陕西省西安市铁一中2020-2021学年高一下学期期中数学试题 答案和解析
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陕西省西安铁一中高一下学期期中考试（数学）一．选择题：（每小题4分，共40分）1.⎪⎭⎫⎝⎛-π 623sin 的值等于 ( )A. 21B. 21-C. 23D.23-2．函数)22cos(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2π-=x B.4π-=x C.8π=x D. π=x3. 在ABC △中，=，=．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r（ ） A ．3132+ B ．3235-C ．3132- D ．3231+ 4. 函数y ＝3sin(2x ＋3π)的图象，可由y ＝sinx 的图象经过下述哪种变换而得到:（ ）A. 向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍B. 向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍 C ．向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31倍 D ．向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标缩小到原来的31倍5．若51cos sin -=+αα，且πα<<0，则αtan 的值是（ ）A. 3443-或- B. 43 C. 43- D. 34-6．4tan 3cos 2sin 的值（ ）A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在7.,αβ为锐角，1sin ,cos()33ααβ=-=，则cos β=（ ） A．B.C.D. 3 8.平面向量a 与b 的夹角为060，)0,2(=，||=1， 则|2+|= ( )AB.9. 已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且0|,|||||=++==NC NB NA OC OB OA ，且PA PC PC PB PB PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C.外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心10．函数)62cos(3)62sin(3ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A.π2，33B.π，33C.π2，32D.π，32 二、填空题：（每小题4分，共11. 函数tan 2y x =的周期是 .12. 已知1sin ,123πα+=（）则7cos 12πα+=（）_____.13．若→a =)3,2(，→b =)7,4(-，则→a 在→b 上的射影为________________.14．已知0>a ，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =______. 15. 关于函数)(x f = 4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题： ①函数)(x f y =)的表达式可改写为y = 4cos(2x - π6 )；②函数)(x f y =是以2π为最小正周期的周期函数；③函数)(x f y =的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称； ④函数)(x f y =的图象关于直线x = - π6 对称.其中正确的是______________.三、解答题:(共40分，要写出必要的解题过程) 16. （本题10分）（1）化简)2cos()cos()cos()2sin(αππααπαπ--+-；（2）2tan =x ，（1）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值。
陕西高一高中数学期中考试带答案解析
陕西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知两点A（2，1），B（3，3），则直线AB的斜率为（）A．2B．C．D．3.已知角的终边过点,则的值为（）A．B．－C．D．4.以点A（-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是（）A．B．C．D．5.半径为cm，中心角为120o的弧长为（）A．B．C．D．6.等于（）A．B．C．D．7.点（2，3，4）关于平面的对称点为（）A．（2，3，-4）B．（-2，3，4）C．（2，-3，4）D．（-2，-3，4）8.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则等于（）A．B．C．D．9.过直线的交点，且与直线垂直的直线方程是（）A．B．C．D．10.若，则（）A．1B．-1C．D．二、填空题1.与终边相同的角的集合是__________________2.时钟从6时走到9时，时针旋转了_____________弧度3.点到直线的距离是________________.4.已知，且是第二象限角，那么的值为_____________三、解答题1.用“五点法”画出函数,的简图并写出它在的单调区间和最值2.（1）化简（2）化简求值3.求满足下列条件的直线方程（1）过点且平行于直线（2）点，则线段的垂直平分线的方程4.若圆经过点（2,0）,（0,4）,（0,2）求：（1）圆的方程（2）圆的圆心和半径陕西高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】，所以所在象限与所在的象限相同,即第一象限，故选A.【考点】象限角2.已知两点A（2，1），B（3，3），则直线AB的斜率为（）A．2B．C．D．【答案】A【解析】,故选A.【考点】直线的斜率3.已知角的终边过点,则的值为（）A．B．－C．D．【答案】D【解析】，而，故选D.【考点】三角函数的定义4.以点A（-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圆的标准方程为：，圆心为，半径为，所以方程为：，故选C.【考点】圆的标准方程5.半径为cm，中心角为120o的弧长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以根据弧长公式，故选D.【考点】弧长公式6.等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据公式，所以，故选B.【考点】两角和的正弦公式7.点（2，3，4）关于平面的对称点为（）A．（2，3，-4）B．（-2，3，4）C．（2，-3，4）D．（-2，-3，4）【答案】C【解析】点关于平面的对称点是坐标不变，变为相反数，所以点（2，3，4）关于平面的对称点为，故选C.【考点】空间中点的坐标8.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的图象向左平移个单位后得到，所以，故选C.【考点】三角函数图像的变换9.过直线的交点，且与直线垂直的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，解得，与直线垂直的直线设为，将点代入，可得，解得，所以直线方程为，故选D.【考点】直线方程10.若，则（）A．1B．-1C．D．【答案】A【解析】上下同时除以，可得，解得：，故选A.【考点】同角三角函数基本关系二、填空题1.与终边相同的角的集合是__________________【答案】【解析】与终边相同的角的集合,所以与终边相同的角的集合是【考点】终边相同的角的集合2.时钟从6时走到9时，时针旋转了_____________弧度【答案】【解析】因为是顺时针所以是负角，时钟从6时走到9时，所转过的弧度数为，所以时针旋转了弧度.【考点】弧度3.点到直线的距离是________________.【答案】【解析】根据点到直线的距离公式.【考点】点到直线的距离4.已知，且是第二象限角，那么的值为_____________【答案】【解析】，又因为是第二象限角，所以，那么.【考点】同角三角函数基本关系三、解答题1.用“五点法”画出函数,的简图并写出它在的单调区间和最值【答案】详见解析【解析】根据五点法列表，五点分别为，用光滑曲线连接，根据图像可得函数的单调区间和最值.试题解析：列表2101画图：函数的单调递增区间为，递减区间为当时，取得最大值2，当时取得最小值0【考点】1.五点法做图；2.三角函数的性质.2.（1）化简（2）化简求值【答案】（1）；（2）0【解析】（1）根据诱导公式，，，，以及，，化简原式；（2）感觉，，以及.试题解析：解：（1）原式=（2）原式=0【考点】诱导公式3.求满足下列条件的直线方程（1）过点且平行于直线（2）点，则线段的垂直平分线的方程【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据两直线平行斜率相等，可将直线设为，再将点代入求解，得到直线方程；（2）先求线段的中点坐标，再求直线的斜率，根据两直线垂直，若存在斜率，且斜率不等于0，则斜率乘积为-1，得到直线的斜率，根据中点和斜率求解直线方程.试题解析：（1）设直线方程为，把代入直线方程得所以直线方程为（2）的中点坐标是（2，1.5），直线的斜率是所以所求直线方程为，整理得【考点】直线方程4.若圆经过点（2,0）,（0,4）,（0,2）求：（1）圆的方程（2）圆的圆心和半径【答案】（1）；（2）圆心为（3,3），半径.【解析】（1）已知圆上三点，设圆的一般方程：，将圆上三点代入，解得参数，即得圆的方程；（2）根据公式圆心坐标为,半径.试题解析：（1）设圆的一般式为将已知点代入方程得解得所以圆的方程为（2），所以圆心为（3,3）=【考点】圆的方程。
2020-2021西安市高一数学下期中一模试题(附答案)
2020-2021西安市高一数学下期中一模试题(附答案)一、选择题1．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+2．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）3．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①③5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．42B ．32C ．322D ．227．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+258．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．9．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．110．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 11．如图，正四面体ABCD 中，,EF 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 12．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离二、填空题13．给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________14．如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是_____15．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ． 16．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 17．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．18．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.19．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________. 20．在正方体1111ABCD A B C D -中，①BD P 平面11CB D ②直线AD 与1CB 所成角的大小为60︒ ③1AA BD ⊥ ④平面11A BC ∥平面1ACD 请把所有正确命题的序号填在横线上________．三、解答题21．如图，在多面体ABCDM 中，BCD ∆是等边三角形，CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点.（1）求证：//OM 平面ABD ；（2）若2AB BC ==，求三棱锥M ABD -的体积.22．如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且1AE =,2AB =.(Ⅰ)求证：AB ⊥平面ADE ； (Ⅱ)求凸多面体ABCDE 的体积.23．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ； （Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．24．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：//DM 平面APC ； （2）求证：BC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.25．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程； (2) DC 边所在直线的方程．26．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC⊥平面11AA B B；（2）证明：//DE平面ABC.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，∵PA的斜率为4031---=﹣1，PB的斜率为2031--=1，∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.2．C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 3．B解析：B【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误； ②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误； ④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确． 故选B ．解析：B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B6．B解析：B 【解析】 【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可. 【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 2223416m =+=,故32m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,所以1122,25,42EF BE C F BC ==== 所以所求截面的周长为2+5 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ . 故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．9．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．10．A解析：A【解析】【分析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，因为AB＝AD＝1，BD2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形所以DE为球体的半径3DE=234()32S ππ== 故选A 【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.11．C解析：C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案． 【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误； 在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确； 在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为25d ==<，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.二、填空题13．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行解析：①④ 【解析】 【分析】利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论． 【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确； 对于②，a 平行于b 所在的平面//a b ⇒或a 与b 异面，故②错； 对于③，直线a 、b 不相交⇒直线a ，b 异面或平行，故③错； 对于④，平面//α平面βα⇒内存在不共线三点到β的距离相等；α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面//α平面β或相交，故④正确故答案为：①④ 【点睛】本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．14．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常 解析：32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．15．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系解析：4 【解析】试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为5d ==，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系16．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：()1,4,1--【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】 设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--． 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.17．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△A PC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4） 【解析】【分析】 【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．18．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆解析：15【解析】 【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】 74【解析】 【分析】将2291041y x x x +-+()2222354y x x =+-+()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =+-++即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：()22222291041354y x x x x x =+-+=+-+()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC +-++，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.20．①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④【详解】对于①如下图所示由于则四边形为平行四边形则面面所以平面故①正确；解析：①③④ 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④. 【详解】对于①，如下图所示，由于1111,DD BB DD BB =P ，则四边形11DD B B 为平行四边形，则11D B BD P11D B ⊂面11D B C ，BD ⊄面11D B C ，所以BD P 平面11CB D ，故①正确；对于②，由于AD BC ∥，则直线AD 与1CB 所成角为145B CB ∠=︒，故②错误； 对于③，1AA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，则1AA BD ⊥，故③正确；对于④，在正方体中，1111,AA CC AA CC =P ，则四边形11AAC C 为平行四边形 所以1111,AC AC AC ⊄P 平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11A C ∥平面1ACD 同理1A B P 平面1ACD ，1111111,,AC A B A AC A B ⋂=⊂平面11A BC 所以平面11A BC ∥平面1ACD ，故④正确； 故答案为：①③④【点睛】本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，利用线面垂直的性质证明线线垂直，异面直线所成角，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直推证出OM ⊥平面BCD ，再由AB ⊥平面BCD ，即可得OM //AB ，由线线平行，即可推证线面平行；（2）根据（1）中所求，结合M ABD O ABD A OBD V V V ---==，即可求解三棱锥A OBD -的体积即为所求. 【详解】（1）∵CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，点O 为CD 的中点，∴OM CD ⊥．∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD I 平面BCD CD =，OM ⊂平面CMD ， ∴OM ⊥平面BCD ．∵AB ⊥平面BCD ，∴OM //AB ． ∵AB Ì平面ABD ，OM ⊄平面ABD ， ∴OM //平面ABD ．（2）由（１）知OM //平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离． ∵2AB BC ==，BCD V 是等边三角形，点O 为CD 的中点∴1122BOD BCD S S ∆∆== 24BC ==∴M ABD O ABD A OBD V V V ---==1123323BOD S AB ∆=⋅=⋅⋅=【点睛】本题考查的是空间的直线与平面平行判定定理的运用及点到面的距离的计算问题．第一问的解答时，务必要依据线面平行的判定定理中的条件要求，找出面内的线，面外的线，线线平行等三个缺一不可的条件；第二问三棱锥的体积的计算时，要运用等积转化法将问题进行转化，再运用三棱锥的体积公式进行计算．22．(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) 3ABCDE V = 【解析】 【分析】（1）推导出AE ⊥CD ，CD ⊥AD ，从而CD ⊥平面ADE ，再由AB ∥CD ，能证明AB ⊥平面ADE ．（2）凸多面体ABCDE 的体积V=V B-CDE +V B-ADE ，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：,AE CDE CD CDE ⊥⊂平面平面,AE CD ∴⊥又在正方形ABCD 中，CD AD ⊥AE AD A ⋂= CD ADE ∴⊥平面,又在正方形ABCD 中，//AB CD∴ //AB 平面ADE .(2) 连接BD ，设B 到平面CDE 的距离为h ，//,,AB CD CD CDE ⊂Q 平面//AB CDE ∴平面，又AE CDE ⊥平面，∴ h AE = 1=又11222CDE S CD DE ∆=⨯=⨯=113B CDE V -∴==又11112332B ADE ADE V S AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=所以233ABCDE V = 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，注意空间思维能力的培养．23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接PF ，由题意可得//PE AF ，由面面垂直的性质和等腰三角形的性质可得DC ⊥平面ABC ，AF BC ⊥，进而可得AF ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BCD ，由面面垂直的判定即可得证；（Ⅱ）由（1）知PE ⊥平面BDF ，计算出2PE BF ==，进而可得2BDF S =V ，由三棱锥体积公式即可得解. 【详解】（Ⅰ）证明：连接PF ，Q F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，∴//PF CD 且12PF CD =， Q //AE CD 且2DC AE =，∴//PF AE 且PF AE =， ∴四边形AEPF 为平行四边形，∴//PE AF ，Q 平面AEDC ⊥平面ABC ，平面AEDC I 平面ABC AC =，90ACD ∠=︒，∴DC ⊥平面ABC ，∴DC AF ⊥，又AC AB =，∴AF BC ⊥，Q BC DC C =I ，∴AF ⊥平面BCD ，∴PE ⊥平面BCD ， 又PE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得PE ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BDF ，Q 22DC AC AB AE ====，90ACD BAC ∠=∠=︒∴221122222PE AF BF BC ====+=∴12BDF S BF DC =⋅=V ，∴113323BDF E BDF S PE V -⋅===V . 【点睛】本题考查了面面垂直的判定和三棱锥体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.24．（1）见详解；（2）见详解；（3. 【解析】【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP PBC ⊥平面，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC .(3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积.【详解】(1)证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP P .又MD APC ⊄平面，AP APC ⊂平面，所以MD APC ∥平面.(2)证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MD AP P ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P I ＝，所以AP PBC ⊥平面.因为BC PBC ⊂平面，所以⊥AP BC .又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，所以BC APC ⊥平面.(3)因为AP PBC ⊥平面，MD AP P ，所以MD PBC ⊥平面，即MD 是三棱锥M DBC -的高.因为10AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以5,PB MB MD MB ====. 由BC APC ⊥平面，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由54PB BC ＝，＝，可得3PC ＝. 于是111433222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝.所以1133322D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯⨯=g △＝＝＝. 【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.25．（1）320x y ++=；（2）320x y -+=【解析】分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为()306x y m m -+=≠-，然后由点到直线的距离得出2210510m+=，就可以求出m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD，又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0，所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3，而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0.(2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC，所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0.由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C （4，2）因AB ∥DC ，所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ；（2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC .【详解】（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥，又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ；（2）连接,OE OA ，因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，所以1//OE BB 且112OE BB =， 易得1//AD BB 且112AD BB =， 所以//AD OE 且AD OE =，所以四边形OADE 为平行四边形，则//DE AO ，因为AO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC .【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.。
高一数学下学期期中试题 理含解析 2
2021-2021学年铁一中学高一〔下〕期中数学试卷〔理科〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求〔本大题一一共12小题，每一小题4分，一共48分〕1．集合{}1|3M x x -=<<，{}223|0N x x x =+-<，那么集合MN 等于〔 〕． A ．{}1|3x x -<<B ．{}3|1x x -<<C ．{}1|1x x -<<D ．{}3|3x x -<<【解答】解：∵集合{}1|3M x x -=<<，{}{}223031||N x x x x x =+-<<-=<，∴集合{}11|MN x x -=<<．应选：C ．2．如下图，在三棱A B C ABC '''-，沿A BC '截去三棱锥A ABC '-，那么剩余的局部是〔 〕．CBAA'B'C'A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．组合体 【解答】解：如下图，三棱A B C ABC '''-，沿A BC '截去三棱锥A ABC '-， 剩余局部是四棱锥A BCC B '''-． 应选：B ．BA'B'C'C3．在ABC △中，π3A =，ab C =〔 〕． A ．π4 B ．π2 C ．7π12 D ．5π12【解答】解：由60A =︒，a b >=， 那么A B >． 由正弦定理sin sin a bA B=，，得：sin B = ∵A B >， ∴π4B =． 那么ππ5ππ4312C =--=， 应选：D ．4．在等比数列{}n a 中，116a =-，48a =，那么7a =〔 〕．A ．4-B ．4±C ．2-D ．2±【解答】解：由等比数列的性质可得，2174a a a =⋅，247164416a a a ===--，应选：A ．5．〔4分〕假设a ，b ，c 为实数，那么以下命题错误的选项是〔 〕．A ．假设22ac bc >，那么a b >B ．假设0a b <<，那么22a b <C ．假设0a b >>，那么11a b<D ．假设0a b <<，0c d >>，那么ac bd <【解答】解：对于A ：假设22ac bc >，那么a b >，故正确，对于B ：根据不等式的性质，假设0a b <<，那么22a b >，故B 错误， 对于C ：假设0a b >>，那么a bab ab>，即11b a >，故正确， 对于D ：假设0a b <<，0c d >>，那么ac bd <，故正确． 应选：B ．6．一个程度放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积为〔 〕A．12B．1 C．1+ D．2【解答】解：把直观图复原出面图形，如下图: ∴这个平面图形是直角梯形， 它的面积为:1(1122S =⨯+⨯2=应选：D ．11121+211+245°DA BC D ABCO y xxyO7．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，假设前n 项的和为1011，那么项数为〔 〕． A ．12 B ．11C ．10D ．9【解答】解：111(1)1n a n n n n ==-++，*()n ∈N ， 前n 项的和11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当1011n S =时解得10n =， 应选C ．8．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔 〕．2111正视图侧视图俯视图A ．1B ．32 C ．12 D ．34【解答】解：由中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积13(12)122S =⨯+⨯=，高1h =，故棱锥的体积1132V Sh ==，应选：C ．9．函数1()2(0,1)x f x a a a -=>≠-的图象恒过定点A ，假设点A 在一次函数1mx y n-=的图象上，其中0m >，0n >，那么12m n +的最小值为〔 〕． A ．4B ．5C ．6D．3+【解答】解：1()2x f x a --=恒经过点(1,1)A -， ∴1m n -=-，即1m n +=．∴1222233m n m n n mm n m n m n+++=+=+++≥〔当且仅当2n m m n =时取等号〕． 应选D ．10．在ABC △中，假设cos 1cos 2A bB a ==，c =ABC △的面积等于〔 〕． A ．1B ．2CD ．4【解答】解：解：∵cos cos A b B a =，由正弦定理可得：cos sin cos sin A BB A=， 即sin cos sin cos A A B B =，可得sin2sin2A B =，解得22A B =或者22πA B +=，即A B =或者π2C =． 又∵12b a =，∴π2C =， 在Rt ABC △中，由22220a b c +==，12b a =， 解得：4a =，2b =，那么ABC △的面积等于142ab =．应选：D ．11．公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，那么数列{}n a 的公差等于〔 〕．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设数列的公差为d 那么： 13513a d +=①，∵1a 、2a 、5a 成等比数列， ∴2111()(4)a d a a d +=+②， ①②联立求得2d =， 应选B ．12．定义算式⊗：(1)x y x y ⊗=-，假设不等式()()1x a x a -⊗+<对任意x 都成立，那么实数a 的取值范围是〔 〕．A ．11a -<<B ．02a <<C ．3122a -<<D ．1322a -<<【解答】解：∵(1)x y x y ⊗=-，∴假设不等式()()1x a x a -⊗+<对任意x 都成立， 那么()(1)10x a x a -⋅---<恒成立， 即2210x x a a --++-<恒成立，那么2214(1)4430a a a a ∆=+-=--<-恒成立，解得1322a -<<，应选D ．二、填空题：把答案填写上在答题卡相应题号后的横线上〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分〕 13．〔4分〕函数()f x =__________．〔用区间表示〕 【答案】(1,2] 【解答】解：由1101x --≥，得1101x x -+-≥，即201x x --≤，解得12x <≤．∴函数()f x =的定义域是(1,2]． 故答案为：(1,2]．14．〔4分〕在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，5423a S =+，6523a S =+，那么此数列的公比q 为__________． 【答案】3q =【解答】解：∵5423a S =+，6523a S =+， 假设1q =，那么111183103a a a a =+⎧⎨=+⎩，不符合题意，假设1q ≠，∴44115511(1)231(1)231a q a q q a q a q q ⎧-=⨯+⎪-⎪⎨-⎪=⨯+⎪-⎩， 两式相减整理可得，44112(1)(1)1a a q q q q q-=--， ∴211q-=-， ∴3q =， 故答案为：3．法二：∵5423a S =+，6523a S =+， 两式相减可得，655452()2a a s s a --==， 即653a a =， ∴3q =， 故答案为：3．15．如下图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一程度面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，30m CD =，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60︒，塔高AB 为__________．DABC【答案】【解答】解：在BCD △中，1801530135CBD ∠=︒-︒-︒=︒， 由正弦定理，得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，所以30sin30sin135BC ︒==︒．在Rt ABC △中，tan 60AB BC ACB =⋅∠=︒=． 所以塔高AB为．DABC16．〔4分〕向量(1,2)a x =-，(4,)b y =，假设a b ⊥，那么93x y +的最小值为__________． 【答案】6【解答】解：由0(1,2)(4,)022a b a b x y x y ⇒⋅=⇒-⋅=⇒+=⊥，那么293336x y x y +=+≥， 当且仅当233x y =，即12x =，1y =时获得等号．故答案为：6．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程及演算步骤〔本大题一一共5小题，一共56分〕 17．〔10分〕a ∈R ，解关于x 的不等式2()220x a x a +-+≥． 【解答】解：不等式2()220x a x a +-+≥． 因式分解：(2)()0x x a --≥，由方程：(2)()0x x a --=，可得12x =，2x a =． 当2a =时，得2(20)x -≥，不等式的解集为R ．当2a >时，得12x x <，不等式的解集为{2|x x ≤或者}x a ≥． 当2a <时，得12x x >，不等式的解集为{|x x a ≤或者2}x ≥．18．〔10分〕如图，圆内接四边形ABCD 中，22AD DC BC ===，3AB =． 〔1〕求角A 和BD ．〔2〕求四边形ABCD 的面积．CB AD【解答】解：〔1〕分别在ABD △与BCD △中，由余弦定理可得：22223223cos BD BAD =+⨯⨯⨯∠-，22221221cos BD BCD =+⨯⨯⨯∠-，又cos cos(π)cos BAD BCD BCD ∠=-∠=-∠．∴1cos 2BAD ∠=． ∴π3BAD ∠=． 21131272BD =-⨯=，解得BD ．〔2〕四边形ABCD的面积1π12π23sin 21sin 2323ABD BCD S S S =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=△△19．〔12分〕a b c >>且21ma b b c a c+---≥恒成立，务实数m 的最大值．【解答】解：法一：由题意，a b c >>，0a b p -=>，0b c q -=>，那么0a c p q -=+>，那么不等式转化为21mp q q p++≥， 21m p q q p ++≥不等式转化为2q p mqp q p ++≥， 可得：2223q pq p m pq++≥，即2333q p p q ++++≥p =时取等号〕 ∴实数m的最大值为3+法二：由题意，0a b ->，0b c ->，0a c ->， ∴21m a b b c a c +---≥转化为：2()a c a cm a b b c--+--≥．可得：2()a b b c a b b cm a b b c-+--+-+--≥．别离：2()213b c a ba b b c--++++--≥〔当且仅当())a b b c -=-时取等号〕 ∴实数m的最大值为3+20．〔12分〕正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6． 〔1〕求正四棱台的外表积． 〔2〕求正四棱台的体积． 【解答】解：如图，FH G EC 1D 1A 1B 1D ABC1111ABCD A B C D -为正四棱台，4AB =，1110A B =，16AA =．在等腰梯形11A B BA 中，过A 作11AE A B ⊥，可得110432A E -==，求得AE连接AC ，11A C，可得AC =，11AC = 过A 作11AG AC ⊥，可得1AG =∴AG = 〔1〕正四棱台的外表积2214104(410)1162S =++⨯+⨯+〔2〕111111003ABCD A B C D V -=⨯+=21．〔12分〕设数列{}n a 的前n 项和为221n S n =-，数列{}n b 的前n 项和为22n n Q b =-． 〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． 〔2〕设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【解答】解：〔1〕数列{}n a 的前n 项和为221n S n =-，∴2n ≥时，221212(1)142n n n a S S n n n -⎡⎤==--=⎣⎦----．1n =时，111a S ==．∴1,142,2n n a n n =⎧=⎨-⎩≥．数列{}n b 的前n 项和为22n n Q b =-．2n ≥时，1122n n Q b --=-，可得122n n n b b b --=，化为：12n n b b -=．1n =时，11122b Q b ==-，解得12b =．∴数列{}n b 是等比数列，首项与公比都为2． ∴2n n b =． 〔2〕nn na cb =， 1n =时，112c =，2n ≥时，1422122n n n n n c ---==．∴1n =时，1112T c ==． 2n ≥时，21135212222n n n T --=++++． 223111352321222222n n n n n T ---=+++++．∴22311114217111217212212422224212n n n n nn n T --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯+++-=+⨯- ⎪⎝⎭-． ∴1112322n n n T -+=-． 励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2020-2021西安铁一中分校高中必修一数学上期中第一次模拟试题(含答案)
2020-2021西安铁一中分校高中必修一数学上期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．函数2ln(1)y 34x x x +=--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．504．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．5．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±6．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,47．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b c D ．c a ＞c b10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<11．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．612．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-二、填空题13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是14．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 17．已知()21f x x -=，则()f x = ____.18．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.19．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．20．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．三、解答题21．设()4f x x x=-（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.22．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 23．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋142,a 4a Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？24．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．25．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-.(1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围. 26．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C3．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．4．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y xx =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．7．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.11．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.12．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
陕西省西安高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（ ） A ．30 B ．C ．D ．π12π6π3【答案】B【分析】根据扇形的面积公式求得结果. 【详解】已知扇形圆心角为30°，即，扇形半径为1， π6θ=所以扇形的面积.2111ππ1222612S lr r θ===⨯⨯=故选：B.2．已知向量，，若共线，则的值为（ ）()1,a x =- ()1,2b = ,a bx A ． B ． C ． D ．2-1-12【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求的值. x 【详解】因为，，共线，()1,a x =- ()1,2b = ,a b所以，所以， 1210x -⨯-⨯=2x =-故选：A.3．棣莫弗公式（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于2023cos isin 66ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可．【详解】由棣莫弗公式知， 2023ππ2023π2023πππcos isin cosisin cos 337πisin 337π666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1cos(π+isin(π+)i 662=+=复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限． ∴2023ππcos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故选：C ．4．函数的定义域为（ ）()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．B ．,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．D ．,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭,8x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得的定义域.()f x 【详解】由，解得，所以的定义域为.ππ2π42x k +≠+ππ28k x ≠+()f x ,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故选：C【点睛】本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题.5．在中，边上的点满足，设，，则（ ）ABC A BC D 2CD DB = AC a = AD b = AB =A ．B ．C ．D ．1233a b + 1322a b -+r r5322a b -3122a b -【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算表示出答案即可.【详解】由，得，∴，2CD DB = 32CB CD = ()33132222AB AC CD AC AD AC AC AD =+=+-=-+故选：B.6．已知（ ） ππ,sin 2cos 1,2sin cos 22βαβααβ-<-<-=+=sin β=A ．B ．CD 【答案】D【分析】根据，，两式平方相加得到，根据sin 2cos 1βα-=2sin cos αβ+=()54sin 3αβ+-=，得到代入求解. ππ22βα-<-<π6αβ=-2sin cos αβ+=【详解】因为，， sin 2cos 1βα-=2sin cos αβ+=所以两式平方相加得，()54sin 3αβ+-=即，()1sin 2αβ-=-又因为， ππ22βα-<-<所以，即，，π6αβ-=-π6βα=+π6αβ=-将代入， π6αβ=-2sin cos αβ+=得，2sin cos 6πββ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭cos cos βββ-+=所以. sin β=故选：D.7．在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四ABCD A B C D -''''4AB =E BC B F A D ''等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ） A 'C 'E FA B C D 252252+403+403【答案】C【分析】根据正方体的特征，作出过点，，的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可C 'E F 求得答案.【详解】设为的三等分点，靠近B 点，连接,并延长交延长线于P ， G AB GE DA 设为的三等分点，靠近点，连接,并延长交延长线于Q ，H A A 'A 'FH DA则∽，由于，故,GBE A GAP △481,,33BE GB AG ===2AP =同理求得,故两点重合，则,2AQ =,P Q 1023PG GE ===故，而，故,105533PE PG GE =+=+=5FC '==PE FC '=同理可得,即四边形为平行四边形，PF EC '=PEC F '连接,则五边形即为过点，，所作的正方体的截面，H G GHFC E 'C 'E F由题意可知 55,,3C F C E GE FH HG ''======故该截面的周长是， 554055333++++=故选：C8ABC 的边AB 、AC 上分别取M 、N 两点，沿线段MN 折叠三角形，使顶点A 正好落在边BC 上，则AM 的长度的最小值为（ ） A ．B ．C ．D14132【答案】C【解析】设，在三角形中，利用正弦定理求得的表达式，结合的,BAP AM MB x θ∠===BMP x θ取值范围，求得的最小值，也即是的长度的最小值. x AM 【详解】显然A ，P 两点关于折线MN 对称，连接MP ，图（2）中，可得AM ＝PM ，则有∠BAP ＝∠APM ， 设∠BAP ＝θ，∠BMP ＝∠BAP +∠APM ＝2θ， 再设AM ＝MP ＝x ，则有， MB x 在△ABC 中，∠APB ＝180°﹣∠ABP ﹣∠BAP ＝120°﹣θ， ∴∠BPM ＝120°﹣2θ， 又∠MBP ＝60°，在中，由正弦定理知，BMP A sin sin BM MPBPM MBP=∠∠，sin 60x =︒∴x =∵0°≤θ≤60°， ∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin （120°﹣2θ）＝1．此时x，且∠AME ＝75°．2==则AM 的最小值为． 2故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题.二、多选题9．设，是虚数单位，复数.则下列说法正确的是（ ） m ∈R i ()()22i z m m =++-A ．若为实数，则 z 2m =B ．若为纯虚数，则z 2m =-C ．当时，在复平面内对应的点为 1m =z ()3,1ZD ．的最小值为z 【答案】ABD【分析】利用复数为实数的充要条件、复数为纯虚数的充要条件、复数的几何意义、模的定义分别判断即可.【详解】若为实数，则虚部为0，即，故正确； z 2m =A 若为纯虚数，则实部为0，即，故正确；z 2m =-B 当时，，则在复平面内对应的点为，故错误；1m =3i z =-z ()3,1Z -C（当且仅当时取等号），故正确，z ==≥0m =D 故选:.ABD 10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（ ）A ．AB ⊥EFB ．AB 与CM 所成的角为60°C ．EF 与MN 是异面直线D ．MN CD //【答案】AC【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可. 【详解】还原正方体,以正方形为底面有NACF对选项A,因为∥,且有,故A 正确. AB CM CM EF ⊥AB EF ⊥对选项B,因为∥,所以B 错误. AB CM 对选项C,由图可得显然正确. 对选项D,,故D 错误. MN CD ⊥故选：AC11．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） ABC A A B C 、、a b c 、、A ．若为钝角三角形，则 ABC A 222a b c +>B ．若，则有两解30,4,3=︒==A b a ABC A C ．若为斜三角形，则 ABC A tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=D ．若为锐角三角形，则 ABC A sin sin cos cos A B A B +>+【答案】BCD【分析】利用余弦定理即可判断A ；利用正弦定理即可判断B ；由两角和的正切公式可判断C ；由为锐角三角形，可得，再根据正弦函数的单调性及诱导公式即可判断D. ABC A ππ022B A <-<<【详解】对于A ，若为钝角，则有，C 222cos 02a b c C ab +-=<则，故A 错误；222a b c +<对于B ，，则，如图：sin 4sin 302b A =︒=sin b A a b <<所以有两解，故B 正确； ABC A 对于C ，因为，tan tan tan()1tan tan B CB C B C++=-所以 tan tan tan()(1tan tan )B C B C B C +=+-因为， tan()tan(π)tan B C A A +=-=-所以，tan tan tan tan tan tan B C A B C A +=-所以，故C 正确； tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=对于D ，若为锐角三角形，则， ABC A π2A B +>故， ππ022B A <-<<则，πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭同理可得，sin cos B A >所以，故D 正确. sin sin cos cos A B A B +>+故选：BCD.12．已知函数，则（ ）π()cos (0,0)6f x x B B ωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭A ．若函数的图象关于直线对称，则的值可能为3()f x π3x =ωB ．若关于x 的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为()f x B =[0,]πω1114,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．若函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移B 个单位长度，得到的函数为奇函()f x π3()g x 数，则的最小值是1ωD ．若函数在区间上单调，则()f x π3π,44⎡⎤⎢⎣⎦12ω≤≤【答案】BC【分析】根据函数的对称轴代入得出判断A ，由根的个数可确定13()2k k ω=+∈Z 7ππ9ππ262ω≤-<，据此判断B ，平移后由函数为奇函数可得，可判断C ，特殊值检验可判断D. 31()k k ω=+∈Z 【详解】对于A ，因为函数的图象关于直线对称，所以，则()f x π3x =πππ()36k k ω-=∈Z ，因为，则的值不可能为3，故A 错误；13()2k k ω=+∈Z 0ω>ω对于B ，当时，，若在上恰有四个实根，则[0,π]x ∈πππ,π666x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x B =[0,π]x ∈，解得，故B 正确； 7ππ9ππ262ω≤-<111433ω≤<对于C ，由已知得，因为函数为奇函数，所以ππππ()cos cos 3636g x x x ωωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()g x ，即，因为，所以的最小值是1，故C 正确； ππππ()362k k ω+=+∈Z 31()k k ω=+∈Z 0ω>ω对于D ，当时，，因为，2ω=π()cos 2(0)6f x x B B ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，所以函数在区间上不单调，故D 错误．ππ4π2,633x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BC ．三、填空题13．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若ABO A B O '''1O A ''=，那么原三角形的周长是__________.ABO【答案】2+【分析】根据斜二测画法的规则，与 轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与 轴x x 'y 平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出 的长度，即可求出原三角形的周y ',OA OB 长.【详解】因为为以为斜边的等腰直角三角形，， A B O '''A O A ''1O A ''=所以， O B ''=根据直观图画出原图如下，则有，， OB O B ''==22OA O A ''==所以， AB ===那么原三角形周长是ABO 2OA OB AB ++=+故答案为：.2+14．已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为__________.（结果用坐()()1,2,4,3a b ==r r ab 标表示）【答案】.86,55⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先计算两个向量的夹角的余弦值，再根据投影向量定义计算向量 在向量 上的投影向a b量.【详解】因为，则， ()()1,2,4,3a b ==rr cos ,a b a b a b ⋅===⋅所以向量 在向量 上的投影向量为. a b()4,386cos ,=,555a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故答案为：.86,55⎛⎫⎪⎝⎭15．设复数z 满足，则的取值范围是_________.2i 2i 4z z++-=1i z --【答案】⎡⎣【分析】由复数的几何意义确定复数z 复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果. 【详解】设复数z 在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为，Z 1i +(1,1)P 由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点2i 2i 4z z ++-=Z ()0,2A ()0,2B -1i z --到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，Z ()1,1i z =1i z --2i z =-取最大值，最大值为，1i z --所以取值范围为. 1i z --⎡⎣故答案为：.⎡⎣16．如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为__________.【分析】小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球，作出小球运动到左侧与圆锥相切时的轴截面的图形，求出小球滚动形成的几何体的体积，再由容器的体积减去小球滚动形成的几何体的体积得出答案.【详解】小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球． 小球运动到左侧与圆锥相切时的轴截面的图形如图所示：由题意知：，则，， 30,1OAB OB ∠=︒=2OA =1AC OA OC =-=，2,cos301AD AE AD CE AE AC ==︒==-=小球滚动形成的圆柱的高为10217h =--=则小球滚动形成的几何体的体积为：，234π1(7π13V =⨯⨯++⨯=容器的体积为，221π110π110π3⨯⨯+⨯=则小球无法碰触到的空间部分的体积为. 10π．四、解答题17．已知向量，．(a = ()2,0b =- （1）求的坐标以及与之间的夹角；a b - a b - a （2）当时，求的取值范围． []1,1t ∈-a tb - 【答案】（1），；（2）. (a b -= 6π【分析】（1）本题首先可根据向量的坐标运算求出，然后根据即可得出结a b - ()cos a b a a b a θ-⋅=-⋅果；（2）本题可通过对进行平方即可得出结果.a tb - 【详解】（1）因为，，所以，(a = ()2,0b =- (a b -= 设与之间的夹角为，a b- a θ则 ()cos a b a a b a θ-⋅===-⋅ 因为，所以与之间的夹角为. []0,θπ∈a b - a 6π（2），()2222222444213a tb a ta b t b t t t -=-⋅+=++=++因为，所以，[]1,1t ∈-[]23,12a tb ∈-故的取值范围是.a tb - 18．若函数在一个周期内的图象如图所示.()sin (0,0π)y A x ωϕωϕ=+><<(1)写出函数的解析式；(2)求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动个单位后，得到函数的图象，求函数π3()y g x =在上的值域. ()y g x =π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1) ()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)的增区间为，，函数的值域为 ()f x 7πππ,π1212k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈()y g x =2⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据函数的图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可； A T ωϕ（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间，根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解.()y g x =【详解】（1）由图可知， 5πππ2,212122T A ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭则，所以， 2ππT ω==2ω=故，()()2sin 2f x x ϕ=+又，则， ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，即， ππ2π62k ϕ-+=+2π2π,Z 3k k ϕ=+∈又，所以， 0πϕ<<2π3ϕ=所以； ()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令，得， π2ππ2π22π232k x k -+≤+≤+7ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤-+∈所以的增区间为，， ()f x 7πππ,π1212k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈由题意， ()π2π2sin 22sin 233g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由，得，则， π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π4π2,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以函数在上的值域为. ()y g x =π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2⎡⎤⎣⎦19．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶，”现有“刍甍”如图所示，四边形EBCF 为矩形，，且.2224BC BE AE AG ====AG EF ∥(1)若O 是四边形EBCF 对角线的交点，求证：平面GCF ；//AO (2)若，且，求三棱锥的体积. AE EF ⊥23AEB π∠=A BEF -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取线段中点H ，连接，利用中位线定理得到且，证CF OH GH 、//AG OH AG OH =明四边形是平行四边形，得到，根据线面平行的判定即可证明；AOHG //AO HG（2）利用线面垂直的判定得到面，利用三角形面积公式求出EF ⊥ABE ABE S △代入计算即可求解.【详解】（1）在图中取线段中点H ，连接，如图所示： CF OH GH 、由题可知，四边形是矩形，且，EBCF 2CB EB =∴O 是线段与的中点，∴且， BF CE //OH BC 12OH BC =又且，而且. //AG EF 12AG EF =//EF BC EF BC =所以且，∴且， //AG BC 12AG BC =//AG OH AG OH =∴四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，∴平面AOHG //AO HG AO ⊄GCF HG ⊂GCF //AO .GCF （2）∵，面，，∴面，,EF AE EF BE ⊥⊥,AE BE ⊂ABE AE BE E =I EF ⊥ABE12π1sin 22232ABE S AE BE =⋅⋅=⨯⨯=△所以 11433A BEF F ABE ABE V V S EF --==⋅==△即三棱锥A BEF -20．在中，设角，，所对的边分别为，，，且ABC A A B C a b c ()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+(1)求；A(2)若为上的点，平分角，且，，求. D BC AD A 32c =AD =BD DC 【答案】(1)π3A =(2)12 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边整理得，再结合余弦定理222b c bc a +-=；（2）利用等面积，整理得，再由角平分线的性质222cos 2b c a A bc +-=ABC ABD ADC S S S =+A A A 3b =代入计算． BD c DC b=【详解】（1）因为，()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+所以由正弦定理可得：，整理得.()()()c b c a b a b -=-+222b c bc a +-=由余弦定理得： 2221cos 22b c a A bc +-==又因为所以0πA <<π3A =（2）由（1）知.π3A =又因为平分角，所以. AD A π6BAD CAD ∠=∠=由得. ABC ABD ADC S S S =+A A A 111sin sin sin 222bc A c AD BAD b AD CAD ∠∠=⋅+⋅.()AD b c =⋅+又因为，. 32c =AD =3b =再由角平分线的性质可知： 12BD c DC b ==21．如图，在四棱锥中，，，，，，P ABCD -//AB CD 1AB =3CD =2AP =DP =，平面，点M 是棱上的动点．60PAD ∠= AB ⊥PAD PC(1)证明：；AP DM ⊥(2)设，求当平面时的值． PM PCλ=//AP BDM λ【答案】(1)证明见解析(2)． 14【分析】（1）根据平面和推出，根据余弦定理计算推出，AB ⊥PAD //AB CD CD AP ⊥AP PD ⊥根据线面垂直的判定定理得到平面，从而可得；AP ⊥PCD AP DM ⊥（2）连，交于点N ，连，根据线面平行的性质定理推出，再根据三角形相似AC BD MN //AP MN 可求出结果.【详解】（1）证明：由于平面且，AB ⊥PAD //AB CD 所以平面，又平面，所以．CD ⊥PAD AP ⊂PAD CD AP ⊥由， 2222cos PD AP AD AP AD PAD =+-⋅∠得，即， 21124222AD AD =+-⨯⋅⨯2280AD AD --=解得或（舍），4=AD 2AD =-所以，即，22AD AP PD =+2AP PD ⊥又平面，，且，CD ⊂PCD PD ⊂PCD CD PD D = 所以平面，而平面，AP ⊥PCD DM ⊂PCD 因此．AP DM ⊥（2）连，交于点N ，连，AC BD MN因为平面，平面，平面平面，//AP BDM AP ⊂APC BDM APC MN =所以，故． //AP MN CM CN PM AN=在梯形中，根据与相似，可得， ABCD ABN A CDN △13AB AN CD NC ==所以，即当平面时的值为． 14PM AN PC AC λ===//AP BDM λ1422．定义在R 上的连续函数满足对任意 ，，()()f x g x 、x y ∈R 、()()()()()f x y f x g y f y g x +=+⋅.2()()()()(),(2)2[()]1g x y f x f y g x g y g x g x +=+=-(1)证明：；()()g x f x >(2)请判断的奇偶性；()()f x g x 、(3)若对于任意 ，不等式恒成立，求出m 的最大值.x R ∈(2)()6g x mg x ≥-【答案】(1)证明见解析(2) 为奇函数， 为偶函数()f x ()g x(3)【分析】（1）令 ，利用条件运算可以证明；x y =（2）运用（1）的结果，令 ，计算出 ，再令 ，对条件进行运算可以0,0x y ==()()0,0f g y x =-判断出 的奇偶性；()(),f x g x （3）运用条件 将不等式 转化为对勾函数，再用基本不等式()()2221g x gx =-()()26g x mg x ≥-可以求解.【详解】（1）令 ，则有 ，x y =()()()()()()2222,20f x f x g x g x f x g x ==+≥ ①② ，()20g x ≥因为 是任意的， ，由得x ()0g x ∴≥()()2221g x g x =- ，()()()()()2222221,1g x f x g x g x f x -=+=+， ； ()())()0,g x g x x f x ≥∴=≥ ()()g x f x ＞（2）令 ，由①②得 ，将 代入，0x y ==()()()0200f f g = ③0x =()()2221g x g x =-解得 或 （ ，舍去），代入③得 ； ()01g =()102g =-()0g x ≥ ()00f =令 ，则有 ， y x =-()()()()()()()()()()()()0001f x x f x g x f x g x f g x x f x f x g x g x g ⎧-=-+-==⎪⎨-=-+-==⎪⎩两式相加得 ，()()()()1f x g x f x g x +-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦由（1）的运算结果 ， 代入上式，得：()()221g x f x =+()()221g x f x =-，()()()()()()0f x g x f x g x g x f x +-+--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦由可知如果 ，则有 ，不可能，()()221g x f x =+()()f x g x =-01=所以 ， ，()()0f x g x +≠()()()()g x f x f x g x ∴-=-+-由于x 是任意的，必有 ，两式相加得()()()()g x f x g x f x +=---()()()()22,g x g x g x g x =-=- ， 是偶函数， ， 是奇函数；()g x ()()f x f x =--()f x （3）由于，不等式即为：()()2221g x g x =-()()26g x mg x ≥- ，由 ， 得()()()()22216,250g x mg x g x mg x -≥--+≥()()221g x f x =+()0g x ≥，()1g x ≥令 ，则不等式转化为 ，其中 ，()t x g =2250t mt -+≥1t ≥， ，当且仅当时等号成立，所以m 的最大值为 ； 52m t t ∴≤+52t t +≥ t =综上，m 的最大值为.【点睛】比较两个函数值的大小一般是用做差法，但是本题不行，需要利用条件巧妙推出； 推导函数的奇偶性，一般来说是先求出 ，如果 ，则必定不是奇函数，()0f ()00f ≠本题需要结合条件再巧妙利用“1”，作因式分解，再利用 与 的关系推出 的()g x ()f x ()(),f x g x 奇偶性；不等式求参数的最大值，用参数分离法比较直观，分离后的不等式显然可以用基本不等式来计算.。
陕西省西安市西铁分局铁中2020-2021学年高一数学理下学期期末试题含解析
陕西省西安市西铁分局铁中2020-2021学年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数在上为增函数，且，则使的的取值范围为（）．A．B．C．D．参考答案：D∵奇函数在为增函数，∴在为增函数，∵，∴，∴当，，当，，又，∴，∴当，，，当，，，综上，的取值范围为．故选．2. 计算机执行下面的程序，输出的结果是( )a=1b=3a=a+bb=b﹡aPRINT a，bENDA．1，3 B．4，9 C．4，12 D．4，8参考答案：略3. 如图所示，不能表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义可得，平行于y轴的直线和函数的图象至多有1个交点，结合所给的图形，可得结论．【解答】解：根据函数的定义可得，平行于y轴的直线和函数的图象至多有1个交点，结合所给的选项，只有D满足条件，故选：D．4. 如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3 B．6 C．D．参考答案：B【考点】平面图形的直观图．【分析】由斜二测画法的规则知其对应的平面图形是一个直角三角形，一个直角边为3，另一个直角边为4，故其面积易求【解答】解：由图形知，其平面图形为一个直角三角形，两个直角边的长度分别为3，4故其面积为×3×4=6故选B．【点评】本题考查平面图形的直观图，求解本题的关键是熟练掌握斜二测画法的规则，与x轴平行的线段长度不变，与y平行的线段其长度变为原来的一半，故还原时，与y轴平行的线段的长度需要变为直观图中的二倍．5. （5分）定义*=|a|×|b|sinθ，θ为与的夹角，已知点A（﹣3，2），点B（2，3），O 是坐标原点，则*等于（）A． 5 B．13 C．0 D．﹣2参考答案：B考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：新定义；平面向量及应用．分析：运用向量的坐标运算和向量的数量积的定义和坐标表示和向量的模，可得向量的夹角，再由新定义，计算即可得到所求值．解答：由点A（﹣3，2），点B（2，3），O是坐标原点，则=（﹣3，2），=（2，3），||==，||==，由=||?||cos＜，＞，即有﹣3×2+2×3=×cos＜，＞，即cos＜，＞=0，由0≤＜，＞≤π，则sin＜，＞=1，即有*=||?||sin＜，＞=××1=13．故选B．点评：本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，主要考查新定义*的理解和运用，运用同角的平方关系是解题的关键．6. 函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：B略7. 已知O是△ABC所在平面内一定点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．外心D．重心参考答案：B【考点】三角形五心；向量在几何中的应用；轨迹方程．【分析】可先根据数量积为零得出与λ（+）垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．【解答】解：∵∴即．又∵?（+）=﹣||+||=0∴与λ（+）垂直，即，∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心故选B．8. 函数y=4x-2x(x∈R)的值域是()A. (-∞，+∞)B.C.D. (0，+∞)参考答案：B略9. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ=（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：A【考点】9B：向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2， =，∴=，∴λ=，故选A．10. 已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且PA=5，，，则的长为．参考答案：10或11012. 如图是某算法的程序框图，当输入的值为5时，则其输出的结果是. 参考答案：略13. 当{a,0,—1}={4，b，0}时，a= ,b= .参考答案：4,-114. 若函数的图象关于点中心对称，则的最小值为参考答案：略15. 设集合M ={ 2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是________. 参考答案： 45略16. 若=﹣，则+cos 2a= ．参考答案：考点： 同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析： 已知等式整理求出tan α的值，原式利用同角三角函数间基本关系化简后，将tan α的值代入计算即可求出值．解答： 解：由=﹣整理得，tanα=2，∴原式=+=+=．故答案为：点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 17. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________.参考答案：【分析】根据三视图作出几何体的直观图即可求出表面积. 【详解】由三视图可得几何体的直观图如下：所以几何体的表面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查了三视图还原直观图以及求多面体的表面积，属于基础题.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
陕西高一高中数学期中考试带答案解析
陕西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.满足条件的所有集合A的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.下列各组中，函数与表示同一函数的一组是（）A．B．C．D．3.设集合, ，则是（）A．S B．T C．有限集D．4.如果二次函数在上是减函数，在上是增函数，则的最小值为（）A．-1B．1C．-2D．05.是偶函数，则f（-1）, f（）, f（）的大小关系为（）A．f（）＜f（）＜f（-1）B．f（-1）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（-1）D．f（-1）＜f（）＜f（）6.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（）A．（1，1．25）B．（1．25，1．5）C．（1．5，2）D．不能确定7.设是上的奇函数，，当时，，则等于（）A．0．5B．C．1．5D．8.若，则的大小关系是（）A．B．C．D．9.若，则的值为（）A．15B．20C．25D．3010.函数的图象大致是（）二、填空题1.函数的定义域是．2.方程有个根．3.若幂函数的图象过点，则．4.已知函数，且则．三、解答题1.设全集为R，，，．（1）求及（2）若，求实数的取值范围．2.计算：（1）（2）3.一种水果自某日上市起的300天内，市场售价与上市时间的关系种植成本与时间的函数关系为若认定市场售价减去种植成本为纯收益并用h（t）表示．（1）写出函数h（t）的解析式；（2）问何时上市的这种水果纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）4.已知函数，（1）证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）求函数f（x）的值域（3）令g（x）＝，判定函数g（x）的奇偶性，并证明5.设函数f（x）对任意x,y，都有，且时，f（x）＜0，f（1）=－2．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）试问在时，f（x）是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由．陕西高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.满足条件的所有集合A的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】满足题意的集合A可以为，共4个【考点】集合的子集2.下列各组中，函数与表示同一函数的一组是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A中函数定义域不同；B中函数对应关系不同；C中函数定义域不同；D中函数定义域，对应关系相同，是同一函数【考点】函数同一函数的判定3.设集合, ，则是（）A．S B．T C．有限集D．【答案】A【解析】【考点】1．函数值域；2．集合的交集运算4.如果二次函数在上是减函数，在上是增函数，则的最小值为（）A．-1B．1C．-2D．0【答案】D【解析】由题意可知二次函数对称轴为，最小值为0【考点】二次函数单调性与最值5.是偶函数，则f（-1）, f（）, f（）的大小关系为（）A．f（）＜f（）＜f（-1）B．f（-1）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（-1）D．f（-1）＜f（）＜f（）【答案】A【解析】函数是偶函数，集合函数图像有f（）＜f（）＜f（-1）【考点】函数单调性奇偶性6.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（）A．（1，1．25）B．（1．25，1．5）C．（1．5，2）D．不能确定【解析】，所以函数零点在区间（1．25，1．5）上，即方程的根在区间（1．25，1．5）上【考点】二分法求函数零点7.设是上的奇函数，，当时，，则等于（）A．0．5B．C．1．5D．【答案】B【解析】由可知函数周期为4【考点】函数奇偶性单调性求函数值8.若，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以有【考点】比较大小9.若，则的值为（）A．15B．20C．25D．30【答案】D【解析】【考点】对数式指数式运算10.函数的图象大致是（）【答案】D【解析】，因此图像为D项【考点】分段函数及函数图像二、填空题1.函数的定义域是．【答案】【解析】要使函数有意义需满足，解不等式组得定义域为【考点】函数定义域2.方程有个根．【解析】方程的根的个数可转化为函数与的交点的个数，分别作出两函数图像，观察图像可得有2个交点，因此方程有2个根【考点】1．函数与方程的转化；2．数形结合法3.若幂函数的图象过点，则．【答案】【解析】设【考点】幂函数及求值4.已知函数，且则．【答案】【解析】，函数值具有周期性，周期为5．【考点】1．分段函数求值；2．函数周期性三、解答题1.设全集为R，，，．（1）求及（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】两集合的交集为两集合的相同元素构成的集合，并集为两集合所有的元素构成的集合，其补集为在全集中但不在并集中的元素构成的集合，集合交集为空集即没有相同元素，求解时分两种情况试题解析：（1）=∵∴=（2）当时，则有当，则有或且得或综上或【考点】集合的交并补运算2.计算：（1）（2）【答案】（1）110（2）52【解析】指数式运算时将根式转化为分数指数幂后进行运算，对数式运算主要运用化简试题解析：（1）=110（2）=52【考点】指数式对数式运算3.一种水果自某日上市起的300天内，市场售价与上市时间的关系种植成本与时间的函数关系为若认定市场售价减去种植成本为纯收益并用h （t ）表示．（1）写出函数h （t ）的解析式；（2）问何时上市的这种水果纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天） 【答案】（1）；（2）第50天时，这种水果的纯收益最大【解析】由纯收益=收入-成本，结合从二月一日起的300天内，草莓市场售价P 与上市时间t 满足关系，西红柿的种植成本Q 与上市时间t 满足关系，易得到纯收益h （t ）的解析式，根据分段函数分段处理的原则，分别求出两段上函数的最值，综合讨论结果，即可得到结论 试题解析：（1）由题意得h （t ）=f （t ）﹣g （t ）， 即（2）据（1）当0≤t≤200时，配方整理得h （t ）=．所以，当t=50时，h （t ）取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h （t ）=，所以，当t=300时，h （t ）取得区间（200，300）上的最大值87．5综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50， 即 从上市之日开始的第50天时，这种水果的纯收益最大． 【考点】函数模型的选择与应用4.已知函数，（1） 证明：函数f （x ）是R 上的增函数； （2） 求函数f （x ）的值域 （3） 令g （x ）＝，判定函数g （x ）的奇偶性，并证明【答案】（1）详见解析；（2）（－1,1）；（3）偶函数【解析】（1）证明函数单调性一般采用定义法，在定义域内任取，计算的值，若函数为增函数，若函数为减函数；（2）结合函数单调性即可求得函数值域；（3）判断函数奇偶性时在定义域对称的基础上判断是否成立试题解析：（1） 证明：设x 1，x 2是R 内任意两个值，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， f （x 1）－f （x 2）＝－＝，当x 1＜＜x 2时，∵ ＜， ∴ ＜0． 又∵＋1＞0, ∵ ＋1＞0， ∴ f （x 1）－f （x 2） ＜0． ∴f （x ）是R 上的增函数； （2） f （x ）＝＝1－，∵2x ＋1＞1，∴0＜＜2，即－2＜－＜0，∴－1＜1－＜1． ∴f （x ）的值域为（－1,1）；（3）由题意知g（x）＝＝·x，易知函数g（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），g（－x）＝（－x）·＝（－x）·＝x·＝g（x），∴函数g（x）为偶函数．【考点】1．函数奇偶性单调性；2．函数值域5.设函数f（x）对任意x,y，都有，且时，f（x）＜0，f（1）=－2．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）试问在时，f（x）是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由．【答案】（1）详见解析；（2）最大值为6，最小值为－６【解析】（1）令x=y=0，代入题中关系式解出f（0）=0，再令y=-x，证出f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，得到f （-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数；（2）设可得，从而证出，所以y=f（x）在R上为减函数．再取x=y=1，算出f（3）=3f（1）=-6且f（-3）=-f（3）=6，可得函数的最大值最小值试题解析：（1）证明：令x=y=0，则有．得令y=－x，则有．即，是奇函数．（2）任取，则＞0 从而＜0且．．在R上为减函数．故为函数的最小值，为函数的最大值．，，函数最大值为6，最小值为－６．【考点】1．抽象函数及其应用；2．奇偶性与单调性的综合。
2021年高一下学期期中考试数学试卷+答案
2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。
陕西省西安市铁一中学高一数学下学期期中试题 理(含解
2016-2017学年陕西省西安市铁一中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．已知集合{}1|3M x x -=<<，{}223|0N x x x =+-<，则集合MN 等于（ ）． A ．{}1|3x x -<<B ．{}3|1x x -<<C ．{}1|1x x -<<D ．{}3|3x x -<<【解答】解：∵集合{}1|3M x x -=<<，{}{}223031||N x x x x x =+-<<-=<，∴集合{}11|MN x x -=<<．故选：C ．2．如图所示，在三棱台A B C ABC '''-中，沿A BC '截去三棱锥A ABC '-，则剩余的部分是（ ）．CBAA'B'C'A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．组合体 【解答】解：如图所示，三棱台A B C ABC '''-中，沿A BC '截去三棱锥A ABC '-， 剩余部分是四棱锥A BCC B '''-． 故选：B ．BA'B'C'C3．在ABC △中，π3A =，ab C =（ ）． A ．π4 B ．π2 C ．7π12 D ．5π12【解答】解：由60A =︒，a b >=， 则A B >． 由正弦定理sin sin a bA B=，，得：sin B = ∵A B >， ∴π4B =． 则ππ5ππ4312C =--=， 故选：D ．4．在等比数列{}n a 中，116a =-，48a =，则7a =（ ）．A ．4-B ．4±C ．2-D ．2±【解答】解：由等比数列的性质可得，2174a a a =⋅，247164416a a a ===--，故选：A ．5．（4分）若a ，b ，c 为实数，则下列命题错误的是（ ）．A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0a b <<，则22a b <C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<，0c d >>，则ac bd <【解答】解：对于A ：若22ac bc >，则a b >，故正确，对于B ：根据不等式的性质，若0a b <<，则22a b >，故B 错误， 对于C ：若0a b >>，则a bab ab>，即11b a >，故正确， 对于D ：若0a b <<，0c d >>，则ac bd <，故正确． 故选：B ．6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（ ）A．12B．1 C．1+ D．2【解答】解：把直观图还原出原平面图形，如图所示: ∴这个平面图形是直角梯形， 它的面积为:1(1122S =⨯+⨯2=故选：D ．7．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）． A ．12 B ．11C ．10D ．9【解答】解：111(1)1n a n n n n ==-++，*()n ∈N ， 前n 项的和11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1011n S =时解得10n =， 故选C ．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．2111正视图侧视图俯视图A ．1B ．32 C ．12 D ．34【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积13(12)122S =⨯+⨯=，高1h =，故棱锥的体积1132V Sh ==，故选：C ．9．函数1()2(0,1)x f x a a a -=>≠-的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数1mx y n-=的图象上，其中0m >，0n >，则12m n +的最小值为（ ）． A ．4B ．5C ．6D．3+【解答】解：1()2x f x a --=恒经过点(1,1)A -， ∴1m n -=-，即1m n +=．∴1222233m n m n n mm n m n m n+++=+=+++≥（当且仅当2n m m n =时取等号）． 故选D ．10．在ABC △中，若cos 1cos 2A bB a ==，c =ABC △的面积等于（ ）．A ．1B ．2CD ．4【解答】解：解：∵cos cos A b B a =，由正弦定理可得：cos sin cos sin A BB A=， 即sin cos sin cos A A B B =，可得sin2sin2A B =，解得22A B =或22πA B +=， 即A B =或π2C =． 又∵12b a =，∴π2C =， 在Rt ABC △中，由22220a b c +==，12b a =， 解得：4a =，2b =，则ABC △的面积等于142ab =．故选：D ．11．公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设数列的公差为d 则： 13513a d +=①，∵1a 、2a 、5a 成等比数列， ∴2111()(4)a d a a d +=+②， ①②联立求得2d =， 故选B ．12．定义算式⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．11a -<<B ．02a <<C ．3122a -<<D ．1322a -<<【解答】解：∵(1)x y x y ⊗=-，∴若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意x 都成立， 则()(1)10x a x a -⋅---<恒成立， 即2210x x a a --++-<恒成立，则2214(1)4430a a a a ∆=+-=--<-恒成立，解得1322a -<<，故选D ．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）函数()f x =__________．（用区间表示） 【答案】(1,2] 【解答】解：由1101x --≥，得1101x x -+-≥，即201x x --≤，解得12x <≤．∴函数()f x =的定义域是(1,2]． 故答案为：(1,2]．14．（4分）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为__________． 【答案】3q =【解答】解：∵5423a S =+，6523a S =+， 若1q =，则111183103a a a a =+⎧⎨=+⎩，不符合题意，若1q ≠，∴44115511(1)231(1)231a q a q q a q a q q ⎧-=⨯+⎪-⎪⎨-⎪=⨯+⎪-⎩， 两式相减整理可得，44112(1)(1)1a a q q q q q-=--， ∴211q-=-， ∴3q =， 故答案为：3．法二：∵5423a S =+，6523a S =+， 两式相减可得，655452()2a a s s a --==， 即653a a =，∴3q =， 故答案为：3．15．如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，30m CD =，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60︒，塔高AB 为__________．DABC【答案】【解答】解：在BCD △中，1801530135CBD ∠=︒-︒-︒=︒， 由正弦定理，得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，所以30sin30sin135BC ︒==︒．在Rt ABC △中，tan 60AB BC ACB =⋅∠=︒=． 所以塔高AB为．ABC16．（4分）已知向量(1,2)a x =-，(4,)b y =，若a b ⊥，则93x y +的最小值为__________． 【答案】6【解答】解：由已知0(1,2)(4,)022a b a b x y x y ⇒⋅=⇒-⋅=⇒+=⊥，则293336x y x y +=+=≥， 当且仅当233x y =，即12x =，1y =时取得等号． 故答案为：6．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共5小题，共56分） 17．（10分）已知a ∈R ，解关于x 的不等式2()220x a x a +-+≥． 【解答】解：不等式2()220x a x a +-+≥． 因式分解：(2)()0x x a --≥，由方程：(2)()0x x a --=，可得12x =，2x a =． 当2a =时，得2(20)x -≥，不等式的解集为R ．当2a >时，得12x x <，不等式的解集为{2|x x ≤或}x a ≥． 当2a <时，得12x x >，不等式的解集为{|x x a ≤或2}x ≥．18．（10分）如图，圆内接四边形ABCD 中，22AD DC BC ===，3AB =． （1）求角A 和BD ．（2）求四边形ABCD 的面积．【解答】解：（1）分别在ABD △与BCD △中，由余弦定理可得：22223223c o sB D B A D =+⨯⨯⨯∠-， 22221221cos BD BCD =+⨯⨯⨯∠-，又cos cos(π)cos BAD BCD BCD ∠=-∠=-∠．∴1cos 2BAD ∠=． ∴π3BAD ∠=． 21131272BD =-⨯=，解得BD ．（2）四边形ABCD 的面积1π12π23sin 21sin 2323ABD BCD S S S =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=△△19．（12分）已知a b c >>且21ma b b c a c+---≥恒成立，求实数m 的最大值． 【解答】解：法一：由题意，a b c >>，0a b p -=>，0b c q -=>，则0a c p q -=+>，那么不等式转化为21mp q q p++≥， 21m p q q p ++≥不等式转化为2q p mqp q p ++≥， 可得：2223q pq p m pq++≥，即2333q p p q ++++≥p =时取等号）∴实数m 的最大值为3+法二：由题意，0a b ->，0b c ->，0a c ->， ∴21m a b b c a c +---≥转化为：2()a c a cm a b b c--+--≥．可得：2()a b b c a b b cm a b b c-+--+-+--≥．分离：2()213b c a ba b b c--++++--≥（当且仅当())a b b c --时取等号）∴实数m 的最大值为3+20．（12分）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6． （1）求正四棱台的表面积． （2）求正四棱台的体积． 【解答】解：如图，FH G EC 1D 1A 1B 1D ABC1111ABCD A B C D -为正四棱台，4AB =，1110A B =，16AA =．在等腰梯形11A B BA 中，过A 作11AE A B ⊥，可得110432A E -==，求得AE 连接AC ，11A C，可得AC =，11AC = 过A 作11AG AC ⊥，可得1AG =∴AG = （1）正四棱台的表面积2214104(410)1162S =++⨯+⨯+（2）111111003ABCD A B C D V -=⨯+=．21．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为221n S n =-，数列{}n b 的前n 项和为22n n Q b =-． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． （2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为221n S n =-，∴2n ≥时，221212(1)142n n n a S S n n n -⎡⎤==--=⎣⎦----．1n =时，111a S ==．∴1,142,2n n a n n =⎧=⎨-⎩≥．数列{}n b 的前n 项和为22n n Q b =-．2n ≥时，1122n n Q b --=-，可得122n n n b b b --=，化为：12n n b b -=． 1n =时，11122b Q b ==-，解得12b =．- 11 - ∴数列{}n b 是等比数列，首项与公比都为2．∴2n n b =．（2）n n na cb =，1n =时，112c =，2n ≥时，1422122n n n n n c ---==． ∴1n =时，1112T c ==． 2n ≥时，21135212222n n n T --=++++． 223111352321222222n n n n n T ---=+++++．∴22311114217111217212212422224212n n n n n n n T --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭--⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯+++-=+⨯- ⎪⎝⎭-．∴1112322n n n T -+=-．。
2020-2021学年度第二学期期中考试高一数学试卷含详解
高一数学
一、选择题（共 12 小题）
1.等差数列{an}中， a3 3 ， a2 a10 18 ，则数列{an}的公差为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.已知 △ABC 中， a 2 ， b 3 ， B 60 ，那么角 A 等于（ ）
A．135
c
，则
a
c
D．若
a
/
/b
，
b
/
/c
，则
a
/
/c
5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d ，且满足 a1 0 ， S11 S18 ，则对 Sn 描述
正确的有（ ）
A. S14 是唯一最小值
B. S15 是最小值
C. S29 0
D. S15 是唯一最大值
6.为了测量某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 40m 的楼顶处测得塔底 A 的俯角为
第 3页（共 7页）
21.设各项为正数的数列 an的前 n 和为 Sn ,且 Sn 满足: Sn2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0, n N .等
比数列 bn满足：
log 2
bn
1 2
an
0
.
(Ⅰ)求数列 an, bn的通项公式;
(Ⅱ)设 cn an bn ，求数列 cn的前 n 项的和 Tn ；
A．
PA
1
BA
2
BC
C．
PA
3 1
BA
3 2
BC
33
B．
PA
2
BA
1
BC
D．
PA
3 2
陕西高一高中数学期中考试带答案解析
陕西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.要了解一批产品的质量，从中抽取200个产品进行检测，则这200个产品的质量是（）A．总体B．总体的一个样本C．个体D．样本容量2.= （）A．B．C．D．3.将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是 ( )A．B．C．D．4.函数的一个单调递增区间为( )A．B．C．D．5.有一堆形状大小相同的珠子,其中只有一粒质量比其他的轻,某同学经过思考,认为根据科学的算法,利用天平(不用砝码),二次称量肯定能找到这粒质量较轻的珠子,则这堆珠子最多有( )粒A．6B．7C．9D．126.函数+5是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数7..若A与B是互斥事件，其发生的概率分别为，则A、B同时发生的概率为（）A. B. C. D. 08.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为( )A．B．C．D．第8题9.某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为m的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）80m Ｂ．100m Ｃ．40m Ｄ．50m10.若为锐角且，则的值为（）A B C D11.某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平（千元）与居民人均消费水平（千元）统计调查，与具有相关关系，回归方程为．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83%B．72%C．67%D．66%12.图l是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：)在[150，155)内的学生人数)图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图现要统计身高在160～180(含160，不含180)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A B C D二、填空题1.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是2.与设是定义域为，最小正周期为的函数，若则等于____________3.终边相同的最小正角是_______________4.= ___________．三、解答题1.（8分）化简：。
陕西高一高中数学期中考试带答案解析
陕西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集）等于（）A．{2，5}B．{1，3，5}C．{2，4，5}D．{2，4，6}2.已知集合，则下列式子表示正确的有（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个3.若能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）像的集合就是集合B.A．1个B．2个C．3个D．4个4.函数的值域是( )A．B．C．D．5.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点( ）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度6.如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围（）A．B．C．D．7.已知函数f(x)=的定义域是,则m的取值范围是( )A．0<m≤4B．0≤m≤1C．m≥4D．0≤m≤4 8.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）9.若（）A．B．C．D．10.函数上的最大值与最小值的和为3，则（）A．B．2C．4D．11.下列函数中，在上为增函数的是（）A．B．C．D．12.已知偶函数在区间单调增加,则满足＜的x 取值范围是( )A．（，）B．［，］C．（，）D．［，］二、填空题1.函数的定义域为 .2.设的大小关系为_________________.3.若一次函数有一个零点2，那么函数的零点是 .4.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为三、解答题1.（8分）求值：2.（12分）已知集合，为函数的定义域，若，求实数的取值范围。
陕西省西安市高一下学期期中数学试题(解析版)
高一下学期期中数学试题一、单选题1．欧拉公式（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的i e cos isin x x x =+定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，已知为纯虚i e a 数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） sin 2i1ia ++A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】根据欧拉公式结合纯虚数的定义求出，再根据复数的除法运算结合复数的几何意义即可a 得解.【详解】由题意，i e cos i sin a a a =+⋅因为为纯虚数，所以，所以，ie a cos 0sin 0a a =⎧⎨≠⎩ππ,Z 2a k k =+∈则， ()()()i 1i sin 2i sin πi i 11i 1i 1i 1i 1i 1i 22a -++====+++++-所以复数在复平面内对应的点位于第一象限. sin 2i1ia ++故选：A.2．已知向量满足：，则与夹角的大小为（ ）,a b a b a b -=+ a bA ．B ．C ．D ．30 45 60 90 【答案】D【分析】已知条件式两边平方，结合向量的运算可得，即可得出答案.0a b ⋅=【详解】由，得，即，a b a b -=+ ()()22a ba b -=+222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅ 所以，则，0a b ⋅= a b ⊥ 则与夹角的大小为.a b90 故选：D.3．如图为水平放置的直观图，其中，，那么原的面积是ABC 1B O C O ''''==A O ''=ABC （ ）A B ．C D ．2【答案】A【分析】根据直观图与原图之间的关系，得出原图中的底和高即可求得其面积. ABC 【详解】由图可知，原图，且，2BC B C ''==AO BC ⊥的面积2AO A O ''==ABC 12S BC AO == 故选：A.4．在中，若，则该三角形的形状是( ) ABC lg sin lg cos lg sin lg 2A B C --=A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用对数的运算法则可求得，利用正弦定理求得 ,根据余弦定理求得sin 2cos sin AB C=⋅cos B 的表达式进而建立等式，整理求得,判断出三角形为等腰三角形. cos B b c =【详解】，lg sin lg cos lg sin lg 2A B C --= ,sin 2cos sin AB C∴=⋅由正弦定理可得， sin sin a cA C=， sin ,cos sin 2A a aB C c c∴=∴=， 222cos 22a c b aB ac c +-∴==整理得，22,c b c b ==的形状是等腰三角形，故选A.ABC ∆∴【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5．已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（ ） S ABC -6πS ABC -A ．1BC D ．2【答案】D【分析】先求出外接球的半径，然后设正四面体的边长为，然后求出四面体的高，进行计算即a 可．【详解】解：正四面体的外接球表面积为，S ABC -6π，解得（负值舍去）， 24π6πR ∴=R =设四面体的棱长为，取的中点，连接，a BC E AE 设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在S ABC D D ABC SD SD 上，设为，连接，O AO则，， AE =23AD AE =则， SD ==所以 OD SD SO =-=在直角中，，即， AOD △222AO AD OD =+222⎫=+⎪⎪⎭即，得，得（舍或. 22636624994a a a =+-+220a a -=0a =)2a =故选：D6．在三角形ABC 中，D 是BC 上靠近点C 的三等分点，E 为AD 中点，若，则BE x AB y AC =+（ ）x =A ．B ．C ．D ．2345-56-67【答案】A【分析】根据平面向量的基本定理和线性运算即可求解.【详解】解：已知D 是BC 上靠近点C 的三等分点，所以， 1233AD AB AC =+ 又E 为AD 中点，所以，1111122122223333BE AB AD AB AB AC AB AC ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭所以， 23x =故选：A.7．在正方体中，，E 为棱的中点，则平面截正方体1111ABCD A B C D -2AB =1BB 1AED 的截面面积为（ ）1111ABCD A B C D -A ．B ．C ．4D ．527292【答案】D【分析】先作出平面截正方体的截面，再求出截面的高，由梯形面积公式得1AED 1111ABCD A B C D -出截面面积.【详解】取的中点为M ，连接EM ，，则，且，则．又11B C 1MD 1EM BC ∥112EM BC =1EM AD∥正方体中，，所以2AB =1MD AE ===11BC AD ==112EM BC ==所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为1AED 1111ABCD A B C D -1EMD A ．h ==()11922S AD EM h =+⋅=故选：D ．8．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭x ，与轴的交点为，最高点，且满足，则（ ） 5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭y N ()1,P A MN NP ⊥()0f =A ．B ． CD121【答案】C【分析】根据图象可求得最小正周期，由此可得，结合五点作图法可求得，将代入解析式ωϕ0x =可求得点坐标，根据垂直关系可构造方程求得的值，进而得到.N A ()0f 【详解】由图象可知：最小正周期，， ()f x 54162T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2ππ3T ω∴==由五点作图法可知：，解得：，()π52ππ32k k ϕ⨯+=+∈Z ()π2π6k k ϕ=+∈Z 又，，，，π2ϕ<π6ϕ∴=()ππsin 36f x A x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭()π0sin 62A f A ∴==即，，， 0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭5,22A MN ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 1,2A NP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，又，MN NP ⊥ 25024A MN NP ∴⋅=-+= 210A ∴=0A >. A ∴=()02A f ∴=故选：C.二、多选题9．已知复数，则下列说法正确的是（ ） 1i z =+A ．的虚部是 B ．的共轭复数是 z i z 1i -C ．D ．i zz=2z z z ⋅=【答案】BD【分析】根据复数的定义判断A ，根据共轭复数的定义判断B ，根据复数代数形式的运算法则判断C 、D.【详解】复数的虚部为，故A 错误；1i z =+1的共轭复数是，故B 正确；z 1i z =-，故C 错误； ()()()21i 1ii 1i 1i 1i z z --===-++-因为，，所以，故D 正确；()()1i 1i 2z z ⋅=+-=222z ==2z z z ⋅=故选：BD10．下列关于向量的命题正确的是（ ） A ．非零向量，满足，则,,a b c , ∥∥a b b c a c∥B ．向量共线的充要条件是存在实数，使得成立,a b λb a λ=C ．在中，，该三角形有两个解ABC 18,20,60b c B === D ．若，为锐角，则实数的范围是 ()()3,1,2,AB AC m == BAC ∠m ()6,-+∞【答案】AC【分析】对于A ，利用向量共线的定义即可求解； 对于B ，利用共线的充要条件即可求解； 对于C ，利用正弦定理解三角形即可求解；对于D ，利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.【详解】对于A ，若非零向量，满足，则，故A 正确； ,,a b c , ∥∥a b b c a c∥对于B ，若向量为零向量，不是零向量时，它们共线，a b但不存在实数λ，使得成立，故B 错误；b a λ=对于C ，在中，，由正弦定理得，ABC 18,20,60b c B ===()sin sin 0,1c BC b===C 正确； sin sin C B =>=对于D ，因为，为锐角，所以，且，解()()3,1,2,AB AC m == BAC ∠06AB AC m ⋅=+>320m -≠得，且，所以实数的范围是，故D 错误.6m >-23m ≠m 226,,33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-∞⎭+故选：AC.11．在△ABC 中，若，下列结论中正确的有（ ） ::4:5:6a b c =A ． B ．△ABC 是钝角三角形sin :sin :sin 4:5:6B A C =C ．△ABC 中最大角是最小角的2倍D ．若，则△ABC 6c =【答案】ACD【分析】利用正弦定理结合已知可判断选项A ；利用余弦定理结合已知计算可判断选项B ；利用余弦定理结合二倍角公式计算可判断选项C ；先求出，再借助正弦定理计算即可判断D.sin C【详解】根据正弦定理由，因此选项A 正确； ::4:5:6sin :sin :sin 4:5:6a b c A B C =⇒=设，所以为最大角，4,5,6,0a k b k c k k ===>C ，所以为锐角，2222221625361cos 022458a b c k k k C ab k k +-+-===>⋅⋅C 因此是锐角三角形，因此选项B 不正确； ABC △ABC 中最大角为，最小角为，C A ，显然为锐角，2222222536163cos 22564b c a k k k A bc k k +-+-===⋅⋅A ，23cos 2cos 1cos cos 224C C C A =-⇒====因此有，因此选项C 正确； 22CA C A =⇒=由1cos sin 8C C =⇒===外接圆的半径为：D 正确，ABC 112sin 2c C ⋅==故选：ACD.12．已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到()21,04ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩()()R f x k k =∈大依次记为，，，，则（ ） 1x 2x 3x 4x A ．B ．C ．D ．104k <<23e e x <<121x x +=-21234e 04x x x x <<【答案】ACD【分析】将方程的实数解个数问题转换为两个函数的交点问题，即可求出的取值范围，并得到k 1x ，，，之间的关系，其中，是方程的实数根，根据二元一次方程和韦达2x 3x 4x 1x 2x 214x x k ++=定理即可找到关系；，满足等式.3x 4x ()34ln 1ln 1x x --=-【详解】当时，，在单调递减， ，在0x <()214f x x x =++1,2x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦()[)0,f x ∈+∞单调递增，； 1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10,4f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时，，在单调递减，，在0x >()1ln ,0e ln 1ln 1,e x x f x x x x -<≤⎧=-=⎨->⎩(]0,e x ∈()[)0,f x ∈+∞单调递增，，()e,x ∈+∞()()0,f x ∞∈+若有四个不同的实数解，则，故A 正确； ()()R f x k k =∈104k <<因为，所以，，所以104k <<()104f x <<(]30,e x ∈34333110ln 1ln 10e e44x x x <-<⇒-<-<⇒<<，故B 错误；因为，根据韦达定理可知在方程中，故C 正确； ()12,,10x x ∈-2104x x k ++-=121x x +=-，， ()2343434ln 1ln 1ln 1ln 1e x x x x x x -=-⇒--=-⇒=12110,44x x k ⎛⎫⋅=-∈ ⎪⎝⎭所以，D 正确.21234e 04x x x x <<故选：ACD三、填空题13．已知向量,则___________． (2,1),(,3),AB AC t AB AC =-=⊥t =【答案】##1.5 32【分析】根据数量积的坐标运算和垂直关系即可得到结果.【详解】因为, (2,1),(,3),AB AC t AB AC =-=⊥所以, 230AB AC t ⋅=-=解得. 32t =故答案为:. 3214．已知，且，为虚数单位，则的最大值是__． C z ∈i 3z +=i 33i z --【答案】8【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可. z (0,1)-【详解】解：因为且，C z ∈i 3z +=所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆， z (0,1)-所以，表示圆上的点和点的距离， 33i z --(3,3)因为圆心到点，(0,1)-(3,3)5=，max 35833i z =-+-=故答案为：815．如图，在棱长为1的正方体中，点 E ，F 分别是棱BC ，的中点，P 是侧1111ABCD A B C D -1CC 面内一点（包含边界），若 平面AEF ，则线段长度的取值范围是 _________ .11BCC B 1//A P 1A P【答案】 【分析】分别取棱的中点，通过证明平面可得必在线段上，进111,BB B C ,M N 1//A MN AEF P MN 而可求得长度的取值范围.1A P 【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，111,BB B C ,M N MN 1BC因为为所在棱的中点，所以，所以， ,,,M N E F 11//,//MN BC EF BC //MN EF 又平面平面，所以平面；MN ⊄,AEF EF ⊂AEF //MN AEF因为，所以四边形为平行四边形，11//,AA NE AA NE =1AENA 所以，又平面，平面，所以平面， 1//A N AE 1A N ⊄AEF AE ⊂AEF 1//A N AEF 又，所以平面，1A N MN N = 1//A MN AEF 因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，P 11BCC B 1//A P AEF P MN在直角中，11A B M 1A M ===同理，在直角中，求得为等腰三角形， 11A B N 1A N =AMN 当在中点时，，此时最短，位于处时最长，P MN O 1A P MN ⊥1A P P ,M N 1A P， 1A O ==11A M A N ==所以线段长度的取值范围是. 1A P故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是取棱的中点，得111,BB B C ,M N 出点必在线段上，从而将问题转化为在中.P MN AMN 16．在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在ABC ,,A B C ,,a b c 22a b bc -=()cos cos C B A λ-+最大值，则实数的取值范围是__________． λ【答案】02λ<<【分析】先利用余弦定理结合可得，再利用正弦定理化边为角，再结合三22a b bc -=2cos c b A b -=角形内角和定理，求出的关系，从而可将都用表示，再根据三角形为锐角三角形求出,A B ,C A B B 的范围，再根据二倍角的余弦公式结合二次函数的性质即可得解.【详解】由余弦定理可得，则， 22222cos a b c bc A b bc =+-=+2cos c b A b -=由正弦定理可得()sin sin 2sin cos sin 2cos sin B C B A A B A B =-=+-，()sin cos cos sin 2cos sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B A B A B =+-=-=-因为为锐角三角形，则，所以，ABC ππ0,022A B <<<<ππ22A B -<-<又因为函数在内单调递增，所以，可得，sin y x =ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B -=2A B =由于为锐角三角形，则，即，解得， ABC π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π022π02π032B B B π⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩π6π4B <<则()()cos cos cos π4cos2cos2cos4C B A B B B B λλλ-+=-+=-，22cos 2cos21B B λ=-++因为，所以，则， π6π4B <<ππ232B <<10cos22B <<因为存在最大值，则，解得． 22cos 2cos21B B λ-++1042λ<<02λ<<故答案为：． 02λ<<【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用余弦定理和正弦定理结合已知条件求得.2A B =四、解答题17．已知复数，其中i 为虚数单位.()()22223i,z m m m m m =+-+--∈R (1)若复数z 为纯虚数，求m 的值；(2)若，求m 的值.3i 1612i z z z ⋅+=+【答案】(1)或1m =2m =-(2)2【分析】（1）根据纯复数的定义:实部为0，虚部不等于0，列出方程即可求解.（2）设，代入式子化简，根据两个复数相等的充要条件即可列出式子进行求解.()i ,R z x y x y =+∈【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以满足，解得:或. z 2220230m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩1m =2m =-（2）设，则，将其代入，()i ,R z x y x y =+∈22z z x y ⋅=+3i 1612i z z z ⋅+=+则，整理得:，()223i i 1612i x y x y =++++223i 1612i 3x y y x -++=+且，解得:，或，312x ∴=22316x y y +=-4x =0y =3y =或， 222423=0m m m m ⎧+-=∴⎨--⎩2224233m m m m ⎧+-=⎨--=⎩解得:2m =18．如图，直三棱柱中，，，P 为线段上111ABC A B C -11BC AA ==AB =cos ACB ∠=1BC 的动点．(1)当P 为线段上的中点时，求三棱锥的体积；1BC B PAC -(2)当P 在线段上移动时，求的最小值．1BC AP CP +【答案】【分析】（1）由余弦定理求出，即可求出 AC AC =（2）根据平面展开图可确定的最小值即长，由三角形余弦定理求解即可.AP CP +AC【详解】（1）由已知可得 sin ACB ∠=由余弦定理有，得到2212cos AC AC ACB =+-∠AC =在中，有 ACB △11sin 122ACB S AC BC ACB =⋅⋅⋅∠==△1111112236B PAC P ACB C ABC ACB V V V S ---===⨯⨯==△（2）将绕旋转到与同一平面（如图所示），1ABC 1BC 1CBC △连接交于点，此时取得最小值，最小值即长．AC BC 0P AP CP +AC在中，，1ABC 1BC =AB =12AC =故，故，即，22211BC AB AC +=1AB BC ⊥190ABC ∠=︒又易知，故，145CBC ∠=︒135ABC ∠=︒由余弦定理得，所以21221cos1355AC =+-⨯︒=AC=（或者在中由勾股定理得1AC C △AC =故AP CP +19．如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，G ABC PQ ABC G AB a =AC b =AP ma = （，），试求的最小值．AQ nb = 0m >0n >2m n +【答案】1+【分析】根据重心的几何性质和三点共线的向量表示，依据线段长的比例进行运算即可.【详解】∵是的重心，∴是边上的中线，，G ABC AD BC 2AG GD =∴， ()()1122AD AB AC a b =+=+ ∴， ()()22113323AG AD a b a b ==⨯+=+ 又∵，（，），∴，， AP ma = AQ nb = 0m >0n >1a AP m = 1b AQ n = ∴， ()1111113333AG a b AP AQ AP AQ m n m n ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭ 又∵，，三点共线，P Q G ∴. 11313m n+=又∵，，∴由基本不等式，有0m >0n > ()112221113333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当，即，时，等号成立，233n m m n =m =n =∴的最小值为2m n +120．如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为4，在弧上有一动点，过引平行AOB AOB AB P P 于的直线和交于点，设.OB OA C AOP θ∠=(1)若点为的中点，试求的正弦值；C OA θ(2)求面积的最大值及此时的值.POC △θ【答案】(1)si n θ=(2). POC △o 30θ= 【分析】（1）（2），做，因，则可得，有，CD OB PF OB ⊥⊥CP OB ∥CD PF =，再借助三角恒等变换、三角函数性质求解得答案.()6060o o si n si n CO PO θ=-【详解】（1）如图，做，因，，则，CD OB PF OB ⊥⊥CP OB ∥CD PF ∥四边形为平行四边形，则，有. CDFP CD PF =()6060o o si n si n CO PO θ=-当点为的中点，又，则 C OA 4PO =()260460o o si n si n θ=-⇒，又 122cos si n cos θθθ-=⇒=+，则 2210si n cos ，si n θθθ+=>22112si n θ⎫++=⇒⎪⎭.解得：21690si n si n θθ+-=si n θ=（2）因，则， ()6060o o si n si n CO PO θ=-4PO =则， ()()606060o o o si n si n si n PO θCO θ-==-则，其中. ()1602o si n si n si n POC S OC OP θθθ=⋅=- 060o o θ<<211122222cos si n cos si n si n θθθθθ⎫⎫-=-=-⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭()11112302424o si n θ⎡⎤⎛⎫=+-≤-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即时取等号.23090o o θ+=o 30θ=故. POC △o 30θ=21．如图：已知三棱柱中，D 为BC 边上一点，为中点，且∥平面111ABC A B C -1D 11B C 1A B 1ADC ．证明：平面平面．11//A BD 1ADC【答案】证明见解析【分析】连接与交于点，由线面平行的性质定理可得，从而为中点，进1AC 1AC O 1AB OD D BC 而可得四边形为平行四边形，，由线面平行的判定定理得平面，再利11CD BD 11//C D BD 1//BD 1ADC 用面面平行的判定定理证得结论.【详解】连接与交于点，连接，1AC 1AC O OD∵平面，平面，平面平面，1//A B 1ADC 1A B ⊂1A BC 1A BC ⋂1ADC OD =∴，又为中点，∴为中点，1//A B OD O 1AC D BC ∵，且，11//BD C D 11BD C D =∴四边形为平行四边形，∴．11C D BD 11//C D BD 又平面，平面，∴平面．1BD ⊄1ADC 1C D ⊂1ADC 1//BD 1ADC 又平面,，平面1//A B 1ADC 11A B BD B ⋂=11,A B BD ⊂11,A BD 所以平面平面．11//A BD 1ADC 22．在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于、两点．αβA B(1)如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求的值； A 513B 35cos()a β+(2)若角的终边与单位圆交于点，经点、、分别作轴垂线，垂足分别为、、a β+C A B C x M N P ．求证：线段、、能构成一个三角形；MA NB PC (3)探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1) 1665(2)证明见解析(3)为定值π4【分析】（1）由三角函数的定义和两角和的余弦公式即得结果；（2）先由三角函数的定义得三条线段长度，再证明任意一边小于另两边之和，即得三条线段能构成一个三角形；（3）利用余弦定理和正弦定理解三角形，可求得外接圆半径，即得外接圆面积为定值. 【详解】（1）由已知得，，，、为锐角， 5sin 13α=3cos 5β=αβ则，， 12cos 13α==4sin 5β==则cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-. 123541613513565=⨯-⨯=（2）由已知得，，，，sin MA α=sin NB β=sin()sin cos cos sin PC αβαβαβ=+=+，， π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,παβ∴+∈，，cos (0,1)α∴∈cos (0,1)β∈，即①， sin()sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ∴+=+<+PC MA NB <+，cos()(1,1)αβ+∈- ∴，即sin sin[()]sin()cos s co in()sin s()sin βααββαββαβββα=+-=+++-+<MA NB PC <+②，同理，即sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+sin()sin αβα<++NB MA PC <+③，由①②③可知，线段、、能构成一个三角形.MA NB PC （3）设（2）中的三角形为，角所对的边长为'''A B C ''',,A B C sin ,sin ,sin(),αβαβ+由余弦定理可得， 222sin sin sin ()cos 2sin sin C αβαβαβ'+-+= 222sin sin (sin cos cos sin )2sin sin αβαβαβαβ+-+= 222222sin sin sin cos cos sin 2sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβαβαβαβ+---= 2222sin (1cos )sin (1cos )cos cos 2sin sin αββααβαβ-+-=- 2222sin sin sin sin cos cos 2sin sin αββααβαβ+=- 222sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβ=-sin sin cos cos αβαβ=-cos()αβ=-+'sin sin()C αβ∴==+设外接圆半径为，则由正弦定理可得，， R '''sin()21sin sin()A B R C αβαβ+===+， 12R ∴=. π4S ∴=故（2）中三角形的外接圆面积为定值. π4。
陕西省西安铁一中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
陕西省西安铁一中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．42．设集合A 与集合B 嗾使自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素2n n +，则在映射f 下，像20的原像是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．4或5-3．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ）．A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)(1,4]D ．(0,1)4．已知2()(1)33f x m x mx =-++为偶函数，则()f x 在区间(4,2)-上为（ ）．A ．增函数B ．减函数C ．先递增再递减D ．先递减再递增5．三个数20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =之间的大小关系是（ ）．A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．函数3()f x x x =+的图像关于（ ）．A ．y 轴对称B ．直线y x =-对称C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称7．已知01a <<，则方程|||log |x xa a =的实根个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．与a 值有关8．在下列四个图中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像只可能为（ ）．A．B．C ．D．9．设25a b m ==，且112a b+=，则m 等于（ ）．AB ．10C ．20D ．10010．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+⎧⎪=⎨>⎪⎩≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]11．方程3log 30x x +-=的解所在的区间是（ ）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)12．某购物网站在2016年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，它最多需要下的订单张数为（ ）．A ． 1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．函数2(2)2x f x x =-，则(1)f =__________． 14．log (23)a y x =-恒过定点P ，P 在幂函数()f x 图像上，(9)f =__________． 15．若一次函数()f x ax b =+有一个零点2，那么2()g x bx ax =-的零点是__________．16．已知()f x 是定义在[2,0)(0,2]-上的奇函数，当0x >时，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是__________．三、解答题（本大题共6个小题，共52分）17．（本题8分）某质点在30s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图象如图，解析法表示出这个函数，并求出9s 时质点的速度．18．（本题8分）已知函数()f x =A ，函数22()31m x x g x --=-的值域为集合B ，且A B B =，求实数m 的取值范围．19．（本题8分）是否存在实数a ，使函数221x x y a a =+-（0a >且1a ≠）在[1,1]-上的最大值是14？20．（本题8分）设U =R ，集合2{320}A x x x =++=，2{(1)0}B x x m x m =+++=．若()u A B =∅ð，试求实数m 的值．21．（本题10分）已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值．（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围． 22．（本题10分）设函数1()1ax f x x -=+，其中a ∈R ． （1）若1a =，()f x 的定义域为区间[0,3]，求()f x 的最大值和最小值．（2）若()f x 的定义域为区间(0,)+∞，求a 的取值范围，使()f x 在定义域内是单调减函数．陕西省西安铁一中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =， 可得4a =． 故选D ．2．设集合A 与集合B 嗾使自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素2n n +，则在映射f 下，像20的原像是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．4或5-【答案】C【解析】由220n n +=求n ，用代入验证法可知4n =． 故选C ．3．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ）．A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)(1,4]D ．(0,1)【答案】B【解析】∵函数()f x 的定义域是[0,2]， ∴函数(2)f x 的定义域是[0,1]． ∵函数(2)()1f xg x x =-，∴1x ≠， 综上01x <≤． 故选B ．4．已知2()(1)33f x m x mx =-++为偶函数，则()f x 在区间(4,2)-上为（ ）．A ．增函数B ．减函数C ．先递增再递减D ．先递减再递增【答案】C【解析】因为2()(1)33f x m x mx =-++为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以2(1)33(1)23m x mx m x mx 2--+=-++， 即30m =，所以0m =， 即2()3f x x =-+， 由二次函数的性质可知，2()3f x x =-+在区间(4,0)-上单调递增，在(0,2)递减．故选C ．5．三个数20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =之间的大小关系是（ ）．A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】由对数函数的性质可知：2log 0.30b =<， 由指数函数的性质可知：01a <<，1c >， ∴b a c <<． 故选C ．6．函数3()f x x x =+的图像关于（ ）．A ．y 轴对称B ．直线y x =-对称C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称【答案】C 【解析】7．已知01a <<，则方程|||log |x xa a =的实根个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．与a 值有关【答案】A【解析】作出||x y a =和|log |a y x =的函数图象如图所示：2由图象可知两函数图象有两个交点，故方程|||log |x a a x =的有两个根． 故选A ．8．在下列四个图中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像只可能为（ ）．A．B．C．D．【答案】C 【解析】9．设25a b m ==，且112a b+=，则m 等于（ ）．AB ．10C ．20D ．100【答案】A 【解析】11log 2log 5log 102m m m a b+=+==， ∴210m =，又∵0m >，∴m 故选A ．10．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+⎧⎪=⎨>⎪⎩≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]【答案】D【解析】因为()f x 为R 上的减函数， 所以1x ≤时，()f x 递减，即30a -<，①1x >时，()f x 递减，即0a >，②且2(3)151aa -⨯+≥，③ 联立①②③解得，02a <≤． 故选D ．11．方程3log 30x x +-=的解所在的区间是（ ）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C 【解析】12．某购物网站在2016年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，它最多需要下的订单张数为（ ）．A ． 1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵原价是：48422016⨯=（元），20160.61209.6⨯=（元）．∵每张订单金额（6折后）满300元时可减免100， ∴若分成10，10，11，11， 由于4810480⨯=，4800.6288⨯=， 达不到满300元时可减免100， ∴应分成9，11，11，11． ∴只能减免3次．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．函数2(2)2x f x x =-，则(1)f =__________． 【答案】0 【解析】14．log (23)a y x =-恒过定点P ，P 在幂函数()f x 图像上，(9)f =__________． 【答案】13【解析】15．若一次函数()f x ax b =+有一个零点2，那么2()g x bx ax =-的零点是__________．【答案】0或12-【解析】由题意可得2b a =-得0a ≠，由()2g x =-，20ax ax -=，得0x =或12x =-．16．已知()f x 是定义在[2,0)(0,2]-上的奇函数，当0x >时，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是__________．【答案】【解析】由图象可得：当(0,2]x ∈时， ()(2,3]f x ∈．又∵()f x 是定义在[2,0)(0,2]-上奇函数， 故当[2,0)x ∈-时，()[3,2)f x ∈--． 故()f x 的值域是[3,2)(2,3]--．三、解答题（本大题共6个小题，共52分）17．（本题8分）某质点在30s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图象如图，解析法表示出这个函数，并求出9s 时质点的速度．【答案】【解析】（1）根据折线为直线，可设v kt b =+，图中点的坐标： (0,10)，(5,15)，(20,30)，(25,0)，代入解析式得：当05t <<时，10v t =+，当510t <≤时，3v t =， 当1020t <≤时，30v =， 当2025t ≤≤时，6150v t =-+， 所以：10,053,510()30,10206150,2025t t t t v t t t t <<⎧⎪<⎪=⎨<⎪⎪-⎩≤≤≤≤++，9s 时速度为27cm/s ．18．（本题8分）已知函数()f x =A ，函数22()31m x x g x --=-的值域为集合B ，且A B B =，求实数m 的取值范围． 【答案】【解析】1210log (1)0x x ->⎧⎪⎨-⎪⎩≥，得12x <≤，即(1,2]A =，又222(1)1()3131m x x x m g x ---=-=-+++， 即1(0,31]m B =-+． ∵A B B =，∴A B ⊆， ∴1312m -≥+解得0m ≥， ∴m 的取值范围为[0,)∞+．19．（本题8分）是否存在实数a ，使函数221x x y a a =+-（0a >且1a ≠）在[1,1]-上的最大值是14？ 【答案】【解析】设x t a =，则22()21(1)2y f t t t t ==-=-++， 当1a >时，10a t a -<≤≤，此时2max 21y a a =-+， 由题设22114a a -=+得3a =或5a =-， 由1a >，知3a =；当01a <<时，1[,]t a a -∈，此时21max (1)21y a a -=--+．由题设212114a a ---=+得13a =或15a =-， 由01a <<，知13a =， 故所求的a 的值为3或13．20．（本题8分）设U =R ，集合2{320}A x x x =++=，2{(1)0}B x x m x m =+++=．若()u A B =∅ð，试求实数m 的值．【答案】【解析】∵()u A B =∅ð，∴B A ⊆． 根据题意2{320}A x x x ==++，则A 的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}， 若B =∅，即2(1)0x m x m =+++无解，而22(1)4(1)0m m m -=-≥+，即2(1)0x m x m =+++必有解，则B =∅不成立．若{1}B =，2(1)0x m x m =+++有两个相等的实根1，则有12m =+，1m =，解可得1m =． 若{2}B =，2(1)0x m x m =+++有两个相等的实根2，则有14m =+，2m =无解． 若{1,2}B =，2(1)0x m x m =+++有两个实根1或2，则有13m =+，2m =，解可得2m =． 综合可得：1m =或2m =．21．（本题10分）已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数． （1）求a ，b 的值．（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．【答案】【解析】（1）因为()f x 为R 上的奇函数，所以(0)0f =，即102b a-=++，解得1b =， 由(1)(1)f f -=-，得102212122a a---=-++++，解得2a =， 所以2a =，1b =．（2）因为()f x 为奇函数，所以22(2)(2)0f t t f t k --<+可化为222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<-=-． 又由（1）知()f x 为减函数，所以2222t t k t ->-，即232t t k ->恒成立， 而22111323333t t t ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭≥， 所以13k <-．22．（本题10分）设函数1()1ax f x x -=+，其中a ∈R ． （1）若1a =，()f x 的定义域为区间[0,3]，求()f x 的最大值和最小值． （2）若()f x 的定义域为区间(0,)+∞，求a 的取值范围，使()f x 在定义域内是单调减函数．【答案】 【解析】1()1ax f x x -=+ (1)11a x a x --=++ 11a a x =-++． 设1x ，2x ∈R ， 则122111()()11a a f x f x x x -=-++++1212(1)()(1)(1)a x x x x -=+++． （1）当1a =时，2()11f x x =-+，设1203x x <≤≤， 则1212122()()()(1)(1)x x f x f x x x --=++． 又120x x -<，110x >+，210x >+，∴12()()0f x f x -<，∴12()()f x f x <．∴()f x 在[0,3]上是增函数， ∴max 21()(3)142f x f ==-=，min ()(0)f x f =． （2）设120x x >>，则120x x ->，110x >+，210x >+． 若使()f x 在(0,)∞+上是减函数，只要12()()0f x f x -<，而 121212(1)()()()(1)(1)a x x f x f x x x --=+++， ∴当10a <+，即1a <-时，有12()()0f x f x -<，∴12()()f x f x <．∴当1a <-时，()f x 在定义域(0,)∞+内是单调减函数．。
2020-2021学年陕西省西安市第一中学高一下学期3月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年陕西省西安市第一中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是 A ．第一象限角必是锐角； B ．相等的角终边必相同； C ．终边相同的角相等； D ．不相等的角其终边必不相同.【答案】B【分析】根据终边相同的角和象限角的定义，举反例或直接进行判断可得最后结果. 【详解】390︒是第一象限角，但不是锐角，故A 错误； 390︒与30终边相同，但他们不相等，故C 错误；390︒与30不相等，但他们的终边相同，故D 错误；因为角的始边在x 轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故B 正确. 故选：B【点睛】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义举出反例进行判断是解决本题的关键.2．设集合2141,,,44k k M x x k Z N x x k Z ππ⎧⎫⎧⎫-±==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则集合,M N 的关系为（ ） A ．MNB ．M NC ．NMD ．M N M ⋃=【答案】B【分析】运用列举法进行判断即可. 【详解】因为21975335,,,,,,,,,444444444k M x x k Z πππππππππ⎧⎫-⎧⎫==∈=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，41975335,,,,,,,,444444444k N x x k Z πππππππππ⎧⎫±⎧⎫==∈=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 所以M N ，故选：B3．设θ是第二象限角，则点(sin(cos ),cos(sin ))P θθ在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据正弦函数、余弦函数的值的正负性，正余弦函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为θ是第二象限角，所以0sin 1,1cos 0θθ<<-<<，因此sin(cos )0,cos(sin )0θθ<>，所以点(sin(cos ),cos(sin ))P θθ在第二象限. 故选：B4．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边上一点P 绕原点顺时针旋转π6到达点()3,4Q 的位置，则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．35 C ．45-D ．45【答案】D【分析】依题意可知()3,4Q 在角6πα-的终边上，根据三角函数的定义计算可得；【详解】解：依题意可知()3,4Q 在角6πα-的终边上，所以4sin 65πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题. 5．19cos 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12D ．2【答案】A【分析】利用余弦函数的诱导公式，结合特殊角的余弦函数值进行求解即可. 【详解】1919cos cos cos 2cos cos 66666ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==++=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A6．已知sin 200a =，则tan160等于.A ．BC ．D 【答案】B 【详解】22sin 200,sin 20,cos 201,tan160tan 201a a a a=∴=-∴=-∴=-=-.故选：B.7．函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．6x π=B ．6x π=-C ．12x π=D ．12x π=-【答案】B 【分析】根据2,3x k k Z ππ+=∈，求出对称轴，即可得出结果.【详解】由2,3x k k Z ππ+=∈得6,2kx k Z ππ=-+∈， 即函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴为：6,2kx k Z ππ=-+∈； 所以6x π=-是函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴. 故选：B.【点睛】本题主要考查求余弦型三角函数的对称轴，熟记余弦函数的对称性即可，属于基础题型. 8．函数tan 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．,4xx k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭∣ B ．2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭∣ C ．,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】A【分析】利用正切函数的定义进行求解即可. 【详解】由()()424x m m Z x m m Z πππππ-≠+∈⇒≠--∈，因为m Z ∈，所以m Z -∈，即,4x k k Z ππ≠-∈，故选：A9．要得到函数y x =的图象,只需将函数)4y x π=-的图象上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度 D ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 【答案】B【详解】))424y x x πππ=-=+-，即)4y x π=+，所以要得到函数y x =的图像，先将横坐标伸长到原来的2，变为)4y x π=+；再向右平移4π个单位即可得到y x =，应选答案B ． 10．在ABC 中，角, A B 均为锐角，且cos sin A B >，则（ ） A ．cos 0C > B ．cos 0C <C ．cos 0C =D ．cos 0C ≥【答案】B【分析】根据余弦函数的诱导公式，结合余弦函数的单调性、三角形内角和定理、余弦函数的值的正负性进行判断即可.【详解】因为角, A B 均为锐角，所以有0, 0<222A B πππ<<-<.cos sin cos cos()22222A B A B A B A B C C ππππππ>⇒>-⇒<-⇒+<⇒-<⇒>，而C 为三角形的内角，所以2C ππ<<，因此cos 0C <.故选：B11．若θ是直线l 的倾斜角，且sin cos 5θθ+=，则l 的斜率为（ ） A ．12- B ．12-或2- C ．12或2 D ．2-【答案】D【分析】利用sin cos θθ+=sin cos θθ-的值，进而求得tan θ的值，从而得出直线l的斜率.【详解】因为5sin cosθθ+=，①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，所以2sin θcos θ＝45-<，所以(sin θ－cos θ)2＝95，由于[)0,θπ∈，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝35，②由①②解得25sin5cosθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以tan θ＝2-，即l的斜率为2-.故选：D【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.12．设函数()()πsin0,0,2f x A x Aωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若1x，2ππ,63⎛⎫∈-⎪⎝⎭x，且()()12f x f x=，则()12f x x+等于（）A．1 B．12C．22D3【答案】D【分析】根据函数图像，得到周期，求出2ω=，再由函数零点，求出3πϕ=，进而可得对称轴，再由题意，得出12()6f x x f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得出结果.【详解】由图像知周期22362T ππππ⎡⎤⎛⎫=⨯--=⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2ππω=，解得2ω=，A =1，则()sin(2)f x x ϕ=+， 由图像可得：223k πϕππ⨯+=+，因此23k πϕπ=+，又||2ϕπ<，所以3πϕ=，即()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由232x ππ+=，解得12x π=，即12x π=是()f x 的一条对称轴，∵12,63x x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭、，且12()()f x f x =， ∴1x 、2x 关于12x π=对称，则122126x x ππ+=⨯=，则122()sin 2sin 6633f x x f ππππ⎛⎫⎛⎫+==⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质的应用，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.二、填空题13．已知函数()sin()cos()1f x a x b x παπβ=+++-，（,,,a b αβ均为非零实数），若(2020)3f =，则(2021)f =________ 【答案】5-【分析】根据诱导公式，运用代入法进行求解即可. 【详解】因为(2020)3f =，所以(2020)sin(2020)cos(2020)13f a b παπβ=+++-=，化简得：sin cos 13sin cos 4a b a b αβαβ+-=⇒+=， 所以(2021)sin(2021)cos(2021)1sin cos 15f a b a b παπβαβ=+++-=---=-，故答案为：5-14．方程sin x x =实根的个数为_______． 【答案】1【分析】运用转化法、数形结合法进行判断即可.【详解】方程sin x x =实根的个数可以转化为函数,sin y x y x ==图象的交点的个数，在同一直角坐标系内，两函数的图象如下图所示：通过图象可知只有一个交点， 故答案为：115．若函数()sin 12xf x x π=+，则(1)(2)(3)(2021)f f f f +++⋯⋯+=__________【答案】3032【分析】根据正弦函数的周期性进行求解即可. 【详解】因为函数()sin2xg x π=的最小正周期为242ππ=，所以有当k *∈N 时，4(4)(4)sin112k f k k π=+=， (41)(41)(41)sin 1(41)12k f k k k π--=-+=--+(42)(42)(42)sin 112k f k k π--=-+=，(43)(43)(43)sin 1(43)12k f k k k π--=-+=-+，因此有：(43)(42)(41)(4)2()f k f k f k f k k N *-+-+-+=∈，于是有：(1)(2)(3)(2021)(1)(2)(3)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)2505202113032f f f f f f f f f f f f +++⋯⋯+=+++⋯⋯+++++=⨯++=，故答案为：3032【点睛】关键点睛：根据所求的代数式的值联想到正弦型函数的周期性是解题的关键. 16．若函数cos y x =的图像沿x 轴向右平移3π个单位，再将图像上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的12，则新图像对应的函数解析式是________ 【答案】cos(2)3y x π=-【分析】根据余弦函数的图像变换的函数解析式变换特征进行求解即可. 【详解】函数cos y x =的图像沿x 轴向右平移3π个单位， 得到的图像的对应函数的解析式为cos()3y x π=-，再将该图像上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的12，得到新图像对应的函数解析式是cos(2)3y x π=-. 故答案为：cos(2)3y x π=-三、双空题17．若函数cos y a x b =+的最大值为5，最小值为1-，则a =______，b =_____ 【答案】3或-3 2【分析】先求出[]cos 1,1x ∈-，再对a 进行讨论，列方程组，求出a 、b . 【详解】[]cos 1,1x ∈-，当0a >时，有51a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩ 当0a <时，有51a b a b -+=⎧⎨+=-⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩ 故答案为：3,2a b =±=四、解答题18．（1）已知角α的终边经过点3(4,)P -，求2sin cos αα+的值； （2）已知角α的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值；（3）已知角α的终边上一点(0)P m m -≠，，且cos 4α=，求tan α． 【答案】（1）25-；（2）当0a >时，22sin cos 5αα+=-；当0a <时，22sin cos 5αα+=；（3）当m =tan 5α=-；当m =tan 5α=． 【分析】（1）利用三角函数的定义进行求解即可；（2）利用三角函数的定义，运用分类讨论思想进行求解即可； （3）利用三角函数的定义，运用分类讨论思想进行求解即可. 【详解】（1）345,sin ,cos 55y x r OP r r αα====∴==-==（O 为原点），6422sin cos 555αα∴+=-+=-；（2）5||r OP a ====（O 为原点）， ∴当0a >时，33425,sin ,cos ,2sin cos 5555a r a a αααα-=∴==-=∴+=-； 当0a <时，33425,sin ,cos .2sin cos 5555a r a a αααα-=-∴===-∴+=-；（3）由题设知,x m y ==，2222||(r OP m ∴==+（O 为原点），r =所以cos m r r α==∴==238m +=，解得m =当m =sin cos tan cos ααααα====当m =sin cos tan cos ααααα====19．已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . （1）若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .（2）若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？（3）若α＝3π， R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．【答案】（1）103π cm （2）α＝2时，S 最大为25 （3） 23π⎛⎝ cm 2 【分析】试题分析：（1）由弧长公式可求得弧长l .；（2）将扇形面积转化为关于半径R 的函数式，结合函数性质可求得面积的最值及对应的圆心角；（3）将扇形面积减去等腰三角形面积可得到弓形的面积 试题解析：（1）α＝60°＝3rad π，l ＝10×3π＝103πcm. （2）由已知得，l ＋2R ＝20， 所以S ＝12lR ＝12（20－2R ）R ＝10R －R 2＝－（R －5）2＋25. 所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10，α＝2.（3）设弓形面积为S 弓．由题知l ＝23πcm.S 弓＝S 扇形－S 三角形＝12×23π×2－12×22×sin 3π＝（23π- cm 2. 【解析】扇形弧长与面积 20．（1）化简：4141sin cos ()44k k k Z παπα-+⎛⎫⎛⎫-+-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）求函数()lnsin(cos )f x x = 【答案】（1）0；（2）,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）根据诱导公式，结合k 的奇偶性分类讨论进行求解即可； （2）根据对数的定义、二次根式的性质，结合正余弦函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）当2()kn n Z 时，4141sin cos 448181sin cos 4411sin 2cos 24411sin cos 441sin cos 42411sin sin 44k k n n n n παπαπππαπαππαππαπαπαπππααπαπα-+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭0⎛⎫ ⎪⎝⎭=； 当21()k n n Z =+∈时，4141sin cos 44841841sin cos 4411sin 2cos 24411sin cos 441sin cos 4241sin s 4k k n n n n παπαπππππαπαπππαπππαπαπαπππααπα-+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+--+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1in 40πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，综上所述：4141sin cos ()044k k k Z παπα-+⎛⎫⎛⎫-+-∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）求题意可知：2sin(cos )02cos 2()16044x k x k k Z x x πππ><<+∈⎧⎧⇒⎨⎨-≥-≤≤⎩⎩， 0cos 11cos 14422x x x x ππ<≤⎧-≤≤∴⇒-<<⎨-≤≤⎩，所以函数函数()lnsin(cos )f x x =,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）把函数()y f x =图象上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，求关于x 的方程()(02)g x m m =<<在11[,]33x ππ∈-时所有的实数根之和.【答案】（1）解析式为：()2sin(2)6f x x π=+；（2）1234143x x x x π+++=. 【详解】试题分析：(Ⅰ)由题意结合三角函数的性质可得函数的解析式为()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； (Ⅱ)结合函数的解析式可得()(02)g x m m =<<在11,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内有4个实根，利用三角函数的对称性可得所有的实数根之和是143π. 试题解析：（Ⅰ）由题设图象知，周期111212T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，22Tπω∴==. ∵点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数图象上，2?012Asin πϕ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭ 即06sin πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又∵22ππϕ-<<， ∴2363πππϕ-<-<，从而6π=ϕ. 又∵点()0,1在函数图象上， ∴1,26AsinA π=∴=.故函数()f x 的解析式为()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅱ）依题意，得()π23g x sin x ⎛⎫=+⎪⎝⎭∵()π23g x sin x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期2T π=， ∴()π23g x sin x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在11,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内有2个周期. 令()32x k k Z πππ+=+∈，所以()6x k k Z ππ=+∈，即函数()π23g x sin x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴为()6x k k Z ππ=+∈. 又11,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]0,43x ππ+∈ 且02m <<，所以()(02)g x m m =<<在11,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内有4个实根 不妨从小到大依次设为()1,2,3,4i x i =，则1226x x π+=，341326x x π+=. ∴关于x 的方程()(02)g x m m =<<在11,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时所有的实数根之和为1234143x x x x π+++=点睛：由图象确定函数解析式：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．。
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陕西省西安市铁一中【最新】高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线20x ++=的倾斜角是( ) A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．如果直线1210l x ay -+=：与直线24670l x y +-=：平行，则a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．5D ．03．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ）A 2B ．2C ．22a D 24．在空间直角坐标系中，一个正方体不在其同一表面上的两顶点坐标分别是()121--，，、()323-，，，则此正方体的体积是( )A ．194B ．48C ．64D ．165．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB 、CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．异面直线D ．相交成60°角6．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =-D ．113y x =+7．一个体积为()A ．B ．8C ．D ．128．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-=9．若圆1C ：()222240x y ax a a R +++-=∈与圆2C ：()222210x y by b b R +--+=∈恰有三条切线，则+a b 的最大值为（ ）A ．B ．-3C ．3D ．-10．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．211．在四面体ABCD 中，已知1DA DB DC ===，且DA DB DC 、、两两相互垂直，在该四面体表面上与点A ( )A B C D12．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是A ．（B ．（1,C ．D ．（0,）二、填空题13．经过点()41，且在两坐标轴上的截距相等的直线得方程 ________. 14．在三棱锥O ABC -中，三条OA OB OC ，，两两垂直，12OA OB ==，，3OC =，则三棱锥O ABC -外接球的表面积是____________.15．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝________. 16．设直线系M ：xcosθ+（y ﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点 B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数n （n≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是_____（写出所有真命题的代号）．三、解答题17．求经过三点()()()241326A B C --，，，，，圆的方程. 18．如图（一）为简单组合体，其底图ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===.(1)已知该几何体的正视图为图（二），请在答题卡制定的方框内画出该几何体的俯视图和侧（左）视图；(2)求证：//BE 平面PDA .19．已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P Q ，两点，且OP OQ⊥（O 为坐标原点），求该圆的方程.20．如图，已知直线1l ：40x y +=，直线2l ：10x y +-=以及2l 上一点()32P -，.(1)求圆心M 在1l 上且与直线2l 相切于点P 的圆M 的方程；(2)在(1)的条件下：若直线1l 分别与直线2l 、圆M 依次相交于A B C 、、三点，利用解析法证明：2AP AB AC =⋅.21．如下图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线10x y -+=与原点O 为圆心的圆相交所得弦长为.(1)若直线l 与圆O 切于第一象限，且直线l 与坐标轴交于点D E 、，当ODE 面积最小时，求直线l 的方程；(2)设M P 、是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP NP 、分别交于x 轴与点()0m ，和()0n ，，问mn 是否为定值？若是，请求处该定值；若不是，请说明理由.参考答案1．D【分析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角. 【详解】20 x++=化为y x=，斜率为0150.故选:D.【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.2．B【解析】【分析】由题意可知两条直线的斜率相等，求出直线l1：2x﹣ay+1=0的a的值．【详解】直线l1：2x﹣ay+1=0与直线l2：4x+6y﹣7=0平行，所以两条直线的斜率相等，所以a=﹣3．故选：B．【点睛】本题是基础题，考查两条直线的位置关系，两条直线平行条件的应用．3．B【解析】试题分析：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是，本题中直观图的面积为2a，所以原平面四22 =．考点：平面图形的直观图 4．C 【分析】依题意不在其同一表面上的两顶点为正方体对角线上两点，由两点间的距离公式求出对角线长，进而求出边长，即可求解. 【详解】设正方体的边长为a ，依题意==4a =，体积364V a ==.故选:C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，以及正方体的结构特征和体积，属于基础题. 5．D 【分析】把展开图还原成正方体可得,AB CD 的位置关系． 【详解】把展开图恢复成如图所示的正方体，其中，ABC ∆为等边三角形，所以60ABC ∠=︒．选D ． 【点睛】已知空间几何体的平面展开图求原几何体中点线面的位置关系，可先选定一个底面，然后把展开图还原成空间几何体，在空间几何体中看指定的几何对象的位置关系，此类问题忌凭空想象． 6．A 【解析】∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ） 又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 故选A ；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”； 7．A 【分析】依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为【详解】依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为故选A.考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力. 8．A 【解析】试题分析：设圆上任一点为()00,Q x y ，PQ 中点为(),M x y ，根据中点坐标公式得，0024{22x x y y =-=+，因为()00,Q x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=，即()()2224224x y -++=，化为22(2)(1)1x y -++=，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0=f x y .本题就是利用方法④求M 的轨迹方程的.9．A 【分析】根据两圆的位置关系，求得229a b +=，再结合三角函数的性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，圆()2221:240C x y ax a a R +++-=∈，可化为22()4x a y ++=，可得圆心1(,0)C a -，半径为12r =，圆()2222:210C x y by b b R +--+=∈可化为22()1x y b +-=，可得圆心2(0,)C b ，半径21r =，又由圆12,C C 恰有三条切线，所以两圆相外切，即1212C C r r =+，3=，即229a b +=，设3cos ,3sin a b θθ==，则3cos 3sin )4a b πθθθ+=+=+，当sin()14πθ+=时，+a b 取得最大值，此时最大值为故选：A. 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，以及最值问题的求解，其中解答中熟练应用圆与圆的位置关系，合理利用三角换元求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 10．D 【分析】作出图形，可知Rt PAC Rt PBC ∆≅∆，由四边形PACB 的最小面积是2，可知此时PA PB =取最小值2，由勾股定理可知PC C 到直线()400kx y k ++=>k 的值.【详解】如下图所示，由切线长定理可得PA PB =，又AC BC =，PC PC =，且90PAC PBC ∠=∠=，Rt PAC Rt PBC ∴∆≅∆，所以，四边形PACB 的面积为PAC ∆面积的两倍，圆C 的标准方程为()2211x y +-=，圆心为()0,1C ，半径为1r =，四边形PACB 的最小面积是2，所以，PAC ∆面积的最小值为1， 又11122PAC S PA AC PA ∆=⋅=≥，min 2PA ∴=，由勾股定理PC ==≥当直线PC 与直线()400kx y k ++=>垂直时，PC即min PC ==，整理得24k =，0k >，解得2k =.故选：D. 【点睛】本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点P 的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．B 【分析】 与点A距离为3的点轨迹为球面，所求的曲线为球面与四面体四个面的交线，如下图所示，曲线与,,,AB BD AC CD 分别交于,,,E H F G ，曲线长为EF FG GH HE +++，只需求出圆弧所对应的圆心角，即可求解. 【详解】在四面体表面上与点A距离为3的点形成一条曲线，曲线分别与,,,AB BD AC CD 交于,,,E H F G ，在,cos 2AD Rt ADH DAH AH ∆∠===，1,623DAH DH AH π∴∠===， 4612HAE πππ∠=-=，同理12GAF π∠=，12318FG HE π∴==⨯=，,339236EF GH ππ=⨯==⨯=， EF FG GH HE ∴+++218962=⨯++=. 故选:B.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，弧长公式的应用，考查空间想象能力，属于中档题. 12．A 【详解】所以综上0a <<A13．40x y -=或50x y +-=.【分析】对直线是否过原点分类讨论，过原点满足题意，不过原点时设直线方程的截距式，已知点代入，即可求解.【详解】当直线过原点时，方程为14y x =， 即40x y -=，满足题意， 当直线不过原点时，设方程为1x y a a+=， 点(4,1)代入方程得5a =， 直线方程为5x y +=，即50x y +-=，综上，所求的直线方程为40x y -=或50x y +-=.故答案为:40x y -=或50x y +-=.【点睛】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论思想，要注意直线过原点的情况，这是易错点，属于基础题.14．14π.【分析】根据已知将三棱锥补成以OA OB OC ，，为邻边的长方体，求出长方体的对角线，即为外接球的直径，进而求出表面积.【详解】三棱锥O ABC -中，三条OA OB OC ，，两两垂直， 三棱锥补成以OA OB OC ，，为邻边的长方体， 三棱锥O ABC -外接球为长方体外接球，，三棱锥O ABC -外接球的表面积是24)142ππ=. 故答案为:14π.【点睛】本题考查多面体与球“切”“接”问题，要注意特殊几何体与球“切”“接”应用，属于基础题.15．2【解析】因为直线230x y +-=与直线40ax y b ++=关于点1,0A 对称， 所以124a =，解得2a =，又d ==，解得2b =，或6-（重合，舍）， 所以2b =．点睛：两直线关于点对称，则满足两个条件：（1）两直线平行；（2）点到两直线的距离相等，所以本题中先由平行求出2a =，再由距离相等求出2b =，或6-，排除直线重合的状况，所以2b =．16．BC【解析】试题分析：因为点()0,2到直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤中每条直线的距离1d ==，直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线的集合.A.由于直线系表示圆()2221x y +-=的所有切线，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点()0,2不可能，故A 不正确；B.存在定点P 不在M 中的任一条直线上,观察点()0,2M 即符合条件,故B 正确；C.由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线, 所以对于任意整数()3n n ≥,存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上,故C 正确；D.如图,M 中的直线所能围成的正三角形有两类,其一是如'ABB ∆是圆的外切三角形,此类面积都相等,另一类是在圆同一侧,如BDC ∆型,此一类面积相等,但两类之间面积不等,所以面积大小不一定相等,故本命题不正确,故选BC.考点：1、直线系的性质；2、圆的外切多边形的性质.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察直线系的性质、以及圆的外切多边形的性质、数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，考查知识跨度较大，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.17．22(5)5x y +-=.【分析】设圆的一般式方程，将三点坐标代入，即可求解.【详解】设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()241326A B C --，，，，，代入方程得， 24200310026400D E F D E F D E F -+++=⎧⎪-+++=⎨⎪+++=⎩，解得01020D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所求的方程为2210200x y y +-+=，即22(5)5x y +-=.【点睛】本题考查用待定系数法求圆方程，考查计算求解能力，属于基础题.18．（1）详见解答；（2）详见解答.【分析】（1）按照三视图所在平面两两垂直，看不见的线用虚线，看得见用实线画出；（2）取PD 中点F 连,AF EF ，可证四边形ABEF 为平行四边形，进而有//BE AF ，即可得证结论.【详解】（1）该几何体的正视图和侧视图，如下图所示：（2）取PD 中点F 连,AF EF ，//EC PD ，且22PD EC ==，所以四边形CDFE 为平行四边形，//,EF CD EF CD =，因为底面ABCD 为正方形，所以//,AB CD AB CD =，所以//,EF AB EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形，所以//,BE AF AF ⊂平面,PAD BE ⊄平面PAD ，所以//BE 平面PDA .【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查线面平行证明，注意空间平行之间的转化，属于基础题. 19．22630x y x y ++-+=.【分析】先求出2260x y x y m ++-+=表示圆m 的取值范围，设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线方程与圆方程联立，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，进而得到12,y y 关系，结合OP OQ ⊥，即可求解.【详解】2260x y x y m ++-+=表示圆，2371643740,4m m m +-=-><联立2223060x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩，消去x ， 得到2520120y y m -++=，40045(12)0,8m m ∆=-⨯⨯+><， 设1122121212(,),(,),4,5m P x y Q x y y y y y ++==， ,0OP OQ OP OQ ⊥∴⋅=，12121212(23)(23)OP OQ x x y y y y y y ⋅=+=-+-++121256()91224930y y y y m m =-++=+-+=-=，3m ∴=，所求的圆方程为22630x y x y ++-+=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意应用根与系数关系设而不求方法，减少计算量，是常考的点，属于中档题.20．（1）22(1)(4)8-++=x y ；（2）详见解答.【分析】（1）设圆心(,4)M a a -，求出MP k ，利用2MP l ⊥，求出M 点坐标及||MP ，即可求解； （2）直线12,l l 方程联立，求出A 的坐标，求出||AP ，利用||,||,AB AP r AC AP r r =-=+为圆M 半径，即可证明结论.【详解】（1）圆心M 在1l 上，设(,4)M a a -，直线MP 斜率为423MP a k a -+=- 圆M 与直线2l 相切于点P ，2MP l ⊥，421,13MP a k a a -+===-，圆心(1,4)M -，半径||MP ==圆M 的方程为22(1)(4)8-++=x y ； （2）联立4010x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得1343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即14(,)33A -， 221200(11)|3()|39AP =+⨯--=，1|||1|3AM =--=，2272200(||(||||8899AB AC AM AM AM ⋅=-⋅-=-=-=， 2AP AB AC ∴=⋅. 【点睛】本题考查圆的方程及几何性质，直线与圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想和基本解题能力，属于中档题.21．（1）见证明；（2见解析 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，（1）通过证明·0BC AP ＝，再结合BC AC ⊥即可得结论；（2）结合（1）中的结论进一步说明DAE ∠是AD 与平面PAC 所成的角，先通过向量夹角公式求出余弦值，再求正弦值；（3）由已知条件推导出AEP ∠为二面角A DE P --的平面角，由此能推导出存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角．【详解】以A 为原点，AB ，AP 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C 3,,04a ⎫⎪⎪⎝⎭，P (0,0，a )．(1)AP ＝(0,0，a )，BC ＝,,04a ⎫-⎪⎪⎝⎭，∴·BC AP ＝0，∴BC ⊥AP ，∴BC ⊥AP ， 又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D 0,,22a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，E 3,,882a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ，∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵AD ＝0,,22a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AE ＝3,,82a a a ⎫⎪⎪⎝⎭，∴cos∠DAE ＝·AD AE AD AE ＝4，∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为4. (3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角．∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A －DE －P 是直二面角．【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题.22．（1）20x y +-=；（2）详见解答.【分析】（1）求出点O 到直线10x y -+=的距离，进而可求圆O 半径，求出圆O 方程，设直线l 的方程，利用直线l 与圆O 相切，结合基本不等式，可求ODE 面积最小时，直线l 的方程；（2）设1122(,),(,)M x y P x y ，则2222111122(,),2,2N x y x y x y -+=+=，求出直线MP NP 、分别与x 轴的交点，进而求出mn 的值.【详解】（1）点O 到直线10x y -+=， 所以圆O= 圆O 的方程为222x y +=，设(,0),(0,),0,0D a E b a b >>，则直线l 方程为1(0,0)x y a b a b+=>>， 即0bx ay ab +-=，由直线l 与圆O 相切，2211122a b ab=+=≥=， 4ab ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，122ODE S ab =≥， 所以ODE 面积最小时，直线l 方程为20x y +-=；（2）1122(,),(,)M x y P x y ，则2222111122(,),2,2N x y x y x y -+=+=，直线MP 方程为212221()y y y y x x x x --=--，令0y =得， 122112212121,x y x y x y x y x m y y y y --==--，同理122121x y x y n y y +=+， 222212211221122122212121x y x y x y x y x y x y mn y y y y y y -+-∴=⨯=-+- 222212212221(2)(2)2y y y y y y ---==-所以mn为定值2.【点睛】本题考查直线与圆的的位置关系，考查基本不等式的运用，考查定值问题，属于中档题.。