0003第2章刚体运动学(1)
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高中物理课件-刚体运动
x2 dx 1 ml2
3
o
l
J z2 J z1 所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义
例: 匀质圆环半径为 R,总质量为 m,求绕垂直
Z
于环面通过中心轴的转动惯量 如下图:
解: Jz
R2dm R2 dm
mR2
R dm
例: 匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:
圆盘半径为 R, 总质量为 m .
L
ri
(mi
vi
)
LC
rC
(
mi )vC
L ri (mivi )
······· 二.
d质dLt点ddLt系ddt对dd(rLtC质 P心LC)的rC角dddd动tPt(L量定rC 理PL)
LC
ri
Fi
0
rC
(ri
rC
) F i
M外 rdidLtF i M外
Fi z
x
vi mi
ri ri
求：轮对o轴 J=？ （测定转动惯量J 的实验方法之一）
【解】分别对物体m 和轮
定轴0
R
绳
m v0= 0
看运动、分析力，
设出各量 如图所示。
N
T T
α
th
R·
am
GT
mg
【解】：由动力学关系：
对m： mg T ma
N
T T
对轮： TR J
四个未知量 T ,J , ,a
由运动学关系：
R·
i
1 2
Δ
mi
vi
2
0 ri
vi
i
1 2
Δ
mi
ri
2
物理-刚体运动学
C• R
•
•
A S=2R
随堂练习
[例1]: 在高速旋转的微型电机里，有一圆
柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴 转动。 开始时其角速度为0，经300s 后， 其转速达到 18000r/min。已知转子的角 加速度与时间成正比。 问在这段时间内， 转子转过多少转？
随堂练习
[例2]: 一圆柱体在地面 上沿直线作无滑纯滚动。已
引言：刚体的概念
刚体 (rigid body)
形变可以忽略的固体 各质元相对位置固定的质点系 一种理想化模型
p
C
钢锭
力学第十五讲
刚体运动学
一、刚体运动的概述
1、刚体运动的几种形式
【平动】刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同。
刚体平动
质点运动
一、刚体运动的概述
【转动】刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 定点转动：刚体转动时转轴上仅有一点固定不动。 定轴转动：刚体转动时转轴上至少有两点固定不动。
3个转动自由度。 x
C (x,y,z) y
二、刚体的定轴转动
刚体定轴转动 质心坐标——固定 转轴的方向角——固定 p点绕轴转动的角度：θ
刚体定轴转动只有 一个转动自由度！
刚体中任 一点 P
(t)
x
O
参考
方向
定轴转动 的刚体
二、刚体的定轴转动
1、角位置
刚体定轴转动的运动方程
2、角位移 t dt d
知质心 C 的速度为，υC 圆柱体半径为R ，求边缘
上 A、B、E、D 四点的速度.
υD
υA
υC B
υB
E
瞬心
定点转动
定轴转动
一、刚体运动的概述
第二章 刚体的基本运动
ω
角加速度矢ε
dω d (ωk ) ε εk dt dt
结论：角加速度矢ε为角速度矢ω对时间的一阶导数。 二、点的速度和加速度
点的速度矢
v = ×r 结论：绕定轴转动的刚体内任
M
R
z
O
v = ×r
一点的速度矢等于刚体的角速
度矢与该点矢径的矢积。
r A
点的加速度矢
dv d (ω r ) dω dr a r ω ε r ω v dt dt dt dt at= ×r ——切向加速度
φ(t ) φ(0) ωt
角速度ω（rad/s）与转 速n（r/min）的关系：
ε t2 φ(t ) φ(0) ω(0)t 2
由上述两式消去t得
2 ( t ) (0) 2 [ (t ) (0)] 2
2πn ω 0.1n 60
【例2-1】图示机构中套筒A套在摇杆O2B上并与曲柄 O1A以销钉连接。当O1A转动时通过套筒A带动O2B 杆 左右摆动。设O1A杆长为 r并以匀角速转动。设t=0 时O1A杆位于铅垂位置，写出O2B杆的转动方程并求 出其角速度及角加速度。 O1 【解】1）求O2B杆的转动方程 B 在三角形O1O2A中，由正弦定理知 l A r sin θ sin φ sin[π (φ θ )] φ arct an r l l r cos θ r sin ωt O2 arct an l r cos ωt 2）求O2B杆的角速度
它是一个代数量。
2
弧度/秒，用符号rad/s表示。 若ε与ω同号，表示加 速转动，异号则表示 它是一个代数量，符号规 减速转动。 定与转角符号规定一致。
四、两类特殊转动
大学物理--《刚体》课件
y
f m2 g
B
T1 '
m1 g T1 m1a1
x
T1 R T2 R J
T2 f m2a2
N m2 g 0
f N
a1 a2 a R
1 2 J MR 2
解得:
m1 m2 a g m1 m2 M 2
2 2 J mr 5
r
[例4]一轻绳跨过定滑轮 (可视为圆盘)，绳的两 端分别悬挂质量为m1和m2的物体，且m1<m2。 设滑轮质量为m，半径为r，其转轴上所受的摩 擦力矩为Mr，绳与滑轮间无相对滑动。试求物 体的加速度和绳的张力。 解：受力(矩)分析如图
a
m1 g
T1 m1
a
T2 m2
定轴转动: 转轴固定不动的的转动
平面平行运动:
o 滚动 o'
旋进或进动：
刚体的一般运动: 转动 + 平动
三. 刚体定轴转动的描述
转动平面：垂直于转动轴的平面 转动平面
描述P点的运动
角量：角位移，角速度、角加速度 线量：位移，速度、加速度
P
x
四. 角速度矢量
角速度与线速度的关系
( 1)m2 M 2 T1 m1 g m1 m2 M 2
( 1)m1 M 2 T1 m2 g m1 m2 M 2
[例6]一飞轮的转动惯量为J，在t＝0时的角速 度为0，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的 大小与角速度的平方成正比，比例系数为k
求：(1) 当＝ 0/3时，飞轮的角加速度 =?
二. 定轴转动定律 对Pi：Fi fi mi ai
f m2 g
B
T1 '
m1 g T1 m1a1
x
T1 R T2 R J
T2 f m2a2
N m2 g 0
f N
a1 a2 a R
1 2 J MR 2
解得:
m1 m2 a g m1 m2 M 2
2 2 J mr 5
r
[例4]一轻绳跨过定滑轮 (可视为圆盘)，绳的两 端分别悬挂质量为m1和m2的物体，且m1<m2。 设滑轮质量为m，半径为r，其转轴上所受的摩 擦力矩为Mr，绳与滑轮间无相对滑动。试求物 体的加速度和绳的张力。 解：受力(矩)分析如图
a
m1 g
T1 m1
a
T2 m2
定轴转动: 转轴固定不动的的转动
平面平行运动:
o 滚动 o'
旋进或进动：
刚体的一般运动: 转动 + 平动
三. 刚体定轴转动的描述
转动平面：垂直于转动轴的平面 转动平面
描述P点的运动
角量：角位移，角速度、角加速度 线量：位移，速度、加速度
P
x
四. 角速度矢量
角速度与线速度的关系
( 1)m2 M 2 T1 m1 g m1 m2 M 2
( 1)m1 M 2 T1 m2 g m1 m2 M 2
[例6]一飞轮的转动惯量为J，在t＝0时的角速 度为0，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的 大小与角速度的平方成正比，比例系数为k
求：(1) 当＝ 0/3时，飞轮的角加速度 =?
二. 定轴转动定律 对Pi：Fi fi mi ai
刚体运动学
4.1.1 刚体和刚体的定轴转动
1. 刚体 在外力作用下，形状和大小都不发生变化
的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质 点组） 说明：⑴ 刚体是理想模型
⑵ 刚体模型是为简化问题引进的． 刚体的运动形式：平动、转动．
平动：刚体中所有 点的运动轨迹都保持完 全相同．
态一特样点，：如各：v点、运a动 状等
(a)
1
2 < 1
2
<0
(b)
定轴转动的特点
(1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动
平面；
(2)
任一质点运动
v, a 不同；
,,
均相同，但
(3) 运动描述仅需一个坐标．
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的 =常量时，刚体做匀变
速转动．
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
. r P’(t+dt) . d P(t)
x
角速度矢量
lim d
t t0
dt
方向: 右手螺旋方向
z
>0
z
<0
刚体定轴转动(一 维转动)的转动方向可 以用角速度的正、负 来表示.
角加速度 d
dt
2
1 2 > 1
>0
2 2 (π 6)
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5π
π 6
6)rad
s1
4π
rad
s1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
1. 刚体 在外力作用下，形状和大小都不发生变化
的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质 点组） 说明：⑴ 刚体是理想模型
⑵ 刚体模型是为简化问题引进的． 刚体的运动形式：平动、转动．
平动：刚体中所有 点的运动轨迹都保持完 全相同．
态一特样点，：如各：v点、运a动 状等
(a)
1
2 < 1
2
<0
(b)
定轴转动的特点
(1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动
平面；
(2)
任一质点运动
v, a 不同；
,,
均相同，但
(3) 运动描述仅需一个坐标．
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的 =常量时，刚体做匀变
速转动．
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
. r P’(t+dt) . d P(t)
x
角速度矢量
lim d
t t0
dt
方向: 右手螺旋方向
z
>0
z
<0
刚体定轴转动(一 维转动)的转动方向可 以用角速度的正、负 来表示.
角加速度 d
dt
2
1 2 > 1
>0
2 2 (π 6)
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5π
π 6
6)rad
s1
4π
rad
s1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
大学物理_第二章_刚体
2rdr
m
R2
2
rdr
(2) 求 d J
利用上题结果 dJ = r2 dm
r 0
(3) 求 J
dr
J
r 2dm
m
Rr2
0
m
R2
2
rdr
1 mR 2 2
J 1 mR 2
2
例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量
对质心轴 （1） dm dx m dx
l
mO
在半径为r、宽度为dr的面积元dS上的质元
0
具有相同的线速度v。则dS上阻力的大小为:
dF f dS f 2 r dr
考虑盘的上下表面，故阻力矩大小为
dM 2 r dF
总阻力矩
R
M dM 0 (2r f 2 r)dr
m
R
0 (2r kv 2 r)dr
与力的作用点的位置和方向都有关。即，只有力矩才
能改变刚体的转动。当M=0时，刚体匀速转动或静止
r
f11 f
f⊥
m
M
r
f
M r f11 f rf11 r f
对转动没影响 M r f r f
大小f：应 M 理 r解f s为 in在方转向动：平沿面r 内f
2
1 3
mL2
又如求均匀圆盘对于通过其边缘一点 O 的平行
轴的转动惯量:
JO JC md2
Jo
1 2
mR2
mR2
3 mR2 2
运动学(刚体简单运动)
刚体的简单运动刚体的定轴转动三定轴转动刚体上点的加速度刚体定轴转动时各点均作圆周运动由自然法知转动刚体内一点的切向加速度大小等于刚体的角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积方向沿圆周的切线方向指向由角加速度决定
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
刚体运动学解析
将矢量OA和OB按平行四边形法则合成矢量OC
• 两个转动在C点产生速度的大小分别为：
v1 r11 v1 2SOCA
v2 r22
v2 2SOCB
r2 r1
v1 v2 S□OBCA
• 两个转动在C点产生速度的方向分别为： ω1 v1 垂直平面向外 ω2 v2 垂直平面向里
v1 和 v2 抵消 C 点不动
OC 即，OC轴长等于ω大小
两步证明 角速度的合成服从平行四边形法则
§3
刚体定轴转动
定轴转动的动力学 与质点动力学相对应
角动量和角速度的关系
v ωr
把刚体看成质点组
J mi ri vi mi ri ω ri
i
i
A B C A C B A BC
mi ri ri ω ri ωri
i
i
令 miri2 I 叫做刚体绕定轴的转动惯量
i
• I 反映刚体质量相对于转轴的分布情况 • 同样质量的刚体，由于形状不同，其转动惯量因而不同
J// = Iω
p = mv
I 对应于m，二者都是惯性大小的量度
如何计算转动惯量？
对于质量连续分布的物体
m d m
若密度为ρ
I r2 d m r2 dV
v1 =ω1×(P到OA的垂直距离) = 2SΔPOA v2 =ω2×(P到OB的垂直距离) = 2SΔPOB
方向：v1 与 v2 反向
v v1 v2 2SPOA 2SPOB 2SPOC
= OC×(P到OC的垂直距离)
比较 v＝ω×(P到OC的垂直距离)
v =OC×(P到OC的垂直距离)
矢量不仅有大小和方 向，还需服从平行四 边形合成法则
《刚体的运动》课件
约束的类型与特点
● 约束类型：固定约束、滑动约束、柔性约束 ● 约束特点：限制刚体运动方向、限制刚体运动范围、影响刚体运动状态 约束的类型与特点
• 约束的类型与特点 ● 固定约束：限制刚体在某一方向的移动，使刚体在空间保持相对位置不变。 ● 滑动约束：允许刚体在某一方向上移动，但限制其转动。 ● 柔性约束：通过弹性元件限制刚体的运动，具有非线性特性。 约束的类型与特点
自由度与约束的关系
自由度的定义：刚体在空间中的自由程度，由其质心位置和转动轴决定。
约束的类型：固定约束、滑动约束、柔性约束等，对刚体的自由度产生限制。
自由度与约束的关系：刚体受到约束后，其自由度会相应减少，但仍保持其整体运动状态。
实际应用：在机械设计、航空航天等领域，需要合理考虑刚体的自由度与约束关系，以确保 系统的稳定性和性能。
刚体的平面运动 可以分解为平移 和绕某点的转动
平面运动中，刚 体的形状和大小 保持不变
平面运动中，刚 体的重心轨迹是 平面曲线
平面运动的特点
刚体平面运动定义
刚体平面运动分类
刚体平面运动性质
刚体平面运动实例
平面运动的合成与分解
平面运动的定义与分类 平面运动的合成：矢量法与解析法 平面运动的分解：定轴转动与平移 平面运动的应用实例
定轴转动的特点
刚体绕某一轴线 转动
转动轴固定不动
刚体上任意一点 到转动轴的距离 相等
刚体上任意两点 间的连线在转动 过程中保持不变
定轴转动的角速度和角加速度
角速度定义：刚 体绕定轴转动的 角速度是单位时 间内转过的弧度 （或角度）
角加速度定义： 刚体绕定轴转动 的角加速度是单 位时间内转过的 弧度/秒^2（或 角度/秒^2）
大学物理-刚体运动学
转轴
F1
0
F
F2
z
r轴
F
F轴
r
P
转动平面
o
o
r
ˆ M z k r F
将F分解成 F1和F2。 F1与转轴平行， F2在转动平面内。 F1对转动无贡献，仅考虑 F2， M r F2 （有效力矩）。 F1 M 、 , 对转动无贡献。
a R （ 4 ）
18
例 : 一半径为 R，质量为 m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌 面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停 止转动？ 0 解：由于摩擦力不是集中作用于 某一点，而是分布在整个圆盘与 桌子的接触面上，其力矩的计算 e d 要用积分法。 dr
例:一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时， 它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。 答: 并不是一定为零。 如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用 两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个 力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致， 故合力矩不为零。
合外力矩M
合内力矩=0
I－转动惯量
11
Fi ri sini fi ri sinθi Δmi ri
2
Fi ri sini fi ri sinθi (Δ mi ri )
2 i i i
合外力矩M
合内力矩=0
I－转动惯量
M=I —转动定理
d ω d2 θ 2 dt dt
6j 8i
5
刚体运动学综合例题: 一飞轮转速n =1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t =50 s后静止。 (1)求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； 0 (2)求制动开始后t =25s 时飞轮的角速度 ； 解(1)初角速度为0 =21500/60=50 rad/s，方向如图
F1
0
F
F2
z
r轴
F
F轴
r
P
转动平面
o
o
r
ˆ M z k r F
将F分解成 F1和F2。 F1与转轴平行， F2在转动平面内。 F1对转动无贡献，仅考虑 F2， M r F2 （有效力矩）。 F1 M 、 , 对转动无贡献。
a R （ 4 ）
18
例 : 一半径为 R，质量为 m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌 面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停 止转动？ 0 解：由于摩擦力不是集中作用于 某一点，而是分布在整个圆盘与 桌子的接触面上，其力矩的计算 e d 要用积分法。 dr
例:一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时， 它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。 答: 并不是一定为零。 如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用 两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个 力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致， 故合力矩不为零。
合外力矩M
合内力矩=0
I－转动惯量
11
Fi ri sini fi ri sinθi Δmi ri
2
Fi ri sini fi ri sinθi (Δ mi ri )
2 i i i
合外力矩M
合内力矩=0
I－转动惯量
M=I —转动定理
d ω d2 θ 2 dt dt
6j 8i
5
刚体运动学综合例题: 一飞轮转速n =1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t =50 s后静止。 (1)求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； 0 (2)求制动开始后t =25s 时飞轮的角速度 ； 解(1)初角速度为0 =21500/60=50 rad/s，方向如图
刚体运动知识点总结
刚体运动知识点总结刚体运动是物理学中的一个重要研究领域，它涉及到力学、动力学等多个方面的知识。
在学习刚体运动的过程中，我们需要了解刚体的运动方式、刚体的平动和转动运动、刚体的运动方程、刚体动力学等知识点。
下面将针对这些知识点进行详细的总结和讨论。
一、刚体的运动方式刚体可以进行平动运动和转动运动。
在平动运动中，刚体上所有的点都以相同的速度和相同的方向运动。
在转动运动中，刚体绕着固定轴线旋转，使得刚体上的各个点绕着这个轴线做圆周运动。
刚体的平动运动可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
在匀速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都保持不变；在变速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都在不断地变化。
刚体的转动运动可以分为定轴转动和不定轴转动两种情况。
在定轴转动中，刚体绕着固定的轴线旋转，而在不定轴转动中，刚体绕着移动的轴线旋转。
二、刚体的平动运动在学习刚体的平动运动时，我们通常关心刚体上各点的速度、加速度和位移等动力学量。
1. 速度：刚体上任意一点的速度可以表示为该点的瞬时线速度，即该点的位矢对时间的导数。
刚体上不同点的速度大小和方向可以不同，但它们的速度矢量之间满足相对运动关系。
2. 加速度：刚体上任意一点的加速度可以表示为该点的瞬时线加速度，即该点的速度对时间的导数。
刚体上不同点的加速度大小和方向可以不同，但它们的加速度矢量之间满足相对运动关系。
3. 位移：刚体上任意一点的位移可以表示为该点的位矢的变化量。
刚体上不同点的位移可以通过相对位移关系来描述。
刚体的平动运动可以通过运动方程来描述，其中包含了刚体上不同点的速度、加速度和位移之间的关系。
在解决刚体平动问题时，我们通常会使用牛顿运动定律和动量定理等知识来进行分析和求解。
三、刚体的转动运动在学习刚体的转动运动时，我们需要了解刚体绕着固定轴线旋转的运动规律，以及刚体上各点的角速度、角加速度和角位移等动力学量。
1. 角速度：刚体上任意一点的角速度可以表示为该点的瞬时角位置对时间的导数。
第二章 刚体的位置和姿态.
第二部分运动学运动学是研究物体作机械运动的几何性质，而不涉及引起运动的原因，也就是说，不涉及物体的受力。
物体的机械运动是指物体的空间位置随时间的变化，这种变化具有相对性，即对于不同的参照物这种变化具有不同的描述，因此，选取参考系或称参考基是运动学分析首先要解决的问题。
其次，要研究物体及物体系统（刚体及刚体系）的位置、速度和加速度的变化以及它们在构件及机构中的传递，它们的数学模型如何表达，对这些变量如何分析和计算等。
我们仅仅研究刚体作平面运动的运动学。
第二章刚体的位置和姿态运动学问题是研究物体或物体系统在空间的运动情况，即它或它们的空间形态如何随时间变化，以及它们形态之间的相互关系等等。
为此，我们首先要解决的是，对它或它们的空间形态如何描述的问题。
在《大学物理》课程里，我们已经学习了点的运动，但是物体的运动远比点的运动复杂，因为点只有位置而没有姿态，一个物体可以看作由无数的点组成，在运动过程中各个点的运动一般情况下是不一样的，也就是说，一个物体的运动不能视为一个点的运动。
体育比赛之所以能够吸引数以千万计的目光，是因为大家不仅将运动员在比赛场地的状态视为一个点的运动，更主要的是欣赏他们力量型的或优美型的姿态。
工程结构的运动状态更是如此，图2-0-1是曲柄连杆机构的示意图，我们对曲柄施加一力偶矩使之绕O点转动时，连杆和滑块将产生运动，显然，滑块的运动状态只能是沿滑槽移动，其上各点的运动是一样的，但是，连杆的运动就比滑块复杂，其上各点的运动不一样。
因此我们需要寻找一种方法以描述这些点的位置以及它们相互的位置关系。
为了从点的位置的描述过渡到刚体的形态的描述，我们将采用与《大学物理》中不同的方法。
图 2-0-1 曲柄连杆机构第一节 点的空间运动及其描述（一） 点的空间位置首先建立一个惯性参考基，我们用矢径A r表示点A 在惯性参考基中的空间位置，该矢量从参考基基点O 出发到达点A ，方向指向A ， 如图2-1-1所示。
《刚体运动教学》课件
耦合应用
在实际生活中，许多机械运动都可以看作是平动与转动的耦合，如机床的工作台、汽车的 转向等。因此，掌握平动与转动的耦合对于机械设计和制造等领域具有重要意义。
03
刚体的动力学
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态改变与力之间的关系。
详细描述
牛顿第二定律指出，一个物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与它的质 量成反比。公式表示为F=ma，其中F是力，m是质量，a是加速度。
空航天、车辆工程等领域。
06
刚体运动的实例分析
刚体的平面运动分析
平面运动定义
刚体在平面内运动，其上任意 一点都位于同一个平面上。
平面运动分类
根据刚体上任意一点是否做圆 周运动，分为刚体的平面滚动 和刚体的平面定轴转动。
平面运动特点
刚体上任意一点的速度方向与 该点所在平面的法线方向垂直 ，刚体上任意一点的加速度方 向沿该点的切线方向。
自由运动分类
根据刚体的运动状态，分为自由转 动和自由平动。
自由运动特点
自由转动中，刚体上任意一点绕通 过该点的某一轴线做匀角速度的转 动；自由平动中，刚体上任意一点 做匀速直线运动。
THANK YOU
感谢聆听
刚体的定轴转动
刚体在运动过程中，其上任意两点始 终保持相同的角速度和角加速度，这 种运动称为定轴转动。
02
刚体的运动形式
平动
01 02
平动定义
刚体上任意两点始终保持相同的距离，即刚体在运动过程中，其上任意 两点的连线在运动过程中始终保持长度不变，这种运动称为刚体的平动 。
平动特点
刚体在平动过程中，其上任意一点的运动轨迹都是一个点，即刚体的平 动不会改变其上任意一点的相对位置。
在实际生活中，许多机械运动都可以看作是平动与转动的耦合，如机床的工作台、汽车的 转向等。因此，掌握平动与转动的耦合对于机械设计和制造等领域具有重要意义。
03
刚体的动力学
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态改变与力之间的关系。
详细描述
牛顿第二定律指出，一个物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与它的质 量成反比。公式表示为F=ma，其中F是力，m是质量，a是加速度。
空航天、车辆工程等领域。
06
刚体运动的实例分析
刚体的平面运动分析
平面运动定义
刚体在平面内运动，其上任意 一点都位于同一个平面上。
平面运动分类
根据刚体上任意一点是否做圆 周运动，分为刚体的平面滚动 和刚体的平面定轴转动。
平面运动特点
刚体上任意一点的速度方向与 该点所在平面的法线方向垂直 ，刚体上任意一点的加速度方 向沿该点的切线方向。
自由运动分类
根据刚体的运动状态，分为自由转 动和自由平动。
自由运动特点
自由转动中，刚体上任意一点绕通 过该点的某一轴线做匀角速度的转 动；自由平动中，刚体上任意一点 做匀速直线运动。
THANK YOU
感谢聆听
刚体的定轴转动
刚体在运动过程中，其上任意两点始 终保持相同的角速度和角加速度，这 种运动称为定轴转动。
02
刚体的运动形式
平动
01 02
平动定义
刚体上任意两点始终保持相同的距离，即刚体在运动过程中，其上任意 两点的连线在运动过程中始终保持长度不变，这种运动称为刚体的平动 。
平动特点
刚体在平动过程中，其上任意一点的运动轨迹都是一个点，即刚体的平 动不会改变其上任意一点的相对位置。
大学物理课件-刚体
三. 關於J 的幾條規律
d
A C
1. 對同一軸 J 具有可疊加性
J = Ji Jz mi ri2
i
2. 平行軸定理
J Jc md 2
說明 1.由平行軸定律可見，在各平行的轉軸之中， 通過質心的轉軸對應的轉動慣量最小。 2.兩個都不通過質心的平行轉軸之間不存 在類似關係。
如求均勻圓盤對於通過其邊緣一點 O 的平行軸 的轉動慣量:
对质心轴
（1） dm dx m dx
（2）dJ
x 2dm
l x
2
dx
A
L
x C
m x
0
dx
（3） Jc
dJ
2 L
x 2
dx
m
1
ml 2
2
L 2
12
对边缘轴
J
A
1 3
ml 2
对质心轴
L 2
Jc
1 12
ml 2
發現：1、品質相同，形狀相同，轉軸不同，J不同。
2、
JA
Jc
m(
l )2 2
推廣
JO JC md 2
Jo
1 mR2 2
mR2
3 mR2 2
m
C
O
R
2.1.4 定軸轉動剛體的角動量 化整為零，積零為整
質元 mi 對剛體轉軸上任意一
點 O 的角動量為
Li
ri mivi
(d
ri ) mivi
沿轉軸的分量為
Liz miviri miri2
L
Liz
ri mi
ri
O
的 力矩
Mi ri Fi (ri 沿轉軸分量 Miz
d)
《刚体运动学》课件
总结词
理解定轴转动的定义和性质是掌握刚体运动学的基础。
详细描述
定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋转的刚体运动，具有角速度和角加速度两个重要的物理量。刚体在定轴转动 时，其上任意一点都以相同的角速度和角加速度绕轴线旋转。
定轴转动的合成与分解
总结词
掌握定轴转动的合成与分解是解决刚体动力学问题的关键。
详细描述
合成与分解的方法
通过选择合适的参考系和坐标系，利用矢量合成 和分解的方法进行计算。
刚体的定点平面运动
定义：刚体绕某一固定点在平 面内作圆周运动或椭圆运动。
描述参数：刚体的位置、速度 和加速度可以用定点、角位移 、角速度和角加速度等参数描
述。
动力学方程：根据牛顿第二定 律和刚体的转动定理，建立定 点平面运动的动力学方程。
在物理学中的应用
01
力学
刚体运动学是力学的一个重要分支，用于研究刚体的运动规律和力学性
质。通过刚体运动学分析，可以了解物体在不同力场作用下的运动状态
和变化规律。
02
天体物理学
在天体物理学中，刚体运动学用于研究天体的运动和演化。通过对天体
的刚体运动进行分析，可以了解天体的轨道、速度和加速度等运动参数
要点二
分解
空间运动的分解是指将一个复杂的运动分解为若干个简单 的运动。
刚体的定点空间运动
定义
刚体的定点空间运动是指刚体绕一个固定点在空间中的 旋转运动。
性质
定点空间运动具有旋转轴、旋转角速度和旋转中心等物 理量，其运动状态可以通过这些物理量来描述。
06
刚体运动学的应用
在工程中的应用
机械工程
刚体运动学在机械工程中广泛应用于机构分析和设计，如连杆机构、凸轮机构和齿轮机构等。通过刚体运动学分析， 可以确定机构的运动轨迹、速度和加速度，优化机构设计。
理解定轴转动的定义和性质是掌握刚体运动学的基础。
详细描述
定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋转的刚体运动，具有角速度和角加速度两个重要的物理量。刚体在定轴转动 时，其上任意一点都以相同的角速度和角加速度绕轴线旋转。
定轴转动的合成与分解
总结词
掌握定轴转动的合成与分解是解决刚体动力学问题的关键。
详细描述
合成与分解的方法
通过选择合适的参考系和坐标系，利用矢量合成 和分解的方法进行计算。
刚体的定点平面运动
定义：刚体绕某一固定点在平 面内作圆周运动或椭圆运动。
描述参数：刚体的位置、速度 和加速度可以用定点、角位移 、角速度和角加速度等参数描
述。
动力学方程：根据牛顿第二定 律和刚体的转动定理，建立定 点平面运动的动力学方程。
在物理学中的应用
01
力学
刚体运动学是力学的一个重要分支，用于研究刚体的运动规律和力学性
质。通过刚体运动学分析，可以了解物体在不同力场作用下的运动状态
和变化规律。
02
天体物理学
在天体物理学中，刚体运动学用于研究天体的运动和演化。通过对天体
的刚体运动进行分析，可以了解天体的轨道、速度和加速度等运动参数
要点二
分解
空间运动的分解是指将一个复杂的运动分解为若干个简单 的运动。
刚体的定点空间运动
定义
刚体的定点空间运动是指刚体绕一个固定点在空间中的 旋转运动。
性质
定点空间运动具有旋转轴、旋转角速度和旋转中心等物 理量，其运动状态可以通过这些物理量来描述。
06
刚体运动学的应用
在工程中的应用
机械工程
刚体运动学在机械工程中广泛应用于机构分析和设计，如连杆机构、凸轮机构和齿轮机构等。通过刚体运动学分析， 可以确定机构的运动轨迹、速度和加速度，优化机构设计。
《刚体力学》课件
刚体的转动
总结词
刚体的转动是指刚体绕着某一定点（称为转动中心）的旋转运动。
详细描述
刚体的转动是指刚体绕着某一定点（称为转动中心）的旋转运动。在转动过程中，刚体上任意一点绕着转动中心 作圆周运动，且该圆周运动的半径与刚体上该点到转动中心的距离相等。转动刚体的角速度、角加速度等都是标 量，其方向与转动方向相关。转动刚体的速度和加速度都是矢量，其方向垂直于转动平面。
《刚体力学》ppt课件
目录
• 刚体运动学 • 刚体动力学 • 刚体的平衡 • 刚体的转动惯量 • 刚体的角动量
01
刚体运动学
刚体的平动
总结词
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点在同一直线上，且该直线与该刚体的转动轴平行 。
详细描述
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点在同一直线上，且该直线与该刚体的转动轴平行 。平动刚体的运动轨迹是一条直线或一个平面图形，其上任意两点的相对位置保持不变。平动刚体的 速度和加速度都是矢量，其方向与平动刚体的移动方向一致。
描述了刚体绕质心转动的动量表现，是刚体动力学中的一个重要概念。
详细描述
动量矩是描述刚体绕质心转动的动量表现的一个物理量。在刚体动力学中，动量 矩是一个非常重要的概念，它与力矩、角速度和时间等物理量密切相关。根据动 量矩的定义，刚体的动量矩等于刚体的质量与角速度的乘积。
刚体的动能
总结词
描述了刚体运动过程中能量的表现形式 ，是刚体动力学中的一个重要概念。
刚体的定点运动
总结词
刚体的定点运动是指刚体绕着通过定点（称为动点） 且垂直于定直线（称为转动轴）的轴线的旋转运动。
详细描述
刚体的定点运动是指刚体绕着通过定点（称为动点） 且垂直于定直线（称为转动轴）的轴线的旋转运动。 在定点运动过程中，刚体上任意一点绕着动点作圆周 运动，且该圆周运动的半径与刚体上该点到动点的距 离相等。定点运动的角速度、角加速度等都是标量， 其方向垂直于转动平面。定点运动的刚体上任意一点 的线速度和角速度都与该点到转动轴的距离成正比。
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vB
D 90o B
90o O 1
vA OA 2l
AB
vA 2 AC 3
O
45o
vB BC AB l
vD DC AB 5 l 2
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作业
2—1 2－5 2－7 2－9
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S O
vr
C
P
vO
ω
vO
Page 16
当OC
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vO
时,vC 0
– 选瞬心C为基点时有 图形上各点速度分布 如同图形绕C作定轴 转动一样
vP r
P
vP
C
– 平面图形的瞬时运动为绕瞬心的瞬时转 动，其连续运动为绕一系列瞬心的转动
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AB
C
AB
vA 3 AC 3
vB AB BC
vA
O 45°
A 45°
B
30°
vB
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速度投影定理
vB cos30 v A cos15
cos15 vB v A cos30
vA
A
150
0
vB v A AB AB
vB xB R sin 2 R sin
3 2 6 R 6
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例2
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯 滚动。轮心速度为vO 。 求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。
C
B
O vO A
D
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A B
vA
vB
C
vB
B
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速度投影定理
vB vA vr vr 0 vB 0 vA 0
图形上任意两点的速度矢量在两点联线 上的投影相等 速度投影定理反映了刚体中两点间距离 不变的特性。
O
30
B
vB
能否由速度投影定理求得刚体的角速度？
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直接求导法
R sin 2 R sin
R cos 2 R cos
A
AB
O
R
2R
B
AB 2 cos 3 2 cos 3
vB
xB R cos 2 R cos
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vO
vO
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vAO A
瞬心法
圆轮与地面接触点A为速度瞬心 vO ＝ R
C
vO R
B
O vO
D
vA 0 ,
v B 2v0
vC 2v0 , v D 2v0
A
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例3 轮系
已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径r (只滚不滑), 曲柄角速度。 求：行星轮上M点速度。
vB vA vr sin 75 sin 60 sin 45
sin 75 vB v A sin 60
AB
45
30
sin 45 vr v A sin 60
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vr 3 AB AB 3
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瞬心法
AC C为AB杆的速度瞬心， 3R
刚体平面运动的简化
作平面运 动的刚体
Y0
S
固定平面
O0
X0
刚体上过点A并垂直于平面2的直线，其上A1、 A2、…各点的运动与点A相同。 刚体的平面运动可简化为平面图形S 在自身 平面内的运动！
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平面运动的分解
过图形S上一点O（基点）作平动坐标系OXY R R0 r 物理解释：图形上P点的 Y0 S 运动可以分解为随基点的平 Y 动（牵连运动）及绕基点的 P 定轴转动（相对运动） r R O X 平动 — 依赖于基点 X0 R0 转动快慢 — 与基点无关 O0
优点：把复杂运动分解为简单运动（平动、 定轴转动），物理意义更清楚。
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平面运动的运动方程
设OXY是平动坐标系 Oxy是与刚体固结的转动坐标系
则刚体平面运动方程为
Y
Y0 S
xo xo (t ) yo yo (t )
(t )
O0
O
X0
X
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v A
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例1 曲柄滑块机构
已知 曲柄滑块机构的R,。 求 图示瞬时(位置)的 vB , AB 。
A
O
R
45
0
30
0
B
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解
基点法
AB杆作平面运动，选A为基点 vA R
vB v A AB rAB v A vr
回顾
圆轮作纯滚动时，曾有如下结论： （1）CM与vM垂直 （2）最高点P处vP＝2u，且与地面平行
P
vM M O
vP
u
当时是用求导的方 法得到复杂的表达 式，然后再简化得 出此结论。 现在利用瞬心法， 接触点C点为瞬心， 自然得出上述结论。
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C
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瞬时速度中心的几种求法
X
X0
共有5个可能的未知数（vP、 vO 、 ） 只有2个标量方程
必须已知5个中的3个量才能求解！
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瞬心法
– 图形上速度为零的点C称为瞬时速度中心， 即vC = 0。 – 平面运动刚体的瞬心一定存在并且是唯一的 OP vO
v C vO vr
v C vO vr vO OC
Page 27
解
基点法
ω k
vO R i vr ω rOA Ri
O点的速度已知，取O点为基点。
vO vO i
对A点： vA vO vr
vA 0
对B点： vB vO vr
vBO
B vO O
C
D
vr ω rOB vO j vB vO (i j )
M
O
A
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解 瞬心法
M
v A ( R r ) vA R r r r
O
A
vM CM 2( R r ) vM CM
vM
M
vA
A
C
O
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例4 四连杆机构
已知： O1 B l , AB l , AD DB
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3 2
以及角速度ω
求：1. B和D点的速度； 2. AB杆的角速度。
A D
90o
B
45o
90o O1
O
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解
瞬心法
AB C*
vA
A
图中的几何关系：
OA＝ 2l , AB BC 3 l , 2
AC 3 2 l , DC 3 5 l 2 4
第2章
第1节 刚体的运动形式
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刚体的简单运动 — 平动
• 刚体运动过程中，其上任一条直线始终保持与 其自身原位置平行。
虽然刚体上每点都做圆周运动，但是刚体做平动
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刚体的简单运动 — 定轴转动
• 刚体运动过程中，刚体或其延拓部分上有一直线 始终保持不动。
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刚体的运动 — 平面运动
• 刚体运动过程中，其上所有点的运动始终平行于某 一固定平面。
固定 不动
平面运 动
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刚体的运动 — 定点运动
• 刚体运动过程中，刚体或其延拓部分上 某一点始终保持不动。
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刚体平面运动中各点的速度分析
基点法 瞬心法
速度投影定理
直接求导
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基点法
R R0 r
Y0
相对运动是定轴转动
r r
vP vO r
Y
vr
Байду номын сангаас
O
S
O0
vO
r
vP vO
(1) 已知一点的速度及刚 体的角速度 vA A (2) 已知两点的速度方 vA 向，且互不平行 C vA vB
A B
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瞬时速度中心的几种求法
(3) 两点速度方向平行且垂 直于这两点的连线
vB B
A
vA
A
C
vA
(4) 瞬时平动， v A vB
Page 7
第2章