高斯投影和高斯平面坐标系
浅析几种常用坐标系和坐标转换
浅析⼏种常⽤坐标系和坐标转换⼀般来讲，GPS直接提供的坐标（B,L,H）是1984年世界⼤地坐标系(Word Geodetic System 1984即WGS-84)的坐标，其中B为纬度，L为经度，H为⼤地⾼即是到WGS-84椭球⾯的⾼度。
⽽在实际应⽤中，我国地图采⽤的是1954北京坐标系或者1980西安坐标系下的⾼斯投影坐标（x,y,），不过也有⼀些电⼦地图采⽤1954北京坐标系或者1980西安坐标系下的经纬度坐标（B,L），⾼程⼀般为海拔⾼度h。
GPS的测量结果与我国的54系或80系坐标相差⼏⼗⽶⾄⼀百多⽶，随区域不同，差别也不同，经粗落统计，我国西部相差70⽶左右，东北部140⽶左右，南部75⽶左右，中部45⽶左右。
现就上述⼏种坐标系进⾏简单介绍，供⼤家参阅，并提供各坐标系的基本参数，以便⼤家在使⽤过程中⾃定义坐标系。
1、1984世界⼤地坐标系WGS-84坐标系是美国国防部研制确定的⼤地坐标系，是⼀种协议地球坐标系。
WGS-84坐标系的定义是：原点是地球的质⼼，空间直⾓坐标系的Z轴指向BIH（1984.0）定义的地极（CTP）⽅向，即国际协议原点CIO，它由IAU和IUGG共同推荐。
X轴指向BIH定义的零度⼦午⾯和CTP⾚道的交点，Y轴和Z，X轴构成右⼿坐标系。
WGS-84椭球采⽤国际⼤地测量与地球物理联合会第17届⼤会测量常数推荐值，采⽤的两个常⽤基本⼏何参数：长半轴a=6378137m；扁率f=1:298.2572235632、1954北京坐标系1954北京坐标系是将我国⼤地控制⽹与前苏联1942年普尔科沃⼤地坐标系相联结后建⽴的我国过渡性⼤地坐标系。
属于参⼼⼤地坐标系，采⽤了前苏联的克拉索夫斯基椭球体。
其长半轴 a=6378245，扁率 f=1/298.3。
1954年北京坐标系虽然是苏联1942年坐标系的延伸,但也还不能说它们完全相同。
3、1980西安坐标系1978年，我国决定建⽴新的国家⼤地坐标系统,并且在新的⼤地坐标系统中进⾏全国天⽂⼤地⽹的整体平差,这个坐标系统定名为1980年西安坐标系。
高斯投影及高斯平面直角坐标系
ba a
tg
sin(1 ) cos1 cos
tg1
tg
ba a
tg
sin(1 ) cos1 cos
方向变形与角度变形
sin(1
)
b b
a a
sin(1
)
若与1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：
3.1.2
地图投影变形及其表 umax
1'
'
arc sin b b
a a
顾及：
述 tg1' tg(90 ') ctg '
2、主方向和变形椭圆
主方向：两个在椭球面上
正交的方向投影到平面上
ds2 后向m仍为L2.然主( N正方c交向o，。s则Bd这q两)个2 方
且：
性2质m：B主m方L N向2投c影o后s2具B有cosdqdl
最m大B2和.(最N小c尺os度B比d。l ) 2
对照第一基本形式，得：
E mL2 (N cosB)2 G mB2 (N cosB)2
x12 y12
a2x2 b2 y2
a2 cos 2 b2 sin 2
x2 y2
x2 y2
3.1.2 地图投影变形及其表述
某方向（以主方向起始） 投影后为1，则有： 显然，当 + 1 = 90°或 270 °时，方向变形最大
tg1
y1 x1
by ax
b tg
a
由三角公式，tg得：1
tg
N
cos Bdl将 MdB
dl dq
上式，得：
代入
其表述
m2
E
cos2
A
2F cos Asin N 2 cos2 B
高斯直角坐标系简介
高斯直角坐标系简介高斯直角坐标系简介1. 什么是高斯直角坐标系？高斯直角坐标系是一种在数学和物理学中常用的坐标系。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初提出，用于描述平面和空间中的几何问题。
与传统的笛卡尔坐标系不同，高斯直角坐标系是利用参考点和参考方向来构建坐标系的。
2. 高斯直角坐标系的构建方式利用高斯直角坐标系，我们可以用一组有序的数来表示空间中的点。
该坐标系的构建方式如下：- 选择一个参考点作为坐标系的原点，通常选择地球表面的某一点作为参考点。
- 选择参考方向。
在二维情况下，参考方向可以是正北或正东；在三维情况下，参考方向可以是正北、正东和竖直向上。
这些参考方向构成了坐标系的三个轴。
- 以参考点为原点，根据参考方向确定坐标轴的正方向。
这些坐标轴与参考方向垂直，并形成直角关系，因此得名高斯直角坐标系。
3. 高斯直角坐标系的应用领域高斯直角坐标系在测量学、地理学和地震学等领域被广泛应用。
在这些领域中，通过使用高斯直角坐标系，可以更方便地描述和计算地球表面或空间中的位置、距离、方向等物理量。
4. 高斯投影坐标系高斯直角坐标系的一种特殊形式是高斯投影坐标系。
高斯投影坐标系通过投影方式将地球表面上的经纬度位置投影到平面坐标系中。
在地图制作中，高斯投影坐标系常被用于绘制区域或国家的精确地图。
5. 高斯直角坐标系的优点和局限性高斯直角坐标系的优点是能够通过简单的数学计算得到点的位置、距离和方向，适用于各种几何计算。
然而，由于坐标轴的选择和原点的位置没有统一标准，不同地区和不同学科可能会采用不同的高斯直角坐标系，导致坐标值不可通用。
总结与回顾：通过本文，我们了解了高斯直角坐标系的基本概念和构建方式。
高斯直角坐标系在数学和物理学中具有广泛的应用，尤其在测量学、地理学和地震学等领域涉及到位置、距离和方向的计算时被频繁使用。
我们还了解到高斯投影坐标系作为高斯直角坐标系的一种特殊形式，常被用于地图制作。
高斯投影
高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第1、2…60带。
三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第1、2…120带。
高斯投影原理
按照6º 带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º ，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6º N－3º （N为6º 带的带号） 例：20带中央子午线的经度为 L。＝6º × 20－3º ＝117 º 按照3º 带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º ，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3º n （n为3º 带的带号） 例：120带中央子午线的经度为 L。＝3º × 120＝360 º
2
p2
2
x p1x 302855 .650m p 302855.650m 136780.360m y y .360m p (带号)636780
1
p1
1
国家统一坐标：
xp xp , xp xp
1 1 2 2
p2
p1
o
y
y p1=500000+ y p1
=+ 636780.360m （带号）
赤道 子午线 O y 平行圈 x
中央子午线
④ 除赤道外的其余纬线， 投影后为凸向赤道的曲线， 并以赤道为对称轴。 ⑤ 经线与纬线投影后仍然 平行圈 保持正交。 赤道 ⑥ 所有长度变形的线段， 子午线 其长度变形比均大于l。 ⑦ 离中央子午线愈远，长 中央子午线 度变形愈大。
x
O
y
整个投影变形最大的部位在赤道和投影最外一条经线的交点上(纬 度为0°经差为±3°时，长度变形为1.38‰ ，面积变形为2.7‰)
一定经差分带，分别进行投影。
N 中 央 子 午 线
c
赤道
赤道
S
高斯投影必须满足：
高斯投影平面
1．高斯投影为正形投影，
高斯平面直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（4）反算公式
当l＜3.5°时，上式换算精度达0.0001″。 欲使换算精确至0.01″，可对上式简化成：
大测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
平 时 作 业 用编程进行高斯投影正反算。 已知
B 51 3843.9023 L 111 0213.1360
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
即有：
在数学上，F1为 l 的偶函数，F2为 l 的奇函数。 因为在每带中，l/ρ˝不大，是一个微小量，可展成幂级 数。
m０，ｍ１，ｍ２，…，是待定系数，它们都是纬度B的函 数。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
大地测量学基础
4.9 高斯平面 直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
三、高斯投影坐标正反算公式 1、高斯投影坐标正反算的定义 （1）高斯投影正算： 已知椭球面上某点的大地坐标B、L，求其 该点在高斯平面直角坐标系中的坐标x、y的工作 叫高斯投影正算。 （2）高斯投影反算： 已知椭球面上某点在高斯平面直角坐标系中 的坐标x、y，求其该点的大地坐标B、L的工作 叫高斯投影反算。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（3）反算公式推导思路： 和正算公式基本一样，也是根据高斯投影的3个条件来 推导的。 ①由对称条件，同样可得： 把B、l 展成y的幂级数，而φ1为y的偶函数， φ2为y的奇 函数。
式中 n ０ ，ｎ １ ，ｎ ２ … 是待定系数，它们都是纵坐标 x 的函数 ,与y无关。
高斯投影与高斯平面直角坐标系概述课件
适用于小范围投影，保持地图的形状和方向准确，常用于地形图、工程图等需要 保持地图方向准确的领域。
PART 03
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的应用
在地图制作中的应用
地图投影转换
高斯投影是地图制作中常用的投影方 法，它可以将地理坐标转换为平面直 角坐标，使得地图上的图形和距离更 加准确。
地理信息整合
在工程测量和建筑中的应用
施工放样与监测
在工程建设中，高斯平面直角坐标系用于施工放样和施工过程中的监测，确保工程按照设计要求进行 。
大型设施布局
对于大型设施的布局，如机场、港口等，高斯平面直角坐标系提供了准确的定位方法，有助于设施的 合理布局和规划。
PART 04
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的优缺点
缺点
变形
由于地球是一个近似于椭球的球体，因此投影过程中难免 会产生一定的变形，尤其是在远离中央经线的地方，变形 更为明显。
中央经线附近区域扩大
在中央经线附近区域，投影导致的面积扩大现象较为显著 ，可能会影响地图的精度。
计算参数复杂
高斯投影与高斯平面直角坐标系需要使用一系列复杂的计 算参数，如地球椭球体长半轴、地球赤道半径、地球极半 径等，增加了使用难度。
PART 05
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的发展趋势和未来
展望
应用领域的拓展
随着地理信息科学和工程领域的发展，高斯投影与高斯平面直角 坐标系的应用越来越广泛，不仅局限于传统的地图制作和地理数 据分析，还涉及到导航系统、城市规划、环境监测等多个领域。
投影方式的优化
为了更好地满足各种应用需求，研究者们不断探索和改进高斯投影的算法和参数设置，以提高投影的精度和效率。同时，也出 现了多种新型的高斯投影方式，以适应不同地区的地理特点和数据需求。
高斯经纬度到平面坐标的转换
高斯经纬度到平面坐标的转换【原创版】目录1.高斯经纬度到平面坐标的转换原理2.高斯投影坐标系的定义和特点3.经纬度转高斯投影坐标的计算方法4.在 Excel 中将高斯坐标转换为经纬度的公式5.总结正文一、高斯经纬度到平面坐标的转换原理高斯经纬度到平面坐标的转换，主要是通过高斯投影坐标系来实现的。
高斯投影坐标系是一种将地球表面的经纬度坐标转换为平面直角坐标系的方法，其目的是为了在平面上更精确地表示地球表面的小面积区域。
在高斯投影坐标系中，地球表面的经纬度坐标（longitude, latitude）被转换为平面直角坐标（x, y）。
二、高斯投影坐标系的定义和特点高斯投影坐标系是一种圆锥投影坐标系，其特点是将地球表面的经纬度坐标转换为平面直角坐标，能够最大程度地保持地球表面的局部几何形状和角度。
在高斯投影坐标系中，地球表面的一个小区域被投影到一个圆锥面上，然后展开成一个平面。
这种投影方式在计算和测量地球表面上的小面积区域时，具有较高的精度和可靠性。
三、经纬度转高斯投影坐标的计算方法经纬度转高斯投影坐标的计算方法通常采用反演公式。
以经度为纵坐标（x），纬度为横坐标（y），投影区域为二维平面，反演公式如下：```x = lon * cos(lat)y = lat```其中，lon 表示经度，lat 表示纬度。
通过这个公式，可以将地球表面的经纬度坐标转换为高斯投影坐标系下的平面直角坐标。
四、在 Excel 中将高斯坐标转换为经纬度的公式在 Excel 中，可以使用 Excel 内置的函数进行高斯坐标到经纬度的转换。
以横坐标为 x，纵坐标为 y，投影区域为二维平面，转换公式如下：```=LAT(x,y,0,0)=LON(x,y,0,0)```其中，LAT 函数用于计算纵坐标（纬度），LON 函数用于计算横坐标（经度）。
五、总结高斯经纬度到平面坐标的转换，是通过高斯投影坐标系实现的。
在计算过程中，需要采用反演公式将经纬度坐标转换为高斯投影坐标系下的平面直角坐标。
高斯投影高斯投影正算公式
① 公式推导 a)级数展开
展开条件：经差 l 不大，在0～3.5°（0.061rad）
以内，展开后的形式（ l的幂级数 ） ：
xm0m1lm2l2m3l3m4l4..... yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
由于展开点为P0（B， 0），则式中待定系数是等量 纬度q（或大地纬度B）的函数
纬线投影为平 行直线，经线 投影为与纬线 垂直而且间隔 相等的平行直 线，两经线间 的距离与相应 的经差成正比。
x f
y c
a dx Rd
b cd rd
dx c Rd r
dx c d cos
x
c
ln
tan
45
2
y c m c r
c=R切圆柱投影
如为椭 球呢？
② 高斯投影的几何概念高－斯等投角影横平切面椭圆柱投影
－
两带坐标重叠40km相
当于的经差22′。
3、高斯平面直角坐标系
Gauss Plane Rectangular Coordinate System
① 定义
x
纵坐标轴x：中央子午线的投
影线；
横坐标轴y：赤道的投影线；
o
y
原点o：中央子午线与赤道的
交点的投影点；
② 自然坐标与通用坐标
500km 中央子午线投影
④ UTM
长度比0.9996的选 择可以使6°带的 中央经线与边缘经 线的长度变形的绝 对值大致相等；
两条无长度变形的 割线的位置距中央 经线以东以西各 180km，相当于经 差约± 1°40′。
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
高斯经纬度到平面坐标的转换
高斯经纬度到平面坐标的转换高斯经纬度到平面坐标的转换是地图制图和导航领域中常见的技术，通过这种转换可以将地球上任意一点的经纬度坐标转换为平面坐标，方便进行测绘和定位。
在实际应用中，高斯投影是常用的一种投影方式，它将地球表面的曲面投影到一个平面上，使得地图上的直线和角度保持一致。
下面将介绍高斯经纬度到平面坐标的转换方法。
首先，高斯投影是一种圆锥投影，它将地球表面投影到一个圆锥面上，再将圆锥面展开成一个平面，得到平面坐标。
高斯投影分为高斯-克吕格投影和高斯-克里格投影，它们在投影方式上略有不同，但转换的原理是相似的。
在高斯投影中，经度和纬度被转换为平面坐标系中的X和Y坐标。
转换的过程中，需要用到一些参数，包括中央经线、假想纬线、投影中央经度和标准纬度等。
这些参数是根据具体的投影方式和地图的具体要求来确定的。
具体的转换公式如下：X = k0 * N * (cos(Lat) * (L - Lo))Y = k0 * N * (L - Lo)其中，X和Y分别表示平面坐标系中的坐标，Lat和L分别表示地点的纬度和经度，Lo表示中央经度，k0表示比例尺，N表示投影的长度单位。
通过这些公式，可以将经纬度坐标转换为平面坐标，实现地图上的定位和标注。
在实际应用中，高斯投影经常用于地图制图、导航和测绘等领域。
通过高斯经纬度到平面坐标的转换，可以实现地图的绘制和标注，方便人们进行导航和定位。
同时，高斯投影也可以用于航空航天领域，帮助飞行员进行导航和飞行计划。
总的来说，高斯经纬度到平面坐标的转换是地图制图和导航领域中常用的技术，通过这种转换可以实现地图上的定位和标注，方便人们进行导航和测绘工作。
通过了解和掌握高斯投影的原理和转换公式，可以更好地应用这种技术，提高地图制作和导航的效率和准确性。
高斯投影坐标系的使用方法与转换技巧
高斯投影坐标系的使用方法与转换技巧【引言】高斯投影坐标系作为一种重要的地理坐标系统，在测绘、导航、地理信息系统等领域有着广泛的应用。
本文将介绍高斯投影坐标系的使用方法和转换技巧，帮助读者更好地理解和应用该坐标系统。
【1. 高斯投影坐标系简介】高斯投影坐标系是一种平面直角坐标系，由高斯投影公式和具体的投影带参数确定。
其优点在于较小的形变和高精度的计算结果。
在理论上，地球表面上的任意一点都可以通过高斯投影公式计算得到其在高斯投影平面坐标系中的坐标值。
【2. 高斯投影坐标系的使用方法】使用高斯投影坐标系，首先需要确定所选择的投影带及其对应的参数。
投影带可以根据地理位置的经度范围来确定，常见的有3度带和6度带。
确定投影带后，即可利用高斯投影公式将地理坐标转换为高斯投影坐标。
具体方法是根据地理坐标的经纬度值，使用高斯投影公式计算出对应的x和y坐标值。
【3. 高斯投影坐标系的转换技巧】在实际应用中，有时需要进行高斯投影坐标系与其他坐标系（如经纬度坐标系、UTM坐标系）之间的转换。
以下是一些常用的高斯投影坐标系转换技巧：(1) 高斯投影坐标系与经纬度坐标系转换：可以利用高斯投影反算公式，将高斯投影坐标转换为经纬度坐标。
反之，也可以利用正算公式，将经纬度坐标转换为高斯投影坐标。
(2) 高斯投影坐标系与UTM坐标系转换：UTM坐标系是一种基于横轴墨卡托投影的坐标系统，与高斯投影坐标系在数学上有一定相关性。
转换时，可以先将高斯投影坐标转换为经纬度坐标，再将经纬度坐标转换为UTM坐标。
(3) 高斯投影坐标系之间的转换：不同投影带之间的高斯投影坐标系转换主要涉及投影带参数的调整。
一般来说，可以利用投影带参数的差异，通过简单的数学运算实现高斯投影坐标系的转换。
【4. 高斯投影坐标系的应用案例】高斯投影坐标系的应用非常广泛。
以下是一些典型的应用案例：(1) 测绘工程：高斯投影坐标系可用于测绘工程中的地图绘制、边界划定、地理信息采集等方面。
解释高斯投影坐标正算
解释高斯投影坐标正算
高斯投影坐标正算是指通过数学方法，将地球表面上的点转移到平面上，并使这些点在平面上的坐标符合高斯投影公式。
在高斯投影中，地球表面上的点通常用地理坐标 (经度和纬度) 表示，而平面上的点的位置是用直角坐标 (X 和 Y) 表示的。
具体来说，高斯投影坐标正算涉及以下步骤:
1. 确定基准面：高斯投影的基准面通常是椭球面，而不是平面。
因此，在正算过程中，需要先将点转移到椭球面上，然后再转移到平面上。
2. 计算投影参数：高斯投影需要确定两个参数:椭球面上的经纬度和平面上的坐标。
这些参数需要通过计算来确定。
通常，需要使用投影公式来计算这些参数。
3. 计算平面坐标：在高斯投影中，平面坐标系是与椭球面相切的。
因此，计算出的平面坐标应该是与椭球面相交的点的位置。
通过计算椭球面上的点到平面上的投影距离，可以得到平面坐标。
4. 正算坐标：通过以上步骤，可以得到高斯投影坐标的正算结果。
这些结果通常包括点的 X 和 Y 坐标。
这些坐标应该与地图上的点的位置相对应。
高斯投影坐标正算是地图投影中非常重要的一步。
通过正算，可以得到准确的平面坐标，以便在地图上表示点的位置。
高斯平面直角坐标系
高斯投影方法1
高斯投影方法2
投影
剪开
展平
高斯投影的规律： (1) 中央子午线的投影为一条直线，且投影
方法： （1）先将自然值的横坐 标Y加上500000米； （2）再在新的横坐标Y 之前标以2位数的带号。
例：国家高斯平面点P（2433586.693， 38514366.157）所表示的意义:
(1)表示点P在高斯平面上至赤道的距离; X=2433586.693m
(2)其投影带的带号为38 、P点离38带的 纵轴X轴的实际坐标Y=514366.157500000= 14366.157m
为了指明该点属于 何带，还规定在横坐标y 值之前，要写上带号。 未加500km和带号的横坐 标值称为自然值，加上 500km和带号的横坐标值 称为通用值。
自然值：Y1 = +36210.140m, Y2 = -41613.070m 通用值：Y1=38 536210.140m,Y2=38 458386.930m 自然值和通用值之间：X不加500km，也不加带号。
1．6°带的划分
为限制高斯投影离中央子午线愈远，长 度变形愈大的缺点，从经度0°开始，自西向 东将整个地球分成60个带，6°为一带。
计算公式： λ =6N-3 λ——中央子午线经度 N——投影带号
2．3°带的划分
若仍不能满足精度要求,可进行3 °带、 1.5 °带的划分。
3 °带计算公式：
λ =3N λ——中央子午线经度, N——投影带号。
之后的长度无变形；其余子午线的投影均为凹向 中央子午线的曲线，且以中央子午线为对称轴， 离对称轴越远，其长度变形也就越大；
(整理)第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系
第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系§3.1 地图投影概述3.1.1 地图投影的意义与实现由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L,与平面坐标x,y的关系因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必然会产生投影变形,控制投影变形有各种不同的方法,对应于不同的投影.3.1.2 地图投影变形及其表述1,投影长度比,等量纬度及其表示式长度比:投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比.投影平面上微分长度:椭球面上微分长度:3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述引入等量纬度后,投影公式为:求微分,得:其中:l = L - L03.1.2 地图投影变形及其表述根据微分几何,其第一基本形式为:其中:3.1.2 地图投影变形及其表述则,长度比公式为:将代入上式,得:3.1.2 地图投影变形及其表述当A=0°或180 °,得经线方向长度比:当A = 90°或270 °,得纬线方向长度比:要使长度比与方向无关,只要:F = 0, E = G,则长度比可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述长度比与1之差,称为长度变形,即:vm>0,投影后长度变大,反之,投影后长度变短.2,主方向和变形椭圆主方向:在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍然正交,则这两个方向称为主方向.性质:主方向投影后具有最大和最小尺度比.对照第一基本形式,得:且:3.1.2 地图投影变形及其表述代入长度比公式,得:若使:使长度比为极值的方向:由三角公式得:3.1.2 地图投影变形及其表述由此得,长度比极值为:将三角展开式代入得:因此,最大长度比a与最小长度比b可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述不难得出下列关系:3.1.2 地图投影变形及其表述若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向,在投影面上为x1和y1方向,则有:椭球面上投影面上3.1.2 地图投影变形及其表述3,方向变形与角度变形某方向(以主方向起始) 投影后为1,则有:由三角公式,得:显然,当+ 1 = 90°或270 °时,方向变形最大3.1.2 地图投影变形及其表述若与1表示最大变形方向,则最大变形量可表示为:顾及:解得最大变形方向为:3.1.2 地图投影变形及其表述两方向, 所夹角的变形称为角度变形,用表示.即:显然,当+ 1 = 90°, + 1 = 270 °或+ 1 = 270°, + 1 = 90 °时,角度变形最大,最大角度变形可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述4,面积比与面积变形椭球面上单位圆面积为,投影后的面积为ab,则面积变形为:3.1.3 地图投影的分类1,按投影变形的性质分类(1). 等面积投影a b = 1(2). 等角投影a = b(3). 等距离投影某一方向的长度比为1.3.1.3 地图投影的分类2,按采用的投影面和投影方式分类(1). 方位投影投影面与椭球面相切,切点为投影中心,按一定条件将椭球面上的物投影到平面上.3.1.3 地图投影的分类(2). 正轴或斜,横轴圆柱投影正轴圆柱投影:投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投影),或相割(割圆柱投影)切圆柱投影:投影圆柱面与赤道相切,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.割圆柱投影:投影圆柱面与两条对称纬线相割,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.3.1.3 地图投影的分类横轴圆柱投影:投影圆柱面与某经线相切.斜轴圆柱投影:用于小比例尺投影,将地球视为圆球,投影圆柱体斜切于圆球进行投影.(3). 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割,将椭球面上物投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平面.根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥投影,斜圆锥投影.3.1.3 地图投影的分类习题1. 给出等量纬度的定义,引入等量纬度有何作用.2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件并给出证明.3. 变形主方向有什么性质4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件5. 地图投影按变形性质分哪几类按投影方式分哪几类§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影3.2.1 正形投影的概念和投影方程长度比与方位角无关的投影称为正形投影,必须满足条件E = G, F = 0,即:由第二式解得:13.2.1 正形投影的概念和投影方程代入第一式,得:考虑到导数的方向,开方根得:再代入式,得:1233.2.1 正形投影的概念和投影方程2, 式称为Kauchi-Rimann方程,满足该方程的复变函数为解析函数,可展开成幂级数,即有:3其反函数也是复变函数,可以写成:3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯-克吕格投影的条件:1. 是正形投影2. 中央子午线不变形3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯投影的性质:1. 投影后角度不变2. 长度比与点位有关,与方向无关3. 离中央子午线越远变形越大为控制投影后的长度变形,采用分带投影的方法.常用3度带或6度带分带,城市或工程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带.3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质中央子午线在平面上的投影是x 轴,赤道的投影是y 轴,其交点是坐标原点.x 坐标是点至赤道的垂直距离;y 坐标是点至中央子午线的垂直距离,有正负.为了避免y 坐标出现负值,其名义坐标加上500 公里.为了区分不同投影带中的点,在点的Y坐标值上加带号N所以点的横坐标的名义值为y = N 1000000+500000+y§3.3 高斯投影坐标正算和反算公式3.2.1 高斯投影正算公式赤道因正形投影的导数与方向无关,将投影点坐标在H点展开,得:3.3.1 高斯投影正算公式因此,高斯投影级数展开式可表示为:其各阶导数为:3.3.1 高斯投影正算公式将导数代入展开式,虚实分开后,得到高斯投影正算公式如下:3.3.1 高斯投影正算公式为便于编程计算,可将正算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式在中央子午线投影成的x轴上取点Xf = x,该点称为底点,用子午弧长反算公式求得底点的纬度Bf 和相应的等量纬度qf ,以底点为展开点进行级数展开,得:3.3.2 高斯投影反算公式相应的各阶导数为:3.3.2 高斯投影反算公式代入级数展开式,虚实分开得:43.3.2 高斯投影反算公式将大地纬度展开成等量纬度的级数式其中:53.3.2 高斯投影反算公式由式,得:4代入式,得:53.3.2 高斯投影反算公式将各系数代入上式,得纬度B 的反算公式:3.3.2 高斯投影反算公式为便于编程计算,可将反算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式利用高斯投影的正反算公式,亦可进行不同投影带坐标的换带计算.其计算步骤如下:1. 根据高斯投影坐标x, y,反算得纬度B和经度差l;2. 由中央子午线的经度L0, 求得经度L = L0 +l;3. 根据换带后新的中央子午线经度L0' ,计算相应的经差:4. 由高斯投影正算,求得新的高斯投影坐标x',y'.习题1. 高斯投影的条件是什么2. 简述高斯投影投影正算公式的推导;3. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带和6 带带号;2). 该点的3 带高斯投影坐标并反算检核;§3.4 平面子午线收敛角和长度比3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平行圈子午线沿平行圈纬度不变,求微分得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式对高斯投影公式求偏导数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入上式,得:将展开成tg 的级数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式由此可见, 是经差的奇函数,在x 轴为对称轴,东侧为正,西侧为负. 子午线收敛角在赤道为0,在两极等于经差l,其余点上均小于经差l .3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式.平行圈L =常数L+dl = 常数P点沿与y轴平行方问微分变动到P 点,子午线收敛角可表示为:沿y坐标的微分,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入子午线收敛角公式,得:由高斯投影反算公式求出偏导数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入上式子午线收敛角计算公式,得:将展开成tg 的级数,得:3.4.2 长度比计算公式由高斯投影长度比的定义式,得:将前面的偏导数代入上式,得:开方后得出以大地坐标表示的长度比公式:3.4.2 长度比计算公式为给出由高斯投影坐标表示的长度比公式,反解高斯投影的y 坐标正算公式,得:对上式求平方和四次方,得:3.4.2 长度比计算公式代入用大地坐标表示的长度比公式,得:顾及:代入上式,得:可见,长度比是y坐标的偶函数,且只与y坐标有关.§3.5 高斯投影距离与方向改化以及坐标方位角3.5.1 高斯投影的距离改化椭球面上的大地线投影到高斯平面上为曲线,与平面上两点相连的直线相比, 其微分线段间的差异极小,可表示为:其中:3.5.1 高斯投影的距离改化此弧线与直线间的最大偏角即为方向投影改化,本为二次小项,故此相对长度差异仅为4次项,相对于距离测量的最高精度亦可忽略,因此可认为:用辛卜生公式数值积分得:3.5.1 高斯投影的距离改化将长度比公式代入上式,得:3.5.1 高斯投影的距离改化距离改化S可表示为:其中:在城市及工程应用中测边离中央子午线不会超过45公里,则距离改化公式可进一步简化为:3.5.2 高斯投影方向改化1,高斯投影曲线的形状高斯投影曲线的形状向x 轴弯曲,并向两极收敛.3.5.2 高斯投影方向改化2,高斯投影方向改化保角投影前后角度相同,即:3.5.2 高斯投影方向改化将球面角超计算公式代入上式,得:因方向值顺时针方向增加,考虑其正负号后,方向改化公式可表示如下: 上式具有0.1 的计算精度,适用于三,四等控制网的方向改化计算.改化公式中的曲率半径可足够近似地取6370km3.5.3 坐标方位角和大地方位角的关系式A12T12习题1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带高斯投影后的中央子午线收敛角;2). 该点的3 带高斯投影的长度比.2. 已知起始点坐标:x3 = 3239387.624 my3 = 40446822.368m起始平面方位角T31=192 37 08.51 ,距离S31=7619.245m,各方向观测值如下:1~3:0 00 00.00 2~3:0 00 00.00 3~1: 0 00 00.001~2:257 17 47.71 2~1:39 51 12.50 3~2:37 26 36.65将上述边长和方向归算到高斯平面上.312§3.6 通用横轴墨卡托投影3.6.1 墨卡托投影墨卡托投影为等角割圆柱投影,圆柱与椭球面相割于B0的两条纬线,投影后不变形.特性:等角航线在投影平面上为直线.因此,该投影便于在航海中应用.3.6.2 通用横轴墨卡托投影简称为UTM,与高斯投影相比,仅仅是中央子午线的尺度比为0.9996,其投影公式如下:3.6.2 通用横轴墨卡托投影长度比和子午线收敛角计算公式.3.6.2 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影的反算步骤:1. 先由通用横轴墨卡托投影坐标计算高斯投影坐标;2. 再利用高斯投影反算公式,计算大地纬度和经度.3.6.2 通用横轴墨卡托投影与高斯投影的比较§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球局部区域中常采用地方独立坐标系,其高斯坐标以往并非由经纬度求得,而是直接将边长投影到边长归算的高程基准面(投影面), 再选定过测区中心附近的坐标纵轴,计算高斯投影边长和方向改正,在平面上由起始点坐标,起始方位角来平差计算各控制点坐标.§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球地方独立坐标系的参数:1. 投影面:一般采用区域的平均高程面;2. 中央子午线的经度或位置:一般取用过区域中心附近一控制点的经度,或采用整分或整度的经度.3. 起始坐标,起始方位角,起始边长.§3.7 局部区域中的高斯投影及相应的区域性椭球城市及工程控制网采用地方独立坐标系,边长的投影面是区域的边长归算的高程基准面而并不是国家参考椭球面.其高斯坐标所对应的椭球面应是与投影面相接近的区域性椭球面,而不是国家参考椭球面.习题1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带UTM投影坐标;2). 该点UTM投影的长度变形.。
我国常用坐标参照系
我国地形图一般采用高斯投影，所以通常转化成高斯平面坐标显示到地图上。
而在经纬度向平面坐标转化的过程中，需要用到椭球参数，因此要考虑所选的坐标系，我国常用的坐标系有北京54，西安80，WGS-84坐标系，不同的坐标系对应的椭球体是不一样的，我们所说的地理数据都是为了描述大地水准面上的某一个点，而大地水准面是不规则的，我们用一个规定的椭球面去拟合这个水准面，用椭球面上的点来近似表示地球上的点。
每个国家地理情况不同，采用的椭球体也不尽相同。
北京54坐标系采用的是克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体，而西安80采用的是IAG 75地球椭球体。
5. 我国常用坐标参照系A. 旧1954北京坐标系（参心坐标系）1954北京坐标系是我国目前广泛采用的大地测量坐标系。
该坐标系源自于前苏联1942年普尔科夫坐标系。
椭球：克拉索夫斯基椭球长半轴a：6378245m扁率f：1/298.3高程：以1956年青岛验潮站的黄海平均海水面为基准缺点：（包括3个方面，后续）B. 1980西安大地坐标系（参心坐标系）原因：a. 1954坐标系椭球参数长半轴有108m的差距与现在的精确值b. 参考椭球面与我国大地水准面之间存在自西向东的系统性倾斜，东部差距达68mc. 几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一。
重力数据处理时采用的是赫尔默特正常重力公式，与其相应的椭球为赫尔默特椭球，这与克拉索夫斯基椭球不一致。
d. 定向不明确：克拉索夫斯基椭球短半轴既不指向CIO也不指向我国地极原点JYD1968.0；同时其起始子午面也不是国际时间局所定义的格林尼治平均天文台子午面。
这给坐标换算带来了很多麻烦。
e. 1954坐标系还是按局部平差逐步提供大地点成果的，因此不可避免地会出现一些矛盾和不够合理的地方。
原则：a. 全国天文大地网整体平差要在新的坐标系的参考椭球面上进行。
为此首先需要建立一个新的大地坐标系，并名之为1980国家大地坐标系；b. 1980国家大地坐标系的大地原点定在我国中部。
高斯投影与高斯平面直角坐标系概述
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3.1.2 地图投影变形及其表述
1、投影长度比、等量纬度及其表示式 •长度比：投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比。
•投影平面上微分长度： •椭球面上微分长度：
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3.1.2 地图投影变形及其表述
•上式中 •q为等量纬度，计算公式为
高斯投影与高斯平面直 角坐标系概述
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2020年4月9日星期四
§3.1 地图投影概述
•3.1.1 地图投影的意义与实现
•由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L，与平面坐标x,y的关 系
•因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必 然会产生投影变形，控制投影变形有各种不同的方 法，对应于不同的投影。
•顾及： •解得最大变形方向为：
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3.1.2 地图投影变形及其表述
•两方向、所夹角的变形称为角度变形，用表示。即：
• 显然，当 +1 = 90°、 + 1 = 270 °或 +1 = 270° 、 + 1 = 90 °时，角度变形最大，最大角度变形可表示为 ：
•上式中 •q为等量纬度，计算公式为
• 引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL 所对应的椭球面上的弧长相同。
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3.1.2 地图投影变形及其表述
•引入等量纬度后，投影公式为：
•其中：l = L - L0 •求微分，得：
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3.1.2 地图投影变形及其表述
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
高斯经纬度到平面坐标的转换
高斯经纬度到平面坐标的转换高斯经纬度坐标系统是一种常用的地理坐标系统，常用于测量和定位地球上的点。
在实际应用中，为了更方便地进行计算和测量，我们通常需要将高斯经纬度坐标转换为平面坐标。
本文将从浅入深，逐步探讨高斯经纬度到平面坐标的转换方法和相关知识。
1. 高斯经纬度坐标系统简介高斯经纬度坐标系统是一种基于地球形状和结构的坐标系统。
它以地球质心为基准，并以特定的椭球体或大地水准面作为参考。
在该坐标系统中，经度表示地球上某一点与本初子午线的角度，纬度表示地球上某一点与赤道的角度。
2. 平面坐标系与高斯投影与高斯经纬度坐标系统相对应的是平面坐标系。
平面坐标系将地球表面投影到二维平面上，使得地图等可视化工具更易于理解和使用。
高斯投影是一种常用的平面坐标系投影方法，通过将地球表面切割成多个小区域，并分别进行投影，实现了高斯经纬度到平面坐标的转换。
3. 高斯投影中的参数和公式在高斯投影中，为了实现不同地区的精确测量，我们需要确定一些参数，例如中央子午线经度、纬度原点、投影面的圆锥或圆柱形状等。
还需要利用一些数学公式来进行坐标转换。
4. 高斯投影的具体计算方法高斯投影的计算方法比较复杂，通常需要借助专业的地理信息系统软件或编程语言进行实现。
在实际计算中，需要考虑大地测量学中的各种误差和修正，并结合坐标转换公式进行计算。
5. 高斯经纬度到平面坐标的应用高斯经纬度到平面坐标的转换在很多领域都有广泛的应用。
在地图制作和分析中，平面坐标可以用于测量距离和面积、定位地理要素等。
在导航系统中，高斯经纬度和平面坐标之间的转换可以帮助用户准确地确定位置和路径。
总结回顾：通过本文的介绍，我们了解了高斯经纬度坐标系统和平面坐标系的基本概念，以及高斯投影的原理和计算方法。
高斯经纬度到平面坐标的转换是一个复杂且关键的过程，在实际应用中需要考虑各种因素和误差。
通过将地球表面投影到二维平面上，我们可以更方便地进行测量和定位，为地理信息科学和相关领域的发展提供支持。
高斯坐标系参数
高斯坐标系参数引言高斯坐标系是一种常用的平面直角坐标系，广泛应用于测量、地理信息系统、导航和地图制作等领域。
在高斯坐标系中，地球被近似看作是一个椭球体，通过一系列参数来描述地球的形状和尺寸。
本文将介绍高斯坐标系参数的含义、计算方法和应用。
地球椭球体模型地球不是一个完美的球体，而是一个稍微扁平的椭球体。
为了描述地球的形状，我们使用椭球体模型。
椭球体模型由两个主要参数确定：长半轴（a）和短半轴（b）。
长半轴是地球的赤道半径，短半轴是地球的极半径。
这两个参数的数值取决于所采用的地球椭球体模型。
高斯投影高斯投影是一种将地球表面上的点投影到平面上的方法。
在高斯投影中，地球表面被划分成多个投影带，每个投影带都有一个中央经线。
高斯投影的主要参数包括中央经线的经度、中央经线上的点的纬度和投影坐标原点的位置。
高斯投影坐标系高斯投影坐标系是高斯投影的结果。
在高斯投影坐标系中，每个点都有一个东坐标和一个北坐标，分别表示点在东西方向和南北方向上的位置。
高斯投影坐标系的原点通常位于投影带的中央经线上。
高斯坐标系参数高斯坐标系参数是描述高斯投影坐标系的一组数值。
主要的参数包括：•中央子午线经度（L0）：中央子午线是每个投影带的中央经线，用于确定投影坐标的原点位置。
•原点纬度（φ0）：原点纬度是投影坐标系的原点所在的纬度。
•系数（k0）：系数用于调整投影坐标系的比例因子，以便将地球表面的距离转换为投影坐标系中的距离。
•东偏移（E0）：东偏移是投影坐标系的原点在东西方向上的偏移量。
•北偏移（N0）：北偏移是投影坐标系的原点在南北方向上的偏移量。
这些参数的数值取决于所采用的高斯投影方法和地球椭球体模型。
高斯投影的计算方法高斯投影的计算方法可以分为正算和反算两种。
正算正算是将地球表面上的点的地理坐标转换为高斯投影坐标。
计算步骤如下：1.根据给定的地球椭球体模型和高斯坐标系参数，计算中央子午线曲率半径（M0）和卯酉圈曲率半径（N0）。
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例：20带中央子午线的经度为
L。经度为 3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3ºn （n为3º带的带号） 例：120带中央子午线的经度为
L。＝3º× 120＝360 º
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高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
L 0° 6° 12°72° 78° 84° 90° 96° 102° 108° 114° 120° 126° 132° 138°
n 1 23
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
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高斯投影的分带2
按照6º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6ºN－3º （N为6º带的带号）
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知识回顾 Knowledge Review
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放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
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高斯平面直角坐标系
坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影
y轴 — 赤道的投影
赤道
原点O — 两轴的交点
x
高斯自
然坐标
P （X，Y）
O
y
注：X轴向北为正， y轴向东为正。
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中央子午线
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例：
有一国家控制点的坐标:
x=3102467.280m ,y=19367622.380m，
展平
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高斯投影的规律： (1) 中央子午线的投影为一条直线，且投影
之后的长度无变形；其余子午线的投影均为凹向 中央子午线的曲线，且以中央子午线为对称轴， 离对称轴越远，其长度变形也就越大；
(2) 赤道的投影为直线，其余纬线的投影为 凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴；
(3) 经纬线投影后仍保持相互正交的关系， 即投影后无角度变形；
（1）该点位于6˚ 带的第几带？
（第19带）
（2）该带中央子午线经度是多少？ （L。=6º×19-3º=111˚） （3）该点在中央子午线的哪一侧？
（先去掉带号，原来横坐标y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西侧）
（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？
（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）
求两个城市之间的 距离。（结果精确 到1千米）
O1
B
A
O D
C
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3
数学投影
数学投影——是数学的投影，建立椭球面大地坐 标（B、L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之 间的函数关系。
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4
高斯投影的概念
高斯投影是一种等角投影。它是由德国数
学家高斯(Gauss，1777~1855)提出，后经德
国大地测量学家克吕格(Kruger，1857～1923)
加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投
影”，简称“高斯投影”。在有些资料中也
称横轴墨卡托(Transverse Mercator, TM)
投影
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5
高斯投影方法1
N
O
S
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6
高斯投影方法2
投影
剪开
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大地测量学
高斯投影
及其计算
蔡跃辉
2013.9.28 衡阳师范学院资旅系
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1
问题的提出
衡阳师范学院在地球上的 位置是多少？
问题：地球表面点的位置的 确定？
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2
地球表面两点的距离计算
已知北京的位置约 为东经116度，北 纬40度， 衡阳的位置约为东 经112度，北纬26 度，
(4) 中央子午线和赤道的投影相互垂直。
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8
高斯投影的分带
为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
L0 3° 9°
75° 81° 87° 93° 99° 105° 111° 117° 123° 129° 135°
N1
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