抛物线焦点弦的弦长公式.pptx
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
抛物线过焦点弦性质PPT教学课件
淮海战役
1948年11月6日至1949年1月10 日，邓小平、刘伯承、陈毅、 粟裕、谭震林等，统一指挥中 原解放军和华东解放军，在以 徐州为中心的广大地区，展开 了淮海战役。解放军先后在碾 庄、双堆集顽强作战，歼灭大 量敌军。徐州的国民党军队见 大势已去，向西南逃窜。人民 解放军解放徐州后，进行围歼， 在河南东部陈官庄全歼敌军。
●淮海战役
支援前线的民工小车队
●淮海战役
民工大车运输队，为解 放军运送军需物资
民工组成担架队，帮助子弟兵运送伤员
●淮海战役
淮海战役烈士纪念塔塔身浮雕
淮海战役烈士纪念塔，1959年4月4日由国务院决定在江苏省徐州市兴 建；1960年4月5日奠基；1965年10月1日建成开放。
淮海战役共歼敌五十万 多人，基本解放了长江 以北的华东、中原地区， 奠定了解放长江以南各 省的基础。
●辽沈战役
人民解放军强渡辽河，追歼向营口逃窜的国民党军队
●辽沈战役
辽沈战役纪念馆
原辽沈战役纪念馆始建于1958年，1988年重建新馆。新馆坐落在锦州 市区北部青松翠柏掩映的辽沈战役烈士陵园，总建筑面积1.3万平方米，主 体建筑8600平方米。在展厅正面建有一座中国特色的牌坊式的凯旋门。馆 内建有全景画馆，用绘画再现锦州攻坚战的全景。各展厅向人们展示了中 国现代东北解放战争时期珍贵的历史实物和照片。
●淮海战役
淮海战役总前委
淮海战役总前委合影。自左向右：粟裕、邓小平、刘伯承、陈 毅、谭震林。
●淮海战役
华东野战军部队经鲁西南地区向徐州挺进的情形
●淮海战役
国民党徐州守敌狼狈逃窜的情形
碾庄战场
●淮海战役
淮海战役的胜利，是人民群众 用小车推出来的。
——陈毅
抛物线焦点弦
抛物线焦点弦抛物线是指平面内到一个定点（焦点）和一条定直线l （准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
设抛物线y=aX 2(a>0).焦点（0，a 41），准线方程：Y=—a41直线AB ：Y=kX+a41,交抛物线于点A （x 1,y1），B （x 2,y 2）性质1：（弦长公式）21y y AB +=+a21对于直线与曲线相交求交点间的距离可以利用弦长公式：AB=21k +21x x -由 ⎩⎨⎧+=+=bkx y b kx y 2211 ⇒ k x x y y =--2121⇒ )(2121x x k y y -=-∴ 221221)()(y y x x AB-+-= =2212221)()(x x k x x -+-2121x x k -+=性质2：若A B ∥X 轴，则AB=a 1∵AB ∥X 轴 ∴A （x 1,a 41），B （x 2,a41）由a 41=ax 2⇒X=±a21∴AB=x 2-x 1=a 21+a 21=a1性质3：21x x ∙=-241a ,21y y ∙=2161a由⎪⎩⎪⎨⎧+==akx y ax y 412⇒ ax 2-kx-a 41=0 ⇒21x x ∙=-241a而21y y ∙=2221ax ax ∙=()2212x x a ∙=42161aa ∙=2161a推广:若直线L 过定点（0，S ）与抛物线2ax y=(a>0)交于A （X 1，Y 1），B （X 2，Y 2）满足：21x x ∙=-as 21y y ∙=2s设直线L 方程为s kx y +=由⎩⎨⎧=+=2ax y s kx y ⇒02=--s kx ax ∴asx x -=∙21又 222221221)()(s as a x x a y y =-==∙性质4：AO 交准线于点C ，则直线CB 平行于抛物线对称轴。
抛物线焦点弦性质课件
例题2 过抛物线 ya2x(a的焦0)点F作一直线交抛物线于P、Q两点，
若PF与FQ的长分别是p,q则p1q1等( )于(A)2Ca (B)
(C)4a 1(D)
2a
2 a
y
P
F
.
Q
x
本节课，我们主要从代数（方程）的角度和几何观点 研究抛物线的焦点弦的一些性质。而对于从几何观点 去研究它的性质，希望同学们课后进一步的完成。
角为 ___或__2____．
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焦点|弦 AB |长 s2ip 2n
(其中 为直 A与 线 B 对称轴
m
⒊过抛物线 y22px(p0)的对称轴上有一点M (p, 0)，
作 2p一，条则直B线点与纵抛坐物标线为交__于_4_Ap_、__B_两点，若A点纵坐标为
由 y y 2 k 2 (x p p x ) y 2 2 k p y 2 p 2 0 y 1 y 2 2 p 2
2 py1 y12 y1 y2
2p y1 y2
y
B
kABkAF 直线 AB 过焦F点
F
若 A (x 1,y1)， B (x2,y2)在 抛 y2物 2p(x p O线 A0 )上x， 则 y1y2p2 直 A线 过 B F 焦点
焦 半| A 径F|xA2p
焦点弦 | A长 B|xAxBp
y
B
O
x l
O F
x
x≥0
y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
焦半径
焦点弦 的长度
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式是：<a>AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}</a>
一、抛物线焦点弦长定义
1、抛物线焦点弦（AB）是抛物线的一部分，它由焦点之间的两个点构成，它们分别为上抛物线上的焦点F1和下抛物线上的焦点F2；
2、抛物线焦点弦的长度表示两个焦点连线的长度，即两点F1，F2之间的直线距离；
二、抛物线焦点弦长公式
抛物线焦点弦长公式是：AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}，其中a为抛物线顶点到水平轴的距离，b为抛物线顶点到垂线的距离，c为抛物线焦点到垂线的距离。
三、抛物线焦点弦长使用
1、由抛物线焦点弦长公式可知，我们可以利用这个公式求出若干特定抛物线的焦点弦的长度；
2、抛物线焦点弦的长度也可用于解决日常生活中的物理问题，比如可以确定抛物线上任意两点之间的距离等；
四、抛物线焦点弦长结论
抛物线焦点弦长公式可以使用来求解抛物线的焦点弦的长度，而且该长度也可以用于解决实际中的一些物理问题。
抛物线焦点弦性质应用
2)
=
2
2 ;
2
3.焦半径： || + || = ; ||，||一个较长，一个较短.
不论开口向上还是向下，因为sinɑ > 0，
所以，较长 =
, 较短 =
;
1 − ɑ
1 + ɑ
d
2
4.面积：S∆OAB=2|ɑ| ; 若是到的距离，则
直平分线与x轴交于点T(5，0)，O为坐标原点，则S△AOB
＝ 2 2 .
例 1 已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过点 F 的
→ →
直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，若OA·OB＝－12，则抛物线 C 的方程为
A.x2＝8y
例2
B.x2＝4y
C.y2＝8x
√
焦点弦的几个结论（AB是过焦点F的弦，A(x1,y1)，
B(x2, y2)(ɑ为倾斜角)y2=±2px（p>0）.
1.
2
坐标积：x1x2= ，12
4
= −2;
3 p2
OA OB
，AOB为钝角.
4
2.弦长公式： |AB|=|x1+x2|+p=2(1 +
3.焦半径：
1
||
1.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于
9
A，B两点，若|AF|=2|BF|，则|AB|= 2
，k= 2 2 .
2.过抛物线y2=12x的焦点F的直线l与抛物线交于
A，B两点，若|AB|=16，则直线斜率k=
|AF|=
12，或4
，|BF|= 4，或12
, பைடு நூலகம்AOB
经过抛物线焦点的弦长公式
经过抛物线焦点的弦长公式1. 抛物线标准方程及焦点坐标回顾。
- 对于抛物线y^2=2px(p>0)，其焦点坐标为((p)/(2),0)。
- 对于抛物线y^2=-2px(p>0)，其焦点坐标为(-(p)/(2),0)。
- 对于抛物线x^2=2py(p>0)，其焦点坐标为(0,(p)/(2))。
- 对于抛物线x^2=-2py(p>0)，其焦点坐标为(0,-(p)/(2))。
2. 经过抛物线y^2=2px(p>0)焦点的弦长公式推导。
- 设过焦点((p)/(2),0)的直线方程为y = k(x-(p)/(2))（当直线斜率存在时），设直线与抛物线的交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程代入抛物线方程y^2=2px得：[k(x - (p)/(2))]^2=2px。
- 展开得k^2(x^2-px+frac{p^2}{4}) = 2px，即k^2x^2-(k^2p +2p)x+frac{k^2p^2}{4}=0。
- 由韦达定理得x_1 + x_2=frac{k^2p + 2p}{k^2}=p+(2p)/(k^2)。
- 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。
对于y^2=2px(p>0)，准线方程为x = -(p)/(2)。
- 弦长| AB|=x_1+(p)/(2)+x_2+(p)/(2)=x_1 + x_2 + p。
- 把x_1 + x_2=p+(2p)/(k^2)代入得| AB| = 2p+(2p)/(k^2)。
- 当直线斜率不存在时，过焦点((p)/(2),0)的直线方程为x=(p)/(2)，代入y^2=2px得y=± p，此时弦长| AB| = 2p，也满足| AB| = 2p+(2p)/(k^2)（当k→∞时）。
- 若设直线的倾斜角为θ（θ≠(π)/(2)），k = tanθ，则弦长| AB|=(2p)/(sin^2)θ。
抛物线焦点弦的弦长公式之欧阳家百创编
关于抛物线焦点弦的弦长公式欧阳家百（2021.03.07）在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为px y22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -=)2(πθ≠将其代入抛物线方程整理得：)84(422222=++-kp k xkx p p ，且θtan =k设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则：kk xx pp 22212+=+，4221pxx =当2πθ=时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
(2)已知：抛物线的方程为)0(22>=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(2211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2,0(p ，故AB 的方程为kx py =-2，将其代入抛物线的方程整理得：,0222=--pxpkx 从而p x x x x pk 22121,2-==+，弦长为：)(cos )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。
而pxy22-=与（1）的结果一样，py x 22-=与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。
现将改动陈述于下：（3）已知：抛物线的方程为px y22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
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直线 AB 倾斜角为 ，求弦 AB 的长。
x y x y 解：设 A,B 的坐标为 (
,
),(
,
) ，斜率为 k (k tan ) ，而焦点坐标为(0,
p )
，
11
22
2
故 AB 的方程为 y p kx，将其代入抛物线的方程整理得： 2
x2 2pkx p2 0, 从而 x1 x2 2pk, x1x2 p2 ，
一寸光阴不可轻
关于抛物线焦点弦的弦长公式
在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介 绍 了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：
y (1)已知：抛物线的方程为 2 2 px ( p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A B 两点，
且弦 AB 的倾斜角为 ，求弦 AB 的长。
2
y 而 2 2 px 与（3）的结果一样
x 同理：（4）已知：抛物线的方程为 2 2 py( p 0) ，过焦点的弦 AB 交抛物线于A,B
两点，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，求弦 AB 的长。
x y x y 解：设 A,B 的坐标为 ( , ),( , ) ，若过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即| AB | 2 p 。这个公式
(sin )2
包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应 用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。
3
2
2
2
2
一 寸 光 阴 不 可轻
当倾斜角 , 则 ,cos cos( ) sin
2
2
2
所以| AB | 2 p 恒成立。
(sin )2
当 时， sin 1，|AB|=2p.即为通径。
2
x 而 2 2 py 与（4）的结果一样。
故只要直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，那么不论抛物线的开口向上，向下，向
弦长为：| AB |
1 k2
(x1
x 2)2
4
x1x 2
2p
(cos )2
0,cos 1,| AB | 2 p ，即为通径。
y x 而 2 2 px 与（1）的结果一样， 2 2 py 与（2）的结果一样，但是（1）与（2）
的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈 述于下：
解：由题意可设直线 AB 的方程为 y k(x p ) ( )将其代入抛物线方程整理得：
2
2
2
4 k 2 x2 (4 p k 2 8 p)x p k 2 0 ，且 k tan
x y x y 设 A,B 两点的坐标为(
,
1
),( ,
1
2
) 则：
2
x1 x2
pk2 k2
2p
，x1 x2
11
22
则 k tan ，而焦点坐标为(0, p ) ，
2
故 AB 的方程为 y p kx，将其代入抛物线的方程整理得： 2
x2 2pkx p2 0, 从而 x1 x2 2pk, x1x2 p2 ，
弦长为：| AB |
1 k2
(x1
x 2)2
4
x1
x
2
2p
(cos )2
当倾斜角 ，则 , cos cos( ) sin ；
p2
4
| A B | 1 k 2 ( x 1 x 2) 2 4 x 1 x 2
1 (ta n )2
( pk 2 2 p)2 p2k 4 k4
2p
(s in )2
而 sin sin ,sin( ) sin ，故| AB | 2 p ；
(sin )2
当 时， sin 1，|AB|=2p.即为通径。
4k2 x2 (4 p k2 8p)x p k2 0 ，
若倾斜角 ，则 , k tan tan ；
2
若倾斜角 , 则 , k tan tan( ) 。
2
x y x y 设 A,B 两点的坐标为 (
,
1
),(
1
,
2
)
2
则： x 1 x 2
pk2 k2
2p
，
x1 x2
p2
4
| AB |
1 k2
( x1
x
2)2
4
x1
x2
2p
(sin
)2
当 时，斜率不存在，sin 1，|AB|=2p.即为通径
2
而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
x (2)已知：抛物线的方程为 2 2 py( p 0) ，过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B 两点，
y （3）已知：抛物线的方程为 2 2 px ( p 0) ，过焦点F 的弦 AB 交抛物线于A ，B
两点，且弦 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，求弦 AB 的长。
1
一 寸 光 阴 不 可轻
解：由题意可设直线 AB 的方程为 y k(x p ) ( )将其代入抛物线方程整理得：
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