高中数学指数与指数函数知识梳理
指数及指数函数知识点总结及经典例题
高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点数学中的指数与指数函数是非常重要且常见的概念。
在我们的日常生活中，指数和指数函数可以用来描述各种自然现象、科学问题以及经济趋势等。
本文将详细介绍指数与指数函数的定义、性质以及一些常见应用，以加深读者对这一概念的理解。
一、指数的定义和性质在数学中，指数是一种表示幂次方的数学运算。
指数是由两个数构成，其中一个为底数，另一个为指数。
底数表示要进行幂运算的数字，指数表示底数要乘以自身多少次。
例如，2的3次方即为2的指数为3的结果，即2x2x2=8。
指数函数是指数的一种特殊形式，即以常数为底数的幂函数。
指数函数的一般形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是指数函数的值。
指数函数的图像通常具有特定的特征，例如，当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
指数有一些基本的性质。
首先，任何数的0次方都等于1，即a^0=1。
其次，任何非零数的负指数都是倒数，即a^(-n)=1/(a^n)。
此外，指数相乘等于底数不变指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
二、指数函数的应用指数函数在各个领域都有广泛的应用。
以下是指数函数在生活和科学中的一些常见应用：1. 经济增长：经济学家常常使用指数函数来描述一个国家或地区的经济增长趋势。
经济增长往往呈现指数增长的形式，即以固定的增长率逐渐增加。
指数函数可以帮助经济学家预测未来的经济趋势和制定相应的政策。
2. 生物衰变：在生物学的研究中，指数函数可以用来描述物种的衰变过程。
例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数进行建模。
指数函数的形式可以提供准确地描述和计算物种在特定时间内的衰减情况。
3. 自然增长：人口学家使用指数函数来研究人口的自然增长过程。
指数函数可以帮助人口学家了解一个地区的人口趋势和人口变化的因素，为政府提供人口规划和政策制定方面的参考。
4. 电子电路：在电子学中，指数函数可以用来描述电路中的电流和电压变化。
人教高中数学必修二B版《指数与指数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(实数指数幂及其运算)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练 1 化简与计算下列各式:
(1) 2
(2) 2
3 0
5
1
+2-2× 2
7 0.5
9
1 -2
4
-(0.01)0.5;
2
+(0.1)-2+ 2
10 -3
27
37
48
-3π0+ ;
1
-1
+1
-3
(2) (-6)2 =|-6|=6.
4
(3) (-8)4 =|-8|=8.
(4) (-)2 =|x-y|=
3
(5) (3-π)3 =3-π.
-, ≥ ,
-, < .
课前篇自主预习
一
二
三
三、指数幂的运算法则
m-n
1.如何推导 =a (m>n,a≠0)?
m 1
提示: =a ·=am·a-n=am-n.
3 -1
=
1
2
3 -1+ 3
−
1
2
3 +1- 3
−
1
1
3 =- 3 .
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
利用根式的性质化简或求值
例2 (1)计算下列各式:
①(
5)2;
4
③ (-2)4 ;
3
② (-2)3 ;
④ (-)2 (a>b).
(2)化简下列各式:
6
2
专题09 指数与指数函数(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.指数及指数运算(1)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题09指数与指数函数根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0mm mab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2.指数函数⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()xy a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（）A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0).（3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+D ．()f x 是增函数例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21xf x a a =-+为实常数).（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+ ．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围．【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,4D ．()2,4例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x =++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783≈）（）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!nxx x x x n =+++++++ ，其中R,N x n ∈∈的近似值为（精确到0.01）（）A ．1.63B ．1.64C ．1.65D ．1.664．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（）A ．26B ．16C ．－16D ．－265．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）．A ．13B ．1CD ．26．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （）A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(22xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（）A 1=，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（）A ．0a b ->B ．22a b>C ．ac bc>D ．22a b >12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x xx f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0, +上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知1122a a-+=3，求22112a a a a --++++的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根；(2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；(3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.。
指数与指数函数高考知识点
指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。
本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。
一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。
指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。
其中，a称为底数，n称为指数。
指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。
二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。
在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。
三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。
在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。
指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。
高中数学必修一 指数运算性质及指数函数
第8课时 指数运算性质及指数函数知识点一 分数指数幂 给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m，我们把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝mn a .指数运算性质 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数.当a >0，b >0时，有： (1)a m ·a n ＝ ；(2)(a m )n ＝ ；(3)(ab )n ＝ ，其中m ，n ∈R . 例1 计算下列各式(式中字母都是正数).(1)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b ÷－－；2152.530.064-0⎡⎤-π.⎢⎥⎣⎦（） 知识点二 指数函数一般地，函数 叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .注意①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③a x 的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y ＝2x ＋1不是指数函数. 知识点三 指数函数的图像和性质例2 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2x －1；③y ＝⎝⎛⎭⎫π2x；④y ＝13x-；⑤y ＝13x . (2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________. (3)若函数y ＝(2a －3)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 例3 (1)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )(2)函数f (x )＝1＋a x －2(a >0，且a ≠1)恒过定点________.(3)已知函数y ＝3x 的图像，怎样变换得到y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1＋2的图像？并画出相应图像.跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图像经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0) 例4 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.跟踪训练4 比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1；(3)0.2－3，(－3)0.2.例5 (1)不等式4x <42－3x的解集是________.(2)解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1).例6 判断f (x )＝2213x x⎛⎫ ⎪⎝⎭－的单调性，并求其值域.反思感悟研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )的单调性相同.当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )的单调性相反.跟踪训练6 求函数y ＝223x x a ＋－的单调区间.课后作业1.化简238的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.－x ＝12()x －(x >0) B.1263=y y (y <0) C.33441=xx ⎛⎫⎪⎝⎭－(x >0) D.133=x x －(x ≠0) 3.式子a 2a ·3a 2(a >0)经过计算可得到( ) A.a B.1a6 C.5a 6 D.6a 5 4.计算124－⎝⎛⎭⎫12－1＝________.5.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－3)x B.y ＝－3x C.y ＝3x －1D.y ＝⎝⎛⎭⎫13x6.若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A.a >0，且a ≠1 B.a ≥0，且a ≠1 C.a >12，且a ≠1 D.a ≥127.函数f (x )＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <08.函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点_________________________________. 9.函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________. 10.下列各式中成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫m n 7＝177n m B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝34()x y + D.39＝3311.下列大小关系正确的是( )A.0.43<30.4<π0B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0D.π0<30.4<0.43 12.方程42x －1＝16的解是( )A.x ＝－32B.x ＝32 C.x ＝1 D.x ＝213.函数f (x )＝2112x ⎛⎫⎪⎝⎭－的递增区间为( )A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.(－1，＋∞)D.(－∞，－1) 14.函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝2x ，y ＝3x的图像(如图)分别是________.(用序号作答)15.设0<a <1，则关于x 的不等式22232223x x x x aa －＋＋－＞的解集为________.16.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b 17.已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( ) A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数18.计算：⎝⎛⎭⎫2590.5－⎝⎛⎭⎫27813-－⎝⎛⎭⎫－780＋160.25＝__________________________________.19.已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________. 20.已知函数f (x )＝4x －14x ＋1.(1)解不等式f (x )<13；(2)求函数f (x )的值域.能力提升 已知定义在R 上的函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断f (x )的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围.。
高中相关指数的知识点总结
高中相关指数的知识点总结一、指数的概念1. 数学中，指数是幂的形式，指数是用来表示一个数用自己乘以自己多少次。
2. 指数的写法：a^n (读为a的n次方)，a称为底数，n称为指数。
3. 指数的含义：a^n表示a相乘的次数，例如2^3=2*2*2=8。
4. 0的0次幂：0的0次幂在数学中没有意义。
5. 负指数：如果指数为负数，就表示底数的倒数，例如2^-3=1/2^3=1/8。
6. 分数指数：如果指数为分数，就表示开方，例如2^(1/2)=√2。
7. 指数的定义：一个数的n次方是这个数自己连乘n次，a^n=a*a*a*...*a (n个a相乘)。
二、指数的运算规则1. 指数的乘法：a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 指数的除法：a^m / a^n = a^(m-n)。
3. 指数的乘方：(a^m)^n = a^(m*n)。
4. 指数的开方：a^(m/n) = n√(a^m)。
5. 不同底数指数相乘：a^m * b^m = (a*b)^m。
6. 不同底数指数相除：a^m / b^m = (a/b)^m。
7. 不同底数指数相加减：不能进行运算，要化为同底数。
三、指数函数1. 指数函数的定义：y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。
2. 指数函数的特点：a>1时，曲线上升；0<a<1时，曲线下降。
3. 指数函数的图像：随着底数a的不同而不同，但都经过点(0,1)。
4. 指数函数的性质：a^0=1，a^1=a，a^(-x)=1/a^x。
5. 指数函数的定义域：定义域为实数集R。
6. 指数函数的值域：值域为正实数集R+。
7. 指数函数的增减性：a^x随着x的增大而增大，a^(-x)随着x的增大而减小。
8. 指数函数的奇偶性：若a为正数，则奇函数；若a为负数，则偶函数。
四、对数函数1. 对数函数的定义：y=loga(x)，其中a>0，a≠1，x>0。
2. 对数函数与指数函数的关系：y=loga(x)是指数方程a^y=x的解。
高中数学指数与指数函数
1.－287－
2 3
＋(0.002)－12
－10(
5－2)－1＋(
2－
3)0＝________.
解析：原式＝－287－23 ＋5100－12 － 51－0 2＋1
＝－287
2 3
＋500
1 2
－10(
5＋2)＋1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1697.
答案：－1697
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
－3
·b 2
＝－54·
a1b3＝－54aabb2 .
－1 1 －1 1
(3)原式＝a
3 b 2 ·a 2 b 3
－1 1
a 2b3
＝a－1－1－1 326
·b
1＋1＋5 236
＝1a.
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
指数与指数函数 结 束
[易错提醒]
(1)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
指数与指数函数 结 束
突破点(三) 指数函数的性质及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
指数函数的性质
函数
y＝ax(a>0，且 a≠1)
0<a<1
a>1
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性 单调性 在 R 上是 减函数 在 R 上是 增函数
质
函数值变化 规律
解析：因为
x>0，所以原式＝(2x
1 4
)2－(3
3 2
)2－4x－12
·x＋4x－12
高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数
高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数一样地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数，下面是高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数，期望对考生有关心。
指数函数的一样形式为，从上面我们关于幂函数的讨论就能够明白，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小阻碍函数图形的情形。
能够看到：(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，那个地点的前提是a大于0，关于a不大于0的情形，则必定使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形差不多上下凹的。
(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5) 能够看到一个明显的规律，确实是当a从0趋向于无穷大的过程中(因此不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
(7) 函数总是通过(0，1)这点。
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
高中数学总复习：指数与指数函数
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高中总复习·数学（提升版）
解题技法
指数方程或不等式的解法
（1）解指数方程或不等式的依据：① af （ x ）＝ ag （ x ）⇔ f （ x ）＝ g
（ x ）；② af （ x ）＞ ag （ x ），当 a ＞1时，等价于 f （ x ）＞ g
（ x ）；当0＜ a ＜1时，等价于 f （ x ）＜ g （ x ）；
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2. （多选）已知实数 a ， b 满足等式2 a ＝3 b ，下列关系式中可能成立
的是（
）
A. 0＜ b ＜ a
B. a ＜ b ＜0
C. b ＜ a ＜0
D. a ＝ b
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解析：
作出函数 y ＝2 x 与函数 y ＝3 x 的图象（如图），当
第五节 指数与指数函数
1. 通过对有理数指数幂 （ a ＞0，且 a ≠1； m ， n 为整数，且 n ＞
0）、实数指数幂 ax （ a ＞0，且 a ≠1； x ∈R）含义的认识，了解
指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
2. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
2
2
2
A. b ＞ c ＞ a
B. b ＞ a ＞ c
C. c ＞ b ＞ a
D. c ＞ a ＞ b
−(−1）2
，记 a ＝ f
）
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解析：函数 f （ x ）＝
−(−1）2
是由函数 y ＝e u 和 u ＝－（ x －1）2
复合而成的复合函数， y ＝e u 为R上的增函数， u ＝－（ x －1）2在
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数高频考点知识梳理(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数高频考点知识梳理单选题1、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√e )D ．(0,√e ) 答案：B分析：f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解.f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)， 函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，即x 2+e −x −12=x 2+ln(x +a)，整理的：e −x −12=ln(x +a)，y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，如图：临界值在x =0处取到（虚取），此时a =√e ， 故当a <√e 时y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，故选：B.2、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =1与y =x 0B ．y =x 与y =(√x)2C ．y =2log 2x 与y =log 2x 2D ．y =ln 1+x 1−x 与y =ln (1+x )−ln (1−x )答案：D分析：分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.对于A ：y =1定义域为R ，y =x 0定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确； 对于B ：y =x 定义域为R ，y =(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确； 对于C ：y =2log 2x 的定义域为{x|x >0}，y =log 2x 2定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确；对于D ：由1+x 1−x >0可得(x +1)(x −1)<0，解得：−1<x <1，所以y =ln 1+x 1−x 的定义域为{x|−1<x <1}，由{1+x >01−x >0可得−1<x <1，所以函数y =ln (1+x )−ln (1−x )的定义域为{x|−1<x <1}且y =ln (1+x )−ln (1−x )=ln1+x 1−x ，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确，故选：D.3、已知对数式log (a+1)24−a （a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a >0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}.故选：C.4、若函数f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0恒成立，所以ln [(1−a 2)x 2+1]=0，即(1−a 2)x 2=0 恒成立，所以1−a 2=0，即a =±1．当a =1时，f (x )=ln(x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意；当a =−1时，f (x )=ln(−x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意；故选：C.5、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（ ）A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.{10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ， 令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，故选：B.6、已知函数f(x)=a x−2+1(a >0,a ≠1)恒过定点M(m,n)，则函数g(x)=n −m x 不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C解析：利用指数函数的性质求出m ，n ，得出g(x)的解析式，从而得出结论．∵f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点(2,2)，∴m=n=2，∴g(x)=2−2x，∴g(x)为减函数，且过点(0,1)，∴g(x)的函数图象不经过第三象限．故选：C．7、计算：2lg√5−lg4−12=（）A．10B．1C．2D．lg5答案：B分析：应用对数的运算性质求值即可.2lg√5−lg4−12=lg(√5)2+lg√4=lg5+lg2=lg10=1.故选：B8、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+a与对数函数y=log a x（a>0且a≠1）的图象关系可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾，B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾，C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致，D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选：C．多选题9、已知函数f(x)={e x−1,x≥m−(x+2)2,x<m(m∈R)，则（）A．对任意的m∈R，函数f(x)都有零点.B．当m≤−3时，对∀x1≠x2，都有(x1−x2)(f(x1)−f(x2))<0成立.C．当m=0时，方程f[f(x)]=0有4个不同的实数根.D．当m=0时，方程f(x)+f(−x)=0有2个不同的实数根.答案：AC分析：讨论m的取值范围即可判断函数零点个数，可判断A；当m≤−3时，由指数函数与二次函数的单调性可判断B；当m=0时，令t=f(x)，由f(t)=0得t=0或t=−2，结合图象可判断C；当m=0时，方程f(x)+f(−x)=0，则f(x)=−f(−x)，结合图象可判断D．当e x−1=0时，x=0；当−(x+2)2=0时，x=−2；所以当m>0时，函数f(x)只有1个零点，当−2<m≤0时，函数f(x)只有2个零点，m≤−2时，函数f(x)只有1个零点，故A正确；当m≤−3时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数f(x)为单调递增函数，故B错；当m=0时，令t=f(x)，由f(t)=0得t=0或t=−2，作出函数f(x)的图象如图所示，当t=f(x)=−2时，方程f[f(x)]=0有两个解；t=f(x)=0方程f[f(x)]=0有两个解；所以方程f[f(x)]=0有4个不同的实数根，故C正确；当m=0时，方程f(x)+f(−x)=0，则f(x)=−f(−x)，如图所示，有1个不同的交点，则故D错误．故选：AC10、(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过30m2C．浮萍每月增加的面积都相等D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3答案：ABD解析：由图象过(1，2)点，可得函数关系式y=2t.再由2t+1−2t2t =2t(2−1)2t=1，可判断A；当t=5时，计算函数值可判断B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与对数互化得t1，t2，t3，可判断D.图象过(1，2)点，∴2=a1，即a=2，∴y=2t.∵2t+1−2t2t =2t(2−1)2t=1，∴每月的增长率为1，A正确.当t=5时，y=25=32>30，∴B正确.∵第二个月比第一个月增加y2-y1=22-2=2(m2)，第三个月比第二个月增加y3-y2=23-22=4(m2)≠y2-y1，∴C不正确.∵2=2t1，3=2t2，6=2t3，∴t1=log22，t2=log23，t3=log26，∴t1+t2=log22+log23=log26=t3，D正确.故选：ABD.小提示：本题考查指数函数模型的实际应用，理解生活中的数据在数学的函数模型中的体现，属于中档题. 11、下列命题正确的是（）A．若a>0，且a≠1，则∀x>0，y>0，log a(x+y)=log a x+log a yB．若a>0，且a≠1，则∃x>0，y>0，log a x⋅log a y=log a(xy)C．∀a>0，b>0，ln(ab)=lna+lnbD．∀a>1，b>0，a log a b=b答案：BCD分析：根据对数的运算法则即可判断.解：对于选项AC，由对数的运算性质知∀x>0，y>0有log a(xy)=log a x+log a y，而log a(x+y)≠log a x+ log a y，选项A错误，C正确；对于选项B，当x=y=1时，log a x⋅log a y=log a(xy)成立，选项B正确；对于选项D，由对数的概念可知选项D正确．故选:BCD．填空题12、已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−e ax.若f(ln2)=8，则a=__________.答案：-3分析：当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax代入条件即可得解.因为f(x)是奇函数，且当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax．又因为ln2∈(0,1)，f(ln2)=8，所以e−aln2=8，两边取以e为底的对数得−aln2=3ln2，所以−a=3，即a=−3．小提示：本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．13、函数y=log a(kx−5)+b（a>0且a≠1）恒过定点(2,2)，则k+b=______．答案：5分析：根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解.由题意，函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2)，可得{2k −5=1b =2，解得k =3,b =2，所以k +b =3+2=5. 所以答案是：5.14、计算：1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= ________. 答案：−6分析：结合指数幂的运算性质，计算即可.由题意，1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= (24)34−8×[(87)2]−12−8×78= 23−8×(87)−1−7=8−8×78−7=8−7−7=−6.所以答案是：−6.解答题15、设函数f (x )=log 3(9x )⋅log 3(3x )，且19≤x ≤9．（1）求f （3）的值；（2）若令t =log 3x ，求实数t 的取值范围；（3）将y =f (x )表示成以t(t =log 3x)为自变量的函数，并由此求函数y =f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值．答案：（1）6；（2）[−2，2]；（3）f(x)min =−14，此时x =−√39；f(x)max =12，此时x =9．分析：（1）根据题目函数的解析式，代入x =3计算函数值；（2）因为t =log 3x ，根据对数函数的单调性求出实数t 的取值范围；（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x 的值.（1）f （3）=log 327⋅log 39=3×2=6；（2）t =log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴−2≤log 3x ≤2，∴−2≤t ≤2，所以t 的取值范围为[−2，2]；（3）由f (x )=(log 3x +2)(log 3x +1)=(log 3x)2+2log 3x +2=t 2+3t +2，令g (t )=t 2+3t +2=(t +32)2−14，t ∈[−2，2]， ①当t =−32时，g(t)min =−14，即log 3x =−32，解得x =√39， 所以f(x)min =−14，此时x =−√39； ②当t =2时，g(t)max =g （2）=12，即log 3x =2⇒x =9，∴f(x)max =12，此时x =9．小提示：求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．。
高中数学：第二章 2.5指数与指数函数
知识梳理 0<a<1
图象
定义域 值域
(1) R (2) (0，＋∞)
基础知识·自主学习
知识梳理
(3)过定点 (0,1)
(4)当x>0时， y>1 ； (5)当x>0时， 0<y<1 ；
性质 当x<0时， 0<y<1
当x<0时， y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是 (7)在(－∞，＋∞)上是
增函数
减函数
例3 (1)k为何值时，方程|3x－1|
解析
思维升华
当k<0时，直线y＝k与函数y ＝ |3x － 1| 的 图 象 无 交 点 ， 即
＝k无解？有一解？有两解？
方程无解； 当k＝0或k≥1时，直线y＝k
与函数y＝|3x－1|的图象有唯
一的交点，
所以方程有一解；
题型分类·深度剖析 题型三 指数函数的应用
论正确的是( D )
单调递减，
A．a>1，b<0
所以0<a<1.
B．a>1，b>0
函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)
C．0<a<1，b>0
＝ ax 的 基 础 上 向 左 平 移 得 到
D．0<a<1，b<0
的，所以b<0.
题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象和性质 解析
答案
思维升华
例2 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图 所示，其中a，b为常数，则下列结 (1)对与指数函数有关的函数
论正确的是( D )
的图象的研究，往往利用相
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0
高一指数函数知识点归纳总结
高一指数函数知识点归纳总结指数函数是高中数学中重要的一部分内容，它在数学中具有广泛的应用和重要的理论基础。
对于高中一年级学生而言，理解和掌握指数函数的基本概念、性质和运算规律是非常重要和必要的。
本文将对高一指数函数相关的知识点进行归纳总结。
一、指数函数的基本概念指数函数是一个以底数为常数、指数为自变量的函数。
一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
在指数函数中，底数a必须是正数且不等于1。
指数函数具有以下特点：1. 当0 < a < 1时，指数函数呈递减趋势；2. 当a > 1时，指数函数呈递增趋势；3. 当a = 1时，指数函数为常函数，即f(x) = 1；4. 当x = 0时，指数函数的函数值始终为1。
二、指数函数的性质1. 指数函数的定义域为全体实数集R，值域为正实数集(0, +∞)；2. 指数函数与指数运算有以下运算规律：a) a^m · a^n = a^(m+n)；b) (a^m)^n = a^(mn)；c) (ab)^n = a^n · b^n；d) (a/b)^n = a^n / b^n；3. 指数函数的导数为其本身的常数倍，即(f(x))' = k · f(x)，其中k为常数。
三、指数函数的图像特点1. 当a > 1时，指数函数图像在原点上方，且逐渐随着x的增大而增长；2. 当0 < a < 1时，指数函数图像在原点下方，且逐渐随着x的增大而递减；3. 指数函数图像在x轴上有一个特殊点(0, 1)，这是因为当x = 0时，指数函数的函数值始终为1。
四、指数函数的应用指数函数在实际问题中有广泛的应用，特别是在与增长、衰减和复利相关的情境中。
1. 增长问题：指数函数可以描述一种以固定速率增长的情况，如人口增长、细胞分裂等；2. 衰减问题：指数函数可以描述一种以固定速率衰减的情况，如放射性物质的衰减、药物在人体内的代谢等；3. 复利问题：指数函数可以描述一种连续的复利增长情况，如利息的复利计算、投资的回报率等。
第二章 §2.7 指数与指数函数-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§2.7指数与指数函数课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂：m n a＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x>0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1增函数减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )12.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)4(－4)4＝－4.(×)(2)2a ·2b ＝2ab .(×)(3)指数函数y ＝a x 与y ＝a －x (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(√)(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .(×)2．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x ＋b 都是指数函数，则a ＋b 等于()A ．不确定B ．0C ．1D ．2答案C解析由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1，由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1.3．已知关于x 的不等式－4≥3－2x ，则该不等式的解集为()A ．[－4，＋∞)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－4,1]答案A 解析不等式－4≥3－2x ，即34－x ≥3－2x ，由于y ＝3x 是增函数，所以4－x ≥－2x ，解得x ≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．4．(2023·福州质检)3(－4)3＋120.254＝________.答案5解析3(－4)3＋120.254＝－4＋1＋0.5×16＝5.题型一指数幂的运算例1计算：－2×2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－2×(2＋π)02；(2)23×331.5×612.解(1)原式＝128116⎛⎫ ⎪⎝⎭－2×236427-⎛⎫⎪⎝⎭－2＝14232⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－2×23334⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－2＋916＝94－2×916－2＋916＝94－98－2＋916＝－516.(2)原式＝11132623233(23)2⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1111133362623-+++=⨯⨯＝6×3＝18.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1(多选)下列计算正确的是()A.12(－3)4＝3－3B ．2115113366221()(3)9(0,0)3a a b a b a a b ⎛⎫-÷=->> ⎪⎝⎭C.39＝33D ．已知x 2＋x －2＝2，则x ＋x －1＝2答案BC解析对于A ，12(－3)4＝1234＝143123=3＝33≠3－3，所以A 错误；对于B ，2115211115113366326236221()(3)93a b a b a b a b +-+⎛⎫-÷=-⋅ ⎪⎝⎭＝－9a (a >0，b >0)，所以B 正确；对于C ，391163=9=3＝33，所以C 正确；对于D ，因为(x ＋x －1)2＝x 2＋2＋x －2＝4，所以x ＋x －1＝±2，所以D 错误．题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a ，b 满足等式3a ＝6b ，则下列可能成立的关系式为()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．0<a <b答案ABC解析由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，故选项A 正确；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，故选项B 正确；作出直线y ＝m ，当0<m <1时，若3a ＝6b ＝m ，则a <b <0，故选项C 正确；当0<a <b 时，易得2b >1，则3a <3b <2b ·3b ＝6b ，故选项D 错误．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴实数b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)已知函数f(x)＝a x－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b 的取值范围可能为()A．0<a<1，b<0B．0<a<1,0<b≤1C．a>1，b<0D．a>1,0<b≤1答案ABC解析若0<a<1，则函数y＝a x的图象如图所示，要想f(x)＝a x－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确；若a>1，则函数y＝a x的图象如图所示，要想f(x)＝a x－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b0.4，c，则()A．c<b<a B．a<b<cC ．c <a <bD ．b <c <a 答案D解析a ＝1.30.6>1.30＝1，b 0.4，c ，因为指数函数y 是减函数，所以＝1，所以b <c <1，所以b <c <a .命题点2解简单的指数方程或不等式例4已知p ：a x <1(a >1)，q ：2x ＋1－x <2，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析∵a x <1，当a >1时，y ＝a x 是增函数，∴p ：{x |x <0}．对于不等式2x ＋1<x ＋2，作出函数y ＝2x ＋1与y ＝x ＋2的图象，如图所示．由图象可知，不等式2x ＋1<x ＋2的解集为{x |－1<x <0}，∴q ：{x |－1<x <0}．又∵{x |－1<x <0}⊆{x |x <0}，∴p 是q 的必要不充分条件．命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f (x )＝8x ＋a ·2xa ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2]，都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围．解(1)f (x )＝1a ·2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即1a ·12x ＋2x xx 0，即1a ＋1＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知a ＝－1，所以f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，设y ＝12x ＋2x ，则y ＝t ＋1t ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.所以实数m 的取值范围是174，＋思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f (x )＝e x －1e x ＋1，则下列结论正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(－1,1)C ．函数f (x )是奇函数D ．函数f (x )为减函数答案ABC解析因为e x >0，所以e x ＋1>0，所以函数f (x )的定义域为R ，故A 正确；f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1，由e x >0⇒e x ＋1>1⇒0<1e x ＋1<1⇒－2<－2e x ＋1<0⇒－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)，故B 正确；因为f (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋ex ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，故C 正确；因为函数y ＝e x ＋1是增函数，所以y ＝e x ＋1>1，所以函数y ＝2e x ＋1是减函数，所以函数y ＝－2e x ＋1是增函数，故f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1是增函数，故D 不正确．(2)(2023·银川模拟)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．答案32或12解析当a >1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增，由题意可得，f (2)－f (1)＝a 2－a ＝a2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)；当0<a <1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，由题意可得，f (1)－f (2)＝a －a 2＝a2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，a ＝32或a ＝12.课时精练一、单项选择题1．下列结论中，正确的是()A ．若a >0，则4334·a a ＝a B ．若m 8＝2，则m ＝±82C ．若a ＋a －1＝3，则1122a a-+＝±5D.4(2－π)4＝2－π答案B解析对于A ，根据分数指数幂的运算法则，可得443325334412a a aa +⋅==，当a ＝1时，2512a ＝a ；当a ≠1时，2512a≠a ，故A 错误；对于B ，m 8＝2，故m ＝±82，故B 正确；对于C ，a ＋a －1＝3，则21122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a ＋a －1＋2＝3＋2＝5，因为a >0，所以1122a a -+＝5，故C 错误；对于D ，4(2－π)4＝|2－π|＝π－2，故D 错误．2．已知函数f (x )＝a x －a (a >1)，则函数f (x )的图象不经过()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析y ＝a x (a >1)是增函数，经过点(0,1)，因为a >1，所以函数f (x )的图象需由函数y ＝a x (a >1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f (x )＝a x －a 的图象如图所示．故函数f (x )的图象不经过第二象限．3．已知a ＝31.2，b ＝1.20，c 0.9，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a <c <bB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a答案D解析因为b ＝1.20＝1，c 0.9＝30.9，且y ＝3x 为增函数，1.2>0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a >c >b .4．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0,1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2,0)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上是增函数，而函数f (x )＝2x (x－a )在区间(0,1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0,1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．5．(2023·潍坊模拟)“关于x 的方程a (2|x |＋1)＝2|x |没有实数解”的一个必要不充分条件是()A ．a ≤12B ．a >1C ．a ≤12或a ≥1D ．a <12或a ≥1答案C解析a (2|x |＋1)＝2|x |，因为2|x |＋1>0，所以a ＝2|x |2|x |＋1＝1－12|x |＋1，因为2|x |≥20＝1，所以2|x |＋1≥2,0<12|x |＋1≤12，12≤1－12|x |＋1<1，要使a (2|x |＋1)＝2|x |没有实数解，则a <12或a ≥1，由于a <12或a ≥1不能推出a ≤12，故A 不成立；由于a <12或a ≥1不能推出a >1，故B 不成立；由于a <12或a ≥1⇒a ≤12或a ≥1，且a ≤12或a ≥1不能推出a <12或a ≥1，故C 正确；D 为充要条件，不符合要求．6．(2024·辽源模拟)已知函数f (x )＝2x －2－x ＋1，若f (a 2)＋f (a －2)>2，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案C解析令g (x )＝2x －2－x ，定义域为R ，且g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，且是增函数，因为f (x )＝g (x )＋1，f (a 2)＋f (a －2)>2，则g (a 2)＋g (a －2)>0，即g (a 2)>－g (a －2)，又因为g (x )是奇函数，所以g (a 2)>g (2－a )，又因为g (x )是增函数，所以a 2>2－a ，解得a <－2或a >1，故实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a <b )，则()A ．2a ＋2b >2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0答案CD解析画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错误，C 正确；由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错误，D 正确．8．已知函数f (x )＝m －e x 1＋e x是定义域为R 的奇函数，则下列说法正确的是()A ．m ＝12B ．函数f (x )在R 上的最大值为12C ．函数f (x )是减函数D ．存在实数n ，使得关于x 的方程f (x )－n ＝0有两个不相等的实数根答案AC 解析因为函数f (x )＝m －e x 1＋e x 是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝m －e 01＋e 0＝0，解得m ＝12，此时f (x )＝12－e x 1＋e x，则f (－x )＝12－e －x 1＋e －x ＝12－11＋e x＝12－1＋e x －e x 1＋e x＝12－1＋e x 1＋e x ＝e x 1＋e x －12＝－f (x )，符合题意，故A 正确；又f (x )＝12－e x 1＋e x ＝12－e x ＋1－11＋ex ＝11＋e x －12，因为e x >0，所以e x ＋1>1，则0<11＋ex <1，所以－12<f (x )<12，即f (x )－12，B 错误；因为y ＝e x 是增函数，y ＝e x >0，且y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )＝11＋e x －12是减函数，故C 正确；因为f (x )是减函数，所以y ＝f (x )与y ＝n 最多有1个交点，故f (x )－n ＝0最多有一个实数根，即不存在实数n ，使得关于x 的方程f (x )－n ＝0有两个不相等的实数根，故D 错误．三、填空题9．013623290.125[(2)]8-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭＝________.答案81解析原式＝13131326322112(23)2⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫-++⨯ ⎪⎝⎭＝2－1＋8＋(23×32)＝81.10．(2023·福州模拟)写出一个同时具备下列性质的函数f (x )＝________.①f (x ＋1)＝f (x )f (1)；②f ′(x )<0.答案e －x (答案不唯一)解析∵f (x ＋1)＝f (x )f (1)是加变乘，∴考虑指数函数类型，又f ′(x )<0，∴f (x )是减函数，∴f (x )＝e －x 满足要求．11．已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭有最大值3，则a 的值为________．答案1解析令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )(x )，∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，1，解得a ＝1.12．(2024·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案－23，解析∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝03x -－m ＋1，∴2m ＝0033x x ---＋2，构造函数y ＝0033x x ---＋2，x 0∈[－1,1]，令t ＝03x ，t ∈13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2在13，1上单调递增，在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时，函数取得最小值－43，∴y ∈－43，0，又∵m ≠0，∴－43≤2m <0，∴－23≤m <0.四、解答题13．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在a ，1a 上单调递增，则y max －2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.14．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －2x b ＋2x是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若存在t ∈[0,4]，使f (k ＋t 2)＋f (4t －2t 2)<0成立，求实数k 的取值范围．解(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －1b ＋1＝0，所以a ＝1，又因为f (－x )＝－f (x )，所以a －12x b ＋12x ＝－a －2x b ＋2x ，将a ＝1代入，整理得2x －1b ·2x ＋1＝2x －1b ＋2x，当x ≠0时，有b ·2x ＋1＝b ＋2x ，即(b －1)(2x －1)＝0，又因为当x ≠0时，有2x －1≠0，所以b －1＝0，所以b ＝1.经检验符合题意，所以a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，函数f (x )＝1－2x 1＋2x ＝－(1＋2x )＋21＋2x ＝－1＋21＋2x ，因为y ＝1＋2x 为增函数，且1＋2x >0，则函数f (x )是减函数．(3)因为存在t ∈[0,4]，使f (k ＋t 2)＋f (4t －2t 2)<0成立，且函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以不等式可转化为f (k ＋t 2)<f (2t 2－4t )，又因为函数f (x )是减函数，所以k ＋t 2>2t 2－4t ，所以k >t 2－4t ，令g (t )＝t 2－4t ＝(t －2)2－4，由题意可知，问题等价转化为k >g (t )min ，又因为g (t )min ＝g (2)＝－4，所以k >－4，即实数k 的取值范围为(－4，＋∞)．15．(2023·深圳模拟)已知αa ＝(cos α)sin α，b ＝(sin α)cos α，c ＝(cos α)cos α，则()A ．b >c >aB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >b >c 答案A 解析已知α0<cos α<sin α<1，因为y ＝(cos α)x 在(0,1)上单调递减，故c ＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a ；因为幂函数y ＝x cos α在(0,1)上单调递增，故c ＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b ，故b >c >a .16．(2023·徐州模拟)正实数m ，n 满足e 1－2m ＋2－2m ＝e n －1＋n ，则n m ＋1n的最小值为________．答案5 2解析由e1－2m＋2－2m＝e n－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝e n－1＋(n－1)，令f(x)＝e x＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m>0，n>0，因此nm＋1n＝nm＋2m＋n2n＝nm＋mn＋12≥2nm·mn＋12＝52，当且仅当nm＝mn，即m＝n＝23时取等号，所以当m＝n＝23时，nm＋1n取得最小值52.。
04高中数学《指数函数对数函数》知识点
指数函数、对数函数知识点知识点内 容典 型 题整数和有理指数幂的运算a 0＝1(a ≠0)；ࡡ࠱࠱ࡡ＝࠱a ࡡ(a ≠0, n ∈N *)ࡡm ࡡ＝n a ࠱m(a ＞0 , m ，n ∈N *, 且n ＞1)(a ＞0 ,m ，n ∈N *, 且n ＞1)当n ∈N * 时，࠱n a ࠱ࡡ＝a当为奇数时，ࡡa n＝a当为偶数时，ࡡa n＝│a │＝a (a ≥0)࠱a (a ࠱0)运算律：ࡡm ࡡn࠱Àa m Ƞn (a m )n ࠱Q a m n࠱a ࡡĩn ࠱࠱š n ࡡn1.计算: ࠱࠱ ࠱×࠱42࠱＝ .2. 2࠱࠱282＝ ；3࠱࠱3࠱3＝ . ࠱3࠱3࠱27＝ ；39࠱36 ＝ .3.︒--++-45sin 2)12()12(014.指数函数的概念、图象与性质1、解析式：y ࠱ a x(a ＞0，且a ≠1)2、图象：3、函数y ࠱ a x(a ＞0,且a ≠1)的性质：①定义域:R ，即(－∞，＋∞)值 域:R + , 即(0，＋∞)②图象与y 轴相交于点(0,1).③单调性：在定义域R 上当a ＞1时， 在R 上是增函数当0＜a ＜1时,在R 上是减函数④极值：在R 上无极值(最大、最小值)当a ＞1时，图象向左与x 轴无限接近；当0＜a ＜1时,图象向右与x 轴无限接近.⑤奇偶性：非奇非偶函数.5.指数函数y ࠱ a x(＞0且≠1)的图象过a a 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值.6.求下列函数的定义域:① ； ②.22x y -=2415-=-x y 7.比较下列各组数的大小:①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.1 0.4－0.2 ,②0.30.40.40.3,233322.③(23)࠱12,(23)࠱13,(12)࠱128.求函数的最大值.176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 9.函数在(-∞,+∞)上是减函数，x a y )2(-=则的取值范围()a A.a ＜3 B.c C.a ＞3 D.2＜a ＜310.函数在(-∞,+∞)上是减函数，xa y )1(2-=则a 适合的条件是( )A.|a |＞1B.|a |＞2C.a ＞D.1＜|a |＜22知识点内 容典 型 题对数的概念定义：设a ＞0且a ≠1，若a 的b 次幂为N ，即š b ＝N ，则b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .(a 叫做底数，N 叫做真数，式子loga N 叫做对数式.)š b＝N log a N ＝b (a ＞0且a ≠1)当a ＝10时，简记为lg x ,称x 10log 为常用对数；当a ＝e (e ≈2.718…)时，11.把化为对数式为 .5.09017.0=x12.把lg x ＝0.35化为指数式为 .13.把ln x ＝2.1化为指数式为.14. log 3 x ＝－,则x ＝.2115.已知：8a =9，2b =5，求log 9125．简记为ln x ，称为自然对数.x e log 对数运算的法则设a ＞0,b ＞0,a ≠1,b ≠1,M ＞0,N ＞0① š b＝Nlog a N ＝b② 负数和零没有对数；③ log a 1＝0， log a a ＝1 ④ ＝N ,Na alog N a Na =log ⑤(M ·N )＝M ＋Na log a log a log ⑥＝M －Na log N Ma log a log ⑦＝n Ma log nM a log ⑨ 换底公式：N ＝b log b Na a log log 换底公式的推论:b ＝a log ab log 1( b ·a ＝1 )a logb log log a b =log a nbnlog a mb n=nmlog a b16.＝.5log 8log 251log 932⋅17.若x ＝log a 3，则ࡡ࠱ࡡ࠱ɏa ࠱ɯ࠱Ÿࡡࡡ࠱ýࡡ࠱ x的值是.18.计算࠱l ࠱࠱࠱࠱＝ .19.计算下列各式:①16log 91log 42log 2)81(383log 21322⋅⋅+⋅ࡡ②)243log 81log 27log 9log 3(log 693216842)32(log ++++③2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+④⎪⎭⎫⎝⎛++36log 43log 32log log 4212220.已知lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg x ＋lg y ＋lg 2则＝.y x21.已知：log 1227=a ，求log 616的值．22.已知,,则lg5=( )p =3log 8q =5log 3A.B.53qp +q p pq ++31C. D.pqpq 313+22q p +知识点内 容典 型 题对数函数的概念及性质1.解析式：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)2.图象:y ＝log a x 与y ࠱ a x(a ＞0,a ≠1)互为反函数,故二者图象关于直线y ＝x 对称.(如下图)3. y ＝log a x (a ＞0,且a ≠1)性质：①定义域：R ＋，即(0,＋∞)值 域：R ， 即(-∞,+∞)；②过x 轴上的定点(1,0)；③单调性：a ＞1时，在(0,＋∞)上是增函数；0＜a ＜1时，在(0,+∞)上是减函数④极值:在(0,＋∞)上无最大(小)值，a ＞1,图象在左下方与y 轴无限接近；0＜a ＜1,图象在左上方与y 轴无限接近.⑤奇偶性:非奇非偶.23.函数y ＝࠱࠱࠱ࡡ 的定义域为 .24.函数y ＝log 13(x ࠱1)的定义域是25.求函数y ＝log 2 (x 2࠱4x ࠱5)的定义域.26.对满足m ＞n 的任意两个非零实数，下列不等式恒成立的是（）A.ࡡ＞nB.lg(m 2 ) ＞lg(n 2 )C.m 4＞n 4D.(࠱2)m ＜(࠱2)n27.比较各组数的大小：①log 120.2 log 120.21，lg1.1 lg1.11②,,从小到大为7.0667.06log 7.0③ log 89 log 98 , ④ log 25 log 75⑤ log 35log 6428.已知f (x )的图象与g (x )＝(14)x的图象关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝ .指数和对数不等式基本思路：利用指数、对数函数的图象(实质是判断利用函数的增减性),把原不等式转化为一元一次(或二次)不等式(组).①a f (x )＞a g (x ) (a ＞0，a ≠1)型若a ＞1， f (x )＞g (x )若0＜a ＜1，f (x )＜g (x )②log a f (x )＞log a g (x ) (a ＞0，a ≠1)型若a ＞1， f (x )＞g (x )若0＜a ＜1，f (x )＜g (x )29.解不等式：＞123.0++x xxx5223.0+-30.若＜0，则a 的取值范围是 .3log 2a -31.若＜1，则a 的取值范围是 .32log a32.解不等式：log 12(x 2࠱4x ࠱5)＜log 12(x 2࠱1)33.解不等式：log x (2x ࠱1)＞log x 2知识点内容典型题简单的指数方程和对数方程1、同底的方程，直接比较指数或真数即可(略).2、指数方程的两种常见形式：①ࡡf (x)࠱b g (x)(a ,b＞0，a≠1, b≠1)两边取对数,将方程化为：f(x)＝g(x)log a b或f(x)log b a＝g(x)②ࡡ2x࠱pa x࠱q࠱50(a＞0，且a≠1)用换元法,令ࡡx＝t，将原方程化为：ࡡ 2࠱ࡡࡡ࠱q࠱0求出t(若t≤0，应舍去这个t)，t＞0时可得x＝log a t是原方程的解；若方程ࡡ 2࠱ࡡࡡ࠱q࠱0无正根,则原方程无解.3、对数方程的两种常见形式：①log a f (x)＝b(a＞0，a≠1)根据对数的定义,原方程可化为：f(x)＝šb.②(x)2 + p x+q＝0(a＞0,a≠1)alogalog可用换元法，令log a x＝t，得ࡡ 2࠱ࡡࡡ࠱q࠱0，解之得实数根t，进而得原方程的解为x＝a t，如无实数根，则原方程无解(对数方程必须验根).解下列方程：34.＝x⎪⎭⎫⎝⎛812435.1621=+x36.51)10(1.052-⨯=⋅xxx37.8116827941=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛-xx38.3x+2࠱32࠱x=8039.࠱o࠱࠱ijx＝240.2log3x=1441.log2(x࠱3)2࠱442.log2(x࠱1)2࠱log4(x࠱1)࠱543.2)22(log)12(log122=+⋅++xx44.x lg x࠱2࠱100045.432log2xxx=复合函数的单调性复合函数y＝f [g(x)]的单调性由u＝g(x)与y＝f(u)的单调性共同决定,其规律如下表：函数单调性(同增异减)u＝g (x)增增减减y＝f (u)增减增减y＝f [g (x)]增减减增46.在(－∞，0)上为增函数的是( )A.y＝－2xB.y＝－x2C.y＝2－2xD.y＝log2(－x)47.函数y＝在(－∞，＋∞)上是( )5ࡡxA.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数48.求函数y＝的单调递增区间.24331x x-+-⎪⎭⎫⎝⎛49.*已知f(x)的图象与g(x)＝(14)x的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝，f(2x－x2)的单调递减区间是.。
高中数学-指数函数对数函数知识点
高中数学-指数函数对数函数知识点指数函数、对数函数知识点知识点内容：1.整数和有理指数幂的运算：当a≠0时，aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ；aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ；(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ2.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的性质：①解析式：y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.且a≠1)②图象：过点(0,1)，在a＞1时，在R上是增函数，在0＜a＜1时，在R上是减函数③单调性：在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时，在R上是减函数④极值：在R上无极值(最大、最小值)⑤奇偶性：非奇非偶函数典型题：1.把0.9017x=0.5化为对数式为log0.9017(0.5)=x2.把lgx=0.35化为指数式为x=10⁰.³⁵3.计算：2×6⁴³=6⁴⁴⁹4.求解：(2+1)⁻¹+(2-1)⁻²sin45°=0.5915.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的图象过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值f(0)=a⁰⁄ⁿ=1f(1)=aᵐ⁄ⁿ=a³⁄ⁿf(-3)=a⁻⁹⁄ⁿ6.求下列函数的定义域：① y=2-x²，定义域为R② y=1⁄(4x-5)-2，定义域为R-{5⁄4}7.比较下列各组数的大小：① 1.2<2.5<1.2+0.5，0.4-0.1<0.4-0.2② 0.3=0.4=0.4=0.3，<2112③ (2³)²<(3²)³<(2²)³8.求函数y=(x²-6x+17)⁄2的最大值，最大值为159.函数y=(a-2)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为a＞310.函数y=(a²-1)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为|a|＞1x其中a为底数，x为真数，y为对数。
人教B版高中数学选择性必修二知识梳理
人教B 版高中数学选择性必修二知识梳理第四章 指数函数、对数函数和幂函数一、 指数与指数函数1.根式(1)n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：n a n ＝a(a n a )；当n n n a a ，当n n na |a|＝,0,,0a a a a ≥⎧⎨-<⎩2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是n ma n ma (a>0，m ，n∈N *，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是n ma-nma ，m ，n∈N *，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r+s；(a r )s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r ，s∈Q. 3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数（1）画指数函数y ＝a x(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）在第一象限内，指数函数y ＝a x(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 二、对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log aN＝N ；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a (MN)＝log a M ＋log a N ； ②log aMN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝nlog a M(n∈R)； ④log a m M n＝nmlog a M(m ，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：log b N ＝log log a a Nb(a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y ＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 5.常用结论①.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n mlog a b. 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m ，n∈R.②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.③.对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，函数图象只在第一、四象限. 三、幂函数 1.幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2.5个常见幂函数的图象与性质 函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 321x y =y ＝x －1定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0}R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶 函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)四、函数的应用（二）1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blog a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a>0)函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x第五章统计与概率一、数据的收集与直观表示1.总体、个体、样本与样本容量考察问题涉及的对象全体是总体，总体中每个对象是个体，抽取的部分对象组成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是样本容量.2.普查与抽样调查(1)普查：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查).(2)抽样调查：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.3.简单随机抽样(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体. (2)两种常用方法：抽签法，随机数表法. 4.分层抽样一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样). 5.数据的直观表示(1)常见的统计图表有柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布直方图 ①作频率分布直方图的步骤(ⅰ)找出最值，计算极差：即一组数据中最大值与最小值的差； (ⅱ)合理分组，确定区间：根据数据的多少，一般分5～9组； (ⅲ)整理数据：逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数)，并求出频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率)，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间； (ⅳ)作出有关图示：根据上述整理后的数据，可以作出频率分布直方图，如图所示.频率分布直图的纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.②频率分布折线图作图的方法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.不难看出，虽然作频率分布直方图过程中，原有数据被“压缩”了，从这两种图中也得不到所有原始数据.但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体态势，而且也可以得出有关数字特征的大致情况.比如，估计出平均数、中位数、百分位数、方差.当然，利用直方图估计出的这些数字特征与利用原始数据求出的数字特征一般会有差异.二、数据的数字特征1.数据的数字特征 (1)最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况. (2)平均数①定义：如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n ).这一公式在数学中常简记为x －＝1n ∑n i ＝1x i ， ②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x －＋b . (3)中位数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数. (4)百分位数①定义：一组数的p %(p ∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p %的数据不大于该值，且至少有(100－p )%的数据不小于该值.②确定方法：设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数.(5)众数一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数. (6)极差、方差与标准差①极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差，描述了这组数的离散程度. ②方差定义：如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则方差可用求和符号表示为s 2＝1n ∑n i ＝1(x i－x －)2＝1n ∑n i ＝1x 2i－x －2. 性质：如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2. ③标准差定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用s 表示，即样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差为s ＝1n∑n i ＝1 （x i －x ）2. 性质：如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的标准差为|a |s . 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可.三、随机事件、评率与概率1.事件的关系定义表示法图示包含关系一般地，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则称“A 包含于B ”(或“B 包含A ”)记作A ⊆B (或B ⊇A )互斥事件给定事件A ，B ，若事件A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互斥，记作AB ＝∅(或A ∩B ＝∅) 若A ∩B ＝∅，则A 与B 互斥对立事件给定样本空间Ω与事件A ，则由Ω中所有不属于A 的样本点组成的事件称为A 的对立事件，记作A若A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝Ω，则A 与B 对立2.事件的运算定义表示法 图示并事件 给定事件A ，B ，由所有A 中的样本点与B 中的样本点组成的事件称为A 与B 的和(或并) 记作A ＋B (或A ∪B )交事件给定事件A ，B ，由A 与B 中的公共样本点组成的事件称为A 与B 的积(或交)记作AB (或A ∩B )一般地，如果在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为mn ，其中，m 是n 次重复试验事件A 发生的次数，则当n 很大时，可以认为事件A 发生的概率P (A )的估计值为m n .四、古典概型1.古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型. 2.古典概型的概率公式古典概型中，假设样本空间含有n 个样本点，如果事件C 包含有m 个样本点，则P (C )＝mn . 3.概率的性质性质1：对任意的事件A ，都有0≤P (A )≤1；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P (Ω)＝1，P (∅)＝0； 性质3：如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝1－P (A )，P (A )＝1－P (B )； 性质5：如果A ⊆B ，那么P (A )≤P (B )，由该性质可得，对于任意事件A ，因为∅⊆A ⊆Ω，所以0≤P (A )≤1.性质6：设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B ).第六章 平面向量初步一、平面向量及其线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB→的大小称为向量的模(或大小)，记作|AB →|.(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量. (3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量.(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行. (5)相等向量：大小相等、方向相同的向量. (6)相反向量：大小相等、方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a －b ＝a ＋(－b ) 数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向如下： ①当λ>0时，与a 的方向相同； λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；②当λ<0时，与a 的方向相反. (2)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.λ(a ＋b )＝λa ＋λb 如果存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)，则b ∥a . 4.向量模的不等式向量a ，b 的模与a ＋b 的模之间满足不等式 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.二、向量基本定理与向量的坐标1.平面向量基本定理 (1)平面向量的基底平面内不共线的两个向量a 与b 组成的集合{a ，b }，常称为该平面上向量的一组基底，如果c ＝x a ＋y b ，则称x a ＋y b 为c 在基底{a ，b }下的分解式. (2)平面向量基本定理如果平面内两个向量a 与b 不共线，则对该平面内任意一个向量c ，存在唯一的实数对(x ，y )，使得c ＝x a ＋y b . 2.平面向量的坐标一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e 1，e 2，对于平面内的向量a ，如果a ＝x e 1＋y e 2，则称(x ，y )为向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ). 3.平面向量的坐标运算(1)平面向量线性运算的坐标表示假设平面上两个向量a ，b 满足a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)(λ∈R )，u a ±v b ＝(ux 1±v x 2，uy 1±v y 2)(u ，v ∈R ). (2)向量模的坐标计算公式如果向量a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. (3)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.4.向量平行的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 2y 1＝x 1y 2.三、平面向量线性运算的应用1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则称[0，π]内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉. (2)向量的垂直：当〈a ，b 〉＝π2时，称向量a 与向量b 垂直，记作a ⊥b .规定零向量与任意向量垂直.(3)数量积的定义：一般地，当a 与b 都是非零向量时，称|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 与b 的数量积(也称为内积)，记作a ·b, 即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (4)数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量AB→＝a ，过A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则称向量A ′B ′→__为向量a 在直线l 上的投影向量或投影.②投影的数量：一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.③两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角.(1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).。
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指数与指数函数【考纲要求】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；4.掌握指数函数图象：5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】【考点梳理】考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a nn an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个(2)运算法则 ①nm nma a a +=⋅；②()mn nma a =；③()0≠>=-a n m a aa nm n m ，； ④()mm mb a ab =.指数与指数函数图象与性质指数运算性质指数函数的图像与指数的概念考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释：n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为0=.(2)根式的意义与运算法则y y n n =)(⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=考点四、有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-. 考点五、指数函数 (1)定义：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. (2)图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数 a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数【典型例题】类型一、指数运算、化简、求值 例1.已知c ba==53，且211=+ba ，求c 的值。
【解析】213log 31log 31log 3111log 52log 3log 52log 15215015a a c c c c c c c c a ab a bc c c ==∴=∴==+=∴+=∴=∴=>∴=由得同理可得【总结升华】运算顺序(能否应用公式)；举一反三：【变式】计算下列各式：(1)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+-；(2)63425.0031)32(28)67()81(⨯+⨯+-⨯-； (3)33323323134)21(428a ab bab a b a a ⨯-÷++-. 【解析】(1)原式1131231334422()2223()242711033=+⨯+⨯-=+⨯=；(2)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(18⨯+⨯+⨯--1123222324143=⨯++=+；(3)原式313131312313131231312)2(2)()8(a b a ab b a a b a a ⨯-⨯++-=a b a b a a=--=++331331313131)2()()8(.类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域.(1)212x xy =+；(2)y=4x -2x+1；(3)||3()2x y -=；(4)y =为大于1的常数)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，2x≠-1).∵ xx x y 2111211)21(+-=+-+=，又∵ 2x >0， 1+2x>1， ∴ 12110<+<x ， ∴ 02111<+-<-x， ∴ 121110<+-<x， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=xx x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43).(3)定义域为R ，∵|x|≥0， ∴ -|x|≤0， ∴ 1)23(0||≤=<-x y ，∴ 值域为(0，1].(4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a ay a y x xx x≠=≥=-+-+1121121且，∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：【变式】求下列函数的定义域：(1)y =y =0,1)y a a =>≠【解析】(1)(]-3∞， 需满足3-x ≥0，即3x ≤ (3)[)0,+∞为使得函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x ≥0 (4)a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，. 类型三、指数函数的单调性例3．判断下列各数的大小关系：(1)24-231(),3,()331 (2)22.5，(2.5)0， 2.51()2(3)1.080.3与0.983.1(4)0,1)a a >≠【解析】 (1)2-24311()<()<333 (2) 2.50 2.51()<(2.5)<22(3)1.080.3>1>0.983.1(4)a>1时，<0<a<1时，>【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1). 举一反三：【变式1】（2015 西安模拟）已知3a π=，3b π=，c e π=，则,,a b c 的大小关系为（ ） .Aa b c >> .B a c b >> .C b c a >> .C b a c >> 【答案】D【解析】解：因为函数()y x π=是R 上的增函数,且31e >> 所以31e ππ>>即1b c >>构造函数()33x f x x =-则()30f =，()'233ln3x f x x =-()'32727ln30f∴=-<()'44881ln30f =-<所以函数()f x 在()3,4上单调递减. ()()30f f π∴<=330ππ∴-<即33ππ<a b ∴<又3e e πππ<< c a ∴<综上b a c >>.【变式2】求函数2323x x y -+-=的值域及单调区间.【解析】设u=-x 2+3x-2， y=3u，其中y=3u为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≥， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].例4.化简：4233-2a a a +【解析】212422121333333331233-,1-2---,01a a a a a a a a a a a a a ⎧>⎛⎫⎪+===⎨ ⎪⎝⎭⎪<<⎩类型四、判断函数的奇偶性例5．判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f xϕ+-= (()x ϕ为奇函数) 【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵()x ϕ定义域关于原点对称， 且f(x)的定义域是()x ϕ定义域除掉0这个元素)，令21121)(+-=x x g ，则211222*********)(+--=+-=+-=--x x x x xx g )()21121(21121121121)12(x g xx x x -=+--=+---=+----= ∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ϕ为奇函数，∴ f(x)为偶函数. 举一反三：【变式】判断函数的奇偶性：()221xx xf x =+-. 【解析】定义域{x|x ∈R 且x ≠0}，又112121()()()()222211221x x xx x f x x x x --=-+=-+=---- 21111111()(1)()()222212121x xx x x x x f x -+=-=+-=+=---， ∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题例6.（2015 贵阳二模）函数(0,1)xy a a a =>≠与by x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）.0a Ab > .0B a b +> .1b C a > .log 2a D b >【答案】D【解析】由图像可知，a >1,b <0;所以log 20a b >> 故选D.【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．。