二项式系数的性质及应用1
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式系数的性质
的定义和性质进行证明
利用递推关系进行简化
• 例如，证明二项式定理时，
可以利用递推关系进行证明
05
二项式系数在概率论与数理统计中的应用
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) *
p^k * (1-p)^(n-k)
二项分布的概率质量函数与二项式系数
密切相关
• 其中X表示二项分布的随机变量，n
• 其中P(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的排列数
二项式系数的计算公式
• 二项式系数的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 当k为0或n时，C(n, k)有简化公式
• C(n, 0) = 1
• C(n, n) = 1
• 当n和k较大时，可以使用递推公式计算二项式系数
性质进行证明
性进行简化
• 例如，计算二项分布的概率时，可以
利用奇偶性进行简化
二项式系数的递推关系
二项式系数具
有递推关系，
即C(n, k) =
C(n-1, k-1) +
C(n-1, k)
二项式系数的
递推关系在组
合数学和概率
论中有广泛应
用
01
02
• 证明方法：根据二项式系数
• 例如，计算组合数时，可以
• 可以使用二项式系数计算二项分布的
表示试验次数，p表示成功概率，k表示
概率质量函数
成功次数
• 可以使用二项分布的概率质量函数计
算二项分布的期望和方差
二项分布的期望与方差
二项分布的期望为E(X) = np
• 其中n表示试验次数，p表示成功概率
二项分布的方差为Var(X) = np(1-p)
6.3.2 二项式系数的性质课件【高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册】
(r 1≤)！(11,5即 r 1)！≤1,
r
315！
3(15 r 1)
解得r≤12,同理,由 C≥1r531r,解得r≥11,所r！以(15展 r开)！式中系数最大的项对应的
C 3 r1 r1 15
r=11,12,即展开式中系数最大的项是T12=C1115 (3x)11和T13=C1125 (3x)12.
…(+2a101))10 ( 2 1)10
=
=1.
答案:720 1
角度2 展开式中的最大项问题 【典例】1.(2020·随州高二检测)在 (x 1 )n 的展开式中,只有第5项的二项
x
式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为( ) A.-126 B.-70 C.-56 D.-28 2.已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求: (1)展开式中二项式系数最大的项. (2)展开式中系数最大的项.(结果可以以组合数形式表示)
4.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=________. 【解析】由题意可知a8是x8的系数,所以a8= C180·22=180. 答案:180
类型一 二项式系数性质的应用 【典例】1.(2020·重庆高二检测)(mx+ x )n(n∈N+)的展开式中,各二项式系 数之和为32,各项系数之和为243,则展开式中x3的系数为( ) A.40 B.30 C.20 D.10 2.已知在 ( x 2 )n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(2)
Cr1 n
,
Crn
,
Crn
1
之间有什么关系?
二项式系数的性质及应用
（1）二项式系数的和； （2）各项系数之和； （3）奇数项的二项式系数之和；
偶数项的二项式系数之和； （4）奇数项的系数之和；偶数项的系数之和.
例2、已知：
（1 x）（1 x）2 （1 x）n a0 a1x a2 x2 an xn
求： a1 a2 an 的值.
例3、已知 1 2x 3x2 7 a0 a1x a2x2
a13x13 a14 x14. （1）求a0 a1 a2 a14； （2）求a0 a2 a4 a14； （3）求a1 a3 a5 a13.
例4、已知（1 x）（ 3 2x）9 a（0 x 1）14 a（1 x 1）13 a1（3 x 1） a14.
C
0 n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
说明1、这就是说（，a b）n
的展开式的各二项式系数之和等于 2n
C
0 n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
2、同时，由于
C
0 n
1 ，上式还可以写成
Cn1 Cn2 Cnn 2n 1
3、这是组合数公式，表示在n不同元素中，每次 取1个、2个、3个、…、n个元素的所有组合数之 和。
练习
1、在（x 1）11的展开式中，求系数最小项的系数？
变式：把（x 1）11改成（2x 1）11 ，结果又如何？
2、求（2x 3y）28 的展开式中系数最大的是第几项？
解：设展开式中系数最大的项为第r+1项，则
C
r 28
228 r
3r
＞C
r 1 28
229 r
3r 1
C
r 28
二项式系数的性质及应用(1)
考点一： (a b)n 展开式的二项式系数 例.已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 ... a7 x7 .求： (1) a0 a1 a2 ... a7 (2) a1 a3 a5 a7 (3) a0 a2 a4 a6 (4) a0 a1 a2 ... a7
例.用二项式定理证明：99100 1能被1000整除.
跟踪训练：求9192 被100除所得的余数.
跟踪训练：求9192 被100除所得的余数.
考点四：证明恒等式
例.求证：1 3Cn1 32 Cn2 ... 3n Cnn 4n
跟踪训练：
求证： Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn n • 2n1
知识影响格局，格局决定命运！ 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
二项式系数的性质及应用 学习目标： 掌握二项式系数的性质并能解决简单的二项式系数有关的问题
(a b)n 展开式的二项式系数Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn 有如下性质：
(1) Cnm
C nm n
(2) Cnm
C m1 n
Cm n1
(3)当 r
n
2
1
时，
Cnr
C r1 n
；当
r
当堂检测：
1.若 (x 2)5 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5 x5 ，则 a1 a2 a3 a4 a5 __________. 2.已知 (1 kx2 )6 （ k 是正整数）的展开式中， x8 的系数小于 120， 则 k ______.
当堂检测：
1.若 (x 2)5 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5 x5 ，则 a1 a2 a3 a4 a5 __________. 2.已知 (1 kx2 )6 （ k 是正整数）的展开式中， x8 的系数小于 120， 则 k ______.
二项式定理及其系数的性质
03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。
二项式展开式系数的性质
π π nπ nπ n n 证明： 2 cos + i sin = ( 2) cos + i ( 2) sin 4 4 4 4
n
①
π π 2 2 n +i 又 2 cos + i sin = 2 = (1 + i ) 4 4 2 2
n
n
1 2 3 4 5 6 7 = 1 + Cn i Cn Cn i + Cn + Cn i Cn Cn i +L
= (1 C + C C + L) + i (C C + C C + L) ②
2 n 4 n 6 n 1 n 3 n 5 n 7 n
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
4
6 10
6
8 10
8
10 10
10
105 5 ∴第 5 项系数最大，即 x3 。 8
2. (1) 求 (1 + 2 x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2 x) 展开式中系数最大的项。
7
C7k 2k ≥ C7k 1 2k 1 13 16 ≤k≤ k =5 解： k k (1) k +1 k +1 3 3 C7 2 ≥ C7 2
1 10! 1 10! k !(10 k )! 2k ≥ (k + 1)!(9 k )! 2k +1 1 10! 1 10! k ≥ k 1 k !(10 k )! 2 (k 1)!(11 k )! 2
k +1 1 10 k ≥ 2 8 11 ≤k≤ k =3 3 3 11 k ≥ 2 k
二项式展开式系数 的性质
二项式定理的数值计算与应用
二项式定理的数值计算与应用二项式定理是代数学中的一条重要定理，描述了二项式的幂的展开形式。
它在数值计算和实际应用中具有广泛的应用。
本文将探讨二项式定理的数值计算方法以及它在实际问题中的应用。
一、二项式定理的数值计算二项式定理的一般形式为：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n,n-1)* x^1 * y^(n-1) + C(n,n) * x^0 * y^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
在实际计算中，当n较大时，直接展开计算会导致复杂的运算和较长的计算时间。
为了节省计算资源，我们可以利用二项式定理的性质进行数值计算。
首先，我们可以利用组合数的性质，C(n,k) = C(n, n-k)。
这个性质可以帮助我们化简计算过程。
其次，我们可以使用递推公式，C(n,k) =C(n-1,k-1) + C(n-1,k)，来计算组合数，从而减少计算量。
例如，我们要计算 (2 + 3)^5 的展开式。
根据二项式定理，展开式为：C(5,0) * 2^5 * 3^0 + C(5,1) * 2^4 * 3^1 + C(5,2) * 2^3 * 3^2 + C(5,3) * 2^2 * 3^3 + C(5,4) * 2^1 * 3^4 + C(5,5) * 2^0 * 3^5通过利用组合数的性质和递推公式，我们可以得到：1 * 2^5 * 3^0 + 5 * 2^4 * 3^1 + 10 * 2^3 * 3^2 + 10 * 2^2 * 3^3 + 5 *2^1 * 3^4 + 1 * 2^0 * 3^5进一步计算，得到最终结果：1 * 32 * 1 + 5 * 16 *3 + 10 * 8 * 9 + 10 *4 * 27 +5 * 2 * 81 + 1 * 1 * 243= 32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243= 3125因此，(2 + 3)^5 = 3125。
二项式定理的性质
二项式定理的一般形式
二项式定理的一般形式是指将任意实数的幂展开为多项式的形式。该形式是 二项式定理的拓展和推广，适用于更加广泛的数学领域。
二项式定理的证明方法
二项式定理的证明方法有多种，主要有代数证明、组合证明和数学归纳法。 不同的证明方法提供了不同的视角和思路，加深了对定理的理解。
二项式定理的不等式性质
二项式定理具有多种有趣的不等式性质，如二项式展开的不等式、二项式系数的不等式等。这些性质在 数学推导和证明中具有重要的应理是数学中描述两个数相加或相乘的定理，用于展开二项式和计算多项式。该定理广泛应用于 代数、组合数学和概率论等领域。
二项式系数
二项式系数是二项式定理中的重要参数，表示在展开二项式时每个项的系数。 二项式系数由组合数学中的组合公式计算得出。
二项式定理的展开式
二项式定理可以将以二项式为底数的幂展开为多项式。展开式的项数为等差 数列，具有一定规律。展开式的具体形式可由二项式系数和幂运算计算得出。
二项式定理的性质
二项式定理是数学中重要的定理之一，涉及多个方面的性质和应用。本文将 介绍二项式定理的各种性质和相关内容。
二项式定理的公式
二项式定理是数学中用于展开二项式的重要公式，其形式为：$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^{k}$$ 其中，$C(n, k)$表示二项式系数。
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
二项式系数性质与应用
二项式系数性质与应用二项式系数是组合数学中的一种重要概念，它在代数、概率、统计等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式系数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二项式系数的基本性质1.1 二项式系数的定义二项式系数表示为C(n,k)，其中n和k为非负整数，且0 ≤ k ≤ n。
其计算方法为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中“!”表示阶乘运算。
1.2 二项式系数的对称性二项式系数具有对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。
这是由于在组合中，选取k个元素与选取n-k个元素是等价的。
1.3 二项式系数的递推关系二项式系数有递推关系：C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。
这一关系可以用来计算任意二项式系数，而无需重新计算阶乘。
1.4 二项式定理二项式定理是二项式系数的一个重要性质，表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) * a^(n-k) * b^k，其中Σ表示求和运算，k的取值范围为0到n。
二、二项式系数的应用2.1 代数中的应用在代数中，二项式系数被广泛应用于多项式展开和系数计算。
通过二项式定理，我们可以展开任意次多项式，从而计算多项式的各项系数。
2.2 概率与统计中的应用在概率与统计中，二项式系数与二项分布密切相关。
二项分布用于描述一组独立重复试验中成功（或失败）的次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数可以用二项式系数来表示。
2.3 组合数学中的应用二项式系数是组合数学的基础概念，它与排列、组合、二项式定理等紧密相关。
在组合数学中，可以利用二项式系数解决一些计数问题，如排列组合问题、子集问题等。
2.4 离散数学中的应用离散数学中的一些问题可以转化为二项式系数的计算问题，如定理证明、图论、递归关系等。
二项式系数的递推关系和性质在解决这些问题时起到了重要的作用。
2.5 应用于经济学和金融学二项式系数在经济学和金融学中也有一定的应用，例如二项式期权定价模型和二项式资产定价模型。
5.2二项式系数的性质
展开式的通项为
4
1
3 3
r=4,可得
r=3,故C
a
=7,易得
a=
.
8
3
2
1
答案 2
4
Tr+1=C8 ar 8-3 ,令
8-
目标导航
题型一
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型二
1 10
(2)解① +
的展开式的第
2
1 4
1 4 12
1 4
105 10
4
=
C
·
·
x
·
=
x .
10
2
2
8
2
②设第 k+1 项为常数项,则
1
A.-1
B. 2
解析C5
知识梳理
10,则实数 a 等于(
C.1
2r-5=3,得 r=4.
D.2
)
随堂演练
目标导航
1
2
3
4
知识梳理
典例透析
5
3.设(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则
a1+a2+…+a6=
.
答案:120
随堂演练
目标导航
1
2
4
2
-10
又第 6 项为常数项,∴ 3 =0,∴n=10.
5
随堂演练
目标导航
题型一
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型二
r
二项式系数是什么
直接计算法及其应用
二项式系数的直接计算法
• 对于较小的二项式系数，可以直接计算
• 例如：C(5, 3) = 5! / (3!2!) = 10
二项式系数的直接计算法在求解组合数问题中的应用
• 可以利用直接计算法求解组合数的问题
• 例如：C(10, 5) = 10! / (5!5!) = 252
代数法在二项式系数计算中的应用
• 可以通过二项式定理研究组合数学的其他问题
• 例如：二项式定理与排列组合、二项式定理与概率论等
03
二项式系数的性质与定理
二项式系数的性质及其证明
二项式系数的对称性
• C(n, k) = C(n, n-k)
• 可以通过数学归纳法进行证明
二项式系数的加法公式
• C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
• 描述了从n个不同元素中选取k个元素的组合数
二项式系数的定义与组合数的关系
• C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
• 组合数的计算可以通过二项式系数进行递归求解
二项式系数的表示方法
二项式系数的组合数表示法
• C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 其中n!表示n的阶乘，k!表示k的阶乘
二项式系数的性质在求解二项式定理问题中的应用
• 可以利用二项式系数的性质简化计算过程
• 例如：(a+b)^5 = Σ C(5, k) * a^(5-k) * b^k
04
二项式系数与其他数学概念的联系
二项式系数与多项式的关系
二项式系数与多项式的系数关系
二项式系数与多项式的运算关系
高中数学课件-二项式系数的性质
C0n＝ __C__nn____， C1n＝
C__nn_－_1__，…， Ckn＝ _C__nn_－_k__
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第一章 计数原理
性质
增减 性与 最大
值
自然语言
二项式系数 Ckn，当
n＋ k<
1时，二项式系数
2
是 ___递__增___的，由对称 性知它的后半部分 是
___递__减____的．当 n 是偶
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第一章 计数原理
(3)令 x＝－1， 得 32 015＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014－a2 015①. 令 x＝1， 得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＋a2 015②. 由②－①得，－1－32 015＝2(a1＋a3＋…＋a2 015)， 所以 a1＋a3＋a5＋…＋a2 015＝－12(1＋32 015)．
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第一章 计数原理
(4)因为(1－2x)2 015 的展开式中，a0，a2，a4，a6，…，a2 014 大于 零，而 a1，a3，a5，a7，…，a2 015 小于零， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015| ＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2 014)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015) 令 x＝－1，得 32 015＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014－a2 015， 解得(a0＋a2＋a4＋…＋a2 014)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＝32 015， 即|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015|＝32 015.
第一章 计数原理
2.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求 (1)a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
二项式系数
二项式系数在数学中，二项式系数是组合数学中的一个重要概念。
它们代表了在数学中处理多项式的系数时的一种模式。
二项式系数在代数、概率和统计等领域具有广泛的应用。
本文将讨论二项式系数的定义、性质和应用。
一、定义与表示二项式系数是指形如nCr的数值，它表示从n个不同元素中选择r 个元素的组合数。
其中，n是一个非负整数，r是一个介于0和n之间的整数。
二项式系数可以使用以下公式计算：nCr = n! / (r! * (n-r)!)，其中n!表示n的阶乘，也就是n的所有正整数乘积。
二项式系数符合以下性质：1. 对任意非负整数n，有nC0 = nCn = 1。
2. 对任意非负整数n，有nC1 = n。
3. 对任意正整数r，有nCr = nC(n-r)。
二项式系数还有另外一种表示方法，即使用组合数表。
组合数表是一个三角形矩阵，其中每个数值是由上一行的两个数值相加而来。
组合数表的第n行第r列即表示nCr。
组合数表如下所示：n: r=0 r=1 r=2 r=3 r=4 ...0: 11: 1 12: 1 2 13: 1 3 3 14: 1 4 6 4 1...二、性质与运算二项式系数具有多项式展开和二项式定理的性质，这使得它们非常有用。
以下是二项式系数的一些重要性质和运算：1. 二项式系数的对称性：nCr = nC(n-r)。
这个性质表明，选择r个元素与选择n-r个元素的方式是等价的。
2. 二项式系数的加法规则：对于任意非负整数m和n，m和n的和取值范围内，有以下等式成立：(m+n)Ck = mCk + mC(k-1) + ... + mC0。
3. 二项式系数的乘法规则：对于任意非负整数m和n，有以下等式成立：(m+n)Ck = ∑(i=0 → k) (mCi * nC(k-i))。
这个等式表明，可以通过将m和n分别与k个元素的组合数相乘来计算(m+n)Ck。
4. 二项式系数的递推关系：利用组合数表，可以通过上一行的两个数值相加来计算下一行。
高中数学第1章计数原理1.5第2课时二项式系数的性质及应用课件苏教版选修2_3
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
2019/5/29
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，解得 5≤r≤6.
∴r＝5 或 r＝6.
∴系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
[一点通] (1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这 并不意味着等号两边的个数相同．当 n 为偶数时，奇数项的二项式 系数多一个；当 n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项 式系数个数相同． (2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式 系数与各项系数相等时，二者才一致． (3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需 根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式 (组)的方法求得．
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二项式系数
二项式系数第二节二项式定理1、二项式定理：(1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn。
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr (r＝0,1,2,…,n)为展开式第r+1项。
(3)展开式的特点：共有n＋1项；第r＋1项的二项式系数为C；2、二项式系数的性质:(1)C＝C。
(2)若n为偶数,中间一项＋1的二项式系数最大；若n奇数,中间两项、＋1的二项式系数相等并且最大．(3)C＋C＋C＋…＋C＝2n。
(4)C＋C＋C。
＝C＋C＋C＋。
＝2n－1、3、二项式中的最值问题求(a＋b)n展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1设第r＋1项系数最大，则4、二项式定理的主要应用(1)赋值求值；(2)证明一些整除问题或求余数；(3)证明有关等式与不等式；(4)进行近似计算。
例1、(1)求的值。
(2)求展开式中含项的系数为？(3)求展开式中所有有理项。
练习1:(1＋3)(＋)6展开式中的常数项为_____．例2、已知(+)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1、(1)求展开式中各项系数和及二项式系数和；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．例3、已知(3－1)7＝a07＋a16＋…＋a6＋a7。
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a7的值；(2)求，a0，＋，a1，＋，a2，＋…＋，a7，的值；(3)求a1＋a3＋a5＋a7的值．解析(1)令＝1，得a0＋a1…＋a7＝(31－1)7＝27＝128。
(2)易知a1，a3，a5，a7为负值，，a0，＋，a1，＋，a2，＋…＋，a7，＝a0－a1＋a2－…－a7＝－(－a0＋a1－a2＋…＋a7)－[3(－1)－1]7＝47。
(3)令f()＝(3－1)7，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7，f(－1)＝－a0＋a1－a2＋…＋a7。
∴2(a1＋a3＋a5＋a7)＝f(1)＋f(－1)＝27－47。
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n1
方法(1):倒序相加； 方法(2):运用重要结论：
1 n 2 n 3 n
kC nC
k n
n1
k 1 n 1
n n
变：C 2C 4C 2 C
典型例题
3、求证:对一切正整数n,都有:
1 n 1 1 1 0 1 1 2 r n (1 ) Cn Cn Cn 2 Cn r Cn n n n n n n 1 1 1 11 1 2 2 3 n( n 1) 1 3 n 1 n(n 1)(n 2)(n r 1) 1 1 r Cn r (r 2) r n r ! n r ! r (r 1)
巩固练习
8.在二项式(a-b)2n+1的展开式中,下列结论正确的是( A.中间一项的二项式系数最大. B.中间两项的二项式系数相等且最小. C.中间两项的二项式系数相等且最大. D.中间两项的二项式系数是互为相数. )
1 n 9.如果 ( x 3 ) 的展开式中,只有第6项的系数最大, x
3
那么常数项是( ) A.462 B.252
……
0 2
C10
C0
1 C2
C
1 1
(a+b)n的展开式的二项式系数:
C , C , , C , , C
0 n 1 n r n
从函数角度看, C {0,1,2,…，n} f(r),其定义域为 是 n+1 个孤立的点.
r n 可以看成是以r为自变量的函数
n n
,其图象
二项式系数的哪些性质： (1)对称性： C
5 1 5 15 35
6 1 6 21 56
7 1 7 28
8 1 8 36
9 1 9
10
1
70 126
56 126 85
一 一 一 84 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十 二 十 六 一 五 十 五 杨辉三角(宋代 贾宪 1023--1063)
帕斯卡三角(法国 1623--1662)
m n
C
n
nm n
(2)每行两端都是1，除1以外的每个数都等于“肩” m m1 m 上两数之和.即: C C C
n n1
n
(3)C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
(4)增减性与最大值： r r 1 r n 1 n 1 时, Cn 当r 时, Cn Cn ; 当 r 2 2 n ①当n为偶数时, ②当n为奇数时,
问题情境
1.观察n=0,1,2,3,…时, (a+b)n展开式的二项式系数,写 出n=6时的二项式系数.
(a+b)0 ---------------------------- 1 (a+b)1 ------------------------- 1 1 (a+b)2 ------------------------ 1 2 1 (a+b)3 -------------------- 1 3 3 1 (a+b)4 ------------------- 1 4 6 4 1 (a+b)5 -------------- 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 ------------ 1 6 15 20 15 6 1
C.210
D.10
巩固练习
10.设 (2 (1)求a0;
x a100 x
2
100
a2 a3 a100 ; (3)求 a1 a3 a5 a99 ; 2 2 (4)求 (a0 a2 a4 a100 ) (a1 a3 a5 a99 )
巩固练习
5、(x-2)9的展开式中,各二项式系数的最大值是____, 它是展开式中的第_____项.
6、(2a-3b)n的展开式中,二项式系数最大的是第8项和 第9项,则它的第4项的系数是________. 7、已知(1-2x)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和 为32,则该二项式展开式的中间项是_________.
C
r 1 n ;
Cn2
C 、C
C
r n
n 1 2 n
最大;
n 1 2 最大; n
先增后减,在中间取得最大值.
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 3 6 10 15 21 28 36
4 1 4 10 20 35
各项的二项式系数可以排成如图形状 : 0 你能得到二项式系数的 哪些性质?
C 22 0 1 3 2 C 3 C3 C 3 C 3 4 1 0 2 3 C C4 C4 C4 C4 4 5 1 2 3 4 0 C 5 C5 C 5 C 5 C 5 C 5 1 C 60 C 6 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 C
1 n 2 (1 ) 3 n
综合练习
1、915÷10的余数是_______; 2、今天是星期六,今天后的第100100天是星期_____. 3、二项式(x-2)9的展开式中各项系数之和为( A.512 B.-1 C.1 D.-10 )
4、(2x-y)5的展开式中各项系数和是________.展 开式中二项式系数和是_______.
(2)求 a1 (5)求 | a1 | | a2
| | a3 | | a100 |
7.(1+x)n展开式的奇数项之和为A,偶数项之和为B, 则(1-x2)n的展开式的各项和为___________.
8.(1+x+1/x)7展开式中的常数项为________.
9.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则 a0+a2+a4 …+a2n的值为_______.
典型例题
1、求证：在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式 系数之和等于偶数项的二项式系数之和.
C C C C C C 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
1 2 2、求证：Cn 2Cn
n1
3C nC n 2
3 n n n