∴d

c c b a a -=-. 笔者认为此例题主要是考查:运用比例基本的性质来证明等式的成立,但在教材中存在对例题选用的证明方法理解不够深入,所选用方法不太符合学生的认知水平和能力,例题条件考虑不够周全,应补充合适的条件使其完善.

这样在接下来的配套练习第3题中,就可以把更多的方法通过学生的交流与探讨进行综合提升,自然过渡到位.

题目 3、已知,23=b a 那么,b b a + b

a a - 各等于多少? 交流与探讨：通过前面例题的交流探讨之后,各位同学思维活跃,气氛热烈.各小组成员广开思路,汇总后得出了以下三种不同的解法.

方法1 “特殊值法” 令,3=a 2=b ，则

,25=+b b a 3=-b a a . 方法2 “代入法” 由,23=b a 得b a 2

3=, ∴,252523==+=+b b b b b b b a 32

232323==-=-b b b b b b a a . 方法3 由,2

3=b a 设k b k a 2,3==, ∴,2525223==+=+k k k k k b b a 33233==-=-k

k k k k b a a . 可以看出,方法1实际上是方法3的特例.可以引导学生发现做选择题与填空题时常用方法1.

通过以上例题与练习的方法归纳与总结, 同学们探讨分析出了解决此类问题的常见思路.笔者接下来顺势让学生总结出各种方法在计算题与证明题中的运用,发现其规律与特点.进一步提升了他们的思维灵活性,同时也提高了他们的解题能力,符合学生的认知规律.深化了学生对所学知识的综合运用能力.解决了在以往