等腰三角形基本性质性质
《等腰三角形性质》
分类与特点分类ຫໍສະໝຸດ 等腰三角形分为锐角等腰三角形 、直角等腰三角形和钝角等腰三 角形。
特点
等腰三角形的两腰相等，两个底 角相等，高平分底边和顶角，等 腰三角形的面积等于底边与高的 乘积的一半。
重要性质及应用
重要性质
等腰三角形的性质包括其两腰相等，两个底角相等，高平分底边和顶角，等腰三角形的面积等于底边与高的乘积 的一半。这些性质在几何学中有着重要的应用。
《等腰三角形性质》
汇报人： 2023-12-12
目录
• 等腰三角形的基本性质 • 等腰三角形的角性质 • 等腰三角形的边性质 • 等腰三角形的面积与高性质 • 等腰三角形的扩展应用
01
等腰三角形的基本性质
定义与术语
定义
等腰三角形是两边相等的三角形，其中相等的两边称为腰，另一边称为底。
术语
顶角、底角、高、底边、腰。
应用
等腰三角形的性质可以应用于实际生活中，如建筑设计、工程绘图和机械制造等领域。在建筑设计方面，等腰三 角形的性质可用于确定建筑物的形状和结构；在工程绘图方面，等腰三角形的性质可用于绘制图形和进行测量； 在机械制造方面，等腰三角形的性质可用于设计和制造机械部件。
02
等腰三角形的角性质
角平分线定理
总结词
等腰三角形顶角平分线三线合一
详细描述
等腰三角形顶角平分线同时垂直于底边和底角平分线，且平分底边。
垂直平分线定理
总结词
等腰三角形底边垂直平分线与顶角平 分线重合
详细描述
等腰三角形底边垂直平分线将三角形 分为两个全等的小三角形，且与顶角 平分线重合。
旁切圆定理
总结词
等腰三角形旁切圆与底边平行
详细描述
等腰三角形的旁切圆与底边平行，且圆心在底边垂直平分线上。
等腰三角形的特性与性质
等腰三角形的特性与性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
它是几何学中的重要概念，拥有许多独特的特性与性质。
本文将就等腰三角形的定义、特征、性质以及相关应用进行探讨。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指一个三角形，其中两边的长度相等。
根据等边三角形的定义可知，等腰三角形也属于等边三角形的一种特殊情况。
二、等腰三角形的特性1. 等腰三角形的底角相等：等腰三角形的两边相等，根据三角形内角和定理可知，其对应底角也必然相等。
2. 等腰三角形的两底角相等：根据等腰三角形底角相等的特性，可推出等腰三角形的两底角也相等。
3. 等腰三角形的顶角平分底边：等腰三角形的顶角可视为底边两底角对应的内角，因此顶角必然平分底边。
4. 等腰三角形的高线互相垂直：等腰三角形的高线即由顶角向底边所引的垂线，而根据垂直定理可知，高线与底边互相垂直。
三、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的顶角，底角以及底边之间的关系：等腰三角形的两底角相等，而顶角又平分底边，因此等腰三角形的顶角和底角之和等于底边的一半，即顶角+底角=180°/2=90°。
2. 等腰三角形的高线与底边之间的关系：等腰三角形的顶角平分底边，因此高线将底边平分成两段相等的线段。
3. 等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可通过基本公式S=1/2×底边长度×高线长度进行计算，由于高线与底边相等，所以面积公式简化为S=1/2×底边长度×高线长度/2，即S=1/4×底边长度×高线长度。
四、等腰三角形的应用等腰三角形由于其特殊的性质，在实际生活中具有广泛的应用。
例如在建筑设计中，许多建筑物的屋顶采用等腰三角形的形状，以增加建筑的稳定性和美观性。
此外，在地理测量中，等腰三角形的性质也常常用于测量高度和距离等。
总结：等腰三角形作为一种特殊的三角形，具有独特的特性与性质。
它的定义简单明了，拥有底角相等、两底角相等、顶角平分底边以及高线与底边相互垂直等特性。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
它具有一些特殊的性质，下面我将详细介绍它们。
1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
根据这个定义，我们可以得到等腰三角形的两个重要性质。
2. 等腰三角形的两边性质等腰三角形的两边是相等的，我们可以利用这个性质来求解等腰三角形的其他几何信息。
3. 等腰三角形的角性质等腰三角形的底角是相等的，也就是说，底边上的两个角度是相等的。
这是等腰三角形最显著的性质之一。
4. 等腰三角形的重心和垂心等腰三角形的重心是三角形中心的一个特殊点，它与三角形的顶点和底边的中点连线相交于一点。
而等腰三角形的垂心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的底边垂直相交。
5. 等腰三角形的面积等腰三角形的面积可以通过底边和高的长度来计算，公式为：等腰三角形的面积 = 底边长度 ×高的长度除以2。
6. 等腰三角形的周长等腰三角形的周长可以通过两条相等边的长度和底边的长度来计算，公式为：等腰三角形的周长 = 2 ×相等边的长度 + 底边的长度。
7. 等腰三角形的内切圆和外接圆等腰三角形的内切圆是与三角形的三条边相切于一点的圆，而外接圆则是通过三角形的三个顶点的圆。
等腰三角形的内切圆半径和外接圆半径的计算方法可以通过三角形的边长或者角度来求解。
以上是等腰三角形的一些基本性质，掌握了这些性质，我们可以更好地理解等腰三角形，并在解题过程中灵活运用。
对于数学学习来说，掌握基本的几何概念和性质非常重要，等腰三角形作为其中的一个重要内容，学好它将有助于我们更好地理解和应用数学知识。
等腰三角形的性质与定理
等腰三角形的性质与定理等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和定理。
本文将对等腰三角形的性质与定理进行详细的介绍。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。
等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边上的角）两个相等。
证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，再加上三角形内角和为180度的性质，可得∠A+∠B+∠C=180度。
由于∠A=∠B=∠C，所以∠B+∠B+∠B=180度，即3∠B=180度，所以∠B=∠C=60度。
2. 等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）和斜边的中线相等。
证明：作等腰三角形ABC的高AD和BC的中线DE。
首先证明AD=DE。
由于三角形ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=∠C=60度。
又因为∠DAB和∠DEC是等腰三角形的底角，所以∠DAB=∠DEC=60度。
因此，由三角形内角和为180度的性质可知，∠DAB+∠BAD+∠BDA=180度，即60度+∠BAD+90度=180度，解得∠BAD=30度。
同理，∠DCE=30度。
再考虑三角形ABD和DEC，由于∠BAD=∠DCE=30度，∠DAB=∠DEC=60度，所以根据AA相似性质可知，∠ABD=∠DEC，故两个三角形相似。
根据相似三角形的性质，可得AD/DE=BD/EC=AB/DC=1/2。
又已知BD=DC，所以AD=DE。
3. 等腰三角形的对顶角（顶点所对的两边的角）相等。
证明：在等腰三角形ABC中，已知∠B=∠C，∠BAC是三角形内角和，即∠BAC+∠CAB+∠ABC=180度，即2∠B+∠ABC=180度，解得∠ABC=180度-2∠B。
同理，∠ACB=180度-2∠C。
由于∠B=∠C，所以∠ABC=∠ACB。
因此，等腰三角形的对顶角相等。
二、等腰三角形的定理1. 等腰三角形底角的平分线是高和对称轴。
(2024年)初中数学课件等腰三角形的性质(几何)ppt课件
2024/3/26
17
其他领域应用举例
在机械工程中，等腰三角形常被用作机械零件的截面形状，如三角形的钢板、三角 形的支架等，这些零件通常具有较好的刚度和稳定性。
在航空航天领域，等腰三角形也被广泛应用，如飞机机翼的截面形状、火箭燃烧室 的形状等，这些设计通常需要考虑空气动力学和力学性能的平衡。
2024/3/26
2024/3/26
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02
等腰三角形判定方法
2024/3/26
7
已知两边相等
定义
有两边相等的三角形是等腰三角形。
性质
推论
等腰三角形是轴对称图形，有一条对 称轴（顶角平分线所在直线、底边上 的中线、底边上的高互相重合）。
等腰三角形的两个底角相等，即等边 对等角。
2024/3/26
8
已知两角相等
01
21
拓展延伸：黄金分割点与等腰三角形
01
黄金分割点定义
把一条线段分割为两部分，使其中一 部分与全长之比等于另一部分与这部 分之比，其比值为(√5-1)/2，取其前 三位数字的近似值是0.618，这个点 就是黄金分割点。
02
等腰三角形与黄金分 割点的关系
在等腰三角形中，可以通过黄金分割 点将底边分为两段，使得这两段长度 之比等于腰与底边之比。这个性质可 以用于美学、设计等领域。
等腰三角形底边上的任意一点 到两腰的距离之和等于一腰上 的高。（错）
等腰三角形是轴对称图形，只 有一条对称轴。（错，等腰三 角形有一条或三条对称轴）
24
选择题练习
等腰三角形的一个内角是 50°，则另外两个内角的 度数分别是（C）
2024/3/26
下列命题中，假命题是（ B）
等腰三角形性质
等腰三角形性质等腰三角形是初中数学中一个重要的概念，它具有许多特点和性质。
在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质，并通过具体的例子来加深理解。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
它的性质有以下几点：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等。
这是等腰三角形的最基本性质之一。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
根据定义，我们可以得出∠B=∠C。
这个性质可以通过实际测量角度来验证。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（即顶点的角）平分底边。
这意味着顶角的两个角度与底边的两个角度相等。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
根据定义，我们可以得出∠A=∠B=∠C。
这个性质可以通过实际测量角度来验证。
3. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是从顶点到底边中点的线段，它与底边垂直。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
我们可以通过实际绘制图形来验证高线的垂直性。
二、等腰三角形的应用等腰三角形的性质在数学中有广泛的应用。
下面，我将介绍一些常见的应用情况。
1. 判定等腰三角形：当我们遇到一个三角形，需要判断它是否为等腰三角形时，可以利用等腰三角形的性质进行判断。
例如，我们可以考虑一个三角形ABC，其中AB=AC。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠A=∠B=∠C，从而判定这个三角形为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的面积：当给定等腰三角形的底边长度和高线长度时，我们可以利用等腰三角形的性质求解其面积。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，高线AD与底边BC垂直，且AD=h。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出BC=2AD。
因此，等腰三角形的面积S=1/2×BC×h=AD×h。
三、等腰三角形的拓展等腰三角形的性质还可以进一步拓展到其他几何概念中。
1. 等腰梯形：等腰梯形是指两边平行且等长的梯形。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的性质是数学中的重要概念之一，它具有许多有趣的特点和性质。
本文将介绍等腰三角形的性质及其相关定理。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，这两条边被称为腰，而另外一条边称为底边。
由于两条腰的长度相等，所以等腰三角形的底角也必然相等。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角相等：由等腰三角形的定义可知，两条腰的长度相等，因此底角也必然相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
2. 等腰三角形的顶角平分底角：在等腰三角形中，顶角与底角之间的关系十分特殊。
根据平分角的性质，等腰三角形的顶角将平分底角，使得等腰三角形的顶角等于底角的一半。
3. 等腰三角形中，顶角、底边、高线之间存在特殊关系：等腰三角形中，高线是从顶角向底边作垂直线，垂足处的线段被称为高线。
根据等腰三角形的性质，高线将底边平分，并且高线与底边垂直。
4. 等腰三角形的两条腰上的高线相等：等腰三角形的两条腰上的高线长度相等。
因为两条腰的长度相等，所以它们与底边构成的高线长度也必然相等。
5. 等腰三角形的两边夹角相等：等腰三角形的两边夹角等于顶角的一半。
这是等腰三角形中重要的定理之一，也是许多证明问题中的关键。
6. 等腰三角形中，高线、中线、角平分线重合：在等腰三角形中，高线、中线和角平分线三者的垂足点重合。
这是等腰三角形中有趣的性质之一。
三、等腰三角形的应用1. 利用等腰三角形的性质求解几何问题：等腰三角形的性质可以应用于各种几何问题的求解过程中。
例如，通过已知条件推导等腰三角形的性质，进而解决其他相关问题。
2. 构造等腰三角形：在实际应用中，有时候需要根据具体要求构造等腰三角形。
通过利用等腰三角形的性质，可以在平面上进行精确的构造，满足特定的需求。
4. 证明几何定理：在数学证明中，等腰三角形的性质往往被用作证明其他几何定理的基础，通过运用等腰三角形的特性来推导其他结论。
等腰三角形性质
等腰三角形性质一、等腰三角形性质1、等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（等腰三角形三线合一）。
3、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7、一般的等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8、等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
9、等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
二、等腰三角形定义至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
三、等腰三角形判定方法定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是学习几何学时常见的一种特殊三角形，它具有很多独特的性质和特点。
本文将以点明等腰三角形的定义以及其性质为主线，讲解等腰三角形的一些基本知识和相关定理。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指两边(腰)的边长相等的三角形。
在一个等腰三角形中，通常会存在一个等腰线，即连接两个底角的线段，也是三角形的对称轴。
二、等腰三角形的基本性质1. 等腰三角形的底角相等：一个等腰三角形的两个底角(即不等边对应的两个角)相等，可记作∠A = ∠C。
2. 等腰三角形的等腰线中点角相等：等腰线将底边分为两段，连接等腰线与底边中点的线段，该线段分割出来的两个角相等，可记作∠BAD = ∠DAC，∠BDA = ∠DAB。
3. 等腰三角形的顶角平分底角：等腰三角形的顶角(即等边对应的角)等于两个底角之和的一半，可记作∠B = ∠A + ∠C。
4. 等腰三角形的高线及中线：等腰三角形的高线是从顶点到底边的垂直线段，等腰三角形的中线是从顶点到底边的中点的线段。
在等腰三角形中，高线和中线重合，且与底边垂直。
三、等腰三角形的相关定理1. 在等腰三角形中，如果两条边相等，那么两个对应的角也相等，即边对角相等定理。
例如，若AC = BC，则∠A = ∠B。
2. 在等腰三角形中，如果一个角为直角，则它对应的两边必然相等，即等腰直角三角形的两条腰相等。
例如，在直角等腰三角形ABC中，如果∠C = 90°，则AC = BC。
3. 在等腰三角形中，如果一条边平分对脚的底角，则该边为底边(腰)，且等腰线也平分对脚的顶角。
例如，在等腰三角形ABC中，如果AD是BC的平分线，则BD = CD，且∠BAD = ∠CAD。
通过对等腰三角形的定义、基本性质和相关定理的分析，我们可以更好地理解和应用等腰三角形。
在实际应用中，等腰三角形常用于解决与对称性、垂直性、角度和边长之间关系等问题。
对等腰三角形有着深入的理解，对于解题和推理能力的培养会有积极的促进作用。
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和应用。
本文将探讨等腰三角形的几何性质以及其在实际生活中的应用。
一、等腰三角形的性质1. 基本性质：等腰三角形的两条底边相等，两个底角相等。
2. 高度与底边的关系：等腰三角形的高度是底边的垂直平分线。
3. 顶角与底角的关系：等腰三角形的顶角等于底角的平分角。
二、等腰三角形的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，等腰三角形常被用于设计门窗的形状。
等腰三角形的稳定性能确保了门窗的结构强度，同时其美学性质使得门窗更加具有艺术感。
2. 地质勘探：在地质勘探中，等腰三角形用于计算山体的高度。
通过测量等腰三角形的底边和底角，并利用三角函数的计算方法，可以准确地计算出山体的高度。
3. 测量工具：等腰三角形在测量工具中也有广泛的应用。
例如，在三角板和直角尺等工具中常用等腰三角形的性质来进行角度测量和边长测量。
4. 汽车制造：在汽车制造中，等腰三角形被运用到车灯设计中。
等腰三角形的对称性和稳定性使得车灯分布均匀，提高了行车安全性。
5. 数学教育：等腰三角形是初等数学中的重要内容之一，通过研究等腰三角形的性质，可以帮助学生建立对几何概念的理解，并培养学生逻辑思维和空间想象力。
综上所述，等腰三角形作为一种特殊的三角形，在几何学和实际应用中具有重要的地位。
通过了解等腰三角形的性质和应用，我们可以更好地理解几何学知识，并将其运用到实际生活和工作中。
无论是建筑设计、地质勘探还是科学测量，等腰三角形都发挥着不可替代的作用。
因此，我们应该不断深化对等腰三角形的研究，充分发挥其在各领域中的应用价值。
等腰三角形的基本性质
等腰三角形
1.定义: 两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图AB=AC , ABC 就是等腰三角形
顶角
2.等腰三角形的基本要素:
A
相等的两边叫做腰 另一边叫做 底边
腰
腰
两腰的夹角叫做顶角
腰和底边的夹角叫做底角
B 底角
底边
C 底角
B
A
C
AC=BC A 腰： AC，BC 底边： AB 顶角： C 底角： A， B
例1、已知：在△ABC中，AB = AC，∠B = 80°，
求∠C 和 ∠A的度数。
A
解：
∵ AB =AC
∴ ∠B = ∠C = 80°
B
C
Байду номын сангаас
又 ∵ ∠A + ∠ B + ∠C = 180°
∴ ∠A = 180°- 80° - 80°= 20°
例2、如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，求 ∠1 和 ∠ADC的度数。
问题1、结论（2）用文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
问题2、结论（3）、（4）、（5）用一句话可以归纳 为什么？
等腰三角形的底边上的高、中线及顶角的平分线
互相重合，简称“三线合一”
A
(1)“等腰三角形”是三线合一的 大前提
B D C (2)要注意是哪三线?
等腰三角形的性质
B
C
AB=CB
腰： AB，CB 底边： AC 顶角： B 底角： A， C
二.等腰三角形性质的探索
做一做1：
在半透明的纸上，画一个等腰三角形，把它对折，让两腰 AB，AC重叠在一起，折痕为AD。
等腰三角形的性质及计算方法
等腰三角形的性质及计算方法等腰三角形是指两条边相等的三角形。
在数学中，我们经常需要计算三角形的各种属性和特性。
本文将介绍等腰三角形的性质，并提供一些计算等腰三角形的方法。
一、等腰三角形的性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即AB = AC。
这是等腰三角形最基本的性质。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两个基边所对的角）相等，即∠B = ∠C。
3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点所对的角）平分底角，即∠A = ∠B = ∠C。
4. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点向底边的垂直距离，记作h。
5. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点与顶点的线段，记作AM。
二、等腰三角形的计算方法1. 计算等腰三角形的周长：等腰三角形的周长可以通过两边的长度和底边的长度来计算。
由于等腰三角形的两边相等，可以使用以下公式计算周长：周长 = AB + AC + BC = 2AB + BC。
2. 计算等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高和底边的长度来计算。
使用以下公式计算面积：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高 = 1/2 * BC * h。
3. 计算等腰三角形的高：若已知等腰三角形底边长度BC和两边的长度AB（或AC），可以使用勾股定理计算三角形的高。
假设底边的中点是M，则通过三角形的中线AM可以得到高h，并使用以下公式计算高：h = √(AB² - (1/2 * BC)²)。
4. 计算等腰三角形的底边长度：若已知等腰三角形的两边长度AB 和AC，可以使用以下公式计算底边的长度：BC = 2√(AB² - (1/2 * AC)²)。
5. 计算等腰三角形的顶角和底角：等腰三角形的顶角和底角相等，可以使用以下方法计算角度值：- 计算顶角的度数：∠A = ∠B = ∠C = 180度 / （3 - 1）= 90度。
- 使用正弦函数计算角度的弧度值：sin(∠A) = sin(∠B) = sin(∠C) = (1/2 * BC) / AB。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中经常遇到的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。
它具有以下几个重要的性质：1. 顶角平分线：等腰三角形的顶角平分线也是底边的中线。
这意味着等腰三角形的顶角平分线与底边相等，并且平分线的中点与底边的中点重合。
2. 底角相等：等腰三角形的两个底角是相等的。
这是等腰三角形最基本的性质之一，也是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据。
3. 高线重合：等腰三角形的两条高线重合于底边中点。
这意味着等腰三角形的两条高线相等，并且它们的交点与底边的中点重合。
二、判定等腰三角形的方法判定一个三角形是否为等腰三角形，我们可以运用以下几种方法：1. 两边相等：如果一个三角形的两边相等，那么它就是一个等腰三角形。
这是最简单的判定方法，只需要比较两条边的长度即可。
2. 底角相等：如果一个三角形的两个底角相等，那么它就是一个等腰三角形。
这个方法也比较简单，只需要用量角器或直尺测量两个角的度数即可。
3. 顶角平分线：如果一个三角形的顶角平分线与底边的中线重合，那么它就是一个等腰三角形。
这个方法需要用到直尺和量角器，先画出顶角平分线，再测量底边中线的长度，如果两者重合，就可以判定为等腰三角形。
三、实际应用等腰三角形在现实生活中有许多实际应用。
例如，在建筑设计中，我们经常会遇到等腰三角形的形状，比如屋顶的斜面。
通过了解等腰三角形的性质和判定方法，我们可以更好地理解和应用这些形状。
此外，等腰三角形还与数学中的其他概念有着密切的联系。
例如，等腰三角形的顶角平分线与底边的中线重合这一性质，与中位线的性质有着相似之处。
通过比较和分析这些概念之间的关系，我们可以更深入地理解数学知识。
总结：等腰三角形是初中数学中的重要概念，它具有独特的性质和判定方法。
等腰三角形性质总结
等腰三角形性质总结等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形有很多独特的性质和特点。
本文将总结等腰三角形的性质并进行详细介绍。
一、定义和基本性质等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。
一般来说，等腰三角形的两边相等的两个角也相等，这被称为等腰三角形的基本性质之一。
具体来说，如果一个三角形的两边长相等，那么该三角形就是等腰三角形。
二、角度性质1. 底角性质：等腰三角形的底角相等。
所谓底角，是指等腰三角形的两个边中与底边不相邻的内角。
因为等腰三角形的两边相等，所以两个底角也必然相等。
2. 顶角性质：等腰三角形的顶角等于180度减去底角的两倍。
顶角是指等腰三角形的两个边中与顶点相邻的内角。
由于三角形内角和为180度，所以等腰三角形的顶角可以通过180度减去底角的两倍来计算。
三、边长性质1. 两边相等：等腰三角形的两边相等，这是等腰三角形的定义。
两边相等意味着等腰三角形的两条边的长度相同。
2. 底边中点连线：等腰三角形的底边中点连线与顶点连线重合且垂直于底边。
这是等腰三角形的一个重要性质，也是等腰三角形特有的一个特点。
四、对称性质等腰三角形是一个具有对称性质的图形，具体体现在以下几个方面：1. 中线对称：等腰三角形的底边中线是等腰三角形上底角的角平分线，且底边中线与等腰三角形的两边相等。
2. 顶点对称：等腰三角形的顶角对应的两边相等，即顶角两侧的边互相对称。
五、高线的性质等腰三角形的高线是从等腰三角形的顶点到底边的垂直线段。
高线有以下性质：1. 高线相等：等腰三角形的两条高线相等，且垂直于底边。
2. 高线与底边的关系：等腰三角形的高线平分底边，即将底边分成两个相等的部分。
六、中位线的性质等腰三角形的中位线是从等腰三角形的顶点到底边的中点的线段。
中位线有以下性质：1. 中位线垂直：等腰三角形的中位线垂直于底边。
2. 中位线与底边的关系：等腰三角形的中位线平分底边，即将底边分成两个相等的部分。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和定理。
本文将就等腰三角形的性质进行探讨，帮助读者更好地理解和应用这些定理。
一、等腰三角形的定义等腰三角形的定义是指具有两边长相等的三角形。
在等腰三角形中，两边被称为腰，不与腰相等的边称为底边，顶角为顶点对应的角。
二、等腰三角形的性质1. 顶角的平分线是底边的中垂线在等腰三角形中，顶角的平分线与底边相交于底边的中点，并且垂直于底边。
这是等腰三角形特有的性质之一。
2. 两底角相等等腰三角形的两边相等，所以它的两底角也相等。
这是等腰三角形的基本性质。
3. 底角的平分线也是高的线段等腰三角形中，底角的平分线与对边也是高的线段。
这一性质可以根据相似三角形的性质推导得出。
4. 等腰三角形的高经过顶角的平分线的中点等腰三角形的高经过底边中点。
这是等腰三角形与平行四边形的联系之一。
5. 等腰三角形的高线段相等等腰三角形的高线段长度相等。
这也是等腰三角形的重要性质之一。
6. 等腰三角形具有对称性等腰三角形具有对称性，即以顶点为中心旋转180度后，图形完全重合。
这是等腰三角形的独特性质。
三、等腰三角形的应用等腰三角形的性质在几何学中有广泛的应用。
它们常用于解决各种几何问题，以及在三角函数中的应用等。
1. 求解等腰三角形的面积由于等腰三角形的高线段相等，可以利用等腰三角形的高与底边的关系求解三角形的面积。
2. 证明等腰三角形的定理等腰三角形的性质可以用于证明其他定理，如三角形的角平分线定理，平行四边形的特性等。
3. 解决三角函数的应用问题在三角函数的应用中，等腰三角形提供了一种简便的方法来求解各种角度和边长的关系。
四、总结等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形。
它的性质包括顶角的平分线是底边的中垂线、两底角相等、底角的平分线是高的线段，等等。
这些性质不仅在几何学中有广泛的应用，而且还可以在其他数学领域解决问题。
通过深入研究和理解等腰三角形的性质，读者可以更好地应用于实际问题的解决过程中。
等腰三角形的性质与计算
等腰三角形的性质与计算等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形有着独特的性质和计算方法。
本文将介绍等腰三角形的性质，并提供相关计算方法。
一、等腰三角形的性质等腰三角形有以下性质：1. 两边相等：等腰三角形的两条腰（即较短的两边）长度相等。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）的度数相等。
3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点处的角）将两个底角平分。
4. 底角平分顶角：等腰三角形的底角将顶角平分。
二、等腰三角形的计算在解决等腰三角形问题时，我们可以利用以下公式和定理进行计算：1. 底角的计算：等腰三角形的底角等于顶角的补角。
例如，如果顶角的度数为60°，则底角的度数为120°。
2. 顶角的计算：等腰三角形的顶角等于底角的补角。
例如，如果底角的度数为40°，则顶角的度数为140°。
3. 腰长的计算：在已知等腰三角形的底边长度和顶角度数的情况下，可以使用正弦、余弦或正切等三角函数计算腰长。
例如，已知等腰三角形的底边长度为5，顶角的度数为30°，可以使用正弦函数计算腰长：sin(30°) = 腰长/5，进而计算出腰长的值。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学、物理学、建筑学等领域有广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 圆锥的侧面：在几何学中，圆锥的侧面通常是由等腰三角形组成的。
2. 建筑物的屋顶：在建筑学中，一些传统的建筑物屋顶的形状往往是等腰三角形，这是为了保持结构的稳定性和美观度。
3. 钢琴弦的调音：调音师在调音钢琴时会利用等腰三角形原理，即只调一个弦，而后一个弦的音高会自动与之相等。
四、总结等腰三角形具有两边相等、两底角相等、顶角平分底角和底角平分顶角的性质。
计算等腰三角形可以利用底角和顶角的度数关系，以及三角函数来计算腰长。
在实际应用中，等腰三角形广泛用于几何学、物理学和建筑学等领域。
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用等腰三角形是几何学中常见的一种特殊三角形，它的性质独特，应用广泛。
本文将深入探讨等腰三角形的性质以及在实际问题中的应用。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，有以下几个重要的性质：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两边长相等的角）相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
可以通过对角度进行比较或利用对称性来证明。
2. 顶角平分线与底边垂直：等腰三角形的顶角平分线（即连接顶角和底边中点的线段）与底边垂直。
这个性质对于求解等腰三角形的高、应用中的问题都非常有用。
3. 高重合：等腰三角形的高（即从顶点到底边的垂直线段）重合于底边中点。
这意味着等腰三角形的高也是底边上的中线和中位线。
二、等腰三角形的性质证明1. 两底角相等的证明：以等腰三角形ABC为例，设AC=BC，要证明∠ACB = ∠CAB。
证明：由于AC=BC，且直线段AB共线，所以三角形ABC是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，两边AC和BC相等，而根据三角形中的一对对应角相等的性质，∠ACB = ∠CAB。
2. 顶角平分线与底边垂直的证明：以等腰三角形ABC为例，设AC=BC，M为底边AB的中点，要证明AM ⊥ BC。
证明：连接AM和BM，由于AC=BC，AM=BM，所以三角形ABM和ACM是等腰三角形。
根据等腰三角形高重合的性质，AM重合于CM，而由高重合又可以得到AM ⊥ BC。
三、等腰三角形的应用1. 求解等腰三角形的高：已知等腰三角形的底边长和顶角，可以利用三角函数的性质来计算等腰三角形的高。
例如，如果已知等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则高h可以通过h = a * sin(θ/2) 来计算。
2. 三角形的构造问题：在一些实际问题中，可以利用等腰三角形的特性来进行三角形的构造。
例如，已知一个角的两条边长相等，可以根据等腰三角形的性质构造出一个等腰三角形。
3. 几何证明问题：在几何证明中，等腰三角形常常可以作为中间步骤，起到简化问题的作用。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和判定方法。
本文将详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的两底角（底边两旁的角）是相等的。
设等腰三角形的两底角分别为A，那么∠A = ∠B。
2. 等腰三角形的顶角（底边对面的角）是锐角。
设等腰三角形的顶角为C，那么∠C < 90°。
3. 等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线）同时也是它的中线和对称轴。
等腰三角形的高线可以将底边分成两段相等的线段，同时也将顶角分成两个相等的角。
4. 等腰三角形的中线（从顶点到底边中点的线段）是它的高线和对称轴。
等腰三角形的中线同时也是它的底边的二等分线，它将等腰三角形分成两个面积相等的小三角形。
二、判定一个三角形是否为等腰三角形在判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们可以利用以下几种方法：1. 通过测量两边的长度。
如果一个三角形的两边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过测量两底角的大小。
如果一个三角形的两底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 通过判断顶角是否为锐角。
如果一个三角形的顶角是锐角，那么这个三角形就有可能是等腰三角形。
我们可以通过测量或计算三个角的大小来判断是否满足等腰三角形的顶角为锐角的条件。
4. 通过判断两条边长和夹角的关系。
如果一个三角形的两边长度相等且夹角小于90°，那么这个三角形就是等腰三角形。
需要注意的是，以上方法只是判定等腰三角形的一些常见方法，并非所有方法的总结。
在实际问题中，可能还会涉及其他判定方法。
在几何学中，等腰三角形的性质和判定是非常重要的基础知识。
通过对等腰三角形的学习，可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
无论是在数学学习中还是实际应用中，等腰三角形的性质和判定都具有广泛的应用价值。
总结：等腰三角形具有两边长度相等、两底角相等、顶角为锐角等性质。
等腰三角形的性质和应用
等腰三角形的性质和应用等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在数学中，等腰三角形有着独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍等腰三角形的性质以及在几何学和实际生活中的一些应用。
一、等腰三角形的基本性质等腰三角形的基本性质主要有以下几点：1. 等腰三角形的底角相等：等腰三角形的两个底角是相等的，即两个底边所对的角度相等。
2. 等腰三角形的顶角平分底角：等腰三角形的顶角是底角的平分角，即顶角的度数是底角度数的一半。
3. 等腰三角形的边长关系：等腰三角形的两条等边之间和底边之间有一定的关系。
设等腰三角形的底边长为a，等边长为b，则可以使用勾股定理得出等腰三角形高的长度h为：h = √(b^2 - a^2/4)。
二、等腰三角形的几何性质除了基本性质之外，等腰三角形还具有一些重要的几何性质：1. 等腰三角形的高线重合：等腰三角形的高线是指从三角形顶点到底边上某一点的垂直线段，而等腰三角形的高线三条互相重合于一个点，称为三角形的垂心。
2. 等腰三角形的内切圆：等腰三角形的内切圆是指与等腰三角形的三边相切的圆，且圆心位于等腰三角形的高线上。
3. 等腰三角形的外接圆：等腰三角形的外接圆是指与等腰三角形的三边相切于三个顶点的圆，且圆心位于等腰三角形的高线上。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在数学中有着广泛的应用，同时也应用于实际生活中的各个领域。
以下是一些常见的应用：1. 几何学应用：在几何学中，等腰三角形常用于解决角度和长度之间的问题。
例如，通过已知等腰三角形的边长和底角，可以求解其高线的长度和顶角的度数。
2. 建筑设计：等腰三角形的均衡和稳定特性使其在建筑设计中得到广泛应用。
例如，在设计建筑物的三角屋顶时，经常使用等腰三角形的形状。
3. 美术设计：等腰三角形的对称性和美观性，使其成为美术设计中常用的图形元素。
在绘画、雕塑和装饰品设计中，等腰三角形可以被用于创造均衡和吸引人的效果。
4. 金融和经济学：等腰三角形也在金融和经济学领域中得到应用。
等腰三角形的性质
有两边相等的三角形是等腰三角形
A
Байду номын сангаас
腰
顶 角
腰
B
底角
底角
C
底边
等腰三角形中， 相等的两边都叫 做腰，另一边叫 做底边，两腰的 夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角 叫做底角.
比一比，看谁做的快又准！
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它 的周长是 10cm ； 2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长 为4cm,则它的周长是 10cm或11cm ；
结论:
在等腰三角形中, ① 顶角 度数+2× 底角 度数=180° ② 0 °＜顶角度数＜ 180 ° ③ 0 °＜底角度数＜ 90 °
1.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角 为______________ 75°, 30°
2.等腰三角形一个角为40°,它的另外
两个角为 ________________________ 70°,70°或40°,100°
如何证明两个三角形全等?
作BC边上的高AD
幻灯片 13
作BC边上的中线AD
幻灯片 14
作顶角的平分线 AD
幻灯片 15
等腰三角形
常见辅助线
幻灯片 16
A
证明: 作BC边上 的高AD
则∠ADB＝∠ADC ＝90º 在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB＝AC B （公共边） AD＝AD
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长 为8cm,则它的周长是 19cm 。
1、等腰三角形是轴对称图形
2、∠ B =∠ C 3、BD = CD ，AD 为底边上的中线 4、∠ADB = ∠ADC = 90°，AD为底边上的 高 5、∠BAD = ∠CAD ，AD为顶角平分线 问题1、结论（2）用文字如何表述？
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等腰三角形性质【基础知识精讲】等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质:1.两个底角相等(简写为“等边对等角”)2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一.3.等边三角形各内角都等于60°.利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题.【重难点解析】本节重难点均在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题是本节研究的重点.例1 求证：等腰三角形两腰的中线相等.已知△ABC 中AB=AC ，BD 、CE 为中线，求证BD=CE.分析 要证BD=CE ，可考虑证△ABD ≌△ACE ，而∠A 为公共角，AB=AC ，所以只需证明AD=AE 即能达到证明目的.证 ∵AB=AC, AE=EB, AD=DC∴AE=AD.在△ABD 和△ACE 中，AB=AC ，∠A=∠A AD=AE∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE.例2 等腰三角形一个外角为100°,求三内角度数.分析 本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角，但要注意本题中外角是顶角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，本题有两解. 解 ∵等腰三角形∴两底角相等，设顶角为x ，底角为y ，则x+2y=180°(1)当顶角的外角为100°时，顶角的外角等于两底角之和∴2y=100°求得⎩⎨⎧︒=︒=5080y x (2)当底角的外角为100°时，底角y=180°-100°=80°求得⎩⎨⎧︒=︒=8020y x∴三内角为80°,50°,50°或20°，80°，80°* 例3△ABC中，AC＞AB.求证：∠B＞∠C.证∵AC＞AB ∴在AC上取AD=AB，连BD，∵∠ADB＞∠C.且∠ABD=∠ADB又∵∠ABC＞∠ABD∴∠ABC＞∠C.注意：本例是三角形中边角之间不等关系的一个重要结论：三角形中，若边不相等，则较大的边所对的角也较大，(简写为“大边对大角”)这一结论可帮助我们利用边的不等关系，证明角的不等关系.例4 △ABC中，∠B=2∠C，AD为角平分线.求证 AB+BD=AC.分析对于要证的结论，可采用补短法来完成，即延长AB至E，使BD=BE下只需证AE=AC即可.∴AB+BD=AB+BE=AE.证一延长AB至E，使BE=BD∴AB+BD=AE. ∵BE=BD∴∠E=∠EBD ∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E=2∠C.∴∠E=∠C,在△ABE的△ACD中，∠EAD=∠CAD. ∠E=∠C AD=AD∴△AED≌△ACD ∴AE=AC ∴AB+BD=AC.证二分析：本题也可用“截长”的方法来证明∵∠B=2∠C＞∠C.∴可在AC上取AF=AB，下面只需证FC=BD即可，再利用DF作桥梁，证明BD=DF=FC.证∵∠B=2∠C＞∠C ∴AC＞AB,在AC上取AF=AB.又∵∠1=∠2.AD=AD∴△ABD≌△AFD. ∴BD=FD. ∠AFD=∠B=2∠C.∴∠FDC=∠C. ∴AB+BD=AF+FC=AC.【难题点拨】例1 D为等边三角形△ABC内一点，DA=DB，∠DBP=∠DBC.BP=BC，求∠P的度数.分析 正三角形内角为60°，可考虑将∠P 与三角形内角进行联系，借用内角60°以达解题目的，连DC 后易得△PBD ≌△CBD ，从而将求∠P 转化为求∠DCB.解 连DC ∵BP=BC ∠PBD=∠CBD BD=BD∴△PBD ≌△CBD.∴∠P=∠DCB. 又BD=AD CD=CD AC=BC∴△BCD ≌△ACD∴∠BCD=∠ACD=21∠ACB=21×60°=30° ∴ ∠P=30°* 例2 △ABC 中AB=AC ，P 为形内一点，且PB ＞PC.如图,求证∠APC ＞∠APB.分析 这一类在等腰三角形、等边三角形等图形中出现的与形内一点相关的问题.常利用适当的旋转.使等边重合.将该点与三顶点的连线段相对集中到一个三角形内，再设法利用已知来解决问题.证 ∵AB=AC ∴将△ABP 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合得△AP ′C ，连PP ′由作图△ABP ≌△ACP ′∴AP=AP ′，BP=CP ′∴∠1=∠2 ∠APB=∠AP ′C ，P ′C=BP ＞PC.在△PP ′C 中，P ′C ＞PC∴∠3＞∠4 ∠1+∠3＞∠4+∠2.∴∠APC ＞∠AP ′C ∴∠APC ＞∠APB.本题利用了“大边对大角”这一结论。
【难题解答】求证：等腰三角形两腰上的高的交点，与底边两端点距离相等.已知△ABC 中AB=AC ，高BE ，CF 交于D(或延长线交于D)，求证：DB=DC.甲 乙 丙分析 本题应考虑∠A 的各种情况.①∠A=90°时(图丙)，两高各与边重合，显然结论成立.②∠A ＜90°时(图甲)，D 在形内，此时先证△BFC ≌△CEB(AB=AC ，∠ABC=∠ACB ，∠CEB=∠BFC=90°，BC 为公共边)得BF=CE ，再证△BFD ≌△CED ，得DB=DC.③当∠A ＞90°时(图乙)，D 在形外，证法步骤②一样，但图形中相关线段位置发生了变化.【典型考题】例1 周长为21，边长都为整数的等腰三角形共有( )A.4个B.5个C.8个D.10个分析 设底边为x,腰长为y ，∴x+2y=21.∵2y 为偶数，21为奇数 ∴x 为奇数.又三角形两边之和大于第三边 ∴x ＜2y.x+2y ＞2x 2x ＜21 x ＜10.5.x 为奇数 ∴x=1，3，5，7，8 共5个 答案B.注 x=7时，y=7为等边三角形，属特殊等腰三角形.例2 如图， D 、E 在△ABC 的边BC 上，且AD=AE=BD=DE=EC.则∠BAC 是∠EAC 的几倍？分析 从等边△ADE 入手，得∠ADE=∠AED=60°,再利用△ABD 和△AEC 为等腰三角形，且顶角的外角∠ADE=∠AED=60°.求出∠EAC 再求∠BAC.解 ∵AD=AE=DE ∴△ADE 为等边三角形∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°又AE=EC ，AD=DB∴∠BAD=∠B=21∠ADE=30°∠EAC=∠C=21∠AED=30°例3 如图，MB=2MA，MC=BC，∠1=∠2，求证MA⊥AC.分析利用MB=2MA，可考虑取MB中点D，利用等腰三角形性质.可知CD⊥MB,再利用三角形全等证∠A=∠MDC=90°.证作△MCB的中线CD.∵MB=2MA ∴MA=MD又∠1=∠2 MC=MC ∴△MAC≌△MDC. ∠A=∠MDC又MC=BC，CD为△MCB中线∴CD⊥MB ∠CDM=90°∴∠A=90°∴MA⊥AC.【知识探究学习】(一)为什么要添线解证几何题，就是由已知出发，用形式逻辑的推理与量的计算，来探究新的、未知结果，一句话，就是要创造条件实现从已知向结论的转化，实现这一转化，要具体问题具体分析，而添设辅助线，正是创造转化条件的一部分，是为了联系几何元素之间的关系而架设的桥梁.(二)添辅助线的目的总目的在于沟通解题思路，创设由已知条件向所求结论过渡的条件，不可生硬地机械照搬，而是随着解题思路而展开，某些条件不能直接与结论发生联系时，为发掘、创设这些条件联系的途径，来设想和决定在图中添什么线与怎样去添线，这正是理解添设辅助线方法的精髓.(三)添线的原则、手段(1)化分散为集中，就是通过添加辅助线将已知和未知的有关几何元素相对集中到同一个或几个相关基本几何图形中去，使之产生联系.(2)化整体为部分，就是通过添线把复杂的几何图形分解为几个简单的几何图形，使问题化繁为简.(3)化不规则为规则，即通过添线将不规则几何图形化为规则几何图形，使问题化难为易.添线的常用手段是平移、旋转、对称、截取、延长等.【同步练习】一、判断(3分×8=24分)( )1.等腰三角形一个内角为120°，另两个内角必为30°.( )2.等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一.( )3.内角为70°的等腰三角形，另两角一定为70°和40°.( )4.等边三角形不一定是锐角三角形.( )5.O为等腰三角形三中线交点，M为三内角平分线交点，N为三条高的交点，则O、M、N共线.( )6.等腰三角形一个外角是钝角，则与它相邻的内角是底角.( )7.底边相等，且有一个角相等的两等腰三角形全等.( )8.底边相等，周长也相等的两个等腰三角形全等.二、填空(4分×8=32分)1.等腰三角形中一个内角为108°,则另两个内角分别为 .2.△ABC中，BA=BC，∠C=50°, ∠A, ∠C的外角平分线交于D，则∠ADB= .3.△ABC中，AB=AC，∠C=36°，BC=6,BD为外角平分线，则BD= .4.周长为13，边长为整数的等腰三角形共有个.5.AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ACD周长为14 cm，则AD=______.6.D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA上的点，DF∥BC，BD=DE=EF=FC，∠B=30°,则∠A= .7.线段AD、BC交于O，且AB=AC，DB=DC，AD=3，BC=4.则四边形ABDC的面积为 .8.等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角，底角 .三、选择(4分×8=32分)1.等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于( )A.顶角B.顶角的一半C.顶角的2倍D.底角的一半2.等腰三角形顶角是底角的4倍，则顶角为( )A.20°B.30°C.80°D.120°3.等腰三角形顶角为钝角，它的高、中线和角平分线的条数总和为( )A.3B.6C.7D.94.BD为△ABC的角平分线，AB=AC，∠BDC=75°,则∠A为( )5.等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差为3cm 的两部分，则腰长为( )A.2cmB.8cmC.2cm 或8cmD.不能确定6.等腰三角形一个外角等于110°,则底角为( )A.70°或40°B. 40°或55°C. 55°或70°D. 70°7.D 、E 为△ABC 的边BC 上两点，且AD=AE=-BD=DE=EC ，则∠BAC 是∠EAC 的( )A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍8.三角形一边上的高与中线相互重合，且等于该边的一半，则这个三角形是( )A.任意三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形四、解答题(6分×2=12分)1.△ABC 中，∠C=90° AC=BC ，BD 为角平分线AE ⊥BD 交BD 延长线于E ，求证AE=21BD.2.如图,△ABC 和△DEC 均为等边三角形，∠DAB=40°,BACD=15°,求∠BEC 的度数.【素质训练】1.P为等边△ABC内一点，∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7,求以PA，PB，PC长为边三角形三内角.2.△ABC中，AB=AC，BD、CE为角平分线，AF⊥BD于F，AG⊥EC于G，求证AF=AG.【实际运用】用长为20cm的铁线弯成一边长为8cm的一个等腰三角形，问等腰三角形各边长应为多少？。