离散型随机变量的均值与方差、正态分布ppt

考点探究讲练互动
考点突破
考点1 离散型随机变量的均值与方
差
求离散型随机变量X的均值与方差的方法 步骤． (1) 理 解 X 的 意 义 ， 写 出 X 可 能 取 的 全 部 值． (2)求X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列． (4)由均值的定义求EX. (5)由方差的定义求DX.
例1 (2010·高考北京卷)某同学参加 3 门课程的考试．假设该同学第一门课 程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三 门课程取得优秀成绩的概率分别为 p、 q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩 相互独立，记 ξ 为该生取得优秀成绩的 课程数，其分布列为
值是( )
A．4
B．4.5
C．4.75
D．5
答案：B
4．在篮球比赛中，罚球命中1次得1 分，不中得0分．如果某运动员罚球 命中的概率为0.7，那么他罚球1次的 得分X的均值是________． 答案：0.7
5．有一批产品，其中有12件正品和4件 次品，有放回地任取3次，每次1件，若X 表 示 取 到 次 品 的 次 数 ， 则 D(X) ＝ ________. 答案：196
正态随机变量 X 落在区间[a，b]内的概
率为：
P(a<X≤b)≈∫baf (x)dx. 即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条 x 轴的垂线，及 x 轴所围成的平面图形 的面积，就是随机变量 X 落在区间[a， b]的概率的近似值，如图.
(2)正态分布 一般地，如果对于任何实数 a<b，随机 变量 X 满足 P(a<X≤b)＝∫baf(x)dx，则 称 X 的分布为正态分布．
则称EX＝ _x_1_p_1＋__x_2_p_2_＋__…__＋__x_ip_i＋__…__＋__x_n_p_n____为 随机变量X的均值或数学期望，它反映 了离散型随机变量取值的 __平__均__水__平__．_____
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则 Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝ __a_E_X_＋__b____.
P(A1)＝45，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
(1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得 优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的， 所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩 的概率是 1－P(ξ＝0)＝1－1625＝111295.
(2)由题意知
P(ξ
＝
0)＝
P(
A
1
A
2
A
3)
＝
1 5
(1
－
p)(1
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此
正态分布常记作 N(μ，σ2).
(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴_上__方__,与x轴__不__相__交__；
②曲线是单峰的，它关于直线__x_＝__μ___
对称；
1
③曲线在x＝μ处达到峰值__σ___2_π___；
④曲线与x轴之间的面积为___1__；
思考探究
1．随机变量的均值、方差与样本均 值、方差的关系是怎样的？
提示：随机变量的均值、方差是一个 常数，样本均值、方差是一个随机变 量，随观测次数的增加或样本容量的 增加，样本的均值、方差趋于随机变 量的均值与方差．
3．正态分布 (1)正态曲线 函数 f(x)＝ 21πσe－x2－σμ22，x∈R.其中实数 μ 和 σ 为参数，我们称 f(x)的图象为正 态曲线．服从正态分布的随机变量叫做 正态变量．
⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定． _σ_越__小___，曲线越“瘦高”，表示总体 的分布越_集__中___；_σ__越__大__，曲线越“ 矮胖”，表示总体的分布越__分__散__．_
课前热身
1．设 X～B(n，p)，且 EX＝15，DX＝445，
＝13275，
(3)①若 X 服从两点分布，则 EX＝_p_； ②若 X～B(n，p)，则 EX＝_n_p__. ③若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何
分布，则 E(X)＝nNM.
2．方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
n
则称 DX＝ (xi－EX)2pi 为随机变量 X
－
q)
＝1625，
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝45pq＝12245.
整理得 pq＝265，p＋q＝1.
由 p＞q，可得 p＝35，q＝25.
(3)由题意知 a＝P(ξ＝1) ＝P(A1 A 2 A 3)＋ P( A 1A2 A 3)＋P( A 1 A 2A3) ＝ 45 (1 － p)(1 － q) ＋ 15 p(1 － q) ＋ 15 (1 － p)q
i＝1
的方差，其算术平方根__D_X__为随机变量 X 的标准差，记作_σ__X__.方差和标准差 刻画了随机变量取值的稳定与波动、集 中与离散的程度．
(2)D(aX＋b)＝____a_2D__X____.
(3)若X服从两点分布，则DX＝ _p_(_1_－__p_)_．___
(4)若X～B(n，p)，则DX＝ _n_p_(_1_－__p_)．_____
ξ 0 12 3
P
6 125
a
b
24 125
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩 的概率；
(2)求p，q的值；
(3)求数学期望Eξ.
【思路分析】 利用 P(ξ＝0)＝1625，P(ξ
＝3)＝12245，求 p，q 的值． 【解】 记事件 Ai 表示“该生第 i 门课 程取得优秀成绩”，i＝1,2,3.由题意知
离Baidu Nhomakorabea型随机变量的均值与方差 、正态分布
教材回扣夯实双基
重点难点
重点：理解掌握随机变量的期望、方差 的概念和正态分布的概念. 难点：随机变量的期望与方差的意义、 正态曲线的性质.
基础梳理
1．均值 (1)若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则 n，p 的值分别为( )
A．50，14
B．60，14
C．50，34
D．60，34
答案：B
2．设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝k)＝15
(k＝2,4,6,8,10)，则 Dξ 等于( )
A．5
B．8
C．10 答案：B
D．16
3．口袋中有5只球，编号分别为 1,2,3,4,5，从中任意取3只球以X表示取 出的球的最大号码，则X的期望EX的