现代信号处理作业_正交小波变换和软阈值方法对图像去噪的报告

正交小波变换和软阈值方法对图像去噪的报告

姓名：李晓恩 学号：201121070101 自动化工程学院

随着计算机科学和图像处理技术的迅速发展，数字图像在医学成像、模式识别等方面取得了广泛应用。但是，现场采集的数字图像一般都包含噪声，而且有些图像的噪声非常严重，因此，需要对数字图像进行去噪处理，便于更高层次的图像分析与理解。本报告简要叙述正交小波变换和软阈值方法对数字图像的去噪进行了研究与实现。

1 小波滤波器选择

小波分析继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化的缺点，它提供了一个变化的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。小波变换具有很大的灵活性，在理论上可以有无数个小波基可供选择，同时这也为小波变换的应用提出了一个难题，那就是如何正确选择小波基。由于小波变换是将原始图像与小波基函数以及尺度函数进行内积运算，1989 年Daubechies 基于离散滤波器迭代的方法构造了紧支集的规范正交小波基，因而内积运算转换为信号和离散滤波器的卷积运算，小波变换中的小波基的选择转换为正交镜像滤波器组的选择。

Haar 小波是所有正交紧支撑小波中唯一具有对称性的小波，Haar 小波的支撑极短，其高通和低通滤波器均只有两拍，可以节省计算量，所以选择Haar 小波基作为正交小波变换的小波基。

2 Mallat 算法

Mallat 以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法——Mallat 算法。小波理论获得突破性进展，使得小波分析成为近年来迅速发展起来的新兴学科并得到广泛应用。

设

{}Z

n k n k ∈,,ψ是2L 中的正交小波基，则对于任意的2L f ∈，()x f 有如下展开:

()()

x x f kn Z

n ,k kn

d

ψ∑∈=

(1)

其中：

Z

n k f d kn kn ∈∈,,ψ (2)

由于式1是一无穷基数，其系数d ，需要按照式子2来计算，但对于()x kn ψ来说，其一般不具有初等解析表达式。在实际的图像处理过程中，输入信号()x f 一般以数值方式给出

Mallat 二维塔式快速小波变换的分解过程如图1所示，重构过程如图2所示。

（)(0n H ，)(0n G 分别为低通和高通滤波器）

图1 二维小波分解示意图

（)(1n H ，)(1n G 分别为低通和高通滤波器）

图2 二维小波重构示意图

Mallat 算法通过一组分解滤波器H （低通滤波器LPF ）和G （高通滤波器HPF ）对信号进行滤波，然后对输出结果进行下二采样（指隔一取一）来实现小波分解，分解的结果是产生长度减半的两个部分，一个是经低通滤波器产生的原始信号的平滑部分，另一个则是经高

通滤波器产生的原始信号细节部分。重构时使用一组h 和g 合成滤波器对小波分解的结果滤波，再进行上二采样（相邻两点间补零）来生成重构信号。多级小波分解通过级联的方式进行，每一级的小波变换都是在前一级分解产生的低频分量上的继续，重构是分解的逆运算。低频分量上的信息比较丰富，能量集中；高频分量上的信息分量多为零，细节信息丰富，能量较少。

图像

()

L f A d j 12-经过二维小波分解后，可以得到四幅子图像

()

12LL f A d

j ,

()

12HL f A d

j ，

()

12LH f A d

j 和

()

12HH f A d

j )。它们分别表示在尺度j

2上的水平低通-垂直

低通子图像，水平带通-垂直低通子图像，水平低通-垂直带通子图像，水平带通-垂直带通子图像。可以对子图像()

12LL f A d

j 再次小波分解，得到尺度1

2

+j 上的四幅子带图像，类似的

可以对图像

()

121LL f A d

j +再次分解，以此类推，可以得到图像的多级小波分解，得到不同分

辨的子带图像。图4是图像的三级小波分解LL 表示水平低通-垂直低通子图像，LH 表示水平低通-垂直带通子图像，HL 表示水平低通-垂直低通子图像，HH 水平带通-垂直带通子图像(下标表示不同的分辨率)。

图4 图像三级小波分解示意图

图像经过小波变换后，能够获得良好的空间一频率多分辨率表示，小波变换具有以下主要特征：

（1）不仅保持原图像的空间特性，而且很好的提取了图像的高频信息。在低频处有很好的频率特性，在高频处有很好的空间选择性；

（2）小波分量有方向选择性，分为水平、垂直、斜向，这些特性都和人类的视觉特性相吻合；

（3）能量主要集中在低频子带图像；

（4）低通模糊子图具有很强的相关性，水平子带图像在水平方向相关系数大，而垂直方向小;垂直子带图像在垂直方向相关系数大，而水平方向小：斜子带图像在垂直方向和水平方向相关系数都小。

3 阈值处理函数选取

Donoho[8]将阈值处理函数分为软阈值和硬阈值，设w 是小波系数的大小，λw 是施加

阈值后的小波系数大小，λ是阈值。

（1）硬阈值( hard thresholding)

当小波系数的绝对值小于给定阈值时，令其为0，而大于阈值时，保持其不变，即

⎪⎩⎪⎨

⎧<≥=λλλw w w w ,0,

(16)

（2）软阈值(soft thresholding)

当小波系数的绝对值小于给定阈值时，令其为0，大于阈值时，令其都减去阈值，即

()[]()⎪⎩⎪⎨

⎧<≥-=λλλλw w w w sign w ,0,

(17)

（a ）信号 （b ）硬阈值 （c ）软阈值

图5 两种阈值处理函数示意图

硬阈值函数在

λ

=w 处是不连续的，容易造成去噪后的图像在奇异点附近出现明显的

Pseudo-Gibbs 现象。软阈值的去噪效果都要好于硬阈值去噪，这主要是因为软阈值法具有连

续性，从而使去噪后的图像相对平滑，但就保留细节而言，硬阈值法要好于软阈值法，这充分体现了软阈值法和硬阈值法各自的特点。

阈值的选择是离散小波去噪中最关键的一步。在去噪过程中，小波阈值λ起到了决定性作用：如果阈值太小，则施加阈值后小波系数将包含过多的噪声分量，

达不到去噪的效果；