二项式系数的性质及应用1
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(2)求 a1 (5)求 | a1 | | a2
| | a3 | | a100 |
7.(1+x)n展开式的奇数项之和为A,偶数项之和为B, 则(1-x2)n的展开式的各项和为___________.
8.(1+x+1/x)7展开式中的常数项为________.
9.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则 a0+a2+a4 …+a2n的值为_______.
……
0 2
C10
C0
1 C2
C
1 1
(a+b)n的展开式的二项式系数:
C , C , , C , , C
0 n 1 n r n
从函数角度看, C {0,1,2,…，n} f(r),其定义域为 是 n+1 个孤立的点.
r n 可以看成是以r为自变量的函数
n n
,其图象
二项式系数的哪些性质： (1)对称性： C
5 1 5 15 35
6 1 6 21 56
7 1 7 28
8 1 8 36
9 1 9
10
1
70 126
56 126 85
一 一 一 84 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十 二 十 六 一 五 十 五 杨辉三角(宋代 贾宪 1023--1063)
帕斯卡三角(法国 1623--1662)
m n
C
n
nm n
(2)每行两端都是1，除1以外的每个数都等于“肩” m m1 m 上两数之和.即: C C C
n n1
n
(3)C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
(4)增减性与最大值： r r 1 r n 1 n 1 时, Cn 当r 时, Cn Cn ; 当 r 2 2 n ①当n为偶数时, ②当n为奇数时,
C.210
D.10
巩固练习
10.设 (2 (1)求a0;
3x)
100
源自文库
a0 a1 x a2 x a100 x
2
100
a2 a3 a100 ; (3)求 a1 a3 a5 a99 ; 2 2 (4)求 (a0 a2 a4 a100 ) (a1 a3 a5 a99 )
1 n 2 (1 ) 3 n
综合练习
1、915÷10的余数是_______; 2、今天是星期六,今天后的第100100天是星期_____. 3、二项式(x-2)9的展开式中各项系数之和为( A.512 B.-1 C.1 D.-10 )
4、(2x-y)5的展开式中各项系数和是________.展 开式中二项式系数和是_______.
C
r 1 n ;
Cn2
C 、C
C
r n
n 1 2 n
最大;
n 1 2 最大; n
先增后减,在中间取得最大值.
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 3 6 10 15 21 28 36
4 1 4 10 20 35
典型例题
1、求证：在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式 系数之和等于偶数项的二项式系数之和.
C C C C C C 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
1 2 2、求证：Cn 2Cn
n1
3C nC n 2
3 n n n
各项的二项式系数可以排成如图形状 : 0 你能得到二项式系数的 哪些性质?
C 22 0 1 3 2 C 3 C3 C 3 C 3 4 1 0 2 3 C C4 C4 C4 C4 4 5 1 2 3 4 0 C 5 C5 C 5 C 5 C 5 C 5 1 C 60 C 6 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 C
巩固练习
8.在二项式(a-b)2n+1的展开式中,下列结论正确的是( A.中间一项的二项式系数最大. B.中间两项的二项式系数相等且最小. C.中间两项的二项式系数相等且最大. D.中间两项的二项式系数是互为相数. )
1 n 9.如果 ( x 3 ) 的展开式中,只有第6项的系数最大, x
3
那么常数项是( ) A.462 B.252
问题情境
1.观察n=0,1,2,3,…时, (a+b)n展开式的二项式系数,写 出n=6时的二项式系数.
(a+b)0 ---------------------------- 1 (a+b)1 ------------------------- 1 1 (a+b)2 ------------------------ 1 2 1 (a+b)3 -------------------- 1 3 3 1 (a+b)4 ------------------- 1 4 6 4 1 (a+b)5 -------------- 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 ------------ 1 6 15 20 15 6 1
n1
方法(1):倒序相加； 方法(2):运用重要结论：
1 n 2 n 3 n
kC nC
k n
n1
k 1 n 1
n n
变：C 2C 4C 2 C
典型例题
3、求证:对一切正整数n,都有:
1 n 1 1 1 0 1 1 2 r n (1 ) Cn Cn Cn 2 Cn r Cn n n n n n n 1 1 1 11 1 2 2 3 n( n 1) 1 3 n 1 n(n 1)(n 2)(n r 1) 1 1 r Cn r (r 2) r n r ! n r ! r (r 1)
巩固练习
5、(x-2)9的展开式中,各二项式系数的最大值是____, 它是展开式中的第_____项.
6、(2a-3b)n的展开式中,二项式系数最大的是第8项和 第9项,则它的第4项的系数是________. 7、已知(1-2x)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和 为32,则该二项式展开式的中间项是_________.
| | a3 | | a100 |
7.(1+x)n展开式的奇数项之和为A,偶数项之和为B, 则(1-x2)n的展开式的各项和为___________.
8.(1+x+1/x)7展开式中的常数项为________.
9.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则 a0+a2+a4 …+a2n的值为_______.
……
0 2
C10
C0
1 C2
C
1 1
(a+b)n的展开式的二项式系数:
C , C , , C , , C
0 n 1 n r n
从函数角度看, C {0,1,2,…，n} f(r),其定义域为 是 n+1 个孤立的点.
r n 可以看成是以r为自变量的函数
n n
,其图象
二项式系数的哪些性质： (1)对称性： C
5 1 5 15 35
6 1 6 21 56
7 1 7 28
8 1 8 36
9 1 9
10
1
70 126
56 126 85
一 一 一 84 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十 二 十 六 一 五 十 五 杨辉三角(宋代 贾宪 1023--1063)
帕斯卡三角(法国 1623--1662)
m n
C
n
nm n
(2)每行两端都是1，除1以外的每个数都等于“肩” m m1 m 上两数之和.即: C C C
n n1
n
(3)C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
(4)增减性与最大值： r r 1 r n 1 n 1 时, Cn 当r 时, Cn Cn ; 当 r 2 2 n ①当n为偶数时, ②当n为奇数时,
C.210
D.10
巩固练习
10.设 (2 (1)求a0;
3x)
100
源自文库
a0 a1 x a2 x a100 x
2
100
a2 a3 a100 ; (3)求 a1 a3 a5 a99 ; 2 2 (4)求 (a0 a2 a4 a100 ) (a1 a3 a5 a99 )
1 n 2 (1 ) 3 n
综合练习
1、915÷10的余数是_______; 2、今天是星期六,今天后的第100100天是星期_____. 3、二项式(x-2)9的展开式中各项系数之和为( A.512 B.-1 C.1 D.-10 )
4、(2x-y)5的展开式中各项系数和是________.展 开式中二项式系数和是_______.
C
r 1 n ;
Cn2
C 、C
C
r n
n 1 2 n
最大;
n 1 2 最大; n
先增后减,在中间取得最大值.
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 3 6 10 15 21 28 36
4 1 4 10 20 35
典型例题
1、求证：在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式 系数之和等于偶数项的二项式系数之和.
C C C C C C 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
1 2 2、求证：Cn 2Cn
n1
3C nC n 2
3 n n n
各项的二项式系数可以排成如图形状 : 0 你能得到二项式系数的 哪些性质?
C 22 0 1 3 2 C 3 C3 C 3 C 3 4 1 0 2 3 C C4 C4 C4 C4 4 5 1 2 3 4 0 C 5 C5 C 5 C 5 C 5 C 5 1 C 60 C 6 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 C
巩固练习
8.在二项式(a-b)2n+1的展开式中,下列结论正确的是( A.中间一项的二项式系数最大. B.中间两项的二项式系数相等且最小. C.中间两项的二项式系数相等且最大. D.中间两项的二项式系数是互为相数. )
1 n 9.如果 ( x 3 ) 的展开式中,只有第6项的系数最大, x
3
那么常数项是( ) A.462 B.252
问题情境
1.观察n=0,1,2,3,…时, (a+b)n展开式的二项式系数,写 出n=6时的二项式系数.
(a+b)0 ---------------------------- 1 (a+b)1 ------------------------- 1 1 (a+b)2 ------------------------ 1 2 1 (a+b)3 -------------------- 1 3 3 1 (a+b)4 ------------------- 1 4 6 4 1 (a+b)5 -------------- 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 ------------ 1 6 15 20 15 6 1
n1
方法(1):倒序相加； 方法(2):运用重要结论：
1 n 2 n 3 n
kC nC
k n
n1
k 1 n 1
n n
变：C 2C 4C 2 C
典型例题
3、求证:对一切正整数n,都有:
1 n 1 1 1 0 1 1 2 r n (1 ) Cn Cn Cn 2 Cn r Cn n n n n n n 1 1 1 11 1 2 2 3 n( n 1) 1 3 n 1 n(n 1)(n 2)(n r 1) 1 1 r Cn r (r 2) r n r ! n r ! r (r 1)
巩固练习
5、(x-2)9的展开式中,各二项式系数的最大值是____, 它是展开式中的第_____项.
6、(2a-3b)n的展开式中,二项式系数最大的是第8项和 第9项,则它的第4项的系数是________. 7、已知(1-2x)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和 为32,则该二项式展开式的中间项是_________.