北师大数学选修21同步作业：模块综合检测 含解析
2020_2021学年高中数学综合测试题课时作业含解析北师大版选修2_1
单元综合测试四(综合测试题)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( D ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若綈q ，则綈p ”．故应选D. 2．设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( A ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以a >b >1⇔log 2a >log 2b >log 21＝0，所以“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的充要条件．3．已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( C )A. 2B.10 C ．4 D ．10解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有共同的焦点(±7，0)，所以a 2－9＝7，所以a ＝4，故选C.4．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( A ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．6解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝|3|22＋1＝ 3 ，∴r ＝ 3.故选A. 5.x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标为( A )A ．±34B.33C.32 D.34解析：设F 1为椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点，F 2为右焦点，PF 1与y 轴的交点为M .∵M 是PF 1的中点，∴MO ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴．又半焦距c ＝12－3＝3，∴设P (x ，y )，则x ＝3，代入椭圆方程得912＋y 23＝1，解得y ＝±32.∴M 点纵坐标为±34.6．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( D ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.7．如图，已知正四面体A BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 夹角的余弦值为( A )A.413B.313C ．－413D ．－313解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又ED →＝EA →＋AD →＝14BA →＋AD →，BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋14CD →，∴ED →·BF →＝14BA →·BC →＋14AD →·CD →＝4，|ED →|2＝116BA →2＋12BA →·AD →＋AD →2＝1－4＋16＝13.|ED →|＝13，同理|BF →|＝13.∴cos 〈ED →，BF →〉＝ED →·BF →|ED →||BF →|＝413.8．棱长均为1的三棱锥S ABC ，若空间一点P 满足SP →＝xSA →＋ySB →＋zSC →(x ＋y ＋z ＝1)，则|SP →|的最小值为( B )A ．1 B.63 C.36D.32解析：∵满足SP →＝xSA →＋ySB →＋zSC →(x ＋y ＋z ＝1)， ∴SP →2＝(xSA →＋ySB →＋zSC →)2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xySA →·SB →＋2xzSA →·SC →＋2yzSC →·SB → ＝x 2＋y 2＋z 2＋xy ＋xz ＋yz . ∵x ＋y ＋z ＝1，∴(x ＋y ＋z )2＝1，x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2xz ＋2yz ＝1，又x 2＋y 2＋z 2≥xy ＋xz ＋yz ， ∴xy ＋xz ＋yz ≤13，∴x 2＋y 2＋z 2＋xy ＋xz ＋yz ＝1－(xy ＋xz ＋yz )≥23，则|SP →|的最小值为63.故选B.9．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的( D )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1，可知a ＝sin θ，b ＝cos θ， 2c ＝2sin 2θ＋cos 2θ＝2；双曲线C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1可知，a ＝cos θ，b ＝sin θ，2c ＝2sin 2θ＋cos 2θ＝2.所以两条双曲线的焦距相等．故选D.10．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( D )A.12B.23C.34D.43解析：∵点A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上，∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x .设直线AB 的方程为x ＝k (y －3)－2 ①，将①与y 2＝8x联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k y －3－2，y 2＝8x ，得y 2－8ky ＋24k ＋16＝0 ②，则Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0，即2k 2－3k －2＝0，解得k ＝2或k ＝－12(舍去)．将k ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝43.11．若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( B )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞解析：因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．12．在四面体ABCD 中，P 在面ABC 内，Q 在面BCD 内，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，AQ →＝sAB →＋tAC →＋uAD →，若x y ＝s t，则线段AQ 与DP 的关系是( C )A ．AQ 与DP 所在直线是异面直线B ．AQ 与DP 所在直线平行C ．线段AQ 与DP 必相交D ．线段AQ 与DP 延长后相交解析：如图，∵x y ＝s t，可设x s ＝y t＝k ，∴AP →＝xAB →＋yAC →＝ksAB →＋ktAC →＝k (sAB →＋tAC →)＝kAQ→－kuAD →，∴向量AP →，AQ →，AD →共面，即四点A ，D ，P ，Q 共面，∴线段AQ 与DP 必相交． 二、填空题(每小题4分，共16分)13．空间四点在同一平面内，O 为空间任意一点，若OP →＝OA →＋2OB →－kOC →，则实数k ＝2. 解析：∵OP →＝OA →＋2OB →－kOC →，又P ∈平面ABC ， ∴1＋2－k ＝1，解得k ＝2.14．设点O (0,0,0)，A (1，－2,3)，B (－1,2,3)，C (1,2，－3)，若OA →与BC →的夹角为θ，则cos θ＝－43535.解析：OA →＝(1，－2,3)，BC →＝(2,0，－6)， ∴cos θ＝OA →·BC→|OA →||BC →|＝－43535.15．斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，则由题意得b a>3，即b >3a ，∴b 2>3a 2，∴c 2－a 2>3a 2，∴e 2－1>3，∴e >2.16．已知单位向量i ，j ，k 两两所成的夹角均为θ(0＜θ＜π，且θ≠π2)，若空间向量a 满足a ＝x i ＋y j ＋z k (x ，y ，z ∈R )，则有序实数对(x ，y ，z )称为向量a 在“仿射”，坐标系O xyz (O 为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a ＝(x ，y ，z )θ.有下列命题：①已知a ＝(2,0，－1)θ，b ＝(1,0,2)θ，则a·b ＝0；②已知a ＝(x ，y,0)π3，b ＝(0,0，z )π3，其中xyz ≠0，则当且仅当x ＝y 时，向量a ·b的夹角取得最小值；③已知a ＝(x 1，y 1，z 1)θ，b ＝(x 2，y 2，z 2)θ，则；a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)θ； ④已知OA →＝(1,0,0)π3，OB →＝(0,1,0)π3，OC →＝(0,0,1)π3，则三棱锥O ABC 体积为V ＝212.其中真命题有③④(填写真命题的所有序号)．解析：①若a ＝(2,0，－1)θ，b ＝(1,0,2)θ，则a ·b ＝(2i －k )·(i ＋2k )＝2＋3i ·k －2＝3cos θ，∵0＜θ＜π，且θ≠π2，∴a ·b ≠0；②a ＝(x ，y,0)π3，b ＝(0,0，z )π3，其中xyz ≠0，向量a ，b 的夹角取得最小值，两向量同向存在实数λ＞0，满足a ＝λb ，根据仿射坐标的定义，易知②为假命题；③已知a ＝(x 1，y 1，z 1)θ，b ＝(x 2，y 2，z 2)θ，则a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ＋(z 1－z 2)k ；∴a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)θ；④已知OA →＝(1,0,0)π3，OB →＝(0,1,0)π3，OC →＝(0,0,1)π3，则三棱锥O ABC 为正四面体，棱长为1，∴体积为V ＝212.故答案为③④. 三、解答题(共74分)17．(本题满分12分)给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有x 2＋ax ＋1>0恒成立；命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．解：根据题意，命题p 为真命题时，a 2－4<0，则－2<a <2.命题q 为真命题时，1－4a ≥0，则a ≤14.又p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以p ，q 一个为真命题，一个为假命题． 如果p 为真命题，q 为假命题，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >14，解得14<a <2；如果p 为假命题，q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ≤14，解得a ≤－2.所以实数a 的取值范围为14<a <2或a ≤－2.18．(本题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且过点A (1，32)和B (－2，－62)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆E 与椭圆C 有相同的焦点，且椭圆E 过点P (2，－142)，求椭圆E 的方程． 解：(1)由题意知，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．将已知两点A (1，32)和B (－2，－62)代入可知⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，2a 2＋32b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由于椭圆E 与椭圆C 有相同的焦点，由(1)知，椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1,0)，又椭圆E 过点P (2，－142)，则根据椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，即32＋－1422＋12＋－1422＝42＝2a 1，故可知c 1＝1，a 1＝22，b 1＝7，从而得到椭圆E 的方程为x 28＋y 27＝1.19．(本题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF .(1)求平面A ′FD 与平面FDC 的夹角的余弦值；(2)点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解：(1)取线段EF 的中点H ，连接A ′H ，因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，所以A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H 平面A ′EF ，所以A ′H ⊥平面BEF .如图建立空间直角坐标系，则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，所以⎩⎨⎧－2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0，取z ＝2，则n ＝(0，－2，2)． 又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)， 故cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33. 所以二面角A ′FD C 的余弦值为33. (2)设FM ＝x ，则M (4＋x,0,0)，因为翻折后，C 与A ′重合，所以CM ＝A ′M ，故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得x ＝214，经检验，此时点N 在线段BC 上．所以FM ＝214.20．(本题满分12分)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P (－1，22)在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程； (2)当OA →·OB →＝23时，求k 的值．解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2 ＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝23，∴k ＝±1.21．(本题满分13分)如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径OA ＝2，侧面积为83π，∠AOP ＝120°.(1)求证：AG ⊥BD ；(2)求二面角P AG B 的平面角的余弦值．解：方法1：(1)证明：由题意可知83π＝2×2π×AD ，解得AD ＝23，在△AOP 中，AP ＝22＋22－2×2×2×cos120°＝23，∴AD ＝AP ，又∵G 是DP 的中点，∴AG ⊥DP .① ∵AB 为圆O 的直径，∴AP ⊥BP . 由已知知DA ⊥平面ABP ， ∴DA ⊥BP ，∴BP ⊥平面DAP .∴BP ⊥AG .② ∴由①②可知：AG ⊥平面DBP ， ∴AG ⊥BD .(2)由(1)知：AG ⊥平面DBP ，∴AG ⊥BG ，AG ⊥PG ，∴∠PGB 是二面角P AG B 的平面角．PG ＝12PD ＝12×2AP ＝6， BP ＝OP ＝2，∠BPG ＝90°，∴BG ＝PG 2＋BP 2＝10. cos ∠PGB ＝PG BG＝610＝155.方法2：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知83π＝2×2π×AD ，解得AD ＝23，则A (0,0,0)，B (0,4,0)，D (0,0,23)，P (3，3,0)，∵G 是DP 的中点， ∴可求得G (32，32，3)． (1)证明：BP →＝(3，－1，0)，BD →＝(0，－4，23)， ∴AG →＝(32，32，3)，∵AG →·BD →＝(32，32，3)·(0，－4,23)＝0，∴AG ⊥BD .(2)由(1)知，BP →＝(3，－1,0)，AG →＝(32，32，3).PG →＝(－32，－32，3)，BG →＝(32，－52，3)． ∵BP →·PG →＝0，AG →·BP →＝0. ∴BP →是平面APG 的法向量．设n ＝(x ，y,1)是平面ABG 的法向量，由n ·AG →＝0，n ·AB →＝0，解得n ＝(－2,0,1)． cos θ＝BP →·n |n ||BP →|＝－2325＝－155.所以二面角P AG B 的平面角的余弦值为155.22．(本题满分13分)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 解：(1)设点F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时，不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 当y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1·|x 1－x 2| ＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤44＝1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.。
2020_2021学年高中数学模块综合评估二习题含解析北师大版选修2_1
模块综合评估(二)时限：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋14>0，则綈p 为( B )A ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14≤0B ．存在x ∈R ，x 2－x ＋14≤0C ．存在x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14≥0解析：全称命题的否定是特称命题．2．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( C )A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关解析：依题意，a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c ＝a 2＋b 2＝16＝4.所以焦距2c ＝8.3．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇒p ，故选A. 4．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( D )A ．相同的短轴B ．相同的长轴C ．相同的离心率D ．以上都不对解析：对于x 2a 2＋y 29＝1，因为a 2>9或a 2<9，所以这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率的关系是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.5．以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( A )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x －9＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝0解析：椭圆右焦点F (5,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，则焦点F 到y ＝43x 的距离为4，所以圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16，即x 2＋y 2－10x ＋9＝0.6．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( A )A.83B.163C.833D.823解析：直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝3(x －1)，得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||F A |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83，故选A.7．如图，在空间直角坐标系中有三棱柱ABC -A 1B 1C 1，已知CA ＝CC 1＝2CB ，则直线AB 1与直线BC 1的夹角的余弦值为( A )A.55B.53C.255D.35解析：设CB ＝a ，则CA ＝CC 1＝2a ，∴A (2a,0,0)，B (0,0，a )，C 1(0,2a,0)，B 1(0,2a ，a )，∴AB 1→＝(－2a,2a ，a )，BC 1→＝(0,2a ，－a )，∴cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝55，故选A.8．若命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( B ) A ．a ≤－3或a >2 B ．a ≥2 C ．a >－2 D ．－2<a <2解析：依题意ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0，16－4(a ＋2)(a －1)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，a 2＋a －6≥0⇔a ≥2.9.在三棱锥P -ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是( A )A ．(1,1，12)B ．(1，2，1)C ．(1,1,1)D ．(2，－2,1)解析：P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴n ＝(2,2,1)．又(1,1，12)＝12n ，∴A 正确．10．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( B )A.52 B.33 C.12 D.13解析：由题意得，点P 的坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a )，因为∠F 1PF 2＝60°，所以2c b2a ＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 11．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( A )A.23B.33C.23D.13 解析：设AB ＝1，则AA 1＝2，分别以D 1A 1→、D 1C 1→、D 1D →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则D (0,0,2)，C 1(0,1,0)，B (1,1,2)，C (0,1,2)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1，－2)，DC →＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －2z ＝0，取n ＝(－2,2,1)，设CD 与平面BDC 1所成角为θ，则sin θ＝|n ·DC →|n ||DC →||＝23.12．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝2AD ，设∠DAB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若以A ，B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则( B )A ．当θ增大时，e 1增大，e 1·e 2为定值B ．当θ增大时，e 1减小，e 1·e 2为定值C ．当θ增大时，e 1增大，e 1·e 2增大D ．当θ增大时，e 1减小，e 1·e 2减小解析：连接DB ，AC ，由题意，可知双曲线的离心率e 1＝|AB ||DB |－|DA |，椭圆的离心率e 2＝|CD ||AD |＋|AC |.设|AD |＝|BC |＝t ，则|AB |＝2t ，|CD |＝2t －2t cos θ，|AC |＝|BD |＝t 5－4cos θ，所以e 1＝25－4cos θ－1，e 2＝2－2cos θ5－4cos θ＋1，所以e 1e 2＝1.又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故当θ增大时，cos θ减小，e 1减小，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．“a ，G ，b 三个数成等比数列”是“G ＝ab ”的既不充分也不必要条件． 解析：若a ，G ，b 三个数成等比数列可得G ＝±ab ，因此充分性不成立；而如果G ＝ab ，则当a ＝G ＝0，b ＝1时，a ，G ，b 三个数不成等比数列，必要性不成立．14．已知空间三点的坐标为A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝5.解析：由已知得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1,3)，得到p ＝3，q ＝2，所以p ＋q ＝5.15．设F 1、F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF 2＝35.解析：椭圆焦点在y 轴上，a 2＝4，b 2＝3，c ＝1，又P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－42×52×32＝35. 16．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于±1.解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x＋k 2＝0，由根与系数的关系得，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k2－1，把x Q 代入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k，根据|FQ |＝(2k 2－2)2＋(2k)2＝2，解出k ＝±1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，所以m －1<0，m <1.又由于f (x )＝－(5－2m )x是减函数，所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，m ≥2，无解；当p 假q 真时应有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m <2，得1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2.18．(本小题12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m 3， 又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m32＝5，解得m ＝±3. 19．(本小题12分)已知直线l ：y ＝2x －16，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)． (1)若抛物线C 的焦点F 在直线l 上，试确定抛物线C 的方程；(2)若△ABC 的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C 上，且点A 的纵坐标为8，△ABC 的重心恰为抛物线C 的焦点F ，求直线BC 的斜率．解：(1)直线l 与x 轴的交点为(8,0)，因此抛物线C 的焦点为F (8,0)，所以a ＝32，所求抛物线的方程为y 2＝32x .(2)因为点A 的纵坐标为8，所以A (2,8)．又F (8,0)为△ABC 的重心，设B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有2＋x 2＋x 33＝8，8＋y 2＋y 33＝0，则y 2＋y 3＝－8，k BC ＝y 3－y 2x 3－x 2＝y 3－y 2y 2332－y 2232＝32y 3＋y 2＝－4，即直线BC 的斜率为－4. 20．(本小题12分)如图，在平面内直线EF 与线段AB 相交于点C ，∠BCF ＝30°，且AC ＝CB ＝4，将此平面沿直线EF 折成60°的二面角α-EF -β.又BP ⊥平面α，点P 为垂足．(1)求∠ACP 的正弦值；(2)求异面直线AB 与EF 所成角的正切值．解：如图，在平面α内，过点P 作PM ⊥EF ，点M 为垂足，连接BM ，则∠BMP 为二面角α-EF -β的平面角．以点P 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系P -xyz .(1)在Rt △BMC 中，由∠BCM ＝30°，CB ＝4，得CM ＝23，BM ＝2.在Rt △BMP 中，由∠BMP ＝60°，BM ＝2，得MP ＝1，BP ＝ 3.故P (0,0,0)，B (0,0，3)，C (－1，－23，0)，M (－1,0,0)．由∠ACM ＝150°，AC ＝4，得A (1，－43，0)．所以CP →＝(1,23，0)，CA →＝(2，－23，0)，则cos ∠ACP ＝CP →·CA →|CP →|·|CA →|＝－5213，所以sin∠ACP ＝33926.(2)AB 与EF 所成的角即AB 与CM 所成的角．又BA →＝(1，－43，－3)，MC →＝(0，－23，0)，所以cos 〈BA →，MC →〉＝23913，所以sin 〈BA →，MC →〉＝1313，tan 〈BA →，MC →〉＝36.即AB 与EF 所成角的正切值为36.21．(本小题12分)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°. (1)若异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，求棱柱的高；(2)设D 是BB 1的中点，DC 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．解：建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设AA 1＝h (h >0)，则有B (1,0,0)，B 1(1,0，h )，C 1(0,1，h )，A 1(0,0，h )，B 1C 1→＝(－1,1,0)，A 1C 1→＝(0,1,0)，A 1B →＝(1,0，－h )．(1)因为异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，所以cos60°＝|B 1C 1→·A 1B →||B 1C 1→|·|A 1B →|，即12·h 2＋1＝12，得1＋h 2＝2，解得h ＝1，所以棱柱的高为1.(2)由D 是BB 1的中点，得D ⎝⎛⎭⎫1，0，h 2，于是DC 1→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，h 2.设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥A 1B →，n ⊥A 1C 1→，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －hz ＝0，y ＝0，令z ＝1，则x ＝h ，y ＝0，所以可取n ＝(h,0,1)，于是sin θ＝|cos 〈DC 1→，n 〉|＝|DC 1→·n ||DC 1→||n |＝⎪⎪⎪⎪－h ＋h 214h 2＋2·h 2＋1＝hh 4＋9h 2＋8.令f (h )＝hh 4＋9h 2＋8＝1h 2＋8h2＋9.因为h 2＋8h 2＋9≥28＋9，当且仅当h 2＝8h 2，即h＝48时，等号成立，所以f (h )≤19＋28＝18＋1＝22－17，故当h ＝48时，sin θ取最大值为22－17.22．(本小题12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)若线段AB 中点的横坐标为m2，求k 的值；(3)若以弦AB 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点M ，则直线l 是否经过定点(除右顶点外)？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)依题意，有c a ＝22，即a ＝2c ，所以b ＝c .又椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即bc ＝2，故b ＝c ＝2，a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)联立直线l 的方程与椭圆C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx＋2m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系，可得x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－42k 2＋1.由题意x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1＝m ，因为m ≠0，所以－4k 2k 2＋1＝1，即2k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1－22或k ＝－1＋22.(3)椭圆的右顶点为M (2,0)．若以弦AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点M ，则MA ⊥MB .则MA →·MB →＝0，所以(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 故x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2＋4＝12k 2＋1(4k 2＋8km ＋3m 2)＝0，所以4k 2＋8km ＋3m 2＝0，即(2k ＋m )(2k ＋3m )＝0，解得m ＝－2k 或m ＝－2k3.所以直线l经过定点(2,0)，⎝⎛⎭⎫23，0，又点(2,0)为椭圆的右顶点，不合题意，故直线l 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.。
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：模块综合测评A Word版含解析.pdf
1
4.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率 e=2,则 C 的方程是( )
������2 ������2
A. 3 + 4 =1
������2 ������2
B. 4 + 3=1
������2 ������2
C. 4 + 2 =1
������2 ������2
D. 4 + 3 =1
{ { 解析:依题意,设椭圆
������2
C 的方程为������2
+
������2
������2=1(a>b>0),所以
������2
������ = 1,
������ 1
������ = 2, 解得
= ������2 - ������2,
������ = 1, ������2 = 4,故椭圆 ������2 = 3.
A. 3,3,3
( ) 8 4 8
B. 3,3,3
( ) 4 4 8
C. 3,3,3
( ) 8 8 4
D. 3,3,3
解析:点 D 在直线 OC 上运动,因而可设������������=(a,a,2a),则������������=(1-a,2-a,3-2a),������������=(2-a,1-a,2-2a),������������·������������
模块综合测评(A)
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是
( )
北师大版高中数学选修2-1选修2-1模块检测(北京师大版).docx
高中数学学习材料唐玲出品选修2-1模块检测（北京师大版）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线2.已知p:|x+1|≤4;q:＜5x－6,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 设,若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4. 已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝05. 若AB是过椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM•k BM=（）A．22ca- B.22ba-C．22cb-D．22ab-6. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM （ ）A ．和AC ，MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC ，MN 都不垂直7. 如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E 是棱AB 的中点，点F （0，y ，z ）是正方体的面AA 1D 1D 上一点，且CF ⊥B 1E ，则点 F （0，y ，z ）满足方程（ ）A ．y-z =0B ．2y-z-1=0C ．2y-z-2=0D ．z-1=08. 圆心在抛物线22y x=（0y >）上，并且与抛物线的准线及（ ）x 轴都相切的圆的方程是A .221204x y x y +---=B .22210x y x y ++-+=C .22210x y x y +--+= D .221204x y x y +--+=9. 给出下列命题：①若“”是假命题，则是真 命题； ②；③若关于的实系数一元二次不等式的解集为，则必有且； ④其中真命题的个数是（ ） A .1 B .2 C.3 D .410. 设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A .2 B . C . D .11. 已知△ABC 的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.221916x y -= B.221169x y -= C.221916x y -=(x>3) D.221169x y -= (x>4) 12. 已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（ ） A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是________．14. 下列四个结论中，正确的有 (填序号).①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件； ②“是“一元二次不等式a ＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“≠1”的充分不必要条件； ④“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件. 15. 在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是 .16. 若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为三、解答题（共70分）17. （12分）已知四棱锥-P ABCD 的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且1PA AD DC ===，2AB =，点M 是PB 的中点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）求AC 与PB 所成角的余弦值（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的平面角的余弦值.18.（12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围19.（14分）已知椭圆22221x ya b+=(0)a b>>的离心率63e=，过点和的直线与原点的距离为32．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线 与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过?请说明理由．20. （16分）如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）求证：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到平面1ACD 的距离（3）当AE 为何值时，二面角1--D EC D 的大小为4？21. （16分）设分别为椭圆：22221x y a b += (0)a b >>的左、右两个焦点. （1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线22221x ya b-=写出类似的性质，并加以证明一、选择题1. D 解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与点P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，故选D.2. B 解析：由|x+1|≤4－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由＜5x－6－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p 是q成立的必要不充分条件.3. A 解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以所以.4. D 解析：设点Q(x，y)，则点P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.5. B解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则k AM•k BM=22 0122 01y yx x--.∵A，M在椭圆上，∴2222001122221,1x yx ya b a b+=+=，两式相减，可得k AM•k BM=22ba-，故选B．6. A解析：以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0），D1（0，0，2a），M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a），∴OM=（-a，-a，a），MN=（0，a，a），AC=（-2a，2a，0）．∴OM•AC=0，OM•MN=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．故选A．7.D解析：如题图所示，由已知可得E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），所以1B E=(-1，0，-2)，CF=(-2，y-2，z).因为CF⊥B1E，所以1B E•CF=0.即2-2z=0，即z=1.故选D．8. D 解析：抛物线的焦点坐标为，由圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标，即圆心是，半径长是1，故所求圆的方程为221204x y x y+--+=．9. B 解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若，若,则，所以②是真命题；若一元二次不等式的解集是，则必有且，所以③是假命题；当时，必有但当y=5时，满足但，所以④是假命题.共有2个真命题.10.A 解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为34，则有2234abca b=+.又，所以，两边平方，得.两边同除以，并整理，得，所以或43.而，得222221a b ba a+=+＞2，所以.故（负值舍去）．11. C 解析:如图,|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除与轴的交点外），所以顶点C 的轨迹方程为221916x y -=(x ＞3)． 12. B 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为. 又，所以直线的斜率为.由题意得，解得. 二、填空题13. 解析：已知命题是假命题，则原命题的否定“对任意，使”是真命题，所以，解得. 14. ①②④ 解析：∵ 原命题与其逆否命题等价，∴ 若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件. x ≠1≠1，反例：x ＝－1＝1， ∴“x ≠1”是“≠1”的不充分条件. x ≠0x ＋|x |＞0，反例：x ＝－2x ＋|x |＝0. 但x ＋|x |＞0x ＞0x ≠0，∴“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件. 15. D 解析：()().-222,0,0,0,,0,,0,0.2220,0,.OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A a B a C a OP h P h ⊥==∴⊥⊥⊥⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 平面，，， ，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则2,7,2214,0,,4411,1,,7210cos ,.30210sin cos ,,30210.30n n n nn PA a h a OD a a PBC OD OD OD OD PBC OD OD PBC θθ=∴=⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴ 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 与平面所成角的正弦值为16. 6 解析：由题意，得F (-1，0)，设点，，则有 =1，解得=. 因为＝，，=，， 所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线=-2，因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值6. 三、解答题17. （1）证明：如图，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M .因为.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=∙==所以故由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥平面PAD .又DC 在平面PCD 内，故平面PAD ⊥平面PCD . （2）解：因为),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC .510||||,cos ,2,5||,2||=∙>=<=∙==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以所以故AC 与PB 所成角的余弦值为510. （3）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在λ∈R 使,MC NC λ=.21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使14,0,0,.25AN MC AN MC x z λ⊥∙=-==只需即解得 .0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=∙-===∙=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=∙=∙所以，得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,5552cos ,.3||||2.3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ==∙=-∙<>==--因为，所以由题图知所求二面角的平面角为钝角，故所求的二面角的平面角的余弦值为 18. 解：由－4ax +3＜0，得(x －3a )(x －a )＜0.又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .（1）当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由得2＜x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真q 真，所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3.（2）若p 是q 的充分不必要条件，即q ，且p .设A ={x |p },B ={x |q },则A B .又A ={x |p }={x |x ≤a 或x ≥3a }，B ={x |q }={x |x ≤2或x ＞3}，则有0＜a ≤2且3a ＞3，所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.19. 解：（1）因为直线的方程为， 依题意得解得所以椭圆方程为2213x y +=． （2）假设存在这样的值，由得22(13)1290k x kx +++=,所以22(12)36(13)0k k D =-+>.①设11()C x y ，、22()D x y ，，则②而212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++×． 当且仅当时，以为直径的圆过点，则1212111y y x x =-++×， 即1212(1)(1)0y y x x +++=，所以21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=． ③ 将②式代入③式整理解得76k =．经验证，76k =使①式成立． 综上可知，存在76k =，使得以为直径的圆过点． 20. （1）证明：如图，以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴轴轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C ，).1,1(,1,0111-==x E D DA ，），（.,0)1,,1()1,0,1(111111DA E D E D DA x E D DA ⊥⊥=-⋅=⋅，即所以因为（2）解：因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD . 设平面1ACD 的法向量为n ),,(c b a =，则10,0,AC AD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n即⎩⎨⎧=+-=+-,0,02c a b a 得⎩⎨⎧==,,2c a b a令b =1,从而n )2,1,2(=，所以点E 到平面1A C D 的距离为=h 1D E ∙n n.313212=-+= （3）解：设AE x =，平面1D EC 的法向量1n ),,(111c b a =， 所以),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE由1110,0D C CE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ⎩⎨⎧=-+=-⇒.0)2(,021111x b a c b 令11112,2b c a x ===-，所以， 所以1n ).2,1,2(x -= 依题意=4πcos 1111DD DD ∙n n .225)2(2222=+-⇒=x 所以321+=x （不合题意，舍去），322-=x .所以当23AE =-时，二面角1--D EC D 的大小为4π.21. 解：（1）由题意知，椭圆的焦点在轴上.由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即. 又点312A 骣÷ç÷ç÷÷ç桫，在椭圆上，因此22232112b 骣÷ç÷ç÷ç÷桫+=，得，于是. 所以椭圆的方程为22143x y +=，焦点，. （2）设椭圆上的动点，线段的中点满足111,22x y x y -+==，即，. 因此=22(21)(2)143x y ++，即2214123y x 骣÷ç÷++=ç÷ç÷桫为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若是双曲线22221x y a b -=上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点， 当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值. 证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中22221m n a b -=. 又设点的坐标为，由,PM PN y n y n k k x m x m-+==-+， 得2222y n y n y n x m x mx m -+-?-+-. 将22222222,b b y x b n a a =-=代入得22b a。
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1 模块综合测评2 Word版含解析
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n【解析】 依据含有一个量词的命题的否定判定即可．因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C. 【答案】 C2．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 的值为( )A ．5B ． 5C ．52D ．54【解析】 由焦点在x 轴上的渐近线方程为y ＝±12x ，可得b a ＝12， 所以e ＝ca ＝a 2＋b2a＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a ＝52.【答案】 C3．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β ”是“α∥β ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 结合平面与平面平行的判定与性质进行判断． 当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．【答案】 B4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为( ) A.55 B ．555 C.355D ．115【解析】 ∵b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， 当t ＝15时，|b －a |min ＝355. 【答案】 C5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74【解析】 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.【答案】 C6．下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( )【导学号：32550103】A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【解析】 要求a ＞b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a ＞b ，而由a ＞b 不能推出选项．在选项A 中，a ＞b ＋1能使a ＞b 成立，而a ＞b 时，a ＞b ＋1不一定成立，故正确；在选项B 中，a ＞b －1时，a ＞b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2＞b 2时，a ＞b 也不一定成立，因为a ，b 不一定同为正数，故C 错误；在选项D 中，“a 3＞b 3”是“a ＞b ”成立的充要条件，故D 错误．【答案】 A7．与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上D ．一个圆上【解析】 将x 2＋y 2－8x ＋12＝0配方，得(x －4)2＋y 2＝4，设所求圆心为P ，设两圆的圆心分别为O 1，O 2，则由题意知||PO 2|－|PO 1||＝|R －r |＝1，根据双曲线的定义可知其轨迹是双曲线的一支．【答案】 B8．点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s ＝(1，－1,1)的直线l 的距离为6，则点M 的坐标是( )A ．(0,0，±2)B ．(0,0，±3)C ．(0,0，±3)D ．(0,0，±1)【解析】 设M (0,0，z )，直线的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33，故点M 到直线l 的距离d ＝|OM →|2－|OM →·s 0|2＝z 2－13z 2＝6，解得z ＝±3.【答案】 B9．如图1，已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( )图1A ．1B ． 2C ．2D ．4【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.【答案】 C10．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角正弦值为( )A.15 B ．255 C.55D ．25【解析】 以A 为原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，得A (0，0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1， ∴AP →＝(0,0,2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，则n ＝(2,0,1)，设P A 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝|P A →·n ||P A →|·|n |＝55，∴P A 与平面DEF 所成角的正弦值为55，故选C.【答案】 C11．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0B ．3x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，∴PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴(PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.即|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→|·|PF 2→|＝28a 2.① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2.② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，ba ＝ 2.∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0. 【答案】 D12．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为( )A.55 B ．33 C.255 D ．63【解析】取BC 中点O ，连结AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0.∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA →〉＝55， ∴sin 〈n ，OA →〉＝255. 【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题是________．【解析】 根据逆否命题的定义知“若p 则q ”与“綈q 则綈p ”互为逆否命题．【答案】 若A B ，则A ∪B ≠B14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________.【解析】 a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∵(a ＋b )⊥c ，∴(a ＋b )·c ＝0， 即－2×1＋1×(－x )＋(x ＋3)×2＝0.解得x ＝－4. 【答案】 －415．如图2，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，点M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →为________．图2【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋OB →＋12OC →－12OB →＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 【答案】 16OA →＋13OB →＋13OC →16．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【导学号：32550104】【解析】 根据双曲线的定义等价转化|PF |，分析何时△APF 的周长最小，然后用间接法计算S △APF .由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图像可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 【答案】 12 6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．【解】 解不等式x 2－8x －20＞0得p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}． 解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}． 依题意，p ⇒q 但q p ，说明A B .于是，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2.解得0＜a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0＜a ≤3.18．(本小题满分12分)已知p ：－2＜m ＜0,0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．【解】 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1，有0＜x 1＋x 2＜2且0＜x 1x 2＜1.根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜－m ＜2，0＜n ＜1，即－2＜m ＜0,0＜n ＜1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12＜0，方程x 2＋mx ＋n＝0无实根，所以p q .综上所述，p 是q 的必要不充分条件．19．(本小题满分12分)在如图3所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：图3(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．【解】 (1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M (a ，－a ，0)，E (0，－2a ，a )，所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →＝(a ，a ，－a )， 所以CM →·EM →＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0， 所以CM ⊥EM .(2)CE →＝(0，－2a ，a )，CD ＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1， 则n ＝(－2,1,2)， cos 〈CM →，n 〉＝CM →·n |CM →||n |＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22，所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.20．(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、图4M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)、B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设所求曲线方程为y ＝ax 2＋647， 由题意可知，0＝a ·64＋647，解得a ＝－17. 所以曲线方程为y ＝－17x 2＋647. (2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，得4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意，舍去)． 所以x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)． 所以C (6,4)，|AC |＝25，|BC |＝4.故当观测点A ，B 测得AC ，BC 距离分别为25，4时应向航天器发出变轨指令．21．(本小题满分12分)如图5所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .图5(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D -AF -E 的余弦值．【解析】 (1)由题意可知DA ⊥DC ，DA ⊥DP ，DC ⊥DP ，则以D 为原点，DP 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为a ， 则C (0，a,0)，且A (0,0，a )，由平面几何知识可求得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0，所以CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0，DA →＝(0,0，a )，所以CF →·DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0＝0， CF →·DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·(0,0，a )＝0，故CF ⊥DF ，CF ⊥DA ；又DF ∩DA ＝D ， 所以CF ⊥平面ADF .(2)易得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，0，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ，又AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ，设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AE →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ＝34ax －az ＝0，n ·AF →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ＝34ax ＋34ay －az ＝0， 取x ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，34.由(1)知平面ADF 的一个法向量为CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0，故cos 〈n ，CF →〉＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，34·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0194×12a ＝25719，由题图可知二面角D -AF -E 为锐二面角，所以其余弦值为25719.22．(本小题满分12分)(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .图6(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图6，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【导学号：32550105】【解】 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，得点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得 x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.。
高中数学北师大版选修2-1模块综合测试2 含解析
模块综合测试(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x<1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x<－1解析：全称命题的否定是特称命题． 答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝2B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－y 2＝3D ．x 2－y 23＝1解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F(2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b|a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，已知命题p ：a>b ，命题q ：tan 2A>tan 2B ，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查充要条件的判定以及三角形、三角函数的有关知识．在三角形中，命题p ：a>b ⇔A>B.命题q ：tan 2A>tan 2B ⇔sin(A ＋B)sin(A －B)>0⇔A>B ，显然p 是q 的充要条件，故选C. 答案：C5．如右图，在三棱锥A —BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC→等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：如右图，建立空间直角坐标系．设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B(a,0,0)、C(0，a,0)、A(0,0，b)，E(a 2，a2，0)，所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(a 2，a 2，－b)，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.答案：A6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB→|等于( )A ．43B ．423C ．83D ．823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A(0,1)，B(－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423.答案：B7．[2014·浙江省杭州二中期末考试]给出下列命题： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在直线平行； ②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面；③已知空间中三个向量a ，b ，c ，则对空间的任意一个向量p ，总存在实数。
北师大版高中数学选修2-1模块综合测评1
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若p则q”的逆命题是()A．若q则p B．若綈p则綈qC．若綈q则綈p D．若p则綈q【解析】根据原命题与逆命题之间的关系可得：逆命题为“若q则p”，选A.【答案】 A2．已知命题p：在直角坐标平面内，点M(sin α，cos α)与N(1,2)在直线x＋y －2＝0的异侧；命题q：若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角．以下命题中为真命题的是()A．p或q真，p且q真B．p或q真，p且q假C．p或q假，p且q真D．p或q假，p且q假【解析】∵sin α＋cos α－2≤2－2＜0，∴点M(sin α，cos α)在直线x＋y －2＝0的左下侧．又∵1＋2－2＞0，∴N(1,2)在直线x＋y－2＝0的右上侧，故命题p为真．若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角，显然为假．因为当a，b同向时，设a·b＝1＞0，但是a，b夹角为0，所以命题q为假．【答案】 B3．设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 綈p ：－1≤x ≤1；綈q ：－2≤x ≤1，显然{x |－1≤x ≤1}{x |－2≤x ≤1}，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．【答案】 A4．已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 等于( )A ．4B ．2C ．4或－4D ．2或－2【解析】 由已知可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线的定义知2＋p2＝4，∴p ＝4.∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式得m 2＝16，∴m ＝±4.【答案】 C5．已知E 、F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中BB 1、DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°【解析】 以A 1为原点，A 1B 1→、A 1D 1→、A 1A →为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，E (2,0,1)，D 1(0,2,0)，F (1,2,2)，AE →＝(2,0，－1)，D 1F →＝(1,0,2)，所以AE →·D 1F →＝0，所以AE ⊥D 1F ，即AE 与D 1F 所成的角为90°.【答案】 D6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：32550101】A.12 B ．32 C ．1D ． 3【解析】 由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即±3x －y ＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d ＝|±3－0|2＝32.【答案】 B7．如图1所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →等于( )图1A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c【解析】 连接ON ，由向量加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .故选B.【答案】 B8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段【解析】 ∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a . ∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 【答案】 A9．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1D ．x 28－y 24＝1【解析】 由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2， ∴双曲线的标准方程为y 24－x 2b 2＝1.根据题意，得2a ＋2b ＝2×2c ，即a ＋b ＝2c . 又∵a 2＋b 2＝c 2，且a ＝2，⎩⎨⎧a ＋b ＝2c ，a 2＋b 2＝c 2，a ＝2，解得b 2＝4，∴适合题意的双曲线方程为y 24－x 24＝1，故选B. 【答案】 B10．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.35 B ．45 C.34D ．55【解析】 如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，则有A (0，－1,0)，D (0,0,2)，C (0，1,0)，B 1(3，0,2)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0,2,1)． ∴sin 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝45.【答案】 B11．如图2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图2A. 2 B ． 3 C.32D ．62【解析】 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 【答案】 D12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B ．x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1【解析】 由已知得k AB ＝－15－0－12－3＝1.设E ：x 2a 2－y 2b 2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，则(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，而⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2＝1，b 2＝54a 2.①又c 2＝a 2＋b 2＝9，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y25＝1.【答案】 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“任意x ∈R ，都有x 2＋x －4＞0”的否定________． 【解析】 全称命题的否定为特称命题．【答案】 存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0－4≤0.14．已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．【解析】 p 且q 为真命题⇒p 是真命题，q 是真命题．①p 是真命题⇒c －1＞0⇒c ＞1，②q 是真命题⇒Δ＝(－1)2－4c ＜0⇒c ＞14，故p 且q 为真命题⇒c ＞1⇒c ∈(1，＋∞)．【答案】 (1，＋∞)15．如图3所示，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离是________．图3【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，∴A (1,0,0)，B (1，1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1.设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴n ·AB →＝0，且n ·BC 1→＝0，即(x ，y ，z )·(0,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·(－1,0,1)＝0.∴y ＝0，且－x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)．∴n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，又EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为|EC 1→·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22＝22. 【答案】 2216．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系知，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2， 于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k ， 根据|FQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解出k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：不等式|x －1|＞m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．【导学号：32550102】【解】 由于不等式|x －1|＞m －1的解集为R ， 所以m －1＜0，m ＜1；又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 所以5－2m ＞1，m ＜2.即命题p ：m ＜1，命题q ：m ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假． 当p 真q 假时应有⎩⎨⎧ m ＜1，m ≥2，m 无解．当p 假q 真时应有⎩⎨⎧m ≥1，m ＜2，1≤m ＜2.故实数m 的取值范围是1≤m ＜2.18．(本小题满分12分)已知p ：{x |x ＋2≥0且x －10≤0}，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 p ：{x |－2≤x ≤10}，綈p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}， 綈q ：B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，m ＞0}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以綈q ⇒綈p ，綈p綈q .所以B A .分析知，B A 的充要条件是⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．19．(本小题满分12分)如图4所示，已知P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：图4(1)MN ∥平面P AD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC . 【证明】如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b .(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． 因为M 、N 分别为AB ，PC 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)， 所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .(2)由(1)可知：P (0,0，a )，C (b ，a,0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，D (0，a,0)． 所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0n 1·PM →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b 2x 1－az 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，⇒⎩⎨⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0， 所以⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥平面PDC . 20．(本小题满分12分)已知点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →－y 2＋8＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．【解】 (1)由题意可知，P A →＝(－x,4－y )，PB →＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0，∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程． (2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4，∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)x 1x 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4x 1x 2＝－4＋4＋4－4＝－1， ∴OC ⊥OD .21．(本小题满分12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0.(1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2.即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.22．(本小题满分12分)如图5①，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别为AC 和BC 边上的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ，如图5②.① ②图5(1)试判断翻折后的直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角B -AC -D 的余弦值；(3)求点C 到平面DEF 的距离．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (a,0,0)，A (0,0，a )，C (0，3a,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2.(1)AB →＝(a,0，－a )，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2＝12(a,0，－a )， ∴EF →＝12AB →.∴EF →∥AB →.∴EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)易知DB →＝(a,0,0)是平面ADC 的一个法向量．设平面ACB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．而AB →＝(a,0，－a )，BC →＝(－a ，3a,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝xa －az ＝0，n ·BC →＝－ax ＋3ay ＝0.令x ＝1，得z ＝1，y ＝33，∴平面ACB 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1. ∴n ·DB →＝a .∴cos 〈n ，DB →〉＝a a ·1＋13＋1＝217. ∴二面角B -AC -D 的余弦值为217.(3)平面DEF 内的向量DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0. 设平面DEF 的一个法向量为m ＝()x ，y ，z ，则 ⎩⎨⎧ m ·DE →＝32ay ＋a 2z ＝0，m ·DF →＝a 2x ＋32ay ＝0.令y ＝3，则z ＝－3，x ＝－3.∴平面DEF 的一个法向量m ＝(－3，3，－3)． 又DC →＝(0，3a,0)，∴DC →·m ＝3a .∴点C 到平面DEF 的距离d ＝|DC →·m ||m | ＝3a 9＋3＋9＝217a .。
北师大版数学选修2-1同步作业：模块综合检测
模块综合检测第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题：“若b 2－4ac<0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根”的否命题是( )A ．若b 2－4ac>0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根B ．若b 2－4ac>0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根C ．若b 2－4ac≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根D ．若b 2－4ac≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根 答案 C解析 把命题的条件和结论都进行否定后所得命题是否命题，条件b 2－4ac<0的否定是b 2－4ac ≥0，结论“没有实数根”的否定是“有实数根”．2．(2019·天津，理)设x∈R ，则“x 2－5x<0”是“|x－1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由x 2－5x<0可得0<x<5.由|x －1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x 2－5x<0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．3．向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 答案 C4．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32D.54答案 B5．如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB′→，CM →〉的值为( )A.12B.21015C.23 D.1115 答案 B解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B ′(1，1，1)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，∴DB ′→＝(1，1，1)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.故cos 〈DB ′→，CM →〉＝1×1＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1×012＋12＋12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋02＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.6.如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则C ，D 两点间的距离为( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．2 答案 B 解析用向量知识求距离，也就是利用|a |2＝a 2求向量的模．如图所示，过点D 作DD ′⊥平面α于D ′，连接BD ′，则∠DBD ′＝30°.∵BD ＝1，∴BD ′＝32， DD ′＝12.∵CD →＝CA →＋AB →＋BD ′→＋D ′D →＝AB →＋BD ′→＋DD ′→，∴|CD →|2＝AB →2＋BD′→2＋DD ′→2＋2AB →·BD ′→＋2BD ′→·DD ′→＋2AB →·DD ′→＝1＋34＋14＝2.∴|CD →|＝ 2.7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D，都有x ＋2y≥－2； p 2：存在(x ，y )∈D，成立x ＋2y≥2； p 3：任意(x ，y )∈D，都有x ＋2y≤3； p 4：存在(x ，y )∈D，成立x ＋2y≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3 答案 C解析 本题可先画出可行域，然后根据图形求解．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A(2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.(y＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距)结合题意知p 1，p 2正确．8．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点O ，建立如图所示的空间直角坐标系，则与DB 1→共线的向量坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1，1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1) 答案 C解析 设正方体棱长为1， 则D(0，0，0)，B 1(1，1，1)． ∴DB 1→＝(1，1，1)，与DB 1→共线的向量为(2，2，2)．9．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则双曲线的离心率e 等于( )A ．5B.5C.52D.54答案 C解析 由题意知b a ＝12.∴a2＝b.由c 2＝a 2＋b 2＝54a 2，∴e ＝c a ＝52aa ＝52.10．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92答案 A解析 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线是直线l ，则点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0，2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0，2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0，2)的距离，因此所求的最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172，选A. 11．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都是a ，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 到平面AB 1D 的距离是( )A.24aB.28a C.324 a D.22a答案 A解析 ∵四边形ABB 1A 1是正方形，∴A 1B ⊥AB 1.又平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1，∴A 1B ⊥平面AB 1D ，∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量，则点C 到平面AB 1D 的距离为d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝|AC →·（A 1A →＋AB →）|2a ＝|AC →·A 1A →＋AC →·AB →|2a＝|0＋a·a·cos60°|2a＝24a.12．如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝10，P 是y 轴正半轴上一点，PF 1交椭圆于点A ，若AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22，则椭圆的离心率是( )A.54B.53C.510 D.154答案 B 解析 因为AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22， ∴|AF 2|＋|AP|－|PF 2|2＝22，即|AF 2|＋|AP|－（|AF 1|＋|AP|）2＝22.∴|AF 2|－|AF 1|＝ 2.又|AF 2|2＋|AF 1|2＝10，∴|AF 2|＋|AF 1|＝3 2.∴e ＝|F 1F 2||AF 2|＋|AF 1|＝1032＝53.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(1－t ，1－t ，t)，b ＝(2，t ，t)，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 |b －a |2＝(b －a )2＝(1＋t)2＋(2t －1)2＋0＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥95. ∴|b －a |的最小值为35＝355. 14．方程(x ＋y ＋1)·x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线是________．答案 圆x 2＋y 2＝4与直线x ＋y －1＝0在该圆外(包括边界)的部分15．(2019·课标全国Ⅲ，文)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥6，2x －y≥0，表示的平面区域为D.命题p ：∃(x ，y )∈D，2x ＋y≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D，2x ＋y≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②綈p∨q ③p∧綈q ④綈p∧綈q这四个命题中，所有真命题的编号是________(填上所有正确结论的序号)． 答案 ①③ 解析方法一：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧綈q正确．方法二：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧綈q正确．所以答案为①③.16.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③异面直线AC与A1B成60°角；④AC1与底面ABCD所成角的正切值是 2.答案①②③解析对于①，BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，①正确；对于②，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，连接A1C1，又A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，∴AC1⊥平面CB1D1，②正确；对于③，易知AC∥A1C1，异面直线AC 与A 1B 所成的角为∠BA 1C 1，连接BC 1，又△A 1C 1B 为等边三角形，∴∠BA 1C 1＝60°，异面直线AC 与A 1B 成60°角，③正确；对于④，AC 1与底面ABCD 所成的角的正切值是CC 1AC ＝12＝22≠2，故④不正确．故正确的结论为①②③.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交．”q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根．” 若p 或q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围． 解析 ∵p∨q 为真，綈p 为真， ∴p 假q 真． 由⎩⎨⎧x ＋y －m ＝0，（x －1）2＋y 2＝1，得 2x 2－2(1＋m)x ＋m 2＝0.若p 假，则Δ＝4(1＋m)2－4×2×m 2≤0. ∴m ≥1＋2或m ≤1－ 2.若q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m≠0，m －4m<0.∴0<m<4.∴p 假q 真时，1＋2≤m<4. ∴m 的取值范围是[1＋2，4) 18．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PB 与底面所成的角是30°，∠BAD ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝a ，AB ＝2a.若AE⊥PB 于E ，求证：DE⊥PB.证明以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与底面ABCD 所成的角．∴∠PBA ＝30°，∴PA ＝233 a.A(0，0，0)，B(2a ，0，0)，D(0，a ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，233a ，∴AD →＝(0，a ，0)，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ，0，－233a .∵AD →·PB →＝(0，a ，0)·⎝⎛⎭⎪⎫2a ，0，－233a ＝0，∴PB ⊥AD ，又PB⊥AE， ∴PB ⊥平面ADE ，∴PB ⊥DE.19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点T(3，0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．解析 (1)令直线l 与抛物线两个交点A 、B 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)；由于直线l 过点T(3，0)，从而有TA →∥TB →，再有TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)． 可得(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0.由于交点A 、B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2代入上式y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 22＋3＝0.显然交点A 、B 的纵坐标不可能相等，只有y 1y 22＋3＝0⇒y 1y 2＝－6.同时OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 222＋y 1y 2＝9－6＝3. 所以命题为真命题．(2)逆命题为：“如果OA →·OB →＝3，则直线l 过点T(3，0)”．由于交点A 、B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 222＋y 1y 2＝3. 可得y 1y 2＝2或y 1y 2＝－6. 又TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)， 若TA →∥TB →⇒(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0.而x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 22＋3.显然当y 1y 2＝－6时使得“直线l 过点T(3，0)”； 而当y 1y 2＝2时“直线l 不过点T(3，0)”． 所以该命题是假命题．20．(12分)(2019·课标全国Ⅲ，理)图(1)是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图(2)．(1)证明：图(2)中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE. (2)求图(2)中的二面角B －CG －A 的大小．解析 (1)证明：由已知得AD∥BE，CG ∥BE ，所以AD∥CG，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB⊥BE，AB ⊥BC ， 故AB⊥平面BCGE. 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE⊥平面ABC ，所以EH⊥平面ABC.由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°.可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H －xyz ，则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，3)，CG →＝(1，0，3)，AC →＝(2，－1，0)．设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋32z ＝0，2z －y ＝0. 所以可取n ＝(3，6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取为m ＝(0，1，0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝32. 因此，二面角B －CG －A 的大小为30°.21．(12分)已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．解析 (1)在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163.由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos60°)，从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22，从而b ＝2. 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k （x ＋1），得(1＋2k 2)x2＋4k(k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4k （k －2）1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2. 从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋（k －4）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －(k －4)4k （k －2）2k 2－8k＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－142， 得k 1＋k 2＝4.综上，恒有k 1＋k 2＝4.22．(12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E －BF －C 的正弦值．解析 (1)证明：方法一：如图，过E 作EO⊥BC，垂足为O ，连接OF.(1)由题意得△ABC≌△DBC，可证出△EOC≌△FOC.所以∠EOC＝∠FOC＝π2， 即FO⊥BC.又EO⊥BC，EO ∩FO ＝O ，因此BC⊥平面EFO.又EF ⊂平面EFO ，所以EF⊥BC.方法二：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，3)，D(3，－1，0)，C(0，2，0)，因而E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，BC →＝(0，2，0)．因此EF →·BC →＝0. 从而EF →⊥BC →，所以EF⊥BC.(2)方法一：如图(1)，过O 作OG⊥BF，垂足为G ，连接EG.由平面ABC⊥平面BDC ，从而EO⊥平面BDC.又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF. 因此∠EGO 为二面角E －BF －C 的平面角，在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝32， 由△BGO∽△BFC，知OG ＝BO BC ·FC＝34. 因此tan ∠EGO ＝EO OG ＝2，从而sin ∠EGO ＝255， 即二面角E －BF －C 的正弦值为255. 方法二：如图(2)，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)．(2)设平面BEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)． 设二面角E －BF －C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15. 因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.由Ruize收集整理。
北师大版高二数学模块试题(有答案)(选修2-1)
北师大版高二数学模块试题(有答案)(选修2-1)（选修2-1）模块测试试题（本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是 （ ）A.若a b <，则88a b -<-B.若88a b ->-，则a b >C.若a ≤b ，则88a b -≤-D.若88a b -≤-，则a ≤b2．如果方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0, +∞) B ．(0, 2) C ．(0, 1) D ． (1, +∞) 3.P:12≥-x ,Q:0232≥+-x x ，则“非P ”是“非Q ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5， 那么△ABF 2的周长是（ ）A 、24B 、25C 、26D 、 285.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A.3 B.23 C.38 D.326．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是（ ）7.椭圆221259x y+=的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则∆PF 1F 2的面积为（ ） A.9 B.12 C.10 D.88．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） 3 Ｂ．22 Ｃ．123 9．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．1210．方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k11.方程12222=+kb y ka x (a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)，与方程12222=+by a x (a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）（A ）有等长的短轴、长轴 （B ）有共同的焦点（C ）有公共的准线 （D ）有相同的离心率12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．）13.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的 （①.充分而不必要条件，②.必要而不充分条件 ，③.充要条件）14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA u u u r 与向量AC u u u r所成的角为 ． 15.已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．16.抛物线的的方程为22x y =，则抛物线的焦点坐标为____________17.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ，则动点P 的轨迹是双曲线。
北师大版高中数学选修2-1模块综合检测(A)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．42．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0 (x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 4．已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段5．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( )A.32B.22C.104D.646．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．47．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.528．若A ，B 两点的坐标分别是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25]9．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0 10．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1与DM 所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答 案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若向量a ＝(1,0，z )与向量b ＝(2,1,2)的夹角的余弦值为23，则z ＝________.12．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是_______________________________________________________________．13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为____________________ ____________________________________________________．14．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝________. 15．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17．(12分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．18.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．19．(12分)如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . 证明：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .20.(13分)已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．21．(14分)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．模块综合检测(A)1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]2．B [命题p 为真，命题q 为假，故p 或q 真，綈q 真．]3．D [双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.]4．A [∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP|＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO|＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a.∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆．] 5．D [如图所示，建立坐标系，易求点D ⎝⎛⎭⎫32，12，1，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AD →〉＝322＝64，即sin α＝64.]6．B [由抛物线的定义， 得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]7．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，∴－2＝－ba×4，∴a ＝2b ，设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ，∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.]8．B [|AB →|＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2 ＝9＋4－12cos αcos θ－12sin αsin θ ＝13－12cos (α－θ).因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤13－12cos(α－θ)≤25，所以|AB →|∈[1,5]．] 9．D[如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，∴PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴(PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2. 即|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋ 2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ， ∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→||PF 2→|＝28a 2.① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2.② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，ba＝ 2. ∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0.] 10．D [建立如图所示坐标系．设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，则A 1(b,0,0)，A (b,0，c )，C 1(0，a,0)， C (0，a ，c )，B 1(b ，a,0)，D (0,0，c )，N ⎝⎛⎭⎫b 2，a ，0，M ⎝⎛⎭⎫b ，a ，c 2. ∵∠CMN ＝90°，∴CM →⊥MN →，∴CM →·MN →＝⎝⎛⎭⎫b ，0，－c 2·⎝⎛⎭⎫－b 2，0，－c 2 ＝－12b 2＋14c 2＝0，∴c ＝2b .∴AD 1→·DM →＝(－b,0，－2b )·⎝⎛⎭⎫b ，a ，－22b ＝－b 2＋b 2＝0，∴AD 1⊥DM ，即异面直线AD 1与DM 所成的角为90°.] 11．0解析 设两个向量的夹角为θ，则cos θ＝1×2＋0×1＋2z1＋z 2·22＋12＋22＝2＋2z 1＋z 2·3＝23，解得z ＝0. 12．[3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 13.x 24－y 212＝1 解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得ba＝3，∴b ＝3a .∵抛物线y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，∴c ＝4. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2， ∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.14．－b 2a2解析 设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)， 则B (－x 1，－y 1)，则k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 20＋b 2－⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 21＝－b 2a 2. 15.25 解析建系如图，则M ⎝⎛⎭⎫1，12，1，N ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A (1,0,0)，C (0,1,0)∴AM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1， CN →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12. ∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25.16．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <32<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0， 需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤018－27＋a ≤0. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 17．解 如图所示，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的定义知 |PF 1|＋|PF 2|＝20， 即m ＋n ＝20.① 又由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－mn ＝122.②由①2－②，得mn ＝2563.∴S △F 1PF 2＝6433.18．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1. 19.证明 (1)以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2， ∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，且P A →＝(a,0，－a )，EG →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2. ∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )．又DE →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .20．解 设P (x ，y )，则MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )， NP →＝(x －2，y )． ∴|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)，代入|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 即(x ＋2)2＋y 2＝2－x ， 化简整理，得y 2＝－8x .故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .21．解 设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .(1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量．设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,1，12)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z ，取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)．又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊆平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1 ＝0⇔t ＝12⇔F 为棱C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F∥平面A 1BE .。
高中数学北师大版选修2-1模块综合测试1 Word版含解析
模块综合测试(一)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x ∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x >0成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1<x <0或x >1B ．x <－1或0<x <1C ．x >－1D ．x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图像，两图像的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x >0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·西安模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤bD ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC ．函数y ＝2sin(x ＋π5)的图像的一条对称轴是x ＝45πD ．若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值范围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值范围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．y 24－x 22＝1D ．y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c 2>a ，∴c a>2. 答案：C8．[2013·课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )解析：本题主要考查空间直角坐标以及三视图的有关知识．利用正方体模型，建立空间直角坐标系，根据点的坐标确定几何体形状，注意画三视图中的正视图时，是以zOx 平面为投影面，故选A.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A ． 3B ．2C ． 5D ． 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A ．1010B ．15C ．31010D ．35解析：以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则AA 1＝2，依题设有B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)，E (1,0,1)，∴BE →＝(0，－1,1)，CD 1→＝(0，－1,2)． ∴cos 〈BE →·CD 1→〉＝0＋1＋22·5＝31010.答案：C11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)． ∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·浙江高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2 ②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2 ③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于__________．解析：∵a ，b ，c 三向量共面，∴a ＝x b ＋y c (x ，y ∈R )， ∴(2，－1,3)＝x (－1,4，－2)＋y (7,5，λ)，∴λ＝657.答案：65714．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．[2014·湖南省长沙一中月考]已知正三棱柱ABC －DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF＝__________________.解析：本题主要考查空间向量基本定理和数量积．设CN CF＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，又CF →＝AD →MN →＝12BC →＋mAD →，又AE →·MN →＝0，得12×1×1×(－12)＋4m ＝0，解得m ＝116. 答案：11616．[2014·河北省邢台一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2. 18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x 为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围．解：由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·天津高考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值． 解：法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)．(1)证明：向量BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →＝0. 所以BE ⊥DC .(2)向量BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0. 不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)向量BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以其余弦值为31010.法二：(1)证明：如图，取PD 的中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC ，又由已知，可得EM∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面P AD ，因为AM ⊂平面P AD ，于是CD ⊥AM ，又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD ，而EM ∥CD ，故PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD .所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 的中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33. 所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H .因为P A ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG .所以∠P AG 为二面角F －AB －P 的平面角．在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°，由余弦定理可得AG ＝102，cos∠P AG ＝31010.所以二面角F －AB －P 的余弦值为31010.20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|P A |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|P A |＋|PF 1|＝6＋|P A |－|PF 2|.求|P A |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|P A |－|PF 2|的最大值问题， 即求|P A |－|PF 2|的最大值问题，如图在△P AF 2中，两边之差小于第三边， 即|P A |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时， 此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值， 易求|AF 2|＝2，这样|P A |－|PF 2|的最大值为2， 故|P A |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)[2014·湖北高考]在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x ≥0，0， x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)， 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①(ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (ⅱ)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③1°若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．2°若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，则由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．3°若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，则由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 22．(12分)[2014·广东省广州六中期末考试]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD .若P A ＝AB ＝BC ＝12AD .(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；(3)求二面角A －PD －C 的余弦值．解：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD .又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD .又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)，可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E (0,0，12)，BE →＝(－1,0，12)．设平面PCD 的法向量是n＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝02y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE →＝(1,1,2)·(－1,0，12)＝0，所以n ⊥BE →. 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD .(3)由已知，AB ⊥平面P AD ，所以AB →＝(1,0,0)为平面P AD 的一个法向量．由(2)知，n ＝(1,1,2)为平面PCD 的一个法向量．设二面角A －PD －C 的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cos θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝|(1，1，2)·(1，0，0)|6×1＝66. 即二面角A －PD －C 的余弦值为66.。
北师大高中数学选修21培优新方案同步模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题“若p 则q ”的逆否命题为“若綈q 则綈p ”．故应选D.2．命题p ：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a ·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p 或q ”是假命题，选B.3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.4．设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C a ，b 为向量，设a 与b 的夹角为θ.由|a ·b |＝||a |·|b |cos θ |＝|a ||b |从而得|cos θ|＝1，cos θ＝±1，所以θ＝0或π，能够推得a ∥b ，反之也能够成立，为充分必要条件．5.x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标为( )A ．±34B.33C.32D.34解析：选A 设F 1为椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点，F 2为右焦点，PF 1与y 轴的交点为M .∵M 是PF 1的中点，∴MO ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴． 又半焦距c ＝12－3＝3，∴设P (x ，y )，则x ＝3，代入椭圆方程得912＋y 23＝1，解得y ＝±32.∴M 点纵坐标为±34.6．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：选D 双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.7.已知正四面体A －BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE和BF 夹角的余弦值为( )A.413 B.313 C ．－413D ．－313解析：选A 设正四面体的棱长为4.∵正四面体A －BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又ED ―→＝EA ―→＋AD ―→＝14BA―→＋AD ―→，BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋14CD ―→，∴ED ―→·BF ―→＝14BA ―→·BC ―→＋14AD ―→·CD ―→＝4，|ED ―→|2＝116BA 2―→＋12BA ―→·AD ―→＋AD 2―→＝1－4＋16＝13.|ED ―→|＝13，同理|BF ―→|＝13. ∴cos 〈ED ―→，BF ―→〉＝ED ―→·BF ―→| ED ―→||BF ―→|＝413.8．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x ＋y ＋4＝0解析：选A 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得：得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)， 又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4， ∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0.9．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为( ) A.55B.33C.255D.63解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32， B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0. ∴OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55， ∴sin 〈n ，OA ―→〉＝255.10．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.① 又双曲线的离心率e ＝c m ＝ m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎨⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.11．在正棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，直线AC 与平面A 1BC 的夹角为θ，平面ABC 与平面A 1BC 的夹角为φ，则θ与φ的大小关系是( )A ．θ>φB ．θ<φC ．θ＝φD ．大小不确定解析：选B 建立空间直角坐标系，如图．则B (3，1,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，BC ―→＝(－3，1,0)，A 1C ―→＝(0,2，－2)，AC ―→＝(0,2,0)． 设平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋y ＝0，2y －2z ＝0，得y ＝z ＝3，n ＝(1，3，3)， ∴sin θ＝|cos 〈AC ―→，n 〉|＝2327＝217.又AA 1―→＝(0,0,2)是平面ABC 的一个法向量， ∴cos φ＝|cos 〈AA 1―→，n 〉|＝2327＝217，sin φ＝1－cos 2φ＝277>sin θ.∴φ>θ.12．若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1，F 2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则1e 21＋1e 22＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，它们的半焦距为c ，不妨设P 为它们在第一象限的交点，因为PF 1―→·PF 2―→＝0，故|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2①.由椭圆和双曲线的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，代入①式，得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以1e 21＋1e 22＝a 21c 2＋a 22c2＝a 21＋a 22c 2＝2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上) 13．命题“存在x ∈R ，使2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵存在x ∈R ,2x 2－3ax ＋9＜0为假命题， ∴任意x ∈R ,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]14．设点O (0,0,0)，A (1，－2,3)，B (－1,2,3)，C (1,2，－3)，若OA ―→与BC ―→的夹角为θ，则cos θ＝________.解析：OA ―→＝(1，－2,3)，BC ―→＝(2,0，－6)， ∴cos θ＝OA ―→·BC ―→| OA ―→||BC ―→|＝－43535.答案：－4353515．已知点A (－1，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，记C 的焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M ，N 两点，则|MN |＝________.解析：因为点A (－1，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，所以－p2＝－1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)，当x ＝1时，y ＝±2，则M (1,2)，N (1，－2)或N (1,2)，M (1，－2)，所以|MN |＝2－(－2)＝4.答案：416．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→，F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．解析：法一：由F 1A ―→＝AB ―→，得A 为F 1B 的中点． 又∵O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2.又F 1B ―→·F 2B ―→＝0，∴∠F 1BF 2＝90°. ∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图所示，不妨设B 为⎝⎛⎭⎫c2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3，∴离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2＝2. 法二：∵F 1B ―→·F 2B ―→＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又∵F 1A ―→＝AB ―→，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝bc －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝ca ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：任意x ∈R ,4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )且q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m >2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3. ∵(綈p )且q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2. ∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)如果l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2)设|FA |＝2|BF |，求直线l 的方程． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，又∵直线l 的斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，代入y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1，易得AB 的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，∴圆的半径r ＝4， ∴所求的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)∵|FA |＝2|BF |，∴FA ―→＝2BF ―→，而FA ―→＝(x 1－1，y 1)，BF ―→＝(1－x 2，－y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝2(1－x 2)，y 1＝－2y 2， 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)·x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1·x 2＝1，∵x 1－1＝2(1－x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝12，∴k ＝±22， ∴直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B -CG -A 的大小．解：(1)证明：由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ， 所以AD ∥CG ，所以AD ，CG 确定一个平面， 从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面BCGE . 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°， 可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC ―→的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz ，则A (－1,1,0)，C (1,0,0)，G (2,0，3)， CG ―→＝(1,0，3)，AC ―→＝(2，－1,0)．设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧CG ―→·n ＝0， AC ―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0.所以可取n ＝(3,6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝32.因此二面角B -CG -A 的大小为30°.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 为其焦点，点E 的坐标为(2,0)，设M 为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，连接ME ，NE 并延长分别交抛物线C 于点P ，Q .(1)当MN ⊥x 轴时，求直线PQ 与x 轴交点的坐标；(2)当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：k 1＝2k 2.解：(1)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．当MN ⊥x 轴时，直线MN 的方程为x ＝1.将x ＝1代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±2.不妨设M (1,2)，N (1，－2)，则直线ME 的方程为y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，于是得P (4，－4)．同理得Q (4,4)，所以直线PQ 的方程为x ＝4.故直线PQ 与x 轴的交点坐标为(4,0)．(2)证明：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，于是y 1y 2＝－4 ①，从而x 1x 2＝y 214·y 224＝1 ②.设直线MP 的方程为x ＝ty ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2，y 2＝4x ，得y 2－4ty －8＝0. 所以y 1y 3＝－8 ③，x 1x 3＝4 ④. 同理y 2y 4＝－8 ⑤，x 2x 4＝4 ⑥.由①②③④⑤⑥，得y 3＝2y 2，x 3＝4x 2，y 4＝2y 1，x 4＝4x 1.从而k 2＝y 4－y 3x 4－x 3＝2y 1－2y 24x 1－4x 2＝12·y 1－y 2x 1－x 2＝12k 1，即k 1＝2k 2. 21．(本小题满分12分)(2019·北京高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA ＝AD ＝CD ＝2，BC ＝3，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF PC ＝13.(1)求证：CD ⊥平面PAD ；(2)求二面角F -AE -P 的余弦值；(3)设点G 在PB 上，且PG PB ＝23.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． 解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD .又因为AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD .(2)过点A 作AD 的垂线交BC 于点M .因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD .以A 为坐标原点，AM ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2，－1,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．因为E 为PD 的中点，所以E (0,1,1)．所以AE ―→＝(0,1,1)， PC ―→＝(2,2，－2)， AP ―→＝(0,0,2)．所以PF ―→＝13PC ―→＝⎝⎛⎭⎫23，23，－23， 所以AF ―→＝AP ―→＋PF ―→＝⎝⎛⎭⎫23，23，43.设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE ―→＝0，n ·AF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1，x ＝－1.于是n ＝(－1，－1,1).又因为平面PAD 的一个法向量为p ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p|n ||p |＝－33. 由图知，二面角F -AE -P 为锐角，所以二面角F -AE -P 的余弦值为33. (3)直线AG 在平面AEF 内，理由如下：因为点G 在PB 上，且PG PB ＝23，PB ―→＝(2，－1，－2)， 所以PG ―→＝23PB ―→＝⎝⎛⎭⎫43，－23，－43， 所以AG ―→＝AP ―→＋PG ―→＝⎝⎛⎭⎫43，－23，23. 由(2)知，平面AEF 的一个法向量n ＝(－1，－1,1)，所以AG ―→·n ＝－43＋23＋23＝0. 所以直线AG 在平面AEF 内．22．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .①证明：△PQG 是直角三角形；②求△PQG 面积的最大值．解：(1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12， 化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)， 所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上不含长轴端点的椭圆．(2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2 . 设u ＝21＋2k 2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)． 于是直线QG 的斜率为k 2，其方程为y ＝k 2(x －u )．由⎩⎨⎧ y ＝k 2(x －u )，x 24＋y 22＝1消去y ，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.(*) 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程(*)的解，故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2. 从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u (3k 2＋2)2＋k 2－u ＝－1k . 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． ②由①得|PQ |＝2u1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k 2， 所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝⎛⎭⎫1k ＋k 1＋2⎝⎛⎭⎫1k ＋k 2. 设t ＝k ＋1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号．因为S ＝8t 1＋2t2在[2，＋∞)上单调递减， 所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，△PQG 面积的最大值为169.。
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1 模块综合测评1
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若p则q”的逆命题是()A．若q则p B．若綈p则綈qC．若綈q则綈p D．若p则綈q【解析】根据原命题与逆命题之间的关系可得：逆命题为“若q则p”，选A.【答案】 A2．已知命题p：在直角坐标平面内，点M(sin α，cos α)与N(1,2)在直线x＋y －2＝0的异侧；命题q：若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角．以下命题中为真命题的是()A．p或q真，p且q真B．p或q真，p且q假C．p或q假，p且q真D．p或q假，p且q假【解析】∵sin α＋cos α－2≤2－2＜0，∴点M(sin α，cos α)在直线x＋y －2＝0的左下侧．又∵1＋2－2＞0，∴N(1,2)在直线x＋y－2＝0的右上侧，故命题p为真．若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角，显然为假．因为当a，b同向时，设a·b＝1＞0，但是a，b夹角为0，所以命题q为假．【答案】 B3．设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】綈p：－1≤x≤1；綈q：－2≤x≤1，显然{x|－1≤x≤1} {x|－2≤x≤1}，所以綈p是綈q的充分不必要条件．【答案】 A4．已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m 等于( )A ．4B ．2C ．4或－4D ．2或－2【解析】 由已知可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线的定义知2＋p2＝4，∴p ＝4.∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式得m 2＝16，∴m ＝±4.【答案】 C5．已知E 、F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中BB 1、DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°【解析】 以A 1为原点，A 1B 1→、A 1D 1→、A 1A →为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，E (2,0,1)，D 1(0,2,0)，F (1,2,2)，AE →＝(2,0，－1)，D 1F →＝(1,0,2)，所以AE →·D 1F →＝0，所以AE ⊥D 1F ，即AE 与D 1F 所成的角为90°.【答案】 D6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：32550101】A.12 B ．32 C ．1D ． 3【解析】 由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即±3x －y ＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d ＝|±3－0|2＝32.【答案】 B7．如图1所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →等于( )图1A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c【解析】 连接ON ，由向量加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .故选B.【答案】 B8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段【解析】 ∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 【答案】 A9．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B ．y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D ．x 28－y 24＝1【解析】 由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2， ∴双曲线的标准方程为y 24－x 2b 2＝1.根据题意，得2a ＋2b ＝2×2c ，即a ＋b ＝2c . 又∵a 2＋b 2＝c 2，且a ＝2，⎩⎨⎧a ＋b ＝2c ，a 2＋b 2＝c 2，a ＝2，解得b 2＝4，∴适合题意的双曲线方程为y 24－x 24＝1，故选B. 【答案】 B10．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.35 B ．45 C.34D ．55【解析】 如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，则有A (0，－1,0)，D (0,0,2)，C (0，1,0)，B 1(3，0,2)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0,2,1)．∴sin 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝45.【答案】 B11．如图2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图2A. 2 B ． 3 C.32D ．62【解析】 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 【答案】 D12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B ．x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1 【解析】 由已知得k AB ＝－15－0－12－3＝1.设E ：x 2a 2－y 2b 2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 则(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，而⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2＝1，b 2＝54a 2.①又c 2＝a 2＋b 2＝9，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“任意x ∈R ，都有x 2＋x －4＞0”的否定________． 【解析】 全称命题的否定为特称命题．【答案】 存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0－4≤0.14．(2016·孝感调研)已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．【解析】 p 且q 为真命题⇒p 是真命题，q 是真命题．①p 是真命题⇒c －1＞0⇒c ＞1，②q 是真命题⇒Δ＝(－1)2－4c ＜0⇒c ＞14，故p 且q 为真命题⇒c ＞1⇒c ∈(1，＋∞)．【答案】 (1，＋∞)15．如图3所示，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离是________．图3【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，∴A (1,0,0)，B (1，1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1.设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴n ·AB →＝0，且n ·BC 1→＝0，即(x ，y ，z )·(0,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·(－1,0,1)＝0.∴y ＝0，且－x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)．∴n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，又EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为|EC 1→·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22＝22. 【答案】 2216．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系知，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2， 于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k ，根据|FQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解出k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：不等式|x －1|＞m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．【导学号：32550102】【解】 由于不等式|x －1|＞m －1的解集为R ， 所以m －1＜0，m ＜1；又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 所以5－2m ＞1，m ＜2.即命题p ：m ＜1，命题q ：m ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假． 当p 真q 假时应有⎩⎨⎧ m ＜1，m ≥2，m 无解．当p 假q 真时应有⎩⎨⎧m ≥1，m ＜2，1≤m ＜2.故实数m 的取值范围是1≤m ＜2.18．(本小题满分12分)已知p ：{x |x ＋2≥0且x －10≤0}，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 p ：{x |－2≤x ≤10}，綈p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}， 綈q ：B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，m ＞0}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以綈q ⇒綈p ，綈p綈q .所以B A .分析知，B A 的充要条件是⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．19．(本小题满分12分)(2016·福州高二检测)如图4所示，已知P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：图4(1)MN ∥平面P AD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC . 【证明】如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b .(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． 因为M 、N 分别为AB ，PC 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)， 所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD . (2)由(1)可知：P (0,0，a )，C (b ，a,0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，D (0，a,0)． 所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0n 1·PM →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b 2x 1－az 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，⇒⎩⎨⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，所以⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥平面PDC . 20．(本小题满分12分)已知点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →－y 2＋8＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．【解】 (1)由题意可知，P A →＝(－x,4－y )，PB →＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0，∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程． (2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4，∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)x 1x 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4x 1x 2＝－4＋4＋4－4＝－1，∴OC ⊥OD .21．(本小题满分12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0.(1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2.即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.22．(本小题满分12分)如图5①，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别为AC 和BC 边上的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ，如图5②.① ②图5(1)试判断翻折后的直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角B -AC -D 的余弦值；(3)求点C 到平面DEF 的距离．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (a,0,0)，A (0,0，a )，C (0，3a,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a2.(1)AB →＝(a,0，－a )，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2＝12(a,0，－a )， ∴EF →＝12AB →.∴EF →∥AB →.∴EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)易知DB →＝(a,0,0)是平面ADC 的一个法向量．设平面ACB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．而AB →＝(a,0，－a )，BC →＝(－a ，3a,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝xa －az ＝0，n ·BC →＝－ax ＋3ay ＝0.令x ＝1，得z ＝1，y ＝33，∴平面ACB 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1. ∴n ·DB →＝a .∴cos 〈n ，DB →〉＝a a ·1＋13＋1＝217. ∴二面角B -AC -D 的余弦值为217.(3)平面DEF 内的向量DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0. 设平面DEF 的一个法向量为m ＝()x ，y ，z ，则 ⎩⎨⎧ m ·DE →＝32ay ＋a 2z ＝0，m ·DF →＝a 2x ＋32ay ＝0.令y ＝3，则z ＝－3，x ＝－3.∴平面DEF 的一个法向量m ＝(－3，3，－3)．又DC →＝(0，3a,0)，∴DC →·m ＝3a .∴点C 到平面DEF 的距离d ＝|DC →·m ||m | ＝3a 9＋3＋9＝217a .。
北师大高中数学选修模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选Dz 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝⎛⎭⎫32，－ 12在第四象限． 2．以下是解决数学问题的思维过程的流程图(如图)：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法 C ．①—综合法，②—反证法D ．①—分析法，②—反证法解析：选A 综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．故选A.3．复数a ＋i1－i 为纯虚数，则它的共轭复数是( )A ．2iB ．－2iC ．iD ．－i解析：选D ∵复数a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －1＋(1＋a )i 2为纯虚数，∴a －12＝0，1＋a2≠0，解得a ＝1.∴a ＋i1－i＝i ，则它的共轭复数是－i. 4．下列说法正确的有( ) ①回归方程适用于一切样本和总体． ②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围． ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析：选B 回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B.5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：选B 等式的左边是9×(等式的序号－1)＋等式的序号，故选B.6．已知x 1>0，x 1≠1，且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n＋1(n ∈N *)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n >x n ＋1C ．存在正整数n (n ≥2)，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n (n ≥2)，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：选D 命题的结论是等价于“数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.7．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212. 8．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i解析：选D 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.所以z ＝34＋i.9．下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为( )A ．3.5 C ．2.5D ．2解析：选B ∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋m ＋4＋4.54＝m ＋114，又(x ，y )在线性回归方程上， ∴m ＋114＝0.7×4.5＋0.35，∴m ＝3.10．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，得到如下的列联表：附表：χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).经计算，统计量χ2≈4.762，参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选A 根据题意得χ2≈4.762>3.841，故应该有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，因此选A.11．已知面积为S 的凸四边形中，四条边长分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四边的距离分别记为h 1，h 2，h 3，h 4，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk ，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的每个面的面积分别记为S 1，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，H 3，H 4，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k 解析：选B 根据三棱锥的体积公式V ＝13Sh ，得13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ， 即S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4＝3V ， 所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k.12．函数f (x )在[－1,1]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )A ．f (cos α)>f (sin β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (sin α)<f (sin β)解析：选A 因为α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．所以0<α<π2，0<β<π2，π2<α＋β<π.所以π2>β>π2－α>0.所以0<cos β<cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α<1， 1>sin β>sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α>0. 又因为f (x )在[－1,1]上为减函数， 所以f (sin β)<f (cos α)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z ＝________. 解析：∵(1＋i)z ＝|3－i|＝2， ∴z ＝21＋i ＝2(1－i )2＝1－i ，∴z ＝1＋i.答案：1＋i14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和315．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为________．解析：第一次循环：S ＝2－1,1＜3，i ＝2； 第二次循环：S ＝3－1,2＜3，i ＝3； 第三次循环：S ＝4－1＝1,3≥3，输出S ＝1. 答案：116．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 018个梯形数为a 2 018，则a 2 018＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝12×2 019×2 022＝2 019×1 011.答案：2 019×1 011三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i.(1)若复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z 1； (2)若实数a ，b 满足z 2＋az ＋b ＝1－i ，求z 2＝a ＋b i 的共轭复数．解：由已知得复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5＋5i5＝1＋i.(1)因为复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z 1＝－1＋i.(2)因为z 2＋az ＋b ＝1－i ， 所以(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，因为a ，b ∈R ，所以a ＋b ＝1，且2＋a ＝－1， 解得a ＝－3，b ＝4，所以复数z 2＝－3＋4i ， 所以z 2的共轭复数为－3－4i.18．(本小题满分12分)为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如表：与工作积极性有关？解：根据题意可得χ2＝278×(55×52－73×98)2128×150×153×125≈13.959>6.635，所以有99%的把握认为对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝⎛⎭⎫a b ＋f ⎝⎛⎭⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝⎛⎭⎫a b ＋f ⎝⎛⎭⎫b a ≤23， 只需证明1a b ＋2＋1b a ＋2≤23，只需证明b a ＋2b ＋a b ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证3b 2＋12ab ＋3a 2≤4a 2＋10ab ＋4b 2. 即证(a －b )2≥0，这显然成立， ∴f ⎝⎛⎭⎫a b ＋f ⎝⎛⎭⎫b a ≤23.(2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，∴2a ≤b ＋2,2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4， 这与a ＋b >4矛盾，∴af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.20．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)： (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ； (2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)证明：根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x， 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ] ＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．21．(本小题满分12分)通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1， 32－22＝2×2＋1， 42－32＝2×3＋1， …(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.将以上各等式两边分别相加得：(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(1)类比上述求法，请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值． (2)根据上述结论，求12＋32＋52＋…＋992的值． 解：(1)∵23－13＝3×12＋3×1＋1， 33－23＝3×22＋3×2＋1， 43－33＝3×32＋3×3＋1， …，(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1，将以上各式两边分别相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ， ∴12＋22＋…＋n 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋1)3－1－n －3·(1＋n )n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (2)12＋32＋52＋…＋992＝12＋22＋32＋…＋1002－(22＋42＋62＋…＋1002)＝12＋22＋32＋…＋1002－4(12＋22＋32＋…＋502)＝16×100×101×201－4×16×50×51×101＝166 650.22．(本小题满分12分)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t2，a ＝y －b t .解：(1)列表计算如下：这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又∑i ＝1nt 2 i －n t2＝55－5×32＝10，∑i ＝1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝1210＝1.2，a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2018年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．。
高中数学 模块综合检测 北师大版选修21
"【三维设计】高中数学 模块综合检测 北师大版选修2-1 "(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于正实数a ，b ，有a ＋b ≥2ab 成立，所以x ＋1x≥2x ·1x ，即x ＋1x≥2，以上推理过程中( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论错误D ．无错误解析：∵x 的正负不确定，∴小前提错误． 答案：B2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则复数z 1z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z 1z 2＝3＋i 1－i＝3＋i1＋i 1－i1＋i ＝2＋4i2＝1＋2i ，位于第一象限． 答案：A3．(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ＋b i ＝a －b i ，所以当ab ＝0时，a ＋b i 不一定是纯虚数；反之，a ＋bi 为纯虚数时a ＝0，则ab ＝0.答案：B4．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法C ．①—综合法，②—反证法D ．①—分析法，②—反证法解析：由综合法与分析法的特点分析可知． 答案：A5．掷一枚硬币，记事件A ＝“出现正面”，B ＝“出现反面”，则有( ) A ．A 与B 相互独立 B ．P (AB )＝P (A )P (B ) C ．A 与B 不相互独立D ．P (AB )＝14解析：由于事件A 和事件B 是同一个试验的两个结果，且不可能同时发生，故A 与B 为互斥事件．∵P (AB )＝0≠P (A )·P (B )＝14，∴A 与B 不独立答案：C6．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R)”，其反设正确的是( ) A ．a ，b 至少有一个不为0 B ．a ，b 至少有一个为0 C ．a ，b 全不为0 D ．a ，b 中只有一个为0解析：对“全为0”的否定是“不全为0”，即至少有一个不为0. 答案：A7．某单位为了了解用电量y (千瓦时)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x (℃) 18 13 10 －1 用电量y (千瓦时)24343864由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为( )A ．58千瓦时B ．66千瓦时C ．68千瓦时D ．70千瓦时解析：x ＝18＋13＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，所以a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60.所以，当x ＝－4时，y ＝bx ＋a ＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：C8．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出：“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出：“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出：“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出：“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：①②正确，③④错误，因为③④中虚数不能比较大小．答案：B9．(2012·天津高考)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为( )A．－1 B．1C．3 D．9解析：由程序框图可知，该程序运行2次后退出循环，退出循环时x＝1，所以输出的x的值为3.答案：C10．(2012·江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( ) A．76 B．80C．86 D．92解析：由特殊到一般，先分别计算|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数，再猜想|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为80.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．下面结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算有________，________，________.答案：知识 并集 交集 补集 12.2＋i 1＋i 21－2i＝________.解析：2＋i 1＋i21－2i ＝2＋i ·2i·1＋2i 1－2i 1＋2i ＝2i 5i5＝－2.答案：－213．一个口袋内装有大小相同的5个白球和3个黄球，从中任取2个球，在第一次取出是黄球的前提下，第二次取出黄球的概率为________．解析：设第一次取出黄球为事件A ，第二次取出黄球为事件B ，则P (A )＝38，P (AB )＝3×28×7＝328， 所以P (B |A )＝P ABP A ＝32838＝27.答案：2714．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：吃零食 不吃零食 总计 男学生 24 31 55 女学生 8 26 34 总计325789根据上述数据分析，我们得出的χ2＝________. 解析：χ2＝89×24×26－8×31232×57×55×34≈3.688 9.答案：3.688 9三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知z 为复数，且|z |2＋(z ＋z )i ＝3－i 2＋i(i 为虚数单位)，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 代入上述方程得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，∴x 2＋y 2＝1且2x ＝－1，解得x ＝－12且y ＝±32.∴复数z ＝－12±32i.16．(本小题满分12分)如图，设SA ，SB 是圆锥的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点．求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：如图，假设AC ⊥平面SOB ， 连接AB .∵直线SO 在平面SOB 内，∴AC ⊥SO . 又∵SO ⊥底面，∴SO ⊥AB . 又AC ∩AB ＝A ，∴SO ⊥平面SAB . ∴SO ⊥SA ，又SO ⊥AO .这与三角形的内角和定理矛盾．∴假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．17．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，… ∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n＋1－1an＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是以1a1＝1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n＝1a1＋n－12＝n＋12，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1.18．(本小题满分14分)在一段时间内，某种商品价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表：价格x 1.4 1.6 1.82 2.2需求量y 12]1075 3(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程，并在(1)的图形上画出它的图像；(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．(结果精确到0.01 t)解：(1)散点图如下图所示 .(2)x＝1.8，y＝7.4，∑i＝15x i y i＝62，∑i＝15x2i＝16.6，b＝∑i＝15x i y i－5x－y－∑i＝15x2i－5x2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－4.60.4＝－11.5，a＝y－b x＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.所以线性回归方程为y＝－11.5x＋28.1.(3)当价格定为1.9万元，即x＝1.9时，y＝－11.5×1.9＋28.1＝6.25.所以商品价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.。
【教学参考】高二北师大版数学选修2-1同步作业：模块测试(二) Word版含答案[ 高考]
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综合学习与测试(二)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1、已知命题p :“一次函数的图象是一条直线”，命题q ：“函数y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数)的图象是一条抛物线”.则下列四种形式的复合命题中真命题是 （ ）①非p ②非q ③p 或q ④p 且qA.①②B.①③C.②③D.③④ 2、下列命题是假命题的是 （ ） A ，命题“若220,x y +=则,x y 全为0”的逆命题； B ，命题“全等三角形是相似三角形”的否命题；C ，命题“若0,m >则20x x m +-=有实数根”的逆否命题；D ，命题“ABC ∆中，如果090C ∠=，那么222c a b =+” 的逆否命题； 3、下列命题是真命题的是 （ ）A ，“a b >”是“22a b >”的充分条件；B ，“a b >”是“22a b >”的必要条件；C ，“a b >”是“22ac bc >” 的充分条件；D ，“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件。
4、已知条件p :x +y ≠-2，条件q :x ≠-1且y ≠-1，则p 是q 的 （ ） A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件5、如果不等式|x -a |＜1成立的充分不必要条件是21＜x ＜23，则实数a 的取值范围是( )A. 21＜a ＜23B. 21≤a ≤23 C.a ＞23或a ＜21 D.a ≥23或a ≤216、在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）A ．52-B ．52C ．53D ．1010 7、已知→-a =（2，-1，3），→-b =（-4，2，x ），若→-a 与→-b 夹角是钝角，则x 取值范围是 ( )A 、（-∞，310） B 、（-∞，2） C 、（310，+∞） D 、（-∞，310-） 8、抛物线y=－2x 2的准线方程 ( ) （A ）y=21（B ）x=81 （C ）y=81 （D ）y=41 9、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)两点，若x 1+x 2=6，则|PQ |的值为 ( )（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）510、 P 是长轴在x 轴上的椭圆22a x +22by ＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则｜PF 1｜·｜PF 2｜的最大值与最小值之差一定是( )（A ） 1 （B ） a 2 （C ）b 2 （D ）c 2第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11、命题：“a,b 是整数”是命题：“20x ax b ++=有且仅有整数解”的 条件。
高中数学综合测试题课时作业(含解析)北师大版选修2-1
单元综合测试四（综合测试题）时间：120分钟分值：150分一、选择题（每小题5分,共60分)1．命题“若x2<1，则－1<x〈1”的逆否命题是（ D )A．若x2≥1,则x≥1或x≤－1B．若－1〈x〈1,则x2〈1C．若x〉1或x〈－1，则x2>1D．若≥1或x≤－1，则x2≥1解析:命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p"．故应选D.2．设a，b为正实数，则“a>b〉1”是“log2a〉log2b〉0"的（ A )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：因为y＝log2x在(0，＋∞）上单调递增,所以a〉b〉1⇔log2a〉log2b>log21＝0，所以“a〉b〉1”是“log2a>log2b〉0"的充要条件．3．已知椭圆错误!＋错误!＝1（a〉0）与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则a 的值为( C ）A。
错误! B。
错误!C．4 D．10解析：因为椭圆错误!＋错误!＝1(a>0）与双曲线错误!－错误!＝1有共同的焦点（±错误!，0），所以a2－9＝7,所以a＝4,故选C。
4．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线与圆（x－3）2＋y2＝r2（r＞0）相切,则r＝（ A ）A.错误! B．2C．3 D．6解析:双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，即x±错误!y＝0，圆心（3,0)到直线的距离d＝错误!＝错误!，∴r＝错误!。
故选A。
5。
错误!＋错误!＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为（ A )A．±错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析：设F1为椭圆错误!＋错误!＝1的左焦点，F2为右焦点,PF1与y轴的交点为M。
∵M是PF1的中点，∴MO∥PF2，∴PF2⊥x轴．又半焦距c＝错误!＝3，∴设P(x，y)，则x＝3,代入椭圆方程得错误!＋错误!＝1，解得y＝±错误!。
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模块综合检测第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题：“若b 2－4ac<0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根”的否命题是( )A ．若b 2－4ac>0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根B ．若b 2－4ac>0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根C ．若b 2－4ac≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根D ．若b 2－4ac≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根 答案 C解析 把命题的条件和结论都进行否定后所得命题是否命题，条件b 2－4ac<0的否定是b2－4ac ≥0，结论“没有实数根”的否定是“有实数根”．2．(2019·天津，理)设x∈R ，则“x 2－5x<0”是“|x－1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由x 2－5x<0可得0<x<5.由|x －1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x 2－5x<0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．3．向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 答案 C4．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y2b2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32D.54答案 B5．如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB′→，CM →〉的值为( )A.12B.21015C.23D.1115答案 B 解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B ′(1，1，1)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，∴DB ′→＝(1，1，1)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.故cos 〈DB′→，CM →〉＝1×1＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1×012＋12＋12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋02＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.6.如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则C ，D 两点间的距离为( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．2 答案 B 解析用向量知识求距离，也就是利用|a |2＝a 2求向量的模．如图所示，过点D 作DD ′⊥平面α于D ′，连接BD ′，则∠DBD ′＝30°.∵BD ＝1，∴BD ′＝32， DD ′＝12.∵CD →＝CA →＋AB →＋BD ′→＋D ′D →＝AB →＋BD ′→＋DD ′→，∴|CD →|2＝AB →2＋BD′→2＋DD ′→2＋2AB →·BD ′→＋2BD ′→·DD ′→＋2AB →·DD ′→＝1＋34＋14＝2.∴|CD →|＝2.7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D，都有x ＋2y≥－2；p 2：存在(x ，y )∈D，成立x ＋2y≥2； p 3：任意(x ，y )∈D，都有x ＋2y≤3； p 4：存在(x ，y )∈D，成立x ＋2y≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案 C 解析 本题可先画出可行域，然后根据图形求解．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A(2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.(y＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距)结合题意知p 1，p 2正确．8．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点O ，建立如图所示的空间直角坐标系，则与DB 1→共线的向量坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1，1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)答案 C解析 设正方体棱长为1，则D(0，0，0)，B 1(1，1，1)． ∴DB 1→＝(1，1，1)，与DB 1→共线的向量为(2，2，2)．9．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则双曲线的离心率e 等于( )A ．5B.5C.52D.54答案 C解析 由题意知b a ＝12.∴a2＝b.由c 2＝a 2＋b 2＝54a 2，∴e ＝c a ＝52aa ＝52.10．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92答案 A解析 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线是直线l ，则点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0，2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0，2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0，2)的距离，因此所求的最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172，选A. 11．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都是a ，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 到平面AB 1D 的距离是( )A.24a B.28a C.324 aD.22a 答案 A解析 ∵四边形ABB 1A 1是正方形，∴A 1B ⊥AB 1.又平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1，∴A 1B ⊥平面AB 1D ，∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量，则点C 到平面AB 1D 的距离为d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝|AC →·（A 1A →＋AB →）|2a ＝|AC →·A 1A →＋AC →·AB →|2a＝|0＋a·a·cos60°|2a＝24a.12．如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝10，P 是y 轴正半轴上一点，PF 1交椭圆于点A ，若AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22，则椭圆的离心率是( )A.54B.53C.510D.154答案 B解析 因为AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22， ∴|AF 2|＋|AP|－|PF 2|2＝22，即|AF 2|＋|AP|－（|AF 1|＋|AP|）2＝22.∴|AF 2|－|AF 1|＝ 2.又|AF 2|2＋|AF 1|2＝10，∴|AF 2|＋|AF 1|＝3 2. ∴e ＝|F 1F 2||AF 2|＋|AF 1|＝1032＝53.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(1－t ，1－t ，t)，b ＝(2，t ，t)，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 |b －a |2＝(b －a )2＝(1＋t)2＋(2t －1)2＋0＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥95. ∴|b －a |的最小值为35＝355. 14．方程(x ＋y ＋1)·x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线是________．答案 圆x 2＋y 2＝4与直线x ＋y －1＝0在该圆外(包括边界)的部分15．(2019·课标全国Ⅲ，文)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥6，2x －y≥0，表示的平面区域为D.命题p ：∃(x ，y )∈D，2x ＋y≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D，2x ＋y≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②綈p∨q ③p∧綈q ④綈p∧綈q这四个命题中，所有真命题的编号是________(填上所有正确结论的序号)． 答案 ①③ 解析方法一：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p∨q 和p∧綈q 正确．方法二：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p∨q 和p∧綈q 正确．所以答案为①③. 16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①BD ∥平面CB 1D 1； ②AC 1⊥平面CB 1D 1；③异面直线AC 与A 1B 成60°角；④AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是 2. 答案 ①②③解析 对于①，BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面CB 1D 1，B 1D 1⊂平面CB 1D 1，∴BD ∥平面CB 1D 1，①正确；对于②，∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1，连接A 1C 1，又A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1C 1，∴B 1D 1⊥AC 1，同理B 1C ⊥AC 1，∴AC 1⊥平面CB 1D 1，②正确；对于③，易知AC∥A 1C 1，异面直线AC 与A 1B所成的角为∠BA 1C 1，连接BC 1，又△A 1C 1B 为等边三角形，∴∠BA 1C 1＝60°，异面直线AC 与A 1B 成60°角，③正确；对于④，AC 1与底面ABCD 所成的角的正切值是CC 1AC ＝12＝22≠2，故④不正确．故正确的结论为①②③.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交．”q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根．” 若p 或q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围． 解析 ∵p∨q 为真，綈p 为真， ∴p 假q 真．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，（x －1）2＋y 2＝1，得 2x 2－2(1＋m)x ＋m 2＝0.若p 假，则Δ＝4(1＋m)2－4×2×m 2≤0.∴m ≥1＋2或m ≤1－ 2.若q 真，则⎩⎨⎧m≠0，m －4m <0.∴0<m<4.∴p 假q 真时，1＋2≤m<4.∴m 的取值范围是[1＋2，4) 18．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PB 与底面所成的角是30°，∠BAD ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝a ，AB ＝2a.若AE⊥PB 于E ，求证：DE⊥PB.证明以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与底面ABCD 所成的角． ∴∠PBA ＝30°，∴PA ＝233a.A(0，0，0)，B(2a ，0，0)，D(0，a ，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，233a ，∴AD →＝(0，a ，0)，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0，－233a .∵AD →·PB →＝(0，a ，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0，－233a ＝0，∴PB ⊥AD ，又PB⊥AE，∴PB ⊥平面ADE ，∴PB ⊥DE.19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点T(3，0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．解析 (1)令直线l 与抛物线两个交点A 、B 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)；由于直线l 过点T(3，0)，从而有TA →∥TB →，再有TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)． 可得(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0.由于交点A 、B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2代入上式y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 22＋3＝0.显然交点A 、B 的纵坐标不可能相等，只有y 1y 22＋3＝0⇒y 1y 2＝－6.同时OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 222＋y 1y 2＝9－6＝3. 所以命题为真命题．(2)逆命题为：“如果OA →·OB →＝3，则直线l 过点T(3，0)”．由于交点A 、B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 222＋y 1y 2＝3.可得y 1y 2＝2或y 1y 2＝－6. 又TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)， 若TA →∥TB →⇒(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0.而x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 22＋3.显然当y 1y 2＝－6时使得“直线l 过点T(3，0)”； 而当y 1y 2＝2时“直线l 不过点T(3，0)”． 所以该命题是假命题．20．(12分)(2019·课标全国Ⅲ，理)图(1)是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图(2)．(1)证明：图(2)中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE. (2)求图(2)中的二面角B －CG －A 的大小．解析 (1)证明：由已知得AD∥BE，CG ∥BE ，所以AD∥CG，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB⊥BE，AB ⊥BC ， 故AB⊥平面BCGE. 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE⊥平面ABC ， 所以EH⊥平面ABC.由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°.可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H －xyz ，则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，3)，CG →＝(1，0，3)，AC →＝(2，－1，0)． 设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32z ＝0，2z －y ＝0. 所以可取n ＝(3，6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取为m ＝(0，1，0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝32.因此，二面角B －CG －A 的大小为30°.21．(12分)已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433.(1)求椭圆C 的方程；(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．解析 (1)在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163.由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos60°)，从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22，从而b ＝2.故椭圆C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k （x ＋1），得(1＋2k 2)x2＋4k(k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4k （k －2）1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k2. 从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋（k －4）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －(k －4)4k （k －2）2k 2－8k ＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－142， 得k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4. 22．(12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点． (1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E －BF －C 的正弦值．解析 (1)证明：方法一：如图，过E 作EO⊥BC，垂足为O ，连接OF.(1)由题意得△ABC≌△DBC， 可证出△EOC≌△FOC.所以∠EOC＝∠FOC＝π2，即FO⊥BC.又EO⊥BC，EO ∩FO ＝O ， 因此BC⊥平面EFO.又EF ⊂平面EFO ，所以EF⊥BC.方法二：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，3)，D(3，－1，0)，C(0，2，0)，因而E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，BC →＝(0，2，0)．因此EF →·BC →＝0.从而EF →⊥BC →，所以EF⊥BC.(2)方法一：如图(1)，过O 作OG⊥BF，垂足为G ，连接EG. 由平面ABC⊥平面BDC ， 从而EO⊥平面BDC.又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF.因此∠EGO 为二面角E －BF －C 的平面角，在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝32，由△BGO∽△BFC，知OG ＝BO BC ·FC＝34.因此tan ∠EGO ＝EO OG ＝2，从而sin ∠EGO ＝255，即二面角E －BF －C 的正弦值为255.方法二：如图(2)，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)．(2)设平面BEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E －BF －C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15. 因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.。