第1讲 变化率与导数、导数的计算

第1讲变化率与导数、导数的计算

[学生用书P39]

一、知识梳理

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）

Δx＝lim

Δx→0

Δy

Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝

x0，即f′(x0)＝lim

Δx→0Δy

Δx

＝lim

Δx→0

f（x0＋Δx）－f（x0）

Δx

．

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝lim

Δx→0f（x＋Δx）－f（x）

Δx

为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0

f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)．

4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

常用结论

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．

3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

二、习题改编

1．(选修2-2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x

D ．－x cos x

解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .

2．(选修2-2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2

x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．

解析：因为y ′＝

2

（x ＋2）

2，所以y ′|x ＝－1＝2. 故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0

3．(选修2-2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3

t (t 是时间，s 是位移)，则该

机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．

解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3

t 2，

所以s ′|t ＝2＝4－34＝13

4.

答案：134

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率． ( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( )

(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、易错纠偏 常见误区

|Ｋ(1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误；

(2)不会用方程法解导数求值．

1．已知函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

3，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝[sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3 2．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________． 解析：因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫

π2sin x ＋cos x ， 所以f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos π2－sin π2

， 即f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ， f ′(x )＝－cos x －sin x .

故f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－cos π4－sin π4

＝－ 2.

[学生用书P40]

导数的计算(多维探究) 角度一 根据求导法则求函数的导数

求下列函数的导数：

(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝sin x

2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln x

x 2＋1；

(5)y ＝ln 2x －1

2x ＋1

.

【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.

(2)因为y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－1

2sin x ， 所以y ′＝⎝⎛⎭⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－1

2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.

(4)y ′＝

（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′

（x 2＋1）2

＝1x （x 2

＋1）－2x ln x （x 2＋1）2

＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2

. (5)y ′＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝[ln(2x －1)－ln(2x ＋1)]′＝

[ln(2x －1)]′－[ln(2x ＋1)]′＝

12x －1·(2x －1)′－12x ＋1·(2x ＋1)′＝22x －1－22x ＋1＝4

4x 2－1

.