复合函数及抽象函数的单调性

x 0时f ( x) 1 f (1) 0
f (0) 1.
对 任x1 x2 , x1、x2 R, 有x2 x1 0 f ( x2 x1 ) 1,
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 x1 x1 )
f ( x1 ) f ( x2 x1 ) f ( x1 ) f ( x1 )[1 f ( x2 x1 )]
①
y =－t 2 +2t + 8
②
函数②的增、减转折点是 t = 1，把 t = 1 代入①，得
x1=－1，x2=1，又①的增、减转折点是 x3 = 0， 于是三个关节点把数轴分成四个区间：
,1 ， 1, 0 ， 0 , 1 ， 1 ,
(1)x∈(-∞,-1] 时,函数①递增,且t≤1,而t ∈ (-∞, 1]
(3) f ( x)在[1,1]增， f ( x)max f (1) m2 2am 1
m2 2am 0即2am m2 0
令g(a) 2ma m 2 , a [1,1]
(3)若a 0且f (a 1) 3 9,求a的取值范围.
解（1）令y 1则f ( x) f ( x) f (1) f ( x) f ( x)为偶函数.
(2)设0
x1
x2则0
x1 x2
1
f ( x1 ) (0,1) x2
f ( x1 )
f (x2 )
f ( x1 x2
x2 )
例2： 定 义 在R上 的 函 数f ( x)满 足 ： (1) f (2) 1 (2) f ( xy) f ( x) f ( y) (3)x y时 ，f ( x) f ( y) (4) f ( x) f ( x 3) 2 求x的 取 值 范 围. 解：由(3)知f ( x)在R上减，又f (4) f (2) f (2) 2
(3) f (27) 9又 9 f (3 9) f (3) f (9) f (3) f (3) f (3) [ f (3)]3 即f (3) 3 9
f (a 1) 3 9 f (a 1) f (3)
a 0a 1、3 (0, )
f (a 1) f (3) a 1 3 a 2
8
（4）x∈(1，+∞)时， 函数①递减，且t∈(－∞，1) 而t∈(－∞，1) 时，函数②递增， 故(1，+∞)是g ( x )的单调减区间． 综上知，所求g ( x )的增区间是
, 1 和 0 , 1
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抽象函数
例1：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且 在区间（-∞，0）上是增函数，又 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。
f (x2 ) f ( x2 )
f (x2)
f(
1
1. )
x2
对于任意x2 0, 都有f ( x2 ) 0.
f ( x1 )
f (x2 )
f
(
x2
)[
f
(
x1 x2
)
1]
0
f ( x)在(0,)上是增函数.
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例：已知函数f ( x)对任意实数x、y都有f ( xy) f ( x) f ( y) 且f (1) 1, f (27) 9,当0 x 1时f ( x) [0,1). (1)判断f ( x)的奇偶性.(2)判断f ( x)在[0, )上的单调性，并证明. (3)若a 0且f (a 1) 3 9,求a的取值范围.
问：设f(x)是定义在实数集R上的奇函 数，且在区间（-∞，0)上是增函数， 问在 区间(0，+∞）上f(x)是 增函数还 是减函数？
例2：设f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且 在区间（-∞，0]上是增函数，又 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。
(0<a<3) 10
13
又1 f ( x2 x1 ) 0 f ( x1 ) f ( x2 ) 0
综上：f ( x)为增函数.
注 ： 常 用 的 佩 凑 方 法: f ( x1 ) f ( x1 x2 x2 );
f ( x1 )
f ( x1 x2
x2 ); f ( x1
x2 )
f ( x1 ( x2 ));
【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以 应“分层剥离”为两个函数
t=－x2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②
【解题思路】 x∈某区间A
t∈某区间B
①在A上的增减性 ②在B上的增减性
g ( x )在A上的 单调性
关键是A的端点如何确定？
6
【解】设t =－x2 + 2
解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3 当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小 当0<x≤1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大 ∴函数的单调区间是 [-1/3，0]，[0，1/3]。
5
例2. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8， g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．
3
•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数
则y=f[g(x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增 函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是
减函数。 “同增异减”
4
例1：求函数f ( x) 1 1 9x2的单调区间。 2
0, 又x1
x2
0,
f ( x1 ) f ( x2 ) 0.
故 f ( x) 在[-1,1]上增。
19
（2） f ( x) 在[-1,1]上增，
1 5x 1 1
f (5x 1)
f
(6x
2
)
1 6x2
1
5x 1 6x 2
x
0 x 2 5
6 x 6 1 或x
2
6
6 1
14
例4: 已知函数f ( x)对于任意实数x、y,均有f ( x y) f ( x) f ( y),
且当x 0时，f ( x) 0, f (1) 2, 求f ( x)在区间[2,1]上的值域.
解：设x1 x2 x2 x1 0 f ( x2 x1 ) 0
又f ( x2 ) f [( x2 x1 ) x1 ] f ( x2 x1 ) f ( x1 )
f (1) f (1) 2, f (2) f (1) f (1) 4,
所以f ( x)的值域为[4,2].
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例5：已知函数f ( x)对任意实数x、y都有f ( xy) f ( x) f ( y) 且f (1) 1, f (27) 9,当0 x 1时f ( x) (0,1). (1)判断f ( x)的奇偶性.(2)判断f ( x)在(0, )上的单调性，并证明.
证明：任取 x1、x2 [1,1], 且x1 x2 , 则
f (x1 )
f (x2 ) ( x1
x2 )
f (x1 ) x1
f (x2 ) x2
Biblioteka Baidu ( x1
x2 )
f (x1 ) f ( x2 ) x1 ( x2 )
x1、
x2
[1,1]
f (x1 ) f ( x2 ) x1 ( x2 )
当x1 0时f ( x1 ) 1; 当x1 0时f ( x1 ) 1;
当x1 0时令a x1, b x1则f (0)
f ( x1 ) 1 f ( x1 ) 0
f ( x1 ) f ( x1 ) 1
f ( x1 )
1 f ( x1 )
故对于任x1 R都有f ( x1 ) 0.
故 0 a 2.
18
例6:已知 f ( x)是定义在[-1,1]上的奇函数，
若 a、b [1,1],且a b 0, 则有 f (a) f (b) 0.
ab
(1)判断 f ( x) 在[-1,1]上的增减性，并证明你的结论；
（2）解不等式 f (5 x 1) f (6 x 2 )
解：（1）f ( x)在[-1,1]上增。
时,函数②也递增，故(-∞,-1] 是所求的一个单调增
区间；
,1
7
(2)x∈ (-1,0]时，函数①递增，且t∈(1,2] ， 而 t∈(1,2] 时，函数②递减， 故(-1,0] 是g ( x )的单调减区间； (3)x∈(0,1]时,函数①递减，且t∈(1,2] ， 而 t∈(1,2],函数②也递减， 故(0,1]是g ( x )的单调增区间；
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 x1 ) 0即f ( x2 ) f ( x1 ) 故f ( x)为增函数.
在f ( x y) f ( x) f ( y)中令y x则 f (0) f ( x) f ( x), 再令x y 0则f (0) 2 f (0) f (0) 0 故f ( x) f ( x), 从而f ( x)为奇函数.
•复合函数的单调性
复合函数的定义：设y=f(u)定义
域A，u=g(x)值域为B，若A B，
则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 数f与g的复合函数，u叫中间量
1
•复合函数的单调性
•复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区 间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)] 在区间(a,b)上是增函数。
f (x2 )
f ( x1 ) x2
f (x2 )
f (x2 )
f
(
x2
)[
f
(
x1 x2
)
1]
16
当0 x2 1时 ，f ( x2 ) (0,1);
当x2 1时 ，f (1) f (1) 1 0;
当x2
1时, 1 x2
(0,1)
1 f ( ) (0,1)
x2
1
1
f (1)
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
函数。
2
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,
3
0
x
1 3
.
不等式的解集为
1
x0
x
3
.
20
例6:已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函数，
若 a、b [1,1],且a b 0, 则有 f (a) f (b) 0.
ab
(1)判断 f ( x) 在[-1,1]上的增减性，并证明你的结论；
(3)若f ( x) m 2 2am 1对于所有x [1,1], a [1,1] 恒成立，求实数m的取值范围.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为函 数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即 y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是 增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因
为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)<g(x2),记
u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2，且u1,u2 (c,d).因为函数
y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)<f(u2), 即
y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增
从而(4) f ( x( x 3)) f (4)
x( x 3) 4
x0
x4
x 3 0
12
例3：函数f ( x)定义在R上，当x 0时，f ( x) 1,
且对于任意a、b R, 有f (a b) f (a) f (b).
求证：f ( x)是R上的增函数.
证：令a 0, b 1则f (1) f (0) f (1)