人教高中数学直角三角形的射影定理ppt优秀课件
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1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
即BC2＝BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
返回
解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FБайду номын сангаас· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
返回
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
即BC2＝BD· AB.
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[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
返回
解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
返回
[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
返回
证明：∵BE⊥AC，
返回
[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
即BC2＝BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
返回
解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
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[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
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[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10， 若 2 BE＝2，求 BC 的长．
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
高二数学之数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积 割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定 理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
【做一做2-1】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD . ◆ 全2书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
UUUBBBIAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG HISHIHSHIHSISUHHLI ISSHHUULILIHONGNAN HJHVOOJINNAGOGNNAANN JJIVAVJNJIIAALOIOTOUXI IIAANNLULIIITTOAONUUGXXIYI ANLIA
图形 语言
作用 确定成比例的线段
12
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
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【做一做2-1】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD . ◆ 全2书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
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图形 语言
作用 确定成比例的线段
12
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直角三角形的射影定理学习教育课件PPT
B
阅读：课本P21例：
1．线段在直线上的射影结果
点或线段
2．直线在直线上的射影结果 点或直线
已知直角三角形ABC，CD垂直AB 问：1．图中有几个Rt△? 2．有几对△相似？ DB 3．CD =？ AD· AB AC =？ AD· A BC =？ BD· BA
2 2 2
C
D
B
C
1．直角三角形中,斜边 2 上的高线是两条直角 CD AD DB 边在斜边上的射影的 2 AC AD AB 比例中项; 2．每一条直角边是这 2 BC BD AB 条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中 项;
直角三角形的射影定理
B
.A
M B’ A’ N 1.射影： （1）太阳光垂直照在A点，留在直线 MN上的影子应是什么？ 点A′ （2）线段留在MN上的影子是什么？ 定义： 线段A’B’ 过线段AB的两个端点分别作直线l的垂 线，垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线 段AB在直线l上的正射影，简称射影。
A
D
B
利用射影定理证明勾股定理:
AC BC AD AB BD AB AB
2 2 2
利用勾股定理证明射影定理:
AB =(AD＋DB) =AD ＋2AD · DB ＋DB
2 2 2 2
AC ＋BC =AB
2 2 2 2
2
2
2
C
2 2
AC －AD =CD BC －BD =CD
A
D
高二数学之数学人教A版选修4-1直角三角形的射影定理ppt课件
2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角 三角形的其他性质相结合来解.如本题中,直角三角形中的六条线 段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计 算出其余线段的长.
-10-
四 直角三角形的射影定理
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长.
又∵CD2=AD·AB,
No Image
错因分析:本题的错因是没有准确地记住射影定理中的三组公式 ,误认为CD2=AD·AB致误.
-16-
四 直角三角形的射影定理
题型一 题型二 题型三
正解:在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·BD.
又BD∶AD=1∶9,令BD=x,
则AD=9x(x>0).
∴CD2=9x2. ∴CD=3x.
No Image
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-17-
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2. 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
-6-
四 直角三角形的射影定理 12
【做一做2-2】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影
为点D,且AC=3,AD=2,则AB=
.
解析:∵AC⊥CB,
分析:先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用 射影定理求出CD.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.
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-9-
-10-
四 直角三角形的射影定理
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长.
又∵CD2=AD·AB,
No Image
错因分析:本题的错因是没有准确地记住射影定理中的三组公式 ,误认为CD2=AD·AB致误.
-16-
四 直角三角形的射影定理
题型一 题型二 题型三
正解:在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·BD.
又BD∶AD=1∶9,令BD=x,
则AD=9x(x>0).
∴CD2=9x2. ∴CD=3x.
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A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2. 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
-6-
四 直角三角形的射影定理 12
【做一做2-2】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影
为点D,且AC=3,AD=2,则AB=
.
解析:∵AC⊥CB,
分析:先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用 射影定理求出CD.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.
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-9-
人教版高中数学选修1.4直角三角形的射影定理ppt课件
C ）
D .60 °
3．若关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 的两根是一直角 三角形的两锐角的正弦值，且 a+5b=1，则 a、b 的值分别为 ( B ) 3 8 7 12 A．- ， B．- ， 25 25 5 5 4 9 C．- ， D．1,0 25 5 4．在 Rt△ABC 中，∠BAC=90，AD⊥BC 于点 D，若 AC 3 BD = ，则 =( C ) AB 4 CD 3 4 A. B. 4 3 16 9 C. D. 9 16
7．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三
角形能相似的是__________．
①③
8．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD＝27，BD＝3，则AC＝ ______，BC＝______，CD＝______. 9 10
3 10 9
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M 是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．求证：DE＝ 2 ab
如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D， DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：AE· BF· AB＝CD3.
分析：分别在Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，再将线段进
行代换，就可以实现等积式的证明．
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
4a 2 b 2
证明：在 Rt△AMB 和 Rt△ADE 中， ∠AMB=∠DAE， ∠ABM=∠AED=90， ∴△ABM∽△DEA. AB AM ∴ = .∵AB=a，BC=b， DE AD AB AD a b 2ab ∴DE= = = . 2 2 2 AM b 4a b a2 4
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
返回
点击下图进入“创新演练”
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∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
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∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
返回
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)
(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两
条可求出第三条．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是AB上的 高．已知BD＝4，
AB＝29，试求出图中其他未知线 段的长．
解：由射影定理，得 BC2＝BD· AB， ∴BC＝ BD· AB＝ 4×29＝2 29. 又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25. 且 AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 292－4×29＝5 29. ∵CD2＝AD· BD， ∴CD＝ AD· BD＝ 25×4＝10.
[例2]
如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、 G分别为垂足．
求证：AF· AC＝BG· BE.
[思路点拨]
先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再
在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.
的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．
[解]
∵CD2＝AD· DB＝2×6＝12，
∴CD＝ 12＝2 3(cm)． ∵AC2＝AD· AB＝2×(2＋6)＝16， ∴AC＝ 16＝4(cm)． ∵BC2＝BD· AB＝6×(2＋6)＝48， ∴BC＝ 48＝4 3(cm)． 故 CD、AC、BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm.
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 垂足 ，叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线 上的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例 斜边 上射影与 斜边 中项；两直角边分别是它们在 的比例中项．
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
1.4直角三角形的射影定理课件人教新课标2
3. 如图 1－4－6 所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB 于点 D，CD＝2，BD＝3，则 AC＝________.
图 1－4－6
【解析】 由 CD2＝BD·AD 得 AD＝43，
∴AB＝BD＋AD＝3＋43＝133，
∴AC2＝AD·AB＝43×133＝592，
∴AC＝23 13.
求：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长． 【自主解答】 (1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝BACC22， ∴ABDD＝(ABCC)2＝(34)2＝196， 即 AD∶BD＝9∶16.
(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝295×25＝9(cm)． BD＝1265×25＝16(cm)， ∴CD＝ AD·BD＝ 9×16＝12(cm)．
A．16 B．4 C．2 D．不确定 【解析】 由射影定理 AD·DB＝CD2＝42＝16. 【答案】 A
2．已知：在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的
高，BC＝ 15 cm，BD＝3 cm，则 AD 的长是( )
A．5 cm
B．2 cm
C．6 cm
D．24 cm
【解析】 ∵BC2＝BD·AB， ∴15＝3AB，即 AB＝5， ∴AD＝AB－BD＝5－3＝2(cm)． 【答案】 B
1．解答本题的关键是利用 S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD 进 行转化．
2．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理 来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．
在本例条件不变的情况下，求证：DDEF33＝ABEF. 【证明】 根据题意可得，DE＝CF，CE＝DF， DE2＝AE·CE， DF2＝BF·CF， ∴DE2·BF·CF＝DF2·AE·CE， ∴DE3·BF＝DF3·AE， 即DDEF33＝ABEF.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
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∵BE＝2，∴BD2＝2BC，∴BD＝ 2BC② 将②代入①得：BC2＝2BC＋3 5BC， ∴BC2－2BC＝3 5BC，∴(BC2－2BC)2＝45BC， ∴BC4－4BC3＋4BC2＝45BC. ∵BC>0，∴BC3－4BC2＋4BC－45＝0， ∴(BC－5)(BC2＋BC＋9)＝0. ∵BC2＋BC＋9≠0，∴BC－5＝0，∴BC＝5.
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一
个考向．
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[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图，在△ABC中，
D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF ⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长． [命题立意] 综合应用． 本题主要考查射影定理和勾股定理的
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解：在△ABC中，设AC为x，
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
高二数学之数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理[优质ppt]
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AC2=CD·BC,即
������������ ������������
=
������������������������.
∵BE 平分∠ABC,EA⊥AB,EF⊥BC,
∴AE=EF.
∵EF⊥BC,AD⊥BC,
∴EF∥AD.∴
������������ ������������
=
������������������������,
2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角 三角形的其他性质相结合来解.如本题中,直角三角形中的六条线 段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计 算出其余线段的长.
-10-
四 直角三角形的射影定理
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴CD2=AD·DB=2×6=12, ∴CD= 12 = 2 3(cm). ∵AC2=AD·AB=2×(2+6)=16, ∴AC= 16 = 4(cm). ∵BC2=BD·AB=6×(2+6)=48, ∴BC= 48 = 4 3(cm).
故 CD,AC,BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm.
∴
������������ ������������
=
������������ ������������
.
∴
������������ ������������
-8-
四 直角三角形的射影定理
题型一 题型二 题型三
题型一 与射影定理有关的计算问题
【例1】 若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定
人教A版高中数学选修4-1课件第一讲四直角三角形的射影定理(共18张PPT)
答案：3 3 5 4∶1
考点二 利用射影定理解决证明问题 例2 如图所示， CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上， DF⊥ AC， DG⊥ BE， F、 G 分别为垂足． 求证： AF· AC＝ BG · BE.
【证明】 因为 CD 垂直平分 AB，所以△ACD 和△BDE 均 为直角三角形，并且 AD＝ BD. 又因为 DF⊥ AC， DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG · BE＝DB2. 因为 AD2＝ DB2，所以 AF· AC＝BG · BE. 【名师点评】 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形 中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
四
直角三角形的射影定理
新知初探思维启动
1．射影的有关概念 (1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线 正射影 ． 上的_________ (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段，叫做这 正射影 ． 条线段在直线上的_________
射影 ． (3)点和线段的正射影简称为______
类问题时，一定要注意对图形进行剖析．
跟踪训练 2.如图所示，Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD⊥ AB 于 D，DE ⊥AC 于 E， DF⊥BC 于 F，求证： AE· BF· AB＝ CD3.
证明：因为在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90° ， CD⊥ AB， 所以 CD2＝ AD· BD，所以 CD4＝ AD2· BD2. 又因为在 Rt△ ADC 中， DE⊥ AC， 在 Rt△ BDC 中， DF⊥ BC， 所以 AD2＝ AE· AC， BD2＝ BF· BC. 所以 CD4＝ AE· BF· AC· BC. 又因为 AC· BC＝ AB· CD， 所以 CD4＝ AE· BF· AB· CD . 所以 AE· BF· AB＝ CD3.
考点二 利用射影定理解决证明问题 例2 如图所示， CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上， DF⊥ AC， DG⊥ BE， F、 G 分别为垂足． 求证： AF· AC＝ BG · BE.
【证明】 因为 CD 垂直平分 AB，所以△ACD 和△BDE 均 为直角三角形，并且 AD＝ BD. 又因为 DF⊥ AC， DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG · BE＝DB2. 因为 AD2＝ DB2，所以 AF· AC＝BG · BE. 【名师点评】 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形 中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
四
直角三角形的射影定理
新知初探思维启动
1．射影的有关概念 (1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线 正射影 ． 上的_________ (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段，叫做这 正射影 ． 条线段在直线上的_________
射影 ． (3)点和线段的正射影简称为______
类问题时，一定要注意对图形进行剖析．
跟踪训练 2.如图所示，Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD⊥ AB 于 D，DE ⊥AC 于 E， DF⊥BC 于 F，求证： AE· BF· AB＝ CD3.
证明：因为在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90° ， CD⊥ AB， 所以 CD2＝ AD· BD，所以 CD4＝ AD2· BD2. 又因为在 Rt△ ADC 中， DE⊥ AC， 在 Rt△ BDC 中， DF⊥ BC， 所以 AD2＝ AE· AC， BD2＝ BF· BC. 所以 CD4＝ AE· BF· AC· BC. 又因为 AC· BC＝ AB· CD， 所以 CD4＝ AE· BF· AB· CD . 所以 AE· BF· AB＝ CD3.
人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件
即CD AD BD (1) ∵AC² -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD² A D B 考察RtBDC和RtBCA BD BC ∴2AD· BD=2CD² 2 CD AD BD ∽ BCA B是公共角 , BDC BC AB ∴ CD² = AD· BD C 2 2 AC 即 BC AD BD AB AB (2)
简述:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角 形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边.
2
在 ACD中 CAD ACD 900 BCD ACD 900 ACB 900 ABC 是直角三角形 .
习题1.4 3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
总结： 1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和比例中项 的表达式——射影定理。 2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等 积式。 3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图 形的能力。 4、数学思想：方程思想和转化思想。
BC,由 BD AB 同理 CDA ∽ BCA =AD(AD+BD)=AD· AB
2
2 用勾股定理能证明吗 有AC AD ? AB
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
(3) 同理可证得 BC² = BD· AB A D
B
例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8, 求CD,AC和BC的长.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)
3．Rt△ABC中有正方形DEFG， 点D、G分别在AB、 AC上，
E、F在斜边BC上．
求证：EF2＝BE· FC.
证明：过点 A 作 AH⊥BC 于 H. 则 DE∥AH∥GF. DE BE GF FC ∴AH＝BH，AH＝CH. DE· GF BE· FC ∴ ＝ . AH2 BH· CH 又∵AH2＝BH· CH， ∴DE· GF＝BE· FC. 而 DE＝GF＝EF， ∴EF2＝BE· FC.
4．如图所示，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高． 求证：CA· CD＝BC· AD. 证明：由射影定理知：
CD2＝AD· BD， CA2＝AD· AB， BC2＝BD· AB. ∴CA· CD＝ AD2· AB＝AD· BD· BD· AB， BC· AD＝AD· AB· BD. 即 CA· CD＝BC· AD.
(2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， BD 则有CD2＝ AD· ， AB AC2＝ AD· ， AB BC2＝ BD· .
[例1]
如图，在Rt△ABC中，CD为
斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm， 求CD，AC，BC的长． [思路点拨] 在直角三角形内求线段
(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两
条可求出第三条．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是AB上的 高．已知BD＝4，
AB＝29，试求出图中其他未知线 段的长．
解：由射影定理，得 BC2＝BD· AB， ∴BC＝ BD· AB＝ 4×29＝2 29. 又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25. 且 AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 292－4×29＝5 29. ∵CD2＝AD· BD， ∴CD＝ AD· BD＝ 25×4＝10.
14 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，
∴AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. ∵AD2＝DB2， ∴AF· AC＝BG· BE.
将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角
形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目 的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从 所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 垂足 ，叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线 上的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影． 2．射影定理
(1)文字语言：
直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例 斜边 上射影与 斜边 中项；两直角边分别是它们在 的比例中项．
• •
3、引用入题法 同学们，有一首诗这样写道：“多少人 爱你青春欢畅的时候，爱慕你的美丽，也 许假意或真心。只要我爱你朝圣者的灵魂， 爱你衰老的脸上脸上的痛苦的皱纹。”诗 中倾诉的是深沉真挚的爱，正如别林基斯 所说：“爱是理解的别名。”知之愈深， 才能爱之愈切，今天，带着这种爱，我要 讲一讲我的祖国，讲一讲生我的这片土地。
的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．
[解]
∵CD2＝AD· DB＝2×6＝12，
∴CD＝ 12＝2 3(cm)． ∵AC2＝AD· AB＝2×(2＋6)＝16， ∴AC＝ 16＝4(cm)． ∵BC2＝BD· AB＝6×(2＋6)＝48， ∴BC＝ 48＝4 3(cm)． 故 CD、AC、BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm.
• •
• •
4、开门见山 我主张将我们全党的学习方法和学习制度改造一下。 （改造我们的学习）
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思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
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考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
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2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角；
情感态度与价值观
1．通过直角三角形的射影定理，体会并推 出一般三角形的射影性质.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.
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知识要 点
射影定理：
直角三角形斜边上的高是两直角边在 斜边上射影的比例中项；两直角边分别是 它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。 4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事” 5.美方发起贸易战，进行恫吓威胁， 不会给 中国发 展带来 困难和 影响， 只会更 加激发 中国人 民的勇 气、士 气与硬 气。 6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。 7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。 8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。 9. 弊端重重的人类中心主义亟须克服 自身认 识的偏 见，而 中华民 族的中 道智慧 是一个 可取的 办法。
新课导入
阳光照射下，物体都有影子！
观察
A
M
A′
N
A在MN的射影在哪？
探讨
B
A
思
M
N
考
线段AB在直线MN上的射影又是什么呢？
教学目标
知识与能力
1．掌握直角三角形的射影定理. 2．能够利用射影定理求解线段的长.
过程与方法
1．通过日常生活的射影例子，体会并掌握射影 定理的定义.
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
随堂练习
1.已知：Rt△ABC,CD是斜边AB上的高， CD=4,BD=2,
求:AD、AB、AC、BC.
A
解： 根据射影定理：CD2=AD·BD
∴AD=16÷2=8. ∴AB=AD+BD=10.
∵AC2=AD·AB. ∴AC=4 .
5
同理BC2=BD·AB. ∴AC=2 5.
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M
研讨
A A
A′
N M A′
B B′ N
A ′是点A在MN上的正射影，A ′ B ′是线段AB 在MN上的正射影.
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根据角边角得： △CEF∽△CBA .
F
DＢ
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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。 2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
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课堂小结
射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上 射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边 上射影与斜边的比例中项.
很重要！
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