三垂线定理及三垂线逆定理

①异面直线 ②相交直线 e d c b a
O
α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直. 注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉， 结论仍然成立吗？
解 题 回 顾
如果 a 不在平面内,定 理就不一定成立.
P
b
O
a
α
A
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直. 符号语言 P PA∩ =A PO∩ =O PO⊥ a⊥PA a a A O a⊥AO
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
M
B
三垂线定理解题的关键：找三垂中的二垂!
解 题 回 顾
P
一找线面垂直
二找线射垂直
O
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
A a
使用三垂线定理还应注意些什么？
解 题 回 顾
三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的 直线垂直的判定定理，
P
这两条直线可以是:

在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直

A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
探究引入
在平面内的一条直线 ,如果和这个平面的一条斜线 平面的垂线垂直平面内的任一条直线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直. 平面的斜线呢? 符号语言 P PA∩ =A PO∩ =O PO⊥ a⊥PA a a a A O a⊥AO 证明: PO⊥ a a ⊥ PO a⊥PA a⊥平面PAO a⊥OA
P
BC ⊥ PC
A O B
C
例2 已知:PA⊥平面PBC, PB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.

三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
①线面垂直
P A O
②线射垂直
P
③ 线斜垂直 P
α
a
α
A
O
a
α
A
O
a
例1 已知P 是平面ABC 外一点,PA⊥平面ABC, AC ⊥ BC， 求证： BC⊥ PC. 证明： PA⊥平面ABC BC ⊥ AC