气体摩尔热容的计算
定容摩尔热容和定压摩尔热容的关系推导
定容摩尔热容和定压摩尔热容的关系推导定容摩尔热容（Cv）和定压摩尔热容（Cp）之间的关系可以通过热力学基本方程和定义来推导。
根据热力学第一定律，系统的内能变化可以表示为：
dU = dQ - PdV
其中，dU是系统的内能变化，dQ是系统吸收的热量，P是系统的压强，dV是系统的体积变化。
对于一个摩尔数为n的理想气体，可以根据物态方程PV = nRT，将上式改写为：
dU = dQ - nRdT
其中，R是气体常数，T是系统的温度。
对于定容过程，系统的体积保持不变（dV = 0），因此可以得到：dU = dQv
其中，dQv表示定容过程中系统吸收的热量。
对于定压过程，系统的压强保持不变（PdV = 0），可以得到：dU = dQp - PdV
其中，dQp表示定压过程中系统吸收的热量。
将上述两个式子相比较可以得到：
dQv = dQp - PdV
根据定义，定容摩尔热容Cv表示单位摩尔气体在定容过程中吸收的热量与温度变化的比值，即：
Cv = dQv/dT
同样地，定压摩尔热容Cp表示单位摩尔气体在定压过程中吸收的热量与温度变化的比值，即：
Cp = dQp/dT
将上述两个式子代入前面的等式中：
Cv = Cp - PdV/dT
根据理想气体状态方程PV = nRT，可以将压强P用温度T和体积V表示，即：
P = nRT/V
将上述表达式代入上式中：
dV/dT = -V/T
代入后可得到最终的关系式：
Cv = Cp - nR
这就是定容摩尔热容和定压摩尔热容之间的关系推导。
根据这个关系式，我们可以知道在理想气体条件下，定容摩尔热容比定压摩尔热容小一个气体常数R。
3-2 理想气体的热容,热力学能,焓和殇
t2
)](t2
t1 )
平均比热容：
c
|
t2 t1
a
b 2
(
t1
t
2
)
c
c a0 a1t a2t 2 a3t 3
c a bt
δq
c
|
t2 t1
0
t1 dt t2 t
4. 定值比热容 不考虑温度对比热容的影响，而将比热容看作定值。
原则： 气体分子运动论和能量按自由度均分
（Kinetic theory of gases and principle of equipartition of energy）
同温度下cp > cv ，why?
（2）比热容比
cp
cv
cp
1
Rg
cv
1
1
Rg
思考 题
cp，cv，cp-cv，cp/cv 与物质的种类是否有关，与状态是否有关。
利用比热容，如何求解热量
c q q
dT dt
q cdT cdt
q T2 cdT t2 cdt
T1
t1
3-2-3 利用理想气体的比热容计算热量
kJ /(m3 K)
C mc nCm V0CV
3. 影响热容的因素： （1）气体的性质； （2）气体的加热过程； （3）气体的温度。
3-2-2 比定容热容和比定压热容
（The specific heat capacities at constant volume and at constant pressure）
t2 t1
热量：
几何意 义
c
c a0 a1T a2T 2 a3T 3
q
c
以pvt关系和理想气体热容来计算的真实气体焓变的表达式
以pvt关系和理想气体热容来计算的真实气体焓变的表达式真实气体的焓变是指气体在定常过程中吸收或释放的热量与工作的差值。
在热力学中，焓是热力学函数之一，表示系统的热能和对外界做功的能量之和。
焓变可以用pVT关系和理想气体热容来计算。
pVT关系是指在定常过程中，气体的热容与压力、体积和温度之间的关系。
理想气体热容则是指在恒定温度下，气体单位质量或摩尔量的热容。
我们将以理想气体热容来计算真实气体焓变的表达式。
在理想气体热容的计算中，最常用的是摩尔热容（Cp）和质量热容（cp）。
摩尔热容是一个摩尔物质在定常压力下吸收或释放的热量与温度变化之间的关系，而质量热容是单位质量气体在定常压力下吸收或释放的热量与温度变化之间的关系。
对于理想气体，其摩尔热容和质量热容可以通过以下公式计算：Cp = (dH/dT)p (1)cp = (dQ/dT)p/m (2)其中，dH表示焓的微分变化，dQ表示吸收或释放的热量，dT表示温度变化，p表示压力，m表示质量。
根据热力学第一定律，焓变可以表示为：ΔH = Qp + W (3)其中，ΔH表示焓变，Qp表示在定常压下吸收或释放的热量，W表示对外界做功。
将公式（3）代入公式（2）可得：cp = ((dH/dT)p + W/m)/(dT/dT)p/m= ((dH/dT)p + W/m)/(dT/dT)p= ((dH/dT)p + pV/m) / (dT/dT)p (4)公式（4）表示了真实气体焓变的表达式，其中，dH/dT代表焓关于温度的导数，pV代表对外界做功。
从这个表达式可以看出，真实气体的焓变受到热力学过程中吸收或释放的热量以及对外界做的功的影响。
对于定压过程，对外界做的功只考虑了压力对容器体积的影响；对于定容过程，对外界做的功为零。
在实际应用中，我们可以使用这个表达式来计算真实气体焓变，其中我们需要知道气体的热容以及温度和压力的变化。
需要注意的是，这个表达式适用于理想气体和部分真实气体，不适用于液体或固体的相变过程。
理想气体比热容比
定义：Cp 定压比热容：压强不变，温度随体积改变时的热容，Cp=dH/dT，H为焓。
Cv 定容比热容：体积不变，温度随压强改变时的热容，Cv=dU/dT，U为内能。
则当气体温度为T，压强为P时，提供热量dQ时气体的比热容：Cp*m*dT=Cv*m*dT+PdV；其中dT为温度改变量，dV 为体积改变量。
理想气体的比热容：对于有f 个自由度的气体的定容比热容和摩尔比热容是：Cv,m=R*f/2
Cv=Rs*f/2 R=8.314J/(mol·K) 迈耶公式：Cp=Cv+R 比热容比：γ=Cp/Cv 多方比热容：Cn=Cv-R/(n-1)=Cv*(γ
-n)/(1-n) 对于固体和液体，均可以用比定压热容Cp来测量其比热容，即：C=Cp （用定义的方法测量C=dQ/mdT) 。
Dulong-Petit 规律：金属比热容有一个简单的规律，即在一定温度范围内，所有金属都有一固定的摩尔热容：Cp≈25J/(mol·K) 所以cp=25/M，其中M为摩尔质量，比热容单位J/(kg·K)。
注：当温度远低于200K时关系不再成立，因为对于T趋于0，C也将趋于0。
8-3理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
Cp,m 5 R 2 7 R 2
γ
5 = 1.67 3 7 = 1.40 5 4 = 1.33 3
5
多原子分子
6
3R
4R
P217表 P217表8-2列出了部分理想气体的有关理论值. 列出了部分理想气体的有关理论值.
8-3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
第八章 热力学基础
i +2 i i 摩尔热容： 二 摩尔热容： CV ,m = R Cp,m = R + R γ = i 2 2
1 dE p dV 1.理想气体定压摩尔热容： Cp,m = 理想气体定压摩尔热容 理想气体定压摩尔热容： + ν dT ν dT p
由
i E = νRT 2
PV =νRT
得
i 理想气体定压摩尔热容。 定压摩尔热容 Cp,m = R + R －理想气体定压摩尔热容。 2
2.理想气体定体摩尔热容： 理想气体定体摩尔热容： 理想气体定体摩尔热容 ∵
第八章 热力学基础
理想气体等体过程： 四 理想气体等体过程：
dQV =νCV ,mdT = dE
m QV = CV ,m (T2 −T1) = E2 − E1 = ∆E M
等 体 升 压
p1
p
p2
2 ( p ,V , T ) 2 2 1 V
( p1 ,V , T1 )
等 体 降 压
p2
p1
p
1 ( p1 ,V , T1 )
第八章 热力学基础
理想气体等体过程： 二 理想气体等体过程：
dW = 0
dQV =νCV ,mdT = dE
m 或 Q = CV ,m (T2 −T1) = ∆E V M
热力学中的热容和摩尔热容
热力学中的热容和摩尔热容热力学是研究能量转化和传递的一门学科，而热容和摩尔热容是热力学中重要的概念。
本文将介绍热容和摩尔热容的定义、计算方法以及在实际应用中的意义。
热容是指物体吸收（或释放）热量时，温度发生变化的能力。
在一个恒定体积条件下，热容可以用来描述物质的热力学特性。
根据热力学的基本定律，热容可以用以下公式表示：\[C = \frac{Q}{\Delta T}\]其中，C表示热容，Q表示吸收（或释放）的热量，ΔT表示温度变化。
热容的单位通常是焦耳每开尔文（J/K）。
它描述了物体在温度变化时所吸收或释放的热量。
摩尔热容则是指单位摩尔物质在吸收（或释放）热量时，温度变化的能力。
摩尔热容可以用以下公式表示：\[C_m = \frac{C}{n}\]其中，C_m表示摩尔热容，C表示热容，n表示物质的摩尔数。
摩尔热容的单位通常是焦耳每摩尔开尔文（J/(mol·K)）。
它描述了单位摩尔物质在温度变化时所吸收或释放的热量。
在实际应用中，热容和摩尔热容起着重要的作用。
首先，它们可以用来计算物质吸收或释放的热量。
在热力学实验中，通过测量物体的质量、温度变化和吸收（或释放）的热量，我们可以利用热容和摩尔热容的定义来计算物质的热量变化。
其次，热容和摩尔热容还可以用来推导物质的热力学性质。
例如，在理想气体的热力学中，我们可以通过测量气体的摩尔热容来推导气体的热力学性质，如气体的自由度和热力学函数。
此外，热容和摩尔热容还可以用来分析物质的相变过程。
在相变过程中，物质吸收或释放的热量可以通过热容和摩尔热容的计算来确定。
总结起来，热容和摩尔热容是热力学中重要的概念，它们描述了物质吸收或释放热量时的温度变化能力。
热容和摩尔热容的计算可以用来测量物质吸收或释放的热量，并且可以推导物质的热力学性质。
在实际应用中，热容和摩尔热容具有重要的意义，并且广泛应用于热力学实验和热力学分析中。
气体摩尔热容的计算
气体摩尔热容的计算气体的摩尔热容是指单位摩尔物质在恒压下温度变化单位度时所吸收或释放的热量。
气体摩尔热容的计算可以通过理论推导和实验测定两种方法来进行。
一、理论计算方法：1.理想气体的摩尔热容：对于理想气体，摩尔热容可通过以下公式计算：Cp=(f/2+1)R（理论计算的公式1）Cv=(f/2)R（理论计算的公式2）其中，Cp为恒压摩尔热容，Cv为恒容摩尔热容，f为气体分子自由度的个数，R为气体常数。
对于双原子分子气体（如氧气、氮气等），分子自由度f=5，带入公式1和公式2可得相关的摩尔热容值。
2.实际气体的摩尔热容：对于实际气体，可以通过计算多原子分子振动、转动和电子能级的贡献来计算摩尔热容。
这个过程需要使用量子力学理论。
具体的计算公式比较复杂，这里不展开讨论。
二、实验测定方法：实验测定摩尔热容的方法有很多，下面介绍两种常用的方法。
1.等压热容法：等压热容方法是指在恒定的压力下测量气体温度的变化，从而计算出摩尔热容。
实验过程如下：a.将一定质量的气体加入到容器中，保持恒定的压力。
b.将测量温度的热电偶或温度计放入容器中，记录初始温度。
c.在恒压条件下加热或冷却气体，测量气体温度的变化。
d.测得的温度变化量与所加的热量之间的比值即为摩尔热容。
2.等容热容法：等容热容法是指在恒定的体积下测量气体压强的变化，从而计算出摩尔热容。
a.将一定质量的气体加入到容器中，保持恒定的体积。
b.将测量压强的压力计放入容器中，记录初始压强。
c.在恒容条件下加热或冷却气体，测量气体压强的变化。
d.测得的压强变化量与所加的热量之间的比值即为摩尔热容。
以上是关于气体摩尔热容的计算方法的介绍，包括理论计算和实验测定的方法。
根据需要选择合适的方法进行计算，可以更好地了解和研究气体的热力学性质。
气体摩尔热容的计算
22．3 理想气体的热容一． 一． 气体的摩尔热容一个系统的温度升高dT 时，如果它所吸收的热量为dQ ，则系统的热容C 定义为当系统的物质的量为1mol 时，它的热容叫摩尔热容，用C m 表示，单位是。
当系统的质量为单位质量时，它的热容叫比热容，用c 表示，单位是。
由于热量是和具体过程有关，同一种气体，经历的过程不相同，吸收的热量也不相同，因此相应于不同的过程，其热容有不同的值。
常用的有等容摩尔热容和等压摩尔热容。
等容摩尔热容是系统的体积保持不变的过程中的摩尔热容，记作C V , m 。
等压摩尔热容是系统的压强保持不变的过程中的摩尔热容，记作C p , m 。
二．理想气体的摩尔热容下面讨论理想气体的摩尔热容。
设1mol 的理想气体，经历一微小的准静态过程后，温度的变化为dT 。
根据热力学第一定律，气体在这一过程中吸收的热量为对于等容过程，理想气体在此过程中吸收的热量全部用来增加内能已知1mol 理想气体的内能为由此得dTdQ C =)/(K mol J ⋅)/(K kg J ⋅m V m V dT dQ C ,,⎪⎭⎫⎝⎛=m p mp dT dQ C ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛=pdV dU dQ +=dUdQ =RTi U 2=所以如果理想气体经历的是一等压过程，则根据理想气体的状态方程有所以比较等容摩尔热容C V , m 与等压摩尔热容C p , m ，不难看出上式叫做迈耶公式。
它的意义是，1mol 理想气体温度升高1K 时，在等压过程中比等容过程中要多吸收8.31J 的热量，为的是转化为膨胀时对外所做的功。
等压摩尔热容C p , m 与等容摩尔热容C V , m 的比值，用表示，叫做比热比RdTidU 2=R i dT dQ C m V mV 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,pdV dU dQ +=RdTidU 2=RdTpdV =R i dT dQ C mp mp 22+=⎪⎭⎫⎝⎛=,,RC C m V m p +=,,γii C C mV m p 2+==,,γRC R C m p m V /,/,,γ是成功的。
9.2 理想气体的典型过程和热容
绝热线比等温线陡
理想气体绝热过程对外 做的功：
dV A pdV p1V1 V V1 V1
V2 V2
1 A ( p1V1 p2V2 ) 1
也可写成：
A Q E E CV ,m (T2 T1 )
理想气体绝热膨胀（ A>0 ）温 度降低，绝热压缩（ A< 0 ）温度 升高。
对刚性双原子分子：
i 5, CV ,m
5 7 7 R, C p ,m R, 1.40 2 2 5
对刚性非直线型多原子分子：
4 i 6, CV ,m 3R, C p,m 4R, 1.33 3
室温下气体的 值
气体 He Ar 理论值 ( i 2) / i 1.67（5/3） 1.67 实验值 1.67 1.67
9.2理想气体的典型过程和热容 9.2.1等体过程和摩尔定体热容 9.2.2等压过程和摩尔定压热容 9.2.3等温过程 9.2.4绝热过程
以理想气体为例，讨论几个典型的准静态过 程和热容。
9.2.1 等体过程和摩尔定体热容 等体过程：体积保持不变的过程 等体过程中，理想气体对外不 做功，吸收的热量全部用来增加内 p 能： i p2 Q E R(T2 T1 ) 2 p1 i dQ dE RdT o 2 定体热容：系统在等体过程中的热容
p2 1.01310 Pa
i5
(i 2) i 1.40
p2 ( 1) / T2 T1 ( ) 98.0K p1
练习：92,4,14,15,16,31,33,34,36,39， 40,47
自测6,7,9,16,17，31
作业：9-34,31
d Q i 对理想气体： CV R dT V 2
气体摩尔热容的计算
22．3 理想气体的热容一． 一． 气体的摩尔热容一个系统的温度升高dT 时，如果它所吸收的热量为dQ ，则系统的热容C 定义为dTdQ C =当系统的物质的量为1mol 时，它的热容叫摩尔热容，用C m 表示，单位是)/(K mol J ⋅。
当系统的质量为单位质量时，它的热容叫比热容，用c 表示，单位是)/(K kg J ⋅。
由于热量是和具体过程有关，同一种气体，经历的过程不相同，吸收的热量也不相同，因此相应于不同的过程，其热容有不同的值。
常用的有等容摩尔热容和等压摩尔热容。
等容摩尔热容是系统的体积保持不变的过程中的摩尔热容，记作C V , m 。
m V mV dT dQ C ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛=等压摩尔热容是系统的压强保持不变的过程中的摩尔热容，记作C p , m 。
m p mp dT dQ C ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛=二．理想气体的摩尔热容下面讨论理想气体的摩尔热容。
设1mol 的理想气体，经历一微小的准静态过程后，温度的变化为dT 。
根据热力学第一定律，气体在这一过程中吸收的热量为pdV dU dQ +=对于等容过程，理想气体在此过程中吸收的热量全部用来增加内能dU dQ =已知1mol 理想气体的内能为RTi U 2=由此得RdTidU 2=所以R i dT dQ C m V mV 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,如果理想气体经历的是一等压过程，则pdV dU dQ +=RdTidU 2=根据理想气体的状态方程有 RdT pdV =所以R i dT dQ C mp mp 22+=⎪⎭⎫⎝⎛=,,比较等容摩尔热容C V , m 与等压摩尔热容C p , m ，不难看出RC C m V m p +=,,上式叫做迈耶公式。
它的意义是，1mol 理想气体温度升高1K 时，在等压过程中比等容过程中要多吸收8.31J 的热量，为的是转化为膨胀时对外所做的功。
等压摩尔热容C p , m 与等容摩尔热容C V , m 的比值，用γ表示，叫做比热比i i C C mV m p 2+==,,γRC R C m p m V /,/,,γ热容时是成功的。
物理化学第三章2-04摩尔热容
U m Vm V p T p m T
C p,m CV ,m 很小
U m ② 理想气体: V m
Vm 0 , R T T p p
PVm=RT
Cp,m CV,m R
1
T2
小结：
①对一定量的理想气体的任意pVT变化, 有:
U nCV ,mdT
T1 T2
H nCp,mdT
T1
T2
②一个十分常见的错误是: 将上两式运用于包含理想气体 的相变或化学变化过程, 因恒温, 得 U = 0! H = 0 ！ ③在非恒容或非恒压条件下, U Q , H Q。如:压 缩绝热气缸内的理想气体, Q = 0; 而 T > 0, U > 0, H > 0。
代入前式,得: Cp ,m CV ,m
U m Vm V p T p m T
4. Cp , m与CV , m的关系：
⑵结论：
T p
C p ,m C V ,m
Vm ①凝聚态物质 很小
§2.4 摩 尔 热 容
1.热容 定义：一定量的物质温升1度所需的热量。 C＝Q/ T
一定量：1mol 摩尔热容
C=Q/ dT
单位 : Jmol－1K－1 Cm=C/n
1kg 质量热容
单位 : Jkg－1K－1
§2.4摩 尔 热 容
2.摩尔定容热容
CV, m
单位 : Jmol－1K－1
C p ,m
1 δQ p = n dT
对恒压过程 δQ p = dH p = n dH m,p 代入有
C p ,m
13-3 等体、等压过程,摩尔热容.
C
CV
i 2
R
Cp CV R i2 R 2
等温 T= 恒量 p量V 恒
0
RT ln V2 或 RT ln p1
V1
p2
理想气体的等体、等压、等温过程
例2 把压强为1.013×105pa, 体积为100cm3的氮
气压缩到20cm3时，气体内能的增量、吸收的热
量和所做的功各是多少？假设经历的是如下两
a→b 等压过程，做功为
b
a
Ap p1(V2 V1)
pV RT
T pV
R
6. 内能变化
QV
V R
CV (
p2
p1 )
νmol理想气体 E QV CV (T2 T1)
（适应于理想气体的一切过程）
二、等压过程 在等压过程中, 理想气体的压强保持不变。
1. 特征 p = C， dp = 0
2. 过程方程
pV RT V C
T 3. 过程曲线
平行于V 轴的等压线。
(盖-吕萨克定律)
p p
O V1
V2 V
4. 功 (A 等于等压线下的面积 )
A pdV p V2 dV pV p
V1
p
pV RT
A
A p(V2 V1) R(T2 T1) O V1 V2 V
定压摩尔热容Cp
在等压过程中， 1mol 理想气体经吸热 Q， 温度变化 T
106
ln
20 106 100 106
16.3J
负号表示在等温压缩过程中, 外界向气体 做功而气体向外界放出热量。
（2）a→b →c ，先等压压缩，后等体升压
10 13-3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
( p1, V1, T1 ) 1
o V1
V2 V
o V2
V1 V
E1
W
E2
E2
E1
W
三、绝热线和等温线
绝热过程曲线的斜率
p
pA
papT
A C
T 常量
Q0
pV 常量
pV
1
dV V dp 0
B
dp pA ( ) a dV VA
o
V A V V B
V
等温过程曲线的斜率
已知 汽化热 密度
L 2.26106 J kg1
水 1 040kg m3
蒸气 0.598kg m
3
解 水汽化所需的热量 Q mL 水汽化后体积膨胀为 V m(
1
蒸气
1
水
)
L 2.2610 J kg
6
1
p
水 1 040kg m
作业：
C P ,m－CV ,m＝R
C P ,m
Q0
T
con st
p
CV ,m ( p2 , V2 ,T2 )
2
2 推导：对绝热过程，由热力学第一定律
dQ dE dW 0 0 CV ,mdT PdV
对于理想气体
dV dp p o V1V V2 V
d pV
0
•过程曲线： •过程方程： p1 p2 , PT 1 C T1 T2 •特征： •内能、功和热量的变化 系统对外界不作功，系
在PV图上是一条平行于p 轴的直线， 叫等体线。
dV 0, W pdV 0
co2的摩尔热容
co2的摩尔热容二氧化碳（CO2）是地球大气中的一种重要气体，在全球气候变化中发挥着重要的作用。
了解CO2的摩尔热容对于研究气候变化以及应对气候变化具有重要意义。
本文将对CO2的摩尔热容进行介绍，并探讨其相关性质和应用。
首先，需要了解摩尔热容的概念。
摩尔热容是指单位摩尔物质在恒定压力下吸收或释放的热量与温度变化之间的比例关系。
摩尔热容可以通过实验测定得到，也可以通过理论模拟计算得到。
对于CO2而言，其摩尔热容取决于温度和压力。
在常温常压下，CO2的摩尔热容为28.54 J/(mol·K)。
这个数值可以通过实验测定得到。
在CO2的分子结构中，每个碳原子都与两个氧原子相连，形成一个线性三原子分子。
这种分子结构决定了CO2的热容特性。
CO2的摩尔热容随温度和压力的变化而变化。
当压力发生变化时，CO2的摩尔热容会随之变化。
在高压下，分子之间的相互作用增强，CO2的摩尔热容会相应增大。
而在低压下，分子间的相互作用减弱，CO2的摩尔热容会相应减小。
另外，温度对CO2的摩尔热容也有明显影响。
随着温度的升高，CO2的摩尔热容会逐渐增大。
这是因为温度升高会使分子的振动和转动模式增多，分子内的自由度也会增加，从而吸热能力增大。
CO2的摩尔热容的研究对气候变化研究具有重要意义。
CO2作为温室气体之一，其浓度的增加与地球气候变暖密切相关。
了解CO2的摩尔热容可以帮助科学家更好地理解CO2的吸热特性，进一步研究温室效应和气候变化机制。
此外，CO2的摩尔热容还有一些实际应用。
例如，在工业生产中，CO2常被用作制冷剂。
了解CO2的摩尔热容可以帮助设计合适的制冷系统，提高效率和节能。
此外，CO2的摩尔热容还与燃烧和能源转换中的热容有关，对优化工程和设计也具有一定的帮助。
总结起来，CO2的摩尔热容是一个重要的物理性质，其数值取决于温度和压力。
了解CO2的摩尔热容对于研究气候变化和应对气候变化具有重要意义，还可以应用于工业制冷和能源转换中的优化设计。
9.3 气体的摩尔热容量 绝热过程
Td
)
3 2
R( 4Ta
Ta
)
9 2
RTa
9 2
p1V1
11 A Aab Abc Acd 2 p1V1
（3）计算整个过程吸收的总热量有两种方法
p
方法一：根据整个过程吸
收的总热量等于各分过程 2p1
c
吸收热量的和。
Qab
CP
(Tb
Ta
)
5 2
R(Tb
Ta
)
p1
绝热方程
气体绝热自由膨胀
pV 恒量
Q=0， W=0，△E=0
V 1T 恒量 p 1T 恒量
气体 真空
绝热线与等温线比较
p
等温 pV C
pdV Vdp 0
dp p dV T V
绝热 pV C
pV 1 V dp 0
41.671 2V1 15.8V1
(2)先求各分过程的功 Aab =0
Abc=2pl(2Vl-V1)=2p1V1
Acd=－△Ecd=－Cv(Td-Tc)= Cv(Td-Tc)
=
3 2
R
(4Ta
-
Ta )=
9 2 RTa =
9 2
p1V1
A=
Aab +
Abc +
Acd
=
13 2
p1V1
（3）计算整个过程吸收的总热量有两种方法 方法一 根据整个过程吸收的总热量等于各分过程吸收热量 的和，先求各分过程热量
则Qabcd
Aabcd
11 2
p1V1
p
2P1
气体摩尔热容的计算
气体摩尔热容的计算①我们把系统与外界之间传递的能量叫作热量。
②向一个物体传递热量时，热量的量值计算式为Q=C（T2-T1），C叫作这一物体的热容。
如果取一摩尔的物质，相应的热容叫作摩尔热容，用Cm表示，其定义为：1mol的物质，当温度升高1K 时所吸收的热量，叫作摩尔热容。
③同一种气体在不同过程中有不同的摩尔热容。
④利用摩尔热容计算质量为m的物体传递热量的公式可写为Q=m/M·Cm（T2-T1）一、气体的摩尔定容热容①气体的摩尔定容热容是指1mol气体，保持体积不变，在没有化学反应和相变的条件下，温度升高1K所吸收的热量，常用CV,m 表示。
②由CV,m的定义式CV,m=（dQ）V/dT得CV,m=0.5iR，式中i 是分子的自由度，R为摩尔气体常量。
③对于1mol的理想气体，不论何种变化过程，都可用dE=CV,mdT来计算内能的增量。
二、气体的摩尔定压热容①气体的摩尔定压热容是指1mol气体，保持压强不变，在没有化学反应和相变的条件下，温度升高1K所吸收的热量，常用Cp,m 表示。
②由Cp,m的定义式Cp,m=（dQ）p/dT得Cp,m=CV,m+R=（1+0.5i）R该式称为迈耶公式，说明理想气体的摩尔定压热容较之摩尔定容热容大一常量R。
③在实际应用中，常常要用到Cp,m和CV,m的比值，该比值通常用γ来表示，称为比热容比，即γ=Cp,m/CV,m=（i+2）/i，γ恒大于1.④对各种气体来说，不管是单原子、双原子或多原子分子气体，两种摩尔热容之差（Cp,m-CV,m）都接近于R。
⑤对单原子分子和双原子分子气体来说，Cp,m、CV,m，和γ的实验值与理论值符合的相当好，这说明经典的热容理论能近似地反映客观事实。
⑥对分子结构较复杂的气体，即三原子分子及以上的气体来说，如仍把三原子以上分子都作为具有6个自由度的自由刚体看待时，则理论值与实验值并不符合。
气体的摩尔热容量
5 3
1.67
对理想气体刚性分子有：双原子分子:
7 5
1.4
M
多原子分子:
8 6
1.33
Qp Cp (T2 T1)
4
§7-4 绝热过程
一、绝热过程
若系统在状态变化过程中，与外界没有热交换，这样的过 程即为绝热过程。
１、特征
dQ 0
即 dE dA 0
即在绝热过程中 dE＝－dA 外界对系统做功，全部用来增加系统的内能 －dE＝dA 系统对外界做功，全部以消耗系统内能为代价
等于，大于，大于。
13
例7－3 有1mol刚性双原子分子理想气体，在等压膨胀过程 中对外做功A，则其温度变化△T＝________；从外界吸取的 热量Qp=__________。
解：
PV RT RT
A PdV pV RT
T A
R
Q E A i RT RT 7 RT 7 A
2
气体的摩尔热容量
一、热容量与摩尔热容量
热容量：系统在某一无限小过程中吸收热量dQ与温度变化 dT的比值称为系统在该过程的热容量(C)。
C dQ dT
单位是 焦/开(J/K)
热容量与比热的关系为 C=MC 比 摩尔热容量：一摩尔物质的热容量叫摩尔热容量(Cm)
(J/mol·K)。
热容量与摩尔热容量关系为
(C)
T1=2T2, 1 2 2
(D)
T1=2T2, 1 2
答 [B]
Q E A Q=0, A=0,
∴T不变
PV RT V增大， P减小
根据 KT 2d 2 P
即可得答案。
12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例7－2 不规则的搅拌盛于良好的绝热容器中的液体，液 体温度在升高，若将液体看作系统，则
大学物理第章第节气体的摩尔热容量
线陡.
pV C d p p dV T V
pV C d p p
dV S
V
交点 A 处
d p
dV
S
d p
dV
T
1
2. 绝热方程的推导
dQ dA dE dQ0dA dE
(1)
M
dA pdV , dE M mol CV dT
pV RT 9 2
p1V1
Aabcd Aab Abc Acd
9
13
0 2 p1V1 2 p1V1 2 p1V1
(3) 方法一
整个过程吸收的
热量等于各分过程吸
收热量之和.
过程 ab
Qab
CV
Tb
Ta )
3 pV RT( pb pa )Va R(Tb Ta ) 2
pV
ln p lnV 恒量
pV 恒量1
pV
( M M mol
)RT V p
1T 1T
恒量2 恒量3
例9.1 1mol单原子理想气体状态a( p1,V1) 先等体加热至压强 增大l倍, 再等压加 热至体积增大l倍, 最后再经绝热膨胀 使其温度降至初始 温度. 试求: (1) 状态 d 的体积 Vd ; (2) 整个过 程对外作的功; (3) 整个过程吸收的热量.
( 4)
(3),(4)CmdT pdV CV dT
( 5)
(1) /(2)V 2 tan RT
( 6)
(6)求微分2V tan dV RdT
(1)2 pdV RdT
(7)
(5),(7)CmdT
气体的摩尔热容
因为热量是过程量，过程不同，吸收的热量也不同。 这从热力学第一定律可以看出。
p
1
p1 •
p2 O V1
Q E A b
a
•2
所以过程不同，摩尔热容量也不同 常用
V2 V
定容摩尔热容量 定压摩尔热容量
4
二 气体的摩尔定容热容
定义：1mol气体在定容过程中温度升高1k时所吸收的热量。
数学表达式
CV ,m
p(atm) a
Eac
i 2
R(Tc
Ta )
1.5
c
0.1 3 8.31 (240.7 180.5)
0.5 d
2
75.04J 0
对于理想气体
C p,m i 2
CV ,m
i
C p,m
CV ,m
单原子 i=3
5
3
双原子 i=5
7 1.4
5
多原子 i=6 8 1.33
6
9
五 等温摩尔热容量和绝热摩尔热容量
1 等温摩尔热容量
CT
(dQm )T dT
(dQm )T 0
2 绝热摩尔热容量
CS
(dQm )S dT
解：(1) pV RT
E i RT 3 RT
2
2
E 3 pV 2
p(atm)
a
1.5
c
E
3 2
p2V2
3 2
p1V1
0
0.5 d
b
方法2
pV RT T pV
R
1.5 105 1 103
O1
Ta
0.1 8.31
180.5K
3 V(l )
Tb
0.5 105 3 103 0.1 8.31
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气体摩尔热容的计算
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：
ﻩ
22.３ 理想气体的热容
一． 一． 气体的摩尔热容
一个系统的温度升高dT 时,如果它所吸收的热量为dQ ,则系统的热容Ｃ定义为
当系统的物质的量为1m ｏｌ时，它的热容叫摩尔热容，用C m 表示,单位是。
当系统的质量为单位质量时,它的热容叫比热容，用ｃ表示,单位是。
由于热量是和具体过程有关,同一种气体,经历的过程不相同，吸收的热量也不相同，因此相应于不同的过程，其热容有不同的值。
常用的有等容摩尔热容和等压摩尔热容。
等容摩尔热容是系统的体积保持不变的过程中的摩尔热容，记作C V , ｍ。
等压摩尔热容是系统的压强保持不变的过程中的摩尔热容,记作C p , m 。
二．理想气体的摩尔热容
下面讨论理想气体的摩尔热容。
设1mol 的理想气体,经历一微小的准静态过程后，温度的变化为dT 。
根据热力学第一定律，气体在这一过程中吸收的热量为
对于等容过程，理想气体在此过程中吸收的热量全部用来增加内能
已知1ｍol 理想气体的内能为
由此得
dT
dQ C =
)/(K mol J ⋅)/(K kg J ⋅m V m
V dT dQ C ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛=m p m
p dT dQ C ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛=pdV dU dQ +=dU
dQ =RT
i U 2=
所以
ﻩ如果理想气体经历的是一等压过程，则
根据理想气体的状态方程有
所以
ﻩ比较等容摩尔热容C Ｖ ， m 与等压摩尔热容C ｐ , m ,不难看出
上式叫做迈耶公式。
它的意义是，1mol 理想气体温度升高1K 时，在等压过程中比等容过程中要多吸收8．３１J 的热量，为的是转化为膨胀时对外所做的功。
ﻩ等压摩尔热容C p , m 与等容摩尔热容ＣV , ｍ的比值，用表示,叫做比热比
表２２－1 理想气体的以及的理论值
C V ,m /R C p,m /R γ
单原子分子气体 1.5 2.5 1.67 刚性双原子分子气体 ２.５ 3.5 １.40 振动双原子分子气体 3.５ ４.5 １．２９ 刚性多原子分子气体
3
4
1.３3
RdT i
dU 2=
R i dT dQ C m V m
V 2=⎪
⎭⎫ ⎝⎛=,,pdV dU dQ +=RdT
i
dU 2=RdT
pdV =R i dT dQ C m
p m
p 22+=⎪
⎭⎫
⎝⎛=,,R
C C m V m p +=,,γi
i C C m
V m p 2+=
=
,,γR C R C m p m V /,/,,γ
表２2-２ 温度为30０K 时，气体摩尔热容的实验数据
C V ,ｍ/Ｒ C p,ｍ/Ｒ γ
单原子分子气体
He Ar N ｅ Kr
1. 1. 50 1. １. 5
０ 1. 1. 53 1．48
2. ２. 5０ 2.50 2.50 2.50 1. 1. 67 1.67 1.６4 1.６9
双原子分子气体
H ２ N 2 O ２ C Ｏ Ｃｌ
2
2.4５ 2．５0 ２．54 2．53 ３.0９
３.47 ３.50 3.54 3.53 4.18
１.４１ 1.4０ 1．３９ 1.40 1.3５
多原子分子气体
ＣO
２
SO 2 H 2Ｏ CH ４
3.43 3．7８ 3.25 3.26
4.45 4．８６ 4.26 4.2７
1.30 1.29 1.3１ 1.３１
ﻩ由上表可见,能量均分原理在解释某些有复杂分子结构的气体的热容时是成功的。
但是，能量均分原理不能解释随着温度的变化而出现摩尔热容数值的变化。
因此,上述理论是个近似理论,只有用量子理论才能较好地解决热容的问题。
例 1.某种气体(视为理想气体)在标准状态下的密度为
，求:
3/0894.0m kg =ρ
(1）该气体的摩尔质量,是何种气体; （2）该气体的定压摩尔热容C P ，ｍ； （３）定容摩尔热容C V ，m 。
解：(1)标准状态
由理想气体状态方程式,有
即
该气体为氢气。
（2)
(3)
例2.在压强保持恒定的条件下,4m ｏl 的刚性双原子理想气体的温度升高６0K 。
问
（1）它吸收了多少热量； （２)它的内能增加多少? （3）它做了多少功。
解：（1）刚性双原子理想气体的定压摩尔热容为
（２)刚性双原子理想气体的定容摩尔热容为
K
T Pa atm P 273,10013.11050=⨯==mol
mol M RT M RT V M P 00
00ρ
==kg
P RT M mol 30
102-⨯==
ρk
mol J R R i C m
p ⋅==+=/1.2927
22,k mol J R R i C m
v ⋅===/8.2025
2,k
mol J R R i C m
p ⋅==+=/1.292722,J
T C M M Q m p mol
3,1098.6601.294⨯=⨯⨯==∆k mol J R R i C m
v ⋅===/8.2025
2,
(3)由热力学第一定律,有
J
T C M M
U m V mol
3,1099.4608.204⨯=⨯⨯==∆∆J U Q W 31099.1⨯=-=∆。