一元回归分析-1
一元回归及简单相关分析
2、基本概念 回归方程：Yˆ a称 b为XY对X的回归方程。
回归线：根据回归方程所画出的直线称为回归线。 回归系数：一元线性回归线的斜率称为回归系
数，表示自变量每改变一个单位，因 变量平均改变的单位数。
3、最优回归线的估计原理
最小二乘法(method of least square)原理：
条件平均数：在具有回归关系的两变量之间， 对于自变量X的任一可能的值xi，因变量Y 与之对应的分布的平均数μY·X=xi，称为自变 量X=xi时因变量Y的条件平均数。
二、 相关 (correlation)
相关：设有两个随机变量X和Y，对于任一随机 变量的每一个可能的值，另一个随机变量都 有一个确定的分布与之相对应，即在Y对X存 在回归关系的同时，X对Y也存在回归关系， 则称这两个随机变量间存在相关关系。
t5,0.05/2=2.571，|t| > t5,0.05/2，拒绝H0，即拒绝α = 100。
结论： a不是抽自α = 100的总体 。
三、两个回归方程的比较
对两个回归方程的b和a的差异显著性检验 之后，就能判断它们是否来自同一总体。 若来自同一总体，则可以将它们合并为一 个回归方程。
⑴ 检验MSe1和MSe2有无显著差异：
130
115
135
85
89
94
106
125
137
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115
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110
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一元线性回归分析
C=α+βy + µ
其中， µ是随机误差项。 是随机误差项。 其中， 是随机误差项 根据该方程， 的值， 根据该方程，每给定一个收入 y 的值，消 并不是唯一确定的， 费C并不是唯一确定的，而是有许多值， 并不是唯一确定的 而是有许多值， 他们的概率分布与µ的概率分布相同 的概率分布相同。 他们的概率分布与 的概率分布相同。 线性回归模型的特征： 线性回归模型的特征： 有随机误差项！ 有随机误差项！
21
说
明
一、严格地说，只有通过了线性关系的检验，才 严格地说，只有通过了线性关系的检验， 能进行回归参数显著性的检验。 能进行回归参数显著性的检验。 有些教科书在介绍回归参数的检验时没有考虑线 性关系的检验，这是不正确的。 性关系的检验，这是不正确的。因为当变量之间 的关系没有通过线性检验时， 的关系没有通过线性检验时，进行回归参数显著 性的检验是没有意义的。 性的检验是没有意义的。 在一元线性回归分析中， 二、在一元线性回归分析中，即只有一个解释变 量时，这两种检验是统一的。 量时，这两种检验是统一的。但在多元回归分析 这两种检验的意义是不同的。 中，这两种检验的意义是不同的。 为了说明该问题， 为了说明该问题，我们在本章中依然把两种检验 分开论述。 分开论述。
13
为了达到上述目的， 为了达到上述目的，我们直观上会采 用以下准则： 用以下准则： 选择这样的SRF，使得： 选择这样的 ，使得：
残差和∑ ε i = ∑ ( yi − yi )尽可能小！ ˆ
但这个直观上的准则是否是一个很好 的准则呢？我们通过以下图示说明： 的准则呢？我们通过以下图示说明：
14
12
ˆx i + ε i yi = α + β ˆ ˆ 即：y i = y i + ε i ˆ ∴ ε i = yi − yi
一元回归分析
一元回归分析
一元回归分析是统计学中一个重要的研究方法，是探讨一个或多个特征对一个变量的影响程度的有效工具。
即对一个变量（称为因变量）的变化，由另一变量（称为自变量）决定的这种关系强度的大小，分析方法就是一元回归分析。
回归的最基本形式是一元线性回归，也就是说，自变量和因变量之间的关系是一条直线。
一元回归分析中的最重要的因素是多元线性回归模型，也被称为最小二乘法。
其核心思想是寻找一条能够最好地拟合给定数据的直线，以评估每一条直线的拟合错误率为目标函数，通过最小二乘法求解最优化模型，来获得其参数估计值。
最后，一元回归分析也有诊断检验来测试模型的有效性。
诊断检验包括残差检验、正态性检验、相关性检验和自相关性检验等，这些检验可以帮助检查模型是否满足预先设定的假设，因此可以确定模型的可靠性。
从上面可以看出，一元回归分析是一种重要的统计学研究方法，它不仅可以用来研究一个或多个特征对因变量的影响程度，而且还可以通过诊断检验来测试模型的有效性。
因此，它应用广泛，可以为不同领域的研究者提供有价值的结果，如社会、医学、经济和心理等。
实际的应用中，除了研究因变量的影响，还可以使用回归分析来预测未来的值，同时可以采用回归模型来识别与所研究的变量关联的模式和关系。
此外，一般会使用协方差分析识别两个变量之间的关系，这可以使用线性回归模型来完成，即计算变量之间的协方差和相关系
数来评估两个变量之间的强弱程度。
总之，一元回归分析是一种有效的统计分析工具，其主要用途是研究一个或多个特征对一个变量的影响程度，进而识别出两个变量之间的关系，并利用诊断检验来测试模型的有效性，它的应用非常广泛，可用于社会、医学、经济和心理等许多领域。
一元回归分析
一元回归分析1. 简介回归分析是统计学中重要的分析方法之一，用于研究变量之间的关系。
在回归分析中，一元回归是指只涉及一个自变量和一个因变量的分析。
一元回归分析的目的是建立一个数学模型，描述自变量对因变量的影响关系，并通过拟合数据来确定模型的参数。
通过一元回归分析，我们可以研究自变量和因变量之间的线性关系，预测因变量的值，并进行因变量的控制。
2. 原理2.1 线性回归模型一元线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用以下方程来表示：Y = β0 + β1 * X + ε其中，Y 表示因变量，X 表示自变量，β0 和β1 分别表示模型的截距和斜率，ε 表示误差项。
2.2 最小二乘法拟合回归模型的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
残差是指观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法通过计算观测值与回归线之间的垂直距离来确定参数值，使得这些距离的平方和最小化。
3. 回归分析步骤一元回归分析通常包括以下步骤：3.1 数据收集收集与研究问题相关的数据。
数据包括自变量和因变量的观测值。
3.2 模型设定根据问题和数据，选择适当的回归模型。
对于一元回归分析，选择一元线性回归模型。
3.3 模型估计利用最小二乘法估计模型的参数值。
最小二乘法将通过最小化残差平方和来确定参数值。
3.4 模型诊断对拟合的模型进行诊断，检查模型是否满足回归假设。
常见的诊断方法包括检查残差的正态分布性、检查残差与自变量的关系等。
3.5 结果解释解释模型的结果，包括参数估计值、模型拟合程度、因变量的预测等。
3.6 模型应用利用拟合的模型进行预测、推断或决策。
4. 注意事项在进行一元回归分析时，需要注意以下几点：•数据的收集应当尽可能准确和全面，以确保分析的可靠性；•模型的设定应当符合问题的实际情况，并选择合适的函数形式；•模型诊断是确定模型是否可靠的重要步骤，需要进行多种检验；•需要注意回归分析的局限性，不能因为有了一元回归模型就能解释所有的问题。
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用于探究两个变量之间线性关系的统计方法。
它的作用是根据给定的自变量和因变量数据，建立一个线性回归模型，以预测未来的因变量值或者对自变量进行解释。
以下是一元线性回归分析的方法步骤：1. 收集数据：收集自变量（x）和因变量（y）的数据。
确保数据具有代表性，容量足够大，并且是可靠的。
2. 绘制散点图：根据所收集的数据，绘制自变量（x）和因变量（y）的散点图，以查看它们之间的大致关系。
3. 计算相关系数：计算自变量（x）和因变量（y）的相关系数，以评估它们之间的线性相关性。
通常使用皮尔逊相关系数来进行衡量。
4. 建立模型：使用最小二乘法来建立一元线性回归模型。
该模型的方程可表示为y = β₀+ β₁x，其中β₀是截距，β₁是斜率。
最小二乘法通过最小化残差平方和来确定最佳拟合的直线。
5. 评估模型：评估回归模型的拟合程度。
可以使用多种统计指标，如可决系数（R²）和均方根误差（RMSE），来评估模型的精度和稳定性。
6. 预测和推断：使用建立的回归模型进行预测和推断。
可以利用模型来预测因变量的值，或者对自变量进行解释和推断。
7. 检验假设：对回归系数进行假设检验，以判断自变量对因变量是否具有统计上显著的影响。
常见的方法是计算回归系数的t值和p值，并根据显著性水平来确定是否拒绝或接受假设。
8. 验证和诊断：验证回归模型的有效性和适用性。
可以使用残差分析、正态概率图和残差图等方法来检查模型的假设前提和模型的良好性。
以上是一元线性回归分析的一般方法步骤。
实际分析中，可能会根据具体问题进行调整和扩展。
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页
一元回归分析
一元回归分析一元回归是统计学中的一种方法，它是在一组观察点之间进行变量间关系分析的有效方法。
这种分析方法运用统计学中的最小二乘法来选择一组观察变量和一个预测变量，并建立一个拟合变量之间的线性关系，以预测预测变量的值。
一元回归也可以称为“线性回归模型”，这是因为它假设观测变量和预测变量之间的关系是线性的。
一元回归分析的基本假设是一个观察变量和一个预测变量之间存在强烈的线性关系。
具体而言，一元回归假定观察变量可以在一定程度上解释预测变量的变化，即观察变量可以作为预测变量的预测因子。
因此，一元回归将使用统计学方法建立一个线性模型，以最大程度地说明观测变量和预测变量之间的关系。
一元回归分析有很多应用，包括了营销、金融、管理等领域。
在营销领域，一元回归可以帮助企业了解客户的偏好和行为，并采取有效的措施来满足客户的需求。
在金融领域，一元回归可以帮助投资者了解投资的风险和回报，并采取有效的策略来实现最佳收益。
在管理领域，一元回归可以帮助企业评估工人和设备的工作效率，并有效地进行资源调配。
一元回归分析的模型需要满足如下几个基本要求：(1)型需要包含一个观察变量和一个预测变量；(2)观察变量和预测变量之间必须存在线性关系；(3)观察变量和预测变量之间的关系不能有多重共线性；(4)观察变量和预测变量的数据必须具有正态分布特征；(5)观察变量和预测变量之间不能存在缺失值；(6)观察变量和预测变量之间不能存在异常值。
一元回归分析可以有效地分析观察变量和预测变量之间的关系，从而更有效地预测结果变量的值。
然而，鉴于基本假设的限制，它的应用范围是有限的，因此，在对变量进行回归分析之前，最好首先对数据属性进行充分的研究。
此外，它也不能有效地解释少量观察变量的变化，因此在多变量情况下，其他分析方法可能更有效。
总之，一元回归是一种有效的分析方法，它通过在一组观察变量和一个预测变量之间建立强有力的线性关系，可以有效地推断预测变量的值，并为企业提供重要的决策支持。
一元线性回归分析
9--36
判定系数与回归估计标准差的计算
根据前述计算公式计算判定系数与回归估计标准差 ，需先根据样本回归方程计算出 X 的各观测值 xi 对 应的回归估计值 yi ，计算过程比较繁琐。
借助于 EXCEL 的“回归”分析工具可轻松得到其数 值。显示在 EXCEL 的回归输出结果的第一部分
判定系数（ R Square ）
也称为可解释的平方和。
3. 残差平方和（ SSE 、 Q ）
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，
9--29
可决系数（判定系数 r2 或
R2 ）
1. 可决系数 = 回归平方和占总离差平方和的
比例
r2
SSR SST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归平方和 总离差平方和
1
残差平方和 总离差平方和
综合度量回归方程对样本观测值拟合优度， 衡量变量之间的相关程度。
称为古典线性回归模型。
9--12
2. 样本回归方程（ SRF ）
实际中只能通过样本信息去估计总体回归方程的参 数。
一
元
线
性回归的
yˆi ˆ
样
本ˆx回i
归
方
a
程
的形
bxi
式
：
ˆ a, ˆ b 是样本回归方程的截距和斜率
yˆ ； i 是与 xi 相对应的 Y 的条件均值的估计 ； 9--13
样本回归方程与总体回归方程之关系
i 1
n2
�n ( yi yˆi ) 2
i 1
n2
9--34
回归估计标准差的作用
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状 况；反映因变量各实际值与其回归估计值之
研究生应用数理统计回归分析(一元)
1 0
^x中 1
0
2
成立：则
2 n 1 , ~ 1 , ~ 2 2 n 2 2 SS R 从而统计量 F ~ F 1, n 2 SS E n 2
SST
~
SS R
2
SS E
对给定的检验水平 ，
H0 的拒绝域为：F
（一元线性回归方程、经验公式） 回归分析的任务是，找出回归方程式，检验方程有效与否， 当方程有效时对Y 的值作预测与控制。
二、未知参数的估计及统计性质
1.最小二乘法 (Least squares estimate)
1, 2,, n) ， 我们可以得到一个回归函数 y 0 1 x ，其中 0 , 1 待定。
Regression Models 回归模型的分类
回归模型
1个自变量
简单回归
2个以上自变量
多元回归
线性回归
非线性回归
二、回归分析的应用 (1)根据观测值，在误差尽可能小的情况下，建立因变 量和自变量x1 , ,xn的回归方程，并利用此方程对变量y 进行预测和控制； (2)判断自变量x1 , ,xn中，哪些变量对y的影响是显著 的，哪些是不显著的。
的总的偏差的平方和为
Q( 0 , 1 ) i 2 [ yi ( 0 1 xi )]2
i 1 i 1
n
n
ˆ , ˆ 称为最小二乘估计，这种方法成为最小二乘法 此得到的估计 0 1
我们希望选取适当的 0 , 1 , 使得 Q( 0 , 1 ) 的值最小，由
当x1，x2， ，xn互不相同时，方程组有解 0 y 1x Lxy 1 Lxx
1 n 1 n x xi , y yi n i 1 n i 1 Lxy ( xi x )( yi y ) x与y的离差平方和 Lxx ( xi x ) x, y的离差平方和
第八讲 相关分析与一元回归分析(1)
样本回归直线 :
^
残差 : ei
^
^^
yi 0 1 xi
yi
^
ei yi yi
^
y1
x1
xi
X
（四）样本回归模型与总体回归模型的区别
1、总体回归直线是未知的，只有一条。而样本回归
直线是根据样本数据拟合的，每抽取一组样本，便可拟合
一条样本回归直线。
2、总体回归模型中 0和1 是未知的参数，表现为常
r
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
30268 4262 )
（二）相关系数的特点
1. r 的取值范围是 [-1,1] 2. |r|=1，为完全相关
r =1， 为完全正相关 r = -1，为完全负相关 3. r = 0，不存在线性相关关系，可能存在非线性 相关关系 4. -1r<0，为负相关 5. 0<r1，为正相关 6. |r|越趋于1表示线性相关关系越密切，|r|越趋于0 表示线性相关关系越不密切
如某种商品的需求与其价格水平及收入 水平之间的相关关系。 偏相关：在某一变量与多个变量相关的场合，假定 其他变量不变，专门考察其中两个变量的 相关关系。
如在假定人们收入水平不变的条件下，某 种商品的需求与其价格水平的关系。
三、相关图和相关表 （一）相关表：将某一变量的数值按照从小到大的顺序，
并配合另一变量的数值一一对应而平行排列的表。 例：为了研究分析某种劳务产品完成量与其单位产 品成本之间的关系，调查30个同类服务公司得到的原 始数据如表。
因此，相关分析不必确定变量中哪个是自变量，哪个 是因变量，并且可以都是随机变量。
而回归分析中必须事先确定哪个为自变量，哪个为因 变量，并且自变量一般是给定的非随机变量，而因变量为 随机变量。只能从自变量去推测因变量，不能反推。
(2023)一元线性回归分析研究实验报告(一)
(2023)一元线性回归分析研究实验报告(一)分析2023年一元线性回归实验报告实验背景本次实验旨在通过对一定时间范围内的数据进行采集，并运用一元线性回归方法进行分析，探究不同自变量对因变量的影响，从而预测2023年的因变量数值。
本实验中选取了X自变量及Y因变量作为研究对象。
数据采集本次实验数据采集范围为5年，采集时间从2018年至2023年底。
数据来源主要分为两种：1.对外部行业数据进行采集，如销售额、市场份额等；2.对内部企业数据进行收集，如研发数量、员工薪资等。
在数据采集的过程中，需要通过多种手段确保数据的准确性与完整性，如数据自动化处理、数据清洗及校验、数据分类与整理等。
数据分析与预测一元线性回归分析在数据成功采集完毕后，我们首先运用excel软件对数据进行统计及可视化处理，制作了散点图及数据趋势线，同时运用一元线性回归方法对数据进行了分析。
结果表明X自变量与Y因变量之间存在一定的线性关系，回归结果较为良好。
预测模型建立通过把数据拆分为训练集和测试集进行建模，本次实验共建立了三个模型，其中模型选用了不同的自变量。
经过多轮模型优化和选择，选定最终的预测模型为xxx。
预测结果表明，该模型能够对2023年的Y因变量进行较为准确的预测。
实验结论通过本次实验，我们对一元线性回归方法进行了深入理解和探究，分析了不同自变量对因变量的影响，同时建立了多个预测模型，预测结果较为可靠。
本实验结论可为企业的业务决策和经营策略提供参考价值。
同时，需要注意的是，数据质量和采集方式对最终结果的影响，需要在实验设计及数据采集上进行充分的考虑和调整。
实验意义与不足实验意义本次实验不仅是对一元线性回归方法的应用，更是对数据分析及预测的一个实践。
通过对多种数据的采集和处理，我们能够得出更加准确和全面的数据分析结果，这对于企业的经营决策和风险控制十分重要。
同时，本实验所选取的X自变量及Y因变量能够涵盖多个行业及企业相关的数据指标，具有一定的代表性和客观性。
一元回归分析
~ N (0, )
2
设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), , ( xn , y n ) 是 ( x, y ) 的一组
观测值,则
yi 0 1 xi i i 1,2,, n
i 1,2,, n
假设 观测值 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), , ( xn , y n ) 相互独立
ˆ, ˆ 称为回归参数 , 的最小 0 1 0 1
n
Q( 0 , 1 ) ( yi 0 值总是存在的
ˆ , ˆ 应满足 因此 0 1
Q 0
即
0
ˆ , ˆ ( 0 1)
Q 1
0
ˆ , ˆ ( 0 1)
y1 , y2 ,, yn 相互独立 1 , 2 ,, n 相互独立
假设 x1 , x2 ,, xn 是确定性的变量,其值是可以精确 测量和控制的.
1.最小二乘估计
设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), , ( xn , y n )是( x, y )的一组
观测值,对每个样本观测值 ( xi , yi )考虑 y i与其回归值
E ( y i ) 0 1 xi
的离差
yi E ( yi ) yi 0 1 xi
综合考虑每个离差值,定义离差平方和
Q ( 0 , 1 ) y i E ( y i ) ( y i 0 1 xi )
若记 Lxx
n
(x x ) x
2 i 1 i i 1 n 2
n
n
2
i
nx
n i
2
Lxy ( xi x )( yi y )
一元回归分析
二、一元回归分析
相关分析与回归分析的研究目标和研究方法是有明 显区别的。从研究目的上看，相关分析是用一定的数量 指标度量变量间相互联系的方向和程度，通过抽象的相 关系数来反映变量之间相关关系的程度；而回归分析是 要寻求变量间联系的数学形式，建立的回归方程反映的 是变量之间的具体变动关系，而不是抽象的系数。根据 回归方程，利用自变量的给定值可以估计或推算出因变 量的数值。
存关系的研究，用适当的数学模型去近似地表达或估计变量
之间的平均变化关系，其目标是要根据已知或固定的自变量
的数值去估计因变量的总体平均值。
二、一元回归分析
2 相关分析与回归分析的联系和区别 .
相关分析和回归分析是互相补充、密切联 系的。相关分析需要回归分析来表明数量关系的 具体表现形式，而回归分析则应该建立在相关分 析的基础上。只有依靠相关分析，对现象的数量 变化规律判明具有密切相关关系后，再进行回归 分析，求其相关的具体表现形式，这样才具有实 际意义。
二、一元回归分析
3. 样本回归函数
通常总体包含的单位数很多，无法掌 握所有单位的数值，故总体回归函数实际 上是未知的，我们能做到的就是对应于自 变量X的选定水平，对因变量Y的某些样本 进行观测，然后通过对样本观测获得的信 息去估计总体回归函数。
二、一元回归分析
以例8-5中100个家庭的 可支配收入与消费支出为例， 假设从100个家庭的总体中各 随机抽取10个家庭进行观测， 形成了两个随机样本，可将两 个随机样本的数据绘制成散点 图，如图8-9所示。
二、一元回归分析
1 回归的概念 .
“回归”一词是由英国生物学家高尔顿（Galton）在遗
传学研究中首先提出的。他发现相对于一定身高的父母，子
女的平均身高有朝向人类平均身高移动或回归的趋势。这就
简单线性相关(一元线性回归分析)
第十三讲简单线性相关（一元线性回归分析）对于两个或更多变量之间的关系，相关分析考虑的只是变量之间是否相关、相关的程度，而回归分析关心的问题是：变量之间的因果关系如何。
回归分析是处理一个或多个自变量与因变量间线性因果关系的统计方法。
如婚姻状况与子女生育数量，相关分析可以求出两者的相关强度以及是否具有统计学意义，但不对谁决定谁作出预设，即可以相互解释，回归分析则必须预先假定谁是因谁是果，谁明确谁为因与谁为果的前提下展开进一步的分析。
一、一元线性回归模型及其对变量的要求（一）一元线性回归模型1、一元线性回归模型示例两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示：Y=A+BX+方程中的 A 、B 是待定的常数，称为模型系数，是残差，是以X预测Y 产生的误差。
两个变量之间拟合的直线是：y a bxy 是y的拟合值或预测值，它是在X 条件下 Y 条件均值的估计a 、b 是回归直线的系数，是总体真实直线距，当自变量的值为0 时，因变量的值。
A、B 的估计值， a 即 constant 是截b 称为回归系数，指在其他所有的因素不变时，每一单位自变量的变化引起的因变量的变化。
可以对回归方程进行标准化，得到标准回归方程：y x为标准回归系数，表示其他变量不变时，自变量变化一个标准差单位（ Z XjXj），因变量 Y 的标准差的平均变化。
S j由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，标准回归系数之间是可以比较的，绝对值的大小代表了对因变量作用的大小，反映自变量对Y 的重要性。
（二）对变量的要求：回归分析的假定条件回归分析对变量的要求是：自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。
自变量 X 值的测量可以认为是没有误差的，或者说误差可以忽略不计。
回归分析对于因变量有较多的要求，这些要求与其它的因素一起，构成了回归分析的基本条件：独立、线性、正态、等方差。
（三）数据要求模型中要求一个因变量，一个或多个自变量（一元时为 1 个自变量）。
一元回归中的相关系数就是可决系数
一元回归中的相关系数就是可决系数标题：一元回归中的相关系数与可决系数的关系简介：一元回归分析是统计学中常用的方法之一，通过相关系数来衡量自变量和因变量之间的关系。
本文将探讨一元回归中相关系数与可决系数之间的关系，并解释它们的含义和作用。
正文：一元回归分析是一种用于研究两个变量之间关系的统计方法。
在一元回归中，我们关注的是一个因变量和一个自变量之间的关系。
为了衡量这种关系的强度，我们使用相关系数来度量两个变量之间的线性关系。
相关系数是一个介于-1和1之间的值，它反映了自变量和因变量之间的线性相关程度。
当相关系数为1时，表示存在完全正相关关系，即自变量的变化可以完全解释因变量的变化；当相关系数为-1时，表示存在完全负相关关系，即自变量的变化与因变量的变化完全相反；当相关系数接近0时，表示两个变量之间几乎没有线性关系。
在一元回归中，我们还关注可决系数，它也被称为决定系数或R平方。
可决系数是一个介于0和1之间的值，它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
换句话说，可决系数衡量了回归模型对因变量的拟合程度。
相关系数与可决系数之间存在着密切的关系。
事实上，一元回归中的相关系数的平方等于可决系数。
也就是说，相关系数的值的平方就是可决系数的值。
这意味着相关系数的绝对值越接近1，可决系数就越接近1，回归模型对因变量的拟合程度就越好。
需要注意的是，相关系数和可决系数并不是衡量因果关系的指标。
它们只是用来描述和度量两个变量之间的线性关系和拟合程度。
在进行回归分析时，我们还需要考虑其他因素，如共线性、残差分析等，来得出更准确的结论。
综上所述，一元回归中的相关系数和可决系数是衡量自变量和因变量之间关系的重要指标。
相关系数反映了线性相关的强度，而可决系数则表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
它们之间存在着密切的关系，通过它们我们可以评估回归模型的拟合程度。
然而，在进行回归分析时，我们还需要综合考虑其他因素，以得出更全面和准确的结论。
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似导致的均小 方 . 误差就越
y ˆi y ˆxxia ˆb ˆxi,
yi yˆi xi处的残差
n
n
Q e (yiy ˆi)2 (yi a ˆ b ˆx i)2
i 1
i 1
残差平方和
n
n
Q e(y i y ˆi)2[y i y b ˆ(x i x )2]
i 1
i 1
Syyb ˆSx.y
b, a的估计量为 n
根Y 据 1,Y2, ,Yn的独立性可度 得函 到数 联
n
L
i 1
1 2 π ex 2 p 1 2(y i a bi)x 2
( 1 2 π )n e x 2 p 1 2i n 1(y i a bi)2 x .
用最大似然估计知估参计数 a,未 b.
对于任意y1一 ,y2, 组 ,yn,样 观本 察的 值
Y a b x , ～ N ( 0 ,2 ).
对( 于 x 1 ,Y 1 ) ,( x 2 样 ,Y 2 ) , ,( x 本 n ,Y n )
Y i a bi xi, i～ N (0 , 2 )各 , i相互 .
于 Y i ～ N ( a 是 b i ,2 ) x , i 1 , 2 , , n .
i1
i1
n
n
n
正规方程组
(
i1
xi
)a
(
i1
xi2)b
i1
xiBiblioteka yinnn
xi
n
xi
i1 n
0,
x
2 i
( xi x)( yi y)
bˆ i1 n
,
(xi x)2
i 1
i1
i1
aˆybˆx,
其x 中 n 1i n 1xi,yn 1i n 1yi.
(x)abx
ˆ(x)a ˆbˆx Y关于x的经验回归函数
系b 数 的置信 1水 的 平 置 为 信区间为
bˆ t2(n2)
Sˆxx.
例,求 如 1中 例 b的置信 0.9的 水 5 置 平.信 为区
0 .482 3 .300 6 0 .9 00 3 (0 .4 05,0 8 .59 0)4 7 . 1
( x i x )Y i
bˆ
i1 n
, a ˆYb ˆx
(xi i1
x )2 其中 xn 1i n 1xi,Yn 1i n 1Y i.
n
n
记S YY (Yi Y)2, SxY (xi x)Y (i Y).
i1
i1
残差平Q 方 e的 和相应的统计量为 Q eS YY b ˆSx.Y
函数 L 为 ( 1 2 π )n e x 2 p 1 2i n 1(y i a bi)2 x
L取最大值等价于
n
Q(a,b) (yi abix)2
取最小值.
i1
Q
n
a
Q
b
2 (yi
i1 n
2 (yi
i1
abxi ) abxi )xi
0
0
n
n
na(xi )b yi
t ˆ Sxxt2(n2).
拒绝 H0:b0,认为回归效 . 果显著 接受 H0:b0,认为回归效.果不显 回归效果不显著的原因分析: (1)影响 Y取值,除 的x及随机误差外还 他不可忽略; 的因素 (2)E(Y)与x的关系不是线 ; 性的 (3)Y与x不存在关 . 系
6.系数b的置信区间 当回归效,果 对显 系 b作 著 数区 时间 . 估计
利用样Y本 关x 来 于 的估 回计 归 (x). 函数
求解步骤
1.推测回归函数的形式
方法一 根据专业知识或者经验公式确定; 方法二 作散点图观察. 例1 为研究某一化学反应过程中,温度 x(oC) 对产 品得率Y ( % )的影响, 测得数据如下 .
温度x(oC) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
yˆ aˆbˆx Y关于x的经验回归方程
回归方程 回归直线
由a ˆ于 yb ˆx, y ˆyb ˆ(xx),
回归直线通过散 几点 何图 中(的 x心 ,y).
n
记 Sxx (xi x)2,
i1
n
Syy (yi y)2,
i1
n
Sxy (xi x)(yi y),
i1
bˆ S xy , S xx
得率Y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 用MATLAB画出散点图
x=100:10:190;y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]; plot(x,y,'.r')
观察,散 (x)具 点 有 图 线 ab的 性 x 形 函 .
2.建立回归模型
(x)abx一元线性回归问题
假设 x的 对 每 于 一 Y ～ N 个 (ab值 , x2)a 有 ,, b,2都是不 x的依 未赖 .知于 参数
记 Y(ab)x 那 , 么
Yabx, ～N(0,2). a,b,2是不依x赖 的于 未知参 . 数
一元线性回归模型
x的线性函数 随机误差
3.未知参数a,b的估计
可以证 Qe2明 ～ 2 (n 2),
从E 而 (Q e 2 ) n 2 ,E (n Q e2 )2 .
2的无偏估计量为
ˆ2nQ e2n1 2SYYbˆSxY.
5.线性假设的显著性检验
Y a b x , ～ N ( 0 ,2 ).
检: 验 H 0 :b 假 0 , H 1 :b 设 0 .
b ˆ～ N (b,2Sx)x, (n 2 2)ˆ2 Q e 2～ 2(n2).
并b ˆ且 ,Qe相互,因 独此 立
当 H 0 为 bˆb ˆ b真 0 ,S 此 xx～ t t( n时 b ˆ ˆ时 2)S .x ～ x t( n 2 ),
并E 且 (b ˆ)bb0 ˆ,得 H 0的拒绝域为
问题的一般提法 对x的一组不完全x1相 , x2,同 ,x的 n,设 值
Y1,Y2,,Yn分别是 x1,在 x2,,xn处对 Y的独立 观察结 . 果
称 (x 1,Y 1)(,x 2,Y 2) ,,(x n,Y n)是一. 个 对应的样本值记为
(x1,y1),(x2,y2) , ,(xn,yn).
1n
aˆni1yi
(n 1i n1xi)bˆ.
4.未知参 2的数 估计
Y a b x , ～ N ( 0 ,2 ).
E { Y ( [ a b ) 2 } ] x E ( 2 ) D ( ) [ E ( ) 2 ] 2 .
2越,小 用回归 (x函 )a数 bx作Y 为 的近