导数的综合应用

导数的综合运用

复习目标

熟练掌握利用导数研究函数单调性、极值、最值问题。

教学过程

一．课本回归

1.（课本56页）一个小球落入水桶ts 时的高度为2

1.50.1h t =-，求当3t =时球的高度、速度和加速度。

2.（课本56页）分别求曲线22y x x =-+在点(1,1)A 及点(1,3)B --处的切线方程。

3.（课本56页）求下列函数的导数：

（3）2ln(15)x y x =+- （4）cos3x y e x -=

4．（课本56页）（1）求函数242y x x =-的极值；

（2）求函数3395y x x =-+在区间[2,2]-上的最大值与最小值

5.（课本57页）14.求函数1y x x =+

的单调区间

二． 典例欣赏

例1：已知函数x ax x x ax x f +--=22

2

1ln )()(.)(R a ∈． (1)当0=a 时，求曲线)(x f y =在点))(,(e f e 处的切线方程；

(2)求函数)(x f 的单调区间．

例2：已知函数1()ln ,x f x x a R ax -=

+∈≠且a 0.

（1）当a=2时，求函数1(),f x e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在的最大值和最小值；

（2）若函数()()g x af x =，求函数()g x 的单调递减区间；

（3）当a=1时，求证：222,,ln .2n

k n n n n N k k =-∀≥∈>∑

例3：设函数2()1()x f x e x ax a R =---∈.

(1)若0,a =求()f x 的单调区间；(2)若0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围.

三 当堂反馈

1.

函数f (x )＝ln x x 在点(x 0，f (x 0))处的切线平行于x 轴，则f (x 0

)＝________.

2．若f (x )＝－12

x 2＋b ln (x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是 ．

3．已知函数qx px x x f --=23)(的图像与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为 ．

4．()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0xf x f x '-<且(4)0f -=，则不等式()0f x x

<的解集为 ．

四 针对训练

1．函数()1

2++=x a x x f 在1=x 处取得极值，则=a ． 2．（2011年湖南卷）曲线21cos sin sin -+=

x x x y 在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为 ．

3．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)1()1(x f x f +=-，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设)0(f a =，)21

(f b =，)3(f c =，则a 、b 、c 的大小关系是 ．

4．已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c(a,b,c ∈R),若函数f(x)在区间[-1,0]上是单调减函数，则a 2+b 2的最小值为 ．

5．函数()()()()c x b x a x x f ---=，其中c b a ,,是两两不相等的常数，则()()()

c f c b f b a f a '+'+'= ． 6．在平面直角坐标系xoy 中，已知P 是函数())0(>=x e x f x

的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于M 点，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵

坐标为t ，则t 的最大值为 ．

7．已知函数f （x ）=3231()2

ax x x R -+∈，其中a>0. （1）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；

（2）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.

8.已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<．

（1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；

（3）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值

范围.

9．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-，

（1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；

（2）对一切的(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）证明对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex >-成立．