[高中数学必修4]第一章 基本初等函数(Ⅱ)

cos() cos;sin() sin; tan() tan ③角 与 的三角函数间的关系：
cos( ) cos;sin( ) sin; tan( ) tan ④角 与 的三角函数间的关系：
cos( ) cos;sin( ) sin; tan( ) tan
⑤角 与 的三角函数间的关系：
求三角函数的最值问题一般有两种基本类型：①化为一个角的三角函数；②化为关于
某三角函数的函数型.在求三角函数最值时，要注意三角函数的有界性，尤其是限制角的
范围时更要考虑三角函数的取值范围.
正弦函数 y sin x, x R 的单调递增区间是 ( 2k , 2k )(k Z ) ，单调递
2
180
π
=57°18′.
（3）弧长公式与扇形面积公式 在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对圆心角为α ，则α =l（α 的单位是 rad）.
r
扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为圆心角（单位 rad）：弧长 l=α ²r.
扇形的半径为 r ，弧长为 l ， 为圆心角（单位 rad），扇形面积 S= 1 lr 1 r2 .
360
分等于 1 度，60 秒等于 1 分.
弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1rad.以弧度为
单位来度量角的制度叫做弧度制. 角度与弧度不能混用：比如“π +k²360°”或“60°+2kπ ”的写法是不允许的，尤
2
其是当角用字母表示时更要注意，如角α 是在弧度制下，就不能写成“k²360°+α ”等. 用“度”作单位度量角时，“度”或“°”不能省略；用“弧度”作为单位度量角时，
2
cos( ) sin;sin( ) cos; tan( ) cot
2
2
2
⑥角 与 的三角函数间的关系：
2
cos( ) sin;sin( ) cos; tan( ) cot
2
2
2
⑦角 与 的三角函数间的关系：
2
cos( ) sin;sin( ) cos; tan( ) cot
tan y ，若xy＞0，则tan＞0，若xy＜0，则tan＜0 . x
若 sin＞0 ，则 的终边在第一或第二象限或 y 轴的非负半轴上； 若 cos＞0 ，则 的终边在第一或第四象限或 x 轴的非负半轴上； 若 tan＞0 ，则 的终边在第一或第三象限.
正弦、余弦、正切函数值的符号，是根据这三种函数的定义和各象限内坐标的符号导
（3）转角 当射线绕其端点按照逆时针方向或按照顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意
的.在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转绝对量.旋转生成的角又常叫做转 角.各角和的旋转量等于各角旋转量的和. （4）终边相同的角
设α 表示任意角，所有与α 终边相同的角以及α 本身组成一个集合，这个集合可以记 为 S={β |β =α +k²360°，k∈Z}.
③整体代替：将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之
间的关系.
６
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4. 诱导公式
（1）诱导公式
①角 与 k 2 (k Z) 的三角函数间的关系： cos( k 2 ) cos;sin( k 2 ) sin; tan( k 2 ) tan
②角 与 的三角函数间的关系：
2
2
方法叫做“五点法”作图.
“五点法”作图必须要有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.
正弦函数的定义域是 R，值域是[-1，1].
当
x
2
2k (k
Z ) 时，
ymax
1，当
x
3 2
2k (k Z ) 时，
ymin
1.
求三角函数的定义域常借用两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象.
113
１
第二象限角：k²360°+90°＜α ＜k²360°+180°，k∈Z；
第三象限角：k²360°+180°＜α ＜k²360°+270°，k∈Z；
第四象限角：k²360°+270°＜α ＜k²360°+360°，k∈Z.
2. 弧度制和弧度制与角度制的换算
（1）度量角的单位制 角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制，规定周角的 1 为 1 度的角.其中 60
正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
sin 不是 sin 与 的乘积，而是一个比值；三角函数符号是一个整体，离开自变量
的“ sin ”是没有意义的.
（5）三角函数值的符号
sin y ，若y＞0，则sin＞0，若y＜0，则sin＜0 ； r
cos x ，若x＞0，则cos＞0，若x＜0，则cos＜0 ； r
“弧度”两字可以省略.如 sin3 是指 sin（3rad），这时的弧度数“3”在形式上是一个不
名数，应理解为名数.常常把弧度数写成“多少π ”的形式，如无特别要求，不必把π 写
成小数的形式.
（2）角度与弧度的互化 将角度化为弧度：360°=2π ；180°=π ；1°= π rad≈0.01745rad.
180
将弧度化为角度：2π rad=360°；π rad=180°；1rad=（180）°≈57.30°=57°18′.
π
两种制度的转换，利用它们的意义，在弧度制下周角为 2π rad，而在角度制下周角为
360°，所以
2π
rad=360°，进而得到：1°= π rad≈0.01745rad，1rad=（180）°≈57.30°
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第一章 基本初等函数（Ⅱ）
1.1 任意角的概念和弧度制
1. 角的概念的推广
（1）任意角的概念 角可以看成是一条射线绕着一点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
（2）角的分类 ①按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； ③当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.
量使分母不含三角形式和根式.
③证明恒等式：一般方法有三种：即由繁的一边证到简单的一边；证明左、右两边等
于同一式子；证明与原恒等式等价的式子，从而推出原式成立.
（3）在计算、化简或证明函数式时常用的技巧有
①“1”的代换：为了解题的需要有时可以将 1 用“ sin2 cos2 ”代替.
②切化弦：利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数.
３
②角α 的余割： csc 1 r ； sin y
③角α 的余切： cot 1 x . tan y
（4）终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个三角函数值相等，不一定有角 的终边相同，更不一定有两角相等.
在确定三角函数定义域时要特别注意某些三角函数有意义的范围，特别是 tan x .
tan
（2）三角函数的三种基本题型
①求值：已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一个求其他两个，这里应特别注意开
方运算时根号前正、负号的选取，应根据题设条件是否指明角所在的象限，确定最后结果
是一组解还是两组解.
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②化简：化简是一种不指明答案的恒等变形，三角函数化为最简形式的标准是相对的，
一般是指函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出数值的要求出数值，尽
tan y x
(0, ) 2
sin ＞0 cos＞0 tan＞0
（2）任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域
三角函数 定义
定义域
正弦
sin y r
R
余弦
cos x r
R
正切
tan y { | R且 k , k Z}
x
2
（3）任意角的正割、余割、余切函数的定义
①角α 的正割： sec 1 r ； cos x
正周期.
正弦函数都是周期函数， 2k (k Z,且k 0) 都是它的周期，最小正周期是 2 . 理解周期函数的概念要注意以下三点：①存在一个常数T (T 0) ；②对其定义域内的 每一个 x 值，x+T 也属于定义域；③当 x 取定义域内每一个值时， f (x T ) f (x) 恒成
立.
在理解周期函数定义时，首先要特别注意函数 f (x T ) f (x) 恒成立是对 f (x) 的定
2
2
2
（2）诱导公式 sin/ cos/ tan( k) 可以概括为“奇变偶不变，符号看象限” 2
这里，“奇”“偶”指的是 的奇数倍或偶数倍，即整数 k 为奇数还是偶数，“变”“不 2
变”指是否改变函数名，若需改变，则正余弦互变，正余切互变.“象限”是指将 看做
第一象限角，判断 k 的象限，得到 sin/ cos/ tan( k) 的符号.
1.2 任意角的三角函数
1. 三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设 的终边上任意一点 P 的坐标是 (x, y) ，它与原点的距离是
r(r x2 y2＞0) .
（1）当α 为锐角时，从下表中可以得到锐角三角函数的定义、定义域及函数值的符号
图形
定义
定义域
函数值的符号
sin y r
cos x r
切线上，其位置不随 的变化而变化；从图中可以看出，当 的终边在 y 轴上时，角 的
正切不存在；我们规定三角函数线的正方向与 x 轴（或 y 轴）正方向相同.
3. 同角三角函数的基本关系式
（1）基本关系
平方关系： sin2 cos2 1. 商数关系： sin tan .
cos 公式变形： cos tan sin；sin cos .
出的.因为从原点到角的终边上任意其他的点的距离 r x2 y2 总是取正值，根据这三
种函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标 y、横坐标 x 的符号；正切 值则是纵坐标 y、横坐标 x 同号时为正，异号时为负.
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2. 单位圆与三角函数线
（1）单位圆 半径为 1 的圆.
（2）三角函数线 如图，已知在单位圆内角α 的终边位置.
2
2
（3）诱导公式的作用
诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角有关问题（特别是化简、求值、证明）
中常使用.
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应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.求任意角的三角函数 的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角” →“正角化锐角”→求值.
1.3 三角函数的图象与性质
2
减区间是
(
2k , 3
2k )(k
Z)
.
2
2
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对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x T ) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个函数的周期.如果 周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f (x) 的最小
1. 正弦函数的图象与性质
（1）正弦函数的图象与性质
作正弦函数 y sin x, x [0, 2 ]的图像，是把正弦线向右平移到相应的位置，再用光
滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到函数 y sin x, x [0, 2 ]的图像.
正弦曲线的关键点是 (0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0) .运用这五个关键点作图的
则由三角函数的定义可知点 P 的坐标为（sin，cos）.点 T 的坐标为（1，tan）. ５
其中 cos=OM，sin=ON，tan=AT（或AT '）.
把轴上向量 OM、ON、AT（或AT） ' 叫做 的余弦线、正弦线和正切线.
（3）书写三角函数线时，要注意起点与终点的次序
【例如】不能把 sin 写成 PM （应为 MP ）；正切线始终在过 A（1, 0）点的单位圆的
集合 S 的每一个元素都与α 的终边相同，当 k=0 时，对应元素为α . 终边相同的角有无数个，相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，并 且它们相差 360°的整数倍. （5）象限角 在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴正半轴重合. 这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限角，如果终边在坐标轴上，那么这 个角叫做轴线角，并且认为这个角不属于任何象限. 第一象限角：k²360°＜α ＜k²360°+90°，k∈Z；
义域中的每一个 x 值都成立，例如 y sin x(x R) 对于 x ,T ，显然有 33
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用公式α =l求圆心角时，应注意其结果是圆心角的弧度数.这个公式在物理学上计算角
r
速度时经常用到，因此要熟练掌握它及其变形后的另外两种形式：l=α ²r 和 r= l（α ≠0）.
α
运用这两个变形公式时，如果已知的角以度为单位，则应先把它化成弧度后再计算.可以
看出，这些公式各有各的用处.