抛物线焦点弦的弦长公式.pptx

直线 AB 倾斜角为 ，求弦 AB 的长。
x y x y 解：设 A,B 的坐标为 (
,
),(
,
) ，斜率为 k (k tan ) ，而焦点坐标为(0,
p )
，
11
22
2
故 AB 的方程为 y p kx，将其代入抛物线的方程整理得： 2
x2 2pkx p2 0, 从而 x1 x2 2pk, x1x2 p2 ，
2
2
2
2
一 寸 光 阴 不 可轻
当倾斜角 , 则 ,cos cos( ) sin
2
2
2
所以| AB | 2 p 恒成立。
(sin )2
当 时， sin 1，|AB|=2p.即为通径。
2
x 而 2 2 py 与（4）的结果一样。
故只要直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，那么不论抛物线的开口向上，向下，向
4k2 x2 (4 p k2 8p)x p k2 0 ，
若倾斜角 ，则 , k tan tan ；
2
若倾斜角 , 则 , k tan tan( ) 。
2
x y x y 设 A,B 两点的坐标为 (
,
1
),(
1
,
2
)
2
则： x 1 x 2
pk2 k2
2p
，
x1 x2
弦长为：| AB |
1 k2
(x1
x 2)2
4
x1x 2
2p
(cos )2
0,cos 1,| AB | 2 p ，即为通径。
y x 而 2 2 px 与（1）的结果一样， 2 2 py 与（2）的结果一样，但是（1）与（2）
的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈 述于下：
y （3）已知：抛物线的方程为 2 2 px ( p 0) ，过焦点F 的弦 AB 交抛物线于A ，B
两点，且弦 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，求弦 AB 的长。
1
一 寸 光 阴 不 可轻
解：由题意可设直线 AB 的方程为 y k(x p ) ( )将其代入抛物线方程整理得：
2
2
2
p2
4
| A B | 1 k 2 ( x 1 x 2) 2 4 x 1 x 2
1 (ta n )2
( pk 2 2 p)2 p2k 4 k4
2p
(s in )2
而 sin sin ,sin( ) sin ，故| AB | 2 p ；
(sin )2
当 时， sin 1，|AB|=2p.即为通径。
2
y 而 2 2 px 与（3）的结果一样
x 同理：（4）已知：抛物线的方程为 2 2 py( p 0) ，过焦点的弦 AB 交抛物线于A,B
两点，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，求弦 AB 的长。
x y x y 解：设 A,B 的坐标为 ( , ),( , ) ，若倾斜角为 ，斜率为 k，
p2
4
| AB |
1 k2
( x1
x
2)2
4
x1
x2
2p
(sin
)2
当 时，斜率不存在，sin 1，|AB|=2p.即为通径
2
而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
x (2)已知：抛物线的方程为 2 2 py( p 0) ，过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B 两点，
一寸光阴不可轻
关于抛物线焦点弦的弦长公式
在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介 绍 了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：
y (1)已知：抛物线的方程为 2 2 px ( p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A B 两点，
且弦 AB 的倾斜角为 ，求弦 AB 的长。
11
22
则 k tan ，而焦点坐标为(0, p ) ，
2源自文库
故 AB 的方程为 y p kx，将其代入抛物线的方程整理得： 2
x2 2pkx p2 0, 从而 x1 x2 2pk, x1x2 p2 ，
弦长为：| AB |
1 k2
(x1
x 2)2
4
x1
x
2
2p
(cos )2
当倾斜角 ，则 , cos cos( ) sin ；
解：由题意可设直线 AB 的方程为 y k(x p ) ( )将其代入抛物线方程整理得：
2
2
2
4 k 2 x2 (4 p k 2 8 p)x p k 2 0 ，且 k tan
x y x y 设 A,B 两点的坐标为(
,
1
),( ,
1
2
) 则：
2
x1 x2
pk2 k2
2p
，x1 x2
左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即| AB | 2 p 。这个公式
(sin )2
包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应 用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。
3