等腰直角三角形中的常用模型

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等腰直角三角形中的常用模型

模型一:一条直线(不与三角形的边重合)过等腰直角三角形的直角顶点

(1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边,必定可以构造一对全等的直角三角

形:

例１.如图：Rt ΔＡBC 中,∠BAC =90º,AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作ＢE

⊥ＡＤ于点E ，过C 作C Ｆ⊥A Ｄ于点F 。 （1)求证：BE －ＣＦ=EF ；

(2)若D 在BC 的延长线上(如图（2）)，（1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出

新的结论并证明。

１．如图1,等腰Rt △ABC 中，A Ｂ=CB ,∠ABC =90º,点P 在线段BC 上(不与B 、C 重合）,以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ,连CQ 交ＡB 于M 。 (１)求证:M 为B Ｅ的中点

(２）若P Ｃ＝２ＰB,求MB

PC

的值

（２）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边,必定可以构造一对全等的直角

三角形:

3、如图:Rt ΔＡBC 中,∠BAC =90º,ＡＢ=ＡＣ，点D 是ＢC 上任意一点,过B 作B Ｅ⊥A Ｄ于点Ｅ，交ＡC 于点Ｇ,过C 作CF ⊥AC 交A Ｄ的延长线与于点Ｆ。 (1)求证:BG=AF ；

（2)若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

变式１：如图,在R t △ＡＢC 中，∠ＡC Ｂ＝45º，∠BAC ＝90º,AB=AC ,点Ｄ是A Ｂ的

中点，A Ｆ⊥ＣＤ于H 交BC 于Ｆ，B Ｅ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证:BC 垂直且平分ＤE ．

G G B A

C

D E F (2)(1)F

E D C B A D

E F F

E

D (2)(1)C C A B B A (2)F

E

D

C B A A B C D

E F (1)(2)(3)(1)D

D E E

C E

A A

A

B

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变式2:等腰Ｒt △AB Ｃ中,AC=ＡＢ，∠B ＡC ＝90°，点D 是ＡＣ的中点,AF ⊥BD 于

点E,交ＢＣ于点F ,连接ＤF ,求证:∠1=∠2。

变式3:等腰Ｒｔ△A ＢC 中，AC=AB,∠BAC =90°,点D 、Ｅ是AC 上两点且ＡD=CE ，AF ⊥BD 于点G,交BC 于点F 连接DF ,求证:∠１=∠２。

模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边

等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全

等三角形

例1：等腰Ｒt △ABC 中,ＡC=AB,∠BAC =90°，Ｅ是AC 上一点,过C 作CD ⊥BE 于

D ，连接ＡD ，求证：∠ADB =4５°。

变式1:等腰Ｒt △ABC 中，AC=AB ，∠BA Ｃ=9０°，Ｅ是AC 上一点,点Ｄ为ＢE 延

长线上一点，且∠ADC ＝135°求证：ＢD ⊥DC 。

变式2:等腰Rt △A ＢC 中，A Ｃ=A Ｂ，∠ＢAC ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作ＣD ⊥ＢE 于D ，ＤM ⊥AB 交B Ａ的延长线于点Ｍ,

（1）求BC AB BM +的值；（2）求AB BC AM

-的值。

A B

C

D

E F

(2)

(1)

F

E D

C

B

A

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模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点

(1)两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形

例1、如图1,△ABC 、△BE Ｆ都是等腰直角三角形，∠ＡBC =∠BE Ｆ=90º,连接ＡF 、ＣF ，M 是ＡF 的中点,连ME ，将△BE Ｆ绕点B 旋转。猜想C Ｆ与EM 的数量关系并证明; (2)两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形: 如图,△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠ＢAC =∠BED =9０º。把DE 平移到CF ,

使E 与Ｃ重合，连接ＡE 、ＡF ，则△A ＥB 与△AFC 全等（关键是利用平行证明∠ＡB Ｅ=∠ACF ）

例．如图:两个直角三角形A ＢＣ、AD Ｅ的顶点A 重合,P 是线段BD 的中点,连P Ｃ、

PE 。 （1)如图1，若∠BAC =∠D ＡE =45°，当A 、C 、D 在同一直线上时，线段ＰC 、P Ｅ的关系是 ;

（2)如图2、3,将⊿B ＡC 绕A 旋转α度,(1)中的结论是否仍然成立?任意选择一个证明你的结论。

三【巩固练习】

1.已知:Ｒt ⊿ABC 中，AB=AC ，∠B ＡC =９0°,若O 是BC 的中点，以O 为顶点作∠MON ,交A Ｂ、AC 于点M 、N 。 (1）若∠M ＯN =90°（如图1）,求证：OM=ON ；

(２)若∠MON =4５°（如图2)，求证：①AM+M Ｎ＝CN ;

图2

N

M

O

C B

A 图1N

M C B A A B

C

D

E

P 图3A B C D E P 图2

图1P E D C

B

A (3)(1)图（1）

M

F

E B

C A B (1)(2)

(3)