热点问题3 不等式(含多元变量)(学生版)

热点问题3 基本不等式(含多元变量)

一、填空题

1．已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值为________．

2．设实数,x y 满足2210x xy +-=，则22x y +的最小值是________．

3．已知y x ,为正实数且满足y x +≤1,则

111++y x 的最小值为________．

4．若不等式xy x 22+≤)(22y x a +对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为________．

5．设∈m R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线03=+--m y mx 交于点(,)P x y ，

则PB PA ⋅的最大值是________．

6．国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值V 美元与其重量ω克拉的平方成正比， 若把一颗钻石切割成重量分别为m ，n (m ≥n )的两颗钻石，且价值损失的百分率为

原有价值－现有价值原有价值

×100%(切割中重量损耗不计)，则价值损失的百分率的最大值为________．

7．已知0,0>>y x ，且满足y x y x xy 4++=

，则y x 4+的最小值为________．

8．已知c b a ,,为正实数且满足c b +≥a ，则

b

a c c

b ++的最小值为________．

二、解答题

9．已知0,0>>y x 且满足8=++y x xy ，求x + y 的最小值．

变式1．已知0,0<

变式2．已知y x ,0>≥3且满足8=++y x xy ，求x + y 的最小值．

10．已知函数22cos )(+-=x x f ，是否存在正整数m ，使得)0()2

()(f x

mf x f >-对任意的 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

恒成立? 若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．

11．有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上 的车距d m 与车速v km/h 和车长l m 的关系满足2

2l l kv d +=(k 为正的常数)．假定车身长为 4 m ，当车速为60 km/h 时，车距为2.66个车身长．

（1）写出车距d m 关于车速v km/h 的函数关系式；

（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

12． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，n c ＝1

1n n b b +，记数列{}n c 的前n 项和n T ．若对*n ∈N ，n T ≤)4(+n k 恒成立，求实数k 的取值范围．