北师大数学选修21同步作业：模块综合检测 含解析

模块综合检测

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．命题：“若b 2－4ac<0，则ax 2

＋bx ＋c ＝0没有实数根”的否命题是( )

A ．若b 2－4ac>0，则ax 2

＋bx ＋c ＝0没有实数根

B ．若b 2－4ac>0，则ax 2

＋bx ＋c ＝0有实数根

C ．若b 2－4ac≥0，则ax 2

＋bx ＋c ＝0有实数根

D ．若b 2－4ac≥0，则ax 2

＋bx ＋c ＝0没有实数根 答案 C

解析 把命题的条件和结论都进行否定后所得命题是否命题，条件b 2

－4ac<0的否定是b

2

－4ac ≥0，结论“没有实数根”的否定是“有实数根”．

2．(2019·天津，理)设x∈R ，则“x 2

－5x<0”是“|x－1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 B

解析 由x 2

－5x<0可得0

故“x 2

－5x<0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．

3．向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 答案 C

4．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y

2b

2＝1的离心率为( )

A.5

4 B.52 C.32

D.

54

答案 B

5．如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB′→，CM →

〉的值为( )

A.12

B.21015

C.

23

D.1115

答案 B 解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则B ′(1，1，1)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，12，0，∴DB ′→＝(1，

1，1)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，

－12，0.故cos 〈DB

′→，CM →

〉＝

1×1＋1×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＋1×012

＋12

＋12

·

12

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫－122

＋0

2

＝

15

15

，则sin 〈DB ′→，CM →

〉＝21015

.

6.

如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则C ，D 两点间的距离为( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．2 答案 B 解析

用向量知识求距离，也就是利用|a |2

＝a 2

求向量的模．如图所示，过点D 作DD ′⊥平面α于

D ′，连接BD ′，则∠DBD ′＝30°.∵BD ＝1，∴BD ′＝32， DD ′＝12

.∵CD →＝CA →＋AB →＋BD ′→＋D ′D →＝AB →＋BD ′→＋DD ′→，∴|CD →|2＝AB →2＋BD′→2＋DD ′→2＋2AB →·BD ′→＋2BD ′→·DD ′→＋2AB →·DD ′→＝1＋34＋14＝2.∴|CD →

|＝

2.

7．不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，

x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：

p 1：任意(x ，y )∈D，都有x ＋2y≥－2；

p 2：存在(x ，y )∈D，成立x ＋2y≥2； p 3：任意(x ，y )∈D，都有x ＋2y≤3； p 4：存在(x ，y )∈D，成立x ＋2y≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3

答案 C 解析 本题可先画出可行域，然后根据图形求解．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影

部分)．

由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，

得交点A(2，－1)．

目标函数的斜率k ＝－1

2

>－1，

观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.(y

＝－x 2＋u 2，u

2

表示纵截距)结合题意知p 1，p 2正确．

8．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点O ，建立如图所示的空间直角坐标系，则与DB 1→

共线的向量坐标可以是( )

A ．(1，2，2)

B ．(1，1，2)

C ．(2，2，2)

D ．(2，2，1)

答案 C

解析 设正方体棱长为1，

则D(0，0，0)，B 1(1，1，1)． ∴DB 1→＝(1，1，1)，与DB 1→

共线的向量为(2，2，2)．

9．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±1

2x ，则双曲线的离心率e 等于( )

A ．5

B.5

C.52

D.54

答案 C

解析 由题意知b a ＝12.∴a

2

＝b.

由c 2＝a 2＋b 2

＝54a 2，∴e ＝c a ＝52a

a ＝52

.

10．已知点P 是抛物线y 2

＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

A.172

B ．3

C. 5

D.9

2

答案 A

解析 记抛物线y 2

＝2x 的焦点为F ，准线是直线l ，则点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定

义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0，2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0，2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0，2)的距离，因此所求的最小值等于

⎝ ⎛⎭

⎪⎫122

＋22＝172，选A. 11．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都是a ，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 到平面AB 1D 的距离是( )