2019年河南省郑州市高考数学二模试卷

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2019届河南省郑州市高三第二次质量检测数学(文)试卷及解析

2019届郑州市高三第二次质量检测数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由全集U＝R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合．【详解】∵又由全集U＝R，∴＝{y|y≤0 }，则A∩（∁U B）＝{x|≤0 }=．故选：B．2.已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的定义与运算性质，求出z的值．【详解】∵，则2z=i(1-z)，设z=a+bi，代入2z=i(1-z)中，有2a+2bi=i(1-a-bi)=i-ai+b=b+(1-a)i，∴2a=b且2b=1-a，解得a=，b=∴z i．则，故选：C．3.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合程序的运行过程及功能，可得答案．【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，结合程序框图的功能可知：n的值为多项式的系数，由2019，2018，2017…直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入n＝2019﹣i．故选：B．4.已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆截得的线段长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】。

河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)

河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·金华期末) 已知集合 1，2，，，则的元素个数为A . 2B . 3C . 4D . 82. （2分）设是虚数单位，则等于（）A . 1B . 4C . 2D .3. （2分）已知，则与共线的向量为（）A .B .C .D .4. （2分）在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）已知变量x,y满足，则z=3x-2y的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 66. （2分）“x=0”是“x=0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件7. （2分）(2017·东莞模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的s的值是（）A . 7B . 6C . 5D . 38. （2分）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是（）A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④9. （2分）若椭圆和双曲线的共同焦点为F1 ， F2 ， P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）C . 3D . 2110. （2分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·高青开学考) 在△ABC中，已知A=30°，a=8，b= ，则△ABC的面积为（）C . 或16D . 或12. （2分） (2016高一下·益阳期中) 已知平面向量与的夹角为60°，，则=（）A .B .C . 12D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2018·济南模拟) 若点在函数的图象上，则 =________．14. （1分） (2015高二上·广州期末) （题类A）抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，），则a=________．15. （2分） (2016高二上·温州期中) 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是________ cm3 ，该几何体的表面积是________ cm2 ．16. （1分） (2015高一上·深圳期末) 已知函数g（x）= ，则函数f（x）=g（lnx）﹣ln2x的零点个数为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2017高一下·张家口期末) 已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn ，且满足（n+1）an=2Sn （n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=ancos（πan），求数列{bn）的前n项和Tn．18. （15分） (2018高二上·齐齐哈尔月考) 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下： .（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计成绩在分的学生比例.19. （5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB=1，AD=2，AA1=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面A1AE；（Ⅱ）求点A到平面A1ED的距离．20. （5分）(2017·深圳模拟) 已知圆C：（x﹣1）2+y2= ，一动圆与直线x=﹣相切且与圆C外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹T的方程；（Ⅱ）若经过定点Q（6，0）的直线l与曲线T相交于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．21. （10分）(2019·鞍山模拟) 已知函数．（1）当时，求在，（1）处的切线方程；（2）当，时，恒成立，求的取值范围．22. （10分）(2017·内江模拟) 已知在平面直角坐标系xOy中，过点P（1，0）的直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C点的极坐标方程为ρ=﹣4sin（θ﹣）．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若直线l与曲线C交于两点A、B，求|PA|•|PB|的值．23. （5分） (2017高二下·濮阳期末) 若关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a有解，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、答案：略20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

郑州市2019年高三第二次模拟考试文科数学试题

郑州市2019年高三第二次模拟考试文科数学试题卷2019.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。

【1】已知全集R =U ，}11|{<<-=x x A ，}0|{>=y y B ，则=)(B C A R （）（A ）)01(，- （B ）]01(，- （C ）)10(，（D ）)10[，【2】已知i 是虚数单位，复数z 满足i zz=-12，则=z （）（A ）5 （B ）5 （C ）55（D ）51【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是（）（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）2+=i n【4】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，则它的一条渐近线被圆0622=-+x y x 截得的线段长为（）（A ）23 （B ）3 （C ）223 （D ）23【5】将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）（A ）甲队平均得分高于乙队的平均得分（B ）甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数（C ）甲队得分的方差大于乙队得分的方差（D ）甲乙两队得分的极差相等【6】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是（）（A ）函数)(x g 在区间]32,0[π上为增函数（B ）将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称（C ）点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心（D ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1【7】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。

河南省郑州市2019年高三第二次质量检测理科数学(解析版)

设 CBD ，则 A1BD ABD 45 ，显然 CBD A1BD ，所以 0 22.5 ，
BE 2 3 cos(45 )
BE A1B cos(45 ) 2
3 cos(45 ), BM
cos
cos
6(1 tan ) ，
2 tan 22.5
由 tan 45
1 ，解得 tan 22.5 2 1 ，因为 0 22.5 ，所以 0 tan 2 1，
径，即 2R
(3
2)2 (3
2)2 32 3
3 5,R
5 ，外接球的体积V 4 R3 45
5
．
2
3
2
A
B
D
C
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯
函数”为：设 x R ，用[x] 表示不超过 x 的最大整数，则 y [x] 称为高斯函数．例如：[2.1] 3 ，
．
13．答案：16
解析：设 {an } 的公比为
q
，则
a2 S3
a1q 2 a1(1 q
q2)
7
，所以
2q2
5q
2
0
，解得
q
2
或
q
1 2
，又
因为{an}是单调递增数列，所以 q 2 ， a5 a2q3 16 ．
43
14．已知 cos
3
cos
5
，则
cos
6
．
4
14．答案：
5
2x 3
[3.1] 3 ，已知函数 f (x)
，则函数 y [ f (x)]的值域为（
）
1 2x1

2019届河南省郑州市高三第二次质量检测数学(文)试题(解析版)

【详解】
先根据实数x，y满足的条件画出可行域，如图阴影部分：（含边界）
由的几何意义是可行域内任意一点P与坐标原点连线的斜率，
观察图形可知，当点P在点A处取最小值，由解得A（-1，3）
∴最小值为-3，
当点P在点B处取最大值,由解得B（-2，）,
∴最大值为，
故的取值范围是．
故答案为：．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域．
【详解】
，又 >0，∴ ，∴
∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1；
当x∈[2，）时，y＝[f（x）]＝2．
∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}．
故选D．
【点睛】
本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．
∴2a=b且2b=1-a，解得a= ，b=
∴z i．则，
故选：C．
【点睛】
本题考查了复数的模的定义与复数的乘法运算问题，考查了复数相等的概念，是基础题．
3．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意设向量，的夹角为，将平方运算可得 =120°，再将平方运算可得关于k的一元二次不等式，利用 <0，求解范围即可.
【详解】
设向量，的夹角为，，，，
则 = =1+4-2 =7，
∴ ，∴ =120°，∴ ,
又 ∴ ，即 = 对于任意实数恒成立，∴ 对于任意实数恒成立，

2019年河南省六市高考数学二模试卷（文科）

一、选择麒本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.（5分）已知集合A={x\Q<x<4}.8={血=2〃+1,〃任N*},则AA8等于（A. {1，3}B.{1，2,3}C.（3}D.{1}【解答】解：集合A={M0VxV4},8={血=2〃+1・n€N*）,:.AC\B={3}.故选：C.2.（5分）己知复数z=2+m（KR）,则l（l・i）zl=4.则〃的值为（）A. 2B.±2C.0D.±1【解答】解：Vz=2+tn,A(1-/)z=(1・i)(2+〃i)=(2+")+(u-2)i,由1(1—)d=4.得J(2+a)2+(q-2尸=4.解得〃=±2.故选：B.3.(5分)在平面直角坐标系By中，角a、0的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非仇半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A、8两点，若点A、8的坐标分别为(j.I) 和(一普，则sin(a+p)的值为()247 ?4 A•云 B. C.0 D.-方3 4 424【解答】解：由题意点A、8的坐标分别为(厂了和(一寻，少，可得：sina=§ cosa=3・c34了，sm°=$,cosp= —则sin(a+P)=sinacosp+cosasinp=—故选：B.x>04・（5分）己知A/（・4,0）,N（0.-3）,P Sy）的坐标x,）•满足y>0,则3x+4y<12△PMN面积的取值范围是（）25A.[12,241B.[12.25]C.|6.12]D.血—]x>0【解答】解：由约束条件y>o作出可行域如图・3%+4y<12»4由图可知，当P在。

处时.△PMN面积有最小值为|x3X4=6；当P位于直线3xZy=12在可行域内的部分时，P到"所在直线的距离为d=彗，△PMN面积有最大值为!X5X?=12.L4PMN而积的取值范围是|6>12].故选：C.5.（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生.80后指1980-1989年之间出生.80前指1979年及以前出生.时后从事互联网行业岗位分布囹其他□1.6%A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联阳行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,故A正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%X39.6%=22.176%>20%，互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%.故8正确：在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、9。

河南省郑州市高三第二次质量检测数学(文)试题资料

河南省郑州市2019年高三第二次质量检测数学(文)试题2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷2019.3第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。

【1】已知全集R =U ，}11|{<<-=x x A ，}0|{>=y y B ，则=)(B C A R I （）（A ）)01(，- （B ）]01(，- （C ）)10(，（D ）)10[，【2】已知i 是虚数单位，复数z 满足i zz =-12，则=z （）（A ）5 （B ）5 （C ）55 （D ）51 【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是（）（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）2+=i n【4】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，则它的一条渐近线被圆0622=-+x y x 截得的线段长为（）（A ）23 （B ）3 （C ）223 （D ）23 【5】将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）（A ）甲队平均得分高于乙队的平均得分（B ）甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数（C ）甲队得分的方差大于乙队得分的方差（D ）甲乙两队得分的极差相等【6】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是（）（A ）函数)(x g 在区间]32,0[π上为增函数（B ）将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称（C ）点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心（D ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1【7】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。

2019年河南省郑州一中高考数学二模试卷(理科)

2019年河南省郑州一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知集合2{|450}A x x x =--<，集合{|22}B x x =-<<．则(A B = )A ．{|12}x x -<<B ．{|22}x x -<<C ．{|25}x x <<D ．{|12}x x <<2．（5分）已知复数21((1)iz i i -=+为虚数单位），则(z = ) A ．1122i --B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i + 3．（5分）已知命题p ：方程221ax by +=表示双曲线；命题:0q b a <<．命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等差数列{}n a 各项均为正数，12312a a a ++=，12348a a a =，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n B ．2n +C ．32n -D ．n5．（5分）函数y =( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）已知1F ，2F 分别为椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点．若12||||PF PF 的最大值为3，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B ．12CD．27．（5分）如图所示的程序框图，则输出结果为( )A ．2log 6B ．2log 7C ．3D ．2log 98．（5分）已知函数2,1()1,11log x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪-⎩…，则不等式()1f x …的解集为( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，0](1⋃，2]C ．[0，2]D ．(-∞，0][1，2]9．（5分）将曲线22||||x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ，曲线221x y +=围成的区域记为Ⅱ，曲线221x y +=与坐标轴的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，则( ) A ．121p p +>B ．121p p +<C ．121p p +=D ．12p p =10．（5分）第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有( ) A ．150B ．126C ．90D ．5411．（5分）若关于x 的方程|1|2019sin(1)0x a x a -+-+=只有一个实数解，则实数a 的值()A ．等于1-B ．等于1C ．等于2D ．不唯一12．（5分）已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为20π，则三棱柱的体积为( ) A．B ．12C．D ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题纸上． 13．（5分）已知实数x ，y 满足线性约束条件21210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………，则23x y -的最小值为．14．（5分）已知||1a =，3(,b =，|3|2a b +=，则b 在a 方向上的投影为． 15．（5分）将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，得到cos y x =的图象，则ϕ的最小值为． 16．（5分）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001)，将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =，)，记()2na f n =，则20182182018(2)(21)(22)(21)f ff f +++++⋯+-= 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数211()sin sin 222x f x x =+-，ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）求f （A ）的取值范围；（2）若C A >，f （A）0=，且2sin sin A B =，ABC ∆的面积为2，求b 的值． 18．（12分）如图所示，在多面体BC AEFD -中，矩形BCFE 所在平面与直角梯形AEFD 所在平面垂直，//AE DF ，AE EF ⊥，G 为CD 的中点，且1AE BE BC ===，2DF =．（1）求证：//AG 平面BCFE ；（2）求直线AB 与平面AGE 所成角的正弦值．19．（12分）某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．问两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．（设各局胜负相互独立，各选手水平互不相同．)20．（12分）已知点G 在抛物线2:4C x y =的准线上，过点G 作抛物线C 的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．（1）证明：1212x x y y +为定值；（2）当点G 在y 轴上时，过点A 作直线AM ，AN 交抛物线C 于M ，N 两点，满足AM MN ⊥．问：直线MN 是否恒过定点P ，若存在定点，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数2()()2ax f x xlnx a x a R =-+-∈．（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（2）若2a =，k N ∈，2()22g x x x =--，且当2x >时不等式(2)()()k x g x f x -+<恒成立，试求k 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1(4x tt y t =+⎧⎨=--⎩为参数），以原点O 为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 0a ρρθ-+=．（1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形；（2）曲线1C 与两坐标轴的交点分别为A 、B ，点P 在曲线2C 运动，当曲线1C 与曲线2C 相切时，求PAB ∆面积的最大值．23．已知函数()|21||1|f x x x =++-．（1）解不等式()2f x >；（2）记函数()()()g x f x f x =+-，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，求实数k 的取值范围．2019年河南省郑州一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知集合2{|450}A x x x =--<，集合{|22}B x x =-<<．则(A B = )A ．{|12}x x -<<B ．{|22}x x -<<C ．{|25}x x <<D ．{|12}x x <<【解答】解：{|15}A x x =-<<； {|12}AB x x ∴=-<<．故选：A ．2．（5分）已知复数21((1)iz i i -=+为虚数单位），则(z = ) A ．1122i --B ．1122i -C ．1122i -+D ．1122i + 【解答】解：21(1)iz i -=+， 2(1)1z i i ∴+=-， 21zi i ∴=-，则2(1)1z i i i -=-=+， 1122z i ∴=--，则1122z i =-+．故选：C ．3．（5分）已知命题p ：方程221ax by +=表示双曲线；命题:0q b a <<．命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：方程221ax by +=表示双曲线等价于0ab <，即命题:0p ab <，由0ab <推不出0b a <<，充分性不具备，由0b a <<能推出0ab <，必要性具备，故命题p 是命题q 的必要不充分条件，故选：B ．4．（5分）已知等差数列{}n a 各项均为正数，12312a a a ++=，12348a a a =，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2nB ．2n +C ．32n -D ．n【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由12312a a a ++=，可得：2312a =，解得24a =，又12348a a a =，1312a a ∴=，又138a a +=，1a ∴，3a 是方程28120x x -+=的两根，又等差数列{}n a 各项均为正数， 12a ∴=，36a =，2d ∴=故数列{}n a 的通项公式为：22(1)2n a n n =+-=．故选：A ．5．（5分）函数y =( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：由()f x 的解析式得()()0f x f x -+=，()f x ∴是奇函数图象关于原点对称，当1x =时，f （1）1=<，排除A ，当0x >时，()f x ==，函数在(0,)+∞上单调递减，故可排除B ，D 故选：C ．6．（5分）已知1F ，2F 分别为椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点．若12||||PF PF 的最大值为3，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B ．12CD【解答】解：P 到椭圆C 焦点的最大距离为a c +，最小距离为a c -，又12||||PF PF 的最大值为3， ∴3a c a c +=-，12e ∴=．故选：B ．7．（5分）如图所示的程序框图，则输出结果为( )A ．2log 6B ．2log 7C ．3D ．2log 9【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log 9S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯值，由于2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log 9S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯234567899log 923456782lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg =⨯⨯⨯⨯⨯⨯==．故选：D ．8．（5分）已知函数2,1()1,11log x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪-⎩…，则不等式()1f x …的解集为( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，0](1⋃，2]C ．[0，2]D ．(-∞，0][1，2]【解答】解：当1x …时，()1f x …即为：2log 1x … 解得12x 剟当1x <时，()1f x …，即为：111x-… 解得0x …．综上可得，原不等式的解集为(-∞，0][1，2] 故选：D ．9．（5分）将曲线22||||x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ，曲线221x y +=围成的区域记为Ⅱ，曲线221x y +=与坐标轴的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，则( ) A ．121p p +>B ．121p p +<C ．121p p +=D ．12p p =【解答】解：由方程22||||x y x y +=+，得：22111()()2220,0x y x y ⎧-+-=⎪⎨⎪⎩厖，或者22111()()2220,0x y x y ⎧++-=⎪⎨⎪⎩剠，或者22111()()2220,0x y x y ⎧+++=⎪⎨⎪⎩剟，或者22111()()2220,0x y x y ⎧-++=⎪⎨⎪⎩厔，曲线22||||x y x y +=+围成的区域Ⅰ、曲线221x y +=围成的区域Ⅱ、四边形ABCD 围成的区域Ⅲ，如图：可知区域Ⅰ的面积为222ABCD S ππ+=+正方形；区域Ⅱ的面积为21ππ⨯=；区域Ⅲ的面积22=；∴由几何概率公式得：12p ππ=+，222p π=+，故121p p +=．故选：C ．10．（5分）第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有( ) A ．150B ．126C ．90D ．54【解答】解：记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一：133318C A ⨯=种； ②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1︒丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有222332323236A C A ⨯⨯=⨯⨯⨯=种； 2︒甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：2112332272A C C A ⨯⨯⨯=种；由分类计数原理，可得共有183672126++=种，故选：B ．11．（5分）若关于x 的方程|1|2019sin(1)0x a x a -+-+=只有一个实数解，则实数a 的值()A ．等于1-B ．等于1C ．等于2D ．不唯一【解答】解：令1t x =-，则关于x 的方程|1|2019s i n (1)0xa x a -+-+=只有一个实数解等价于关于t 的方程||2019sin 0t a t a ++=只有一个实数解，若0a …，则由sin 1t -…及2019x y =为增函数，得：||02019sin 201910t a t a a a ++-+=>…，方程无解，故0a <，令||()2019t f t a =+，()sin g t a t =，则()y f t =在0t =时取最小值1a +，又函数()y g t =的图象关于点(0,0)对称，当1a =-时，两函数()y f t =、()y g t =的图象有且只有一个交点，此而满足题意，当1a <-时，两函数()y f t =、()y g t =的图象有两个交点，此而不合题意，当10a -<<时，两函数()y f t =、()y g t =的图象没有交点，此而不合题意，所以1a =-为所求，故选：A ．12．（5分）已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为20π，则三棱柱的体积为( )A ．B ．12C ．D ．18【解答】解：为三棱柱111ABC A B C -的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a ，高为h ，截面圆的半径为r ，球半径为R ，球O 的面积为20π，2420R ππ=，解得R =，底面和侧面截得的圆的大小相同， ∴222()()22a h +=，∴a ，①又222()2h R +=，②由①②得a =2h =，三棱柱的体积为22V ⨯=．故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题纸上．13．（5分）已知实数x ，y 满足线性约束条件21210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………，则23x y -的最小值为 35 ．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，令23z x y =-，则2133y x z =-，作出直线2:3l y x =，平移直线l ，由图可得，当直线经过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时23z x y =-取得最小值，由2121x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31(,)55C ，23z x y ∴=- 的最小值是21323555⨯-⨯=．故答案为：35．14．（5分）已知||1a =，3(,b =，|3|2a b +=，则b 在a 方向上的投影为 12- ．【解答】解：||1a =，3(,b =，6||b = |3|2a b +=，∴22694a a b b ++=， ∴12a b =-∴则b 在a 方向上的投影为：1||2a b a =-故答案为：12-．15．（5分）将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，得到cos y x =的图象，则ϕ的最小值为43π ．【解答】解：将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，可得sin()6y x πϕ=--的图象；又因为得到cos sin()2y x x π==+的图象，sin()sin()26x x ππϕ∴+=--，∴226k πππϕ=--，k Z ∈，223k πϕπ∴=-，则当1k =时，ϕ取得最小值为43π，故答案为：43π． 16．（5分）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001)，将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =，)，记()2na f n =，则20182182018(2)(21)(22)(21)f ff f +++++⋯+-= 20183 【解答】解：依题意201820182017201602120202022018a =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯=，可以理解为在201812⨯后的2018个数位上，有2018选择0，20182018(2)2f ∴=，2018201820171021120202122017a +=⨯+⨯+⋯⋯+⨯+⨯=，可以理解为在201812⨯后的2018个数位上，有2017选择0，20182017(21)2f ∴+=，根据计数原理，在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于20172共有20172018C 个，同理在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于20162的共有20162018C 个，⋯⋯在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于02的有02018C 个．所以201820182018201900112018201820182018201820182018(2)(21)(22)(21)222(12)3f f f f C C C +++++⋯+-=⨯+⨯+⋯⋯+⨯=+=．故填：20183．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数211()sin sin 222x f x x =+-，ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）求f （A ）的取值范围；（2）若C A >，f （A ）0=，且2sin sin A B =，ABC ∆的面积为2，求b 的值．【解答】解：（1）2111cos sin 1()sin sin )22222224x x x f x x x π-=+-=+-=-．由题意0A π<<，则(44A ππ-∈-，3)4π，可得：sin()(4A π-∈，1]．可得：f （A ）的取值范围为1(2-．（2)04A π-=， 4A k ππ∴-=，k Z ∈， 4A k ππ∴=+，k Z ∈．又A 为锐角，4A π∴=．由余弦定理及三角形的面积得：22221sin 224cos 42a b bc b c a bc ππ=⎧⎪⎪=⎨⎪+-⎪=⎩，解得2b =．方法二：32sin sin()44C C ππ=-+，且C A >，可得2C π=，则ABC ∆为等腰直角三角形，由于：2122b =，所以：2b =．18．（12分）如图所示，在多面体BC AEFD -中，矩形BCFE 所在平面与直角梯形AEFD 所在平面垂直，//AE DF ，AE EF ⊥，G 为CD 的中点，且1AE BE BC ===，2DF =．（1）求证：//AG 平面BCFE ；（2）求直线AB 与平面AGE 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取CF 的中点H ，连结EH ．H 是CF 的中点，G 是CD 的中点．//GH FD ∴，12GH FD =．又//AE DF ，12AE DF =． //AE GH ∴，AE GH =．∴四边形AGHE 是平行四边形，//AG EH ∴．又AG ⊂/平面EFCB ，EH ⊂平面EFCB ．//AG ∴平面EFCB ．（2）平面BEFC ⊥平面AEFD ，CF EF ⊥，平面AEFD ⋂平面EFCB EF =， CF ∴⊥平面AEFD ．CF EF ∴⊥，CF FD ⊥． //AE DF ，AE EF ⊥，EF DF ∴⊥．以F 为原点，分别以FE 、FD 、FC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，则(1E ，0，0)，(0F ，0，0)，(0D ，2，0)，(0C ，0，1)，(1A ，1，0)，(1B ，0，1)，(0G ，1，1)2，∴(1AG =-，0，1)2，(0AE =，1-，0)．设平面AGE 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则0n AG n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令2z =，得(1n =，00，2)．又(0AB =，1-，1)，cos ,n AB ∴<>==∴直线AB 与平面AGE ．19．（12分）某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．问两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．（设各局胜负相互独立，各选手水平互不相同．)【解答】解：甲乙两人对决，若甲更强，则其胜率12p >．采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是： “甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为：2212(1)p p p p =+-，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜二局，由独立性得五局三胜制下甲最终获胜的概率为：323232234(1)(1)p p C p p C p p =+-+-．而2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--． 12p >，21p p ∴>，即五局三胜的条件下甲最终获胜的可能更大． ∴五局三胜制更能选拔出最强的选手．20．（12分）已知点G 在抛物线2:4C x y =的准线上，过点G 作抛物线C 的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．（1）证明：1212x x y y +为定值；（2）当点G 在y 轴上时，过点A 作直线AM ，AN 交抛物线C 于M ，N 两点，满足AM MN ⊥．问：直线MN 是否恒过定点P ，若存在定点，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）法1：抛物线2:4C x y =的准线为:1l y =-，故可设点(,1)G a -，由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ．因为点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在抛物线C 上，所以22112211,44y x y x ==．所以直线GA 的方程为211111()42y x x x x -=-．因为点(,1)G a -，在直线GA 上，所以2111111()42x x a x --=-，即211240x ax --=．同理，可知222240x ax --=．所以1x ，2x 是方程2240x ax --=的两个根，所以124x x =-．又222121212111()14416y y x x x x ===，所以12123x x y y +=-为定值．法2：设过点(,1)G a -，且与抛物线C 相切的切线方程为1()y k x a +=-，由21(),4,y k x a x y +=-⎧⎨=⎩，消去y 得24440x kx ka -++=，由△2164(44)0k ak =-+=，化简得210k ak --=，所以121k k =-．由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ．直线GB 的斜率为2212k x =．所以12114x x =-，即124x x =-．又222121212111()14416y y x x x x ===，所以12123x x y y +=-为定值．（2）存在，由（1）知2212124x x x x =-=-=-．不妨设12x x <，则12x =-，22x =，即(2,1)A -，(2,1)B ．设设(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y ．则2112244M x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得111()()4()M M M x x x x y y -+=-，所以直线AM 的斜率为1244M M AM x x x k +-==，同理可得24N AN x k -=，因为AM MN ⊥，所以22144N M AM AN x x k k --==-，整理得2()200M N M N x x x x -++=，又，①又因为因为224,4M M NN x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得()()4()M N M N M N x x x x y y -+=-，从而可得直线MN 的斜率为4M NMN x x k +=，所以直线MN 的方程为2()44M N MM x x x y x x +-=-，化简可得4()M N M N y x x x x x =+-，将①代入上式得4()2()20M N M N y x x x x x =+-++，整理得4(5)()(2)M N y x x x -=+-．所以直线MN 过定点(2,5)，即P 点的坐标为(2,5)．【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．21．（12分）设函数2()()2ax f x xlnx a x a R =-+-∈．（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（2）若2a =，k N ∈，2()22g x x x =--，且当2x >时不等式(2)()()k x g x f x -+<恒成立，试求k 的最大值．【解答】解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x lnx ax '=-，令()0f x '=，可得0lnx ax -=，lnx a x∴=，令()lnxh x x =，则由题可知直线y a =与函数()h x 的图象有两个不同的交点， 21()lnxh x x -'=，令()0h x '=，得x e =，可知()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ()max h x h =（e ）1e=，当x 趋向于+∞时，()h x 趋向于零，故实数a 的取值范围为1(0,)e．（2）当2a =时，2()2f x xlnx x x =-+-，(2)()()k x g x f x -+<，即(2)k x xlnx x -<+，因为2x >，所以2xlnx xk x +<-，令()(2)2xlnx xF x x x +=>-，则242()(2)x lnxF x x --'=-，令()42(2)m x x lnx x =-->，则2()10m x x'=->，所以()m x 在(2,)+∞上单调递增， m （8）242840ln lne =-<-=，3(10)6210620m ln lne =->-=，故函数()m x 在(8,10)上唯一的零点0x ，即00420x lnx --=，故当02x x <<时，()0m x <，即()0F x '<，当0x x <时，()0F x '>，所以0000000004(1)2()()222x x x lnx x x F x min F x x x -++====--，所以02x k <，因为0(8,10)x ∈，所以0(4,5)2x∈，所以k 的最大值为4．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1(4x tt y t =+⎧⎨=--⎩为参数），以原点O 为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 0a ρρθ-+=．（1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形；（2）曲线1C 与两坐标轴的交点分别为A 、B ，点P 在曲线2C 运动，当曲线1C 与曲线2C 相切时，求PAB ∆面积的最大值．【解答】解（1）曲线1C 化为普通方程为30x y ++=，是一条直线，对于曲线2C ：由cos x ρθ=及222x y ρ+=代入曲线2C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2220x y x a +-+=，即为22(1)1x y a -+=-．当1a <，曲线2C 是以(1,0)当1a =，曲线2C 表示一点(1,0)．当1a >，曲线2C 不存在．（2）由（1）知曲线1C 化为普通方程为30x y ++=，令0x =，3y =-；0y =，3x =-，所以(3,0)A -，(0,3)B -，又由题可知1a <，曲线222:(1)1C x y a -+=-，，解得7a =-，此时222:(1)8C x y -+=，所以11()||221222PAB max S AB R ∆==⨯⨯=，所以PAB ∆面积的最大值为12． 23．已知函数()|21||1|f x x x =++-．（1）解不等式()2f x >；（2）记函数()()()g x f x f x =+-，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）依题意得13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩……，于是得1232x x ⎧-⎪⎨⎪->⎩…或11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪+>⎩或132x x ⎧⎨>⎩…；解得23x <-，或0x >；第21页（共21页）即不等式()2f x >的解集为2{|3x x <-或0}x >；（2）()()()|1||1|(|21||21|)|(1)(1)||(21)(21)|4g x f x f x x x x x x x x x =+-=-+++++---+++--=…，当且仅当(1)(1)0(21)(21)0x x x x -+⎧⎨-+⎩……，即1[2x ∈-，1]2时取等号，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，则|1|()4min k g x -<=，所以414k -<-<，解得35k -<<，即实数k 的取值范围为(3,5)-．。

2019年河南省六市高考数学二模试卷(理科)

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（）A．416B．432C．448D．464 4．（5分）若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）A．7B．6C．5D．45．（5分）设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在6．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14B．﹣9C．9D．147．（5分）设变量x，y满足不等式组，则z＝|x﹣y﹣4|的最大值为（）A．B．C．D．68．（5分）函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．9．（5分）设实数a，b，c分别满足，blnb＝1，3c3+c＝1，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c10．（5分）在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝sin2x的图象与直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（）A．﹣2B．C．0D．113．（5分）已知tan（x）＝2，x是第三象限角，则cos x＝．14．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率．15．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，2）作直线l的垂线，垂足H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是．16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin A sin B﹣6sin2B＝0．（1）求的值；（2）若cos C，求sin B的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△P AB为等边三角形，平面P AB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：经计算，样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≥0.6826；②p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≥0.9544；③p（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断M设备的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ的零件或直径大于等于μ+2σ的零件认定为是“次品”，将直径小于等于μ﹣3σ的零件或直径大于等于μ+3σ的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数ξ的数学期望．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E 交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x（2x﹣1），g（x）＝ax﹣a（a∈R）．（1）若y＝g（x）为曲线y＝f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2＝4x．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l 的倾斜角．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（D）A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的虚部为（B）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（A）A．416B．432C．448D．4644．（5分）若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（B）A．7B．6C．5D．45．（5分）设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（A）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在6．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（D）A．﹣14B．﹣9C．9D．147．（5分）设变量x，y满足不等式组，则z＝|x﹣y﹣4|的最大值为（D）A．B．C．D．68．（5分）函数f（x）的大致图象为（C）A．B．C．D．9．（5分）设实数a，b，c分别满足，blnb＝1，3c3+c＝1，则a，b，c的大小关系为（B）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【解答】解；因为，所以a，又因为blnb＝1＞0，所以lnb＞0，所以b＞1，又因为f（x）＝3x3+x﹣1在R上为增函数，又f（1）＝3＞0，f（）1＜0，又f（c）＝0，由函数零点定理可得：＜＜，即b＞c＞a，10．（5分）在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（C）A．B．C．D．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP的方程为：y（x﹣a），x＝0时，y，E（0，），A（﹣a，0），则AE的方程为：y（x+a），则M（﹣c，），M是线段QF的中点，可得2•（），即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e．故选：C．11．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则（C）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则：a2＝a1+a1+1×1＝3＝1+2，a3＝a1+a2+1×2＝6＝1+2+3，a n＝1+2+3+…+n，所以：，所以：，＝2（），．12．（5分）已知函数f（x）＝sin2x的图象与直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（B）A．﹣2B．C．0D．1【解答】解：由题意得直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）过定点（，0），且斜率k＞0，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，所以x3+x1＝π；x2，f′（x）＝2cos2x，则切线方程过点（x1，sin2x1），（x2，sin2x2），所以2（2x3﹣π）cos2x3＝2sin2x3，，而（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（x3）tan（2x3）（π﹣2x3）cot2x3．13．（5分）已知tan（x）＝2，x是第三象限角，则cos x＝．14．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率．【解答】解：从八卦中任取两卦，共有28种取法，若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有1种取法．当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有3×3＝9种取法．所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9＝10种．则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P，15．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，2）作直线l的垂线，垂足H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是．【解答】解：连接HF，因为点M在抛物线y2＝4x上，所以由抛物线的定义可知|MH|＝|MF|，所以△MHF为等腰三角形，所以∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F（1，0），H（﹣1，，），所以HF的中点为（0，），所以∠FMH的角平分线的斜率为．16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为24．【解答】解：由三视图还原原几何体如图所示，在长宽高分别为6，3，4的长方体中，A1E＝D1F＝2，BG＝CH＝1，三视图所对应的几何体是多面体AEG﹣DHF，该组合体是由一个三棱锥和一个四棱锥组成的组合体，其体积：V＝V E﹣AGHD+V H﹣EFD．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin A sin B﹣6sin2B＝0．（1）求的值；（2）若cos C，求sin B的值．【解答】解：（1）因为sin2A+sin A sin B﹣6sin2B＝0，sin B≠0，所以（）26＝0，得2或3（舍去）．由正弦定理得2．（2）由余弦定理得cos C．①将2，即a＝2b代入①，得5b2﹣c2＝3b2，得c b．由余弦定理cos B，得：cos B，则sin B．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△P AB为等边三角形，平面P AB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）因为AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，又平面P AB⊥平面ABCD，且平面P AB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面P AB，（1分）又AQ⊂平面P AB，所以BC⊥AQ，（2分）因为Q为PB中点，且△P AB为等边三角形，所以PB⊥AQ，（3分）又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC．（4分）解：（2）取AB中点为O，连接PO，因为△P AB为等边三角形，所以PO⊥AB，由平面P AB⊥平面ABCD，因为PO⊂平面P AB，所以PO⊥平面ABCD，（5分）所以PO⊥OD，由AB＝2BC＝2CD＝4，∠ABC＝90°，可知OD∥BC，所以OD⊥AB．以AB中点O为坐标原点，分别以OD，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．（6分）所以A（0，﹣2，0），D（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），B（0，2，0），则（2，2，0），（﹣2，0，2），（0，﹣2，0），因为Q为PB中点，所以Q（0，1，），由（1）知，平面PBC的一个法向量为（0，3，），（7分）设平面PCD的法向量为（x，y，z），由，取z＝1，得（，，），（9分）由cos＜，＞．（11分）因为二面角B﹣PC﹣D为钝角，所以，二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．（12分）9．为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：经计算，样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≥0.6826；②p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≥0.9544；③p（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断M设备的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ的零件或直径大于等于μ+2σ的零件认定为是“次品”，将直径小于等于μ﹣3σ的零件或直径大于等于μ+3σ的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数ξ的数学期望．【解答】解：（1）p（m﹣s＜X＜m+s）＝p（82.8＜X＜87.2）＝0.8＞0.6826p（m﹣2s＜X＜m+2s）＝p（80.6＜X＜89.4）＝0.94＜0.9544p（m﹣3s＜X＜m+3s）＝p（78.4＜X＜91.6）＝0.98＜0.9974，因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．（2）由题意可知，样本中次品个数为6，突变品个数为2，“突变品”个数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），可得ξ的分布列：EY＝012．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E 交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m＝0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2＝1相切，可得：，即m2+1＝n2，联立消去y得．＞，，，所以，，，．四边形当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．21．已知函数f（x）＝e x（2x﹣1），g（x）＝ax﹣a（a∈R）．（1）若y＝g（x）为曲线y＝f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），设切点为（m，n），由题意可得a＝e m（2m+1），又n＝am﹣a＝e m（2m﹣1），解方程可得，a＝1或4；22．在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2＝4x．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l 的倾斜角．【解答】解：（1）∵，代入y2＝4x，∴ρsin2θ﹣4cosθ＝0（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，把直线l的参数方程代入抛物线方程得：t2sin2α﹣4cosα•t﹣8＝0，∴△＝16cos2α+32sin2α＞0，∴t1+t2，t1t2，则|AB|＝|t1﹣t2|4，∴，∴或．。

2019届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(文)试题(解析版)

2019届河南省郑州市高三第二次质量预测数学（文）试题（解析版）一、单选题1．已知集合(){}{}2A |log 31,|02x R x B x R x =∈-≤=∈≤≤，则A B ⋃= ( ) A. []0,3 B. []1,2 C. )[0 ,3 D. []1,3 【答案】C【解析】集合(){}2A |log 31x R x =∈-≤ {}=x|1x<3,≤ {}|02B x R x =∈≤≤，则)A B [0 ,3⋃=. 故答案为：C. 2．设21iz i=+，则z 的共轭复数为( ) A. 1i + B. 1i - C. 2i + D. 2i - 【答案】B 【解析】211iz i i==++, z 的共轭复数为1i -. 故答案为：B.3．命题“[]21,2,320x x x ∀∈-+≤”的否定为( ) A. []21,2,320x x x ∀∈-+> B. []21,2,320x x x ∀∉-+>C. []20001,2,320x x x ∃-+>D. []20001,2,320x x x ∃∉-+>【答案】C【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选C. 4．已知函数()()3sin 22f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,下列说法错误的是( ) A. 函数()f x 最小正周期是π B. 函数()f x 是偶函数 C. 函数()f x 图像关于04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D. 函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数【答案】D【解析】函数()3sin 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos2x =,故函数是偶函数，最小正周期为π，当,044x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故函数()f x 图像关于04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，因为函数的减区间为,,2k k k z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故D 不正确.故答案为：D.5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学。

2019年河南省六市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2019年河南省六市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={（x，y）|y=x+1，x∈Z}，集合B={y|y=2x，x∈Z}，则集合A∩B等于（）A. B. C. D.2.若复数z满足（3-4i）z=|3-4i|，则z的虚部为（）A. B. C. 4 D.3.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（）A. 416B. 432C. 448D. 4644.若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）A. 7B. 6C. 5D. 45.设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A. 仅有一个B. 有有限多个C. 有无限多个D. 不存在6.已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A. B. C. 9 D. 147.设变量x，y满足不等式组，则z=|x-y-4|的最大值为（）A. B. C. D. 68.函数f（x）=的大致图象为（）A.B.C.D.9.设实数a，b，c分别满足，b lnb=1，3c3+c=1，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF 的中点，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D. 11.在数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则=（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=sin2x的图象与直线2kx-2y-kπ=0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1-x2）tan（x2-2x3）=（）A. B. C. 0 D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tan（x+）=2，x是第三象限角，则cos x=______．14.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率______．15.抛物线y2=4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，2）作直线l的垂线，垂足H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是______．16.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin A sin B-6sin2B=0．（1）求的值；（2）若cos C=，求sin B的值．18.如图，四棱锥P-ABCD，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=2BC=2CD=4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B-PC-D的余弦值．19.为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ-σ＜X＜μ+σ）≥0.6826；②p（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≥0.9544；③p（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断M设备的性能等级．（2）将直径小于等于μ-2σ的零件或直径大于等于μ+2σ的零件认定为是“次品”，将直径小于等于μ-3σ的零件或直径大于等于μ+3σ的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数ξ的数学期望．20.已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21.已知函数f（x）=e x（2x-1），g（x）=ax-a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2=4x．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x-1|+|2x+m|（m∈R）．（1）若m=2时，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x-3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题可得：集合A是点集，集合B是数集，所以A∩B=∅．故选：D．由题可得：集合A是点集，集合B是数集，由交集概念即可得解．本题主要考查了集合的表示及交集运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵（3-4i）z=|3-4i|，∴z==．∴z的虚部为：．故选：B．整理（3-4i）z=|3-4i|得：z=，由复数的基本概念得答案．本题主要考查了复数的模及复数的除法运算，还考查了复数的有关概念，考查计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：样本间隔为2400÷30=80，设首个号码为x，则第三．第四个号码为x+160，x+240，则x+160+x+240=2x+400=432，得2x=32，x=16，则第6组抽到的号码为16+80×5=400+16=416，故选：A．先求出样本间隔，设出首个号码x，建立方程组求出x，利用系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，根据样本间隔，结合条件求出首个号码是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{a n}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=-11，a n=a1+（n-1）d=-11+2（n-1）=2n-13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和S n取最小值时，n=6．故选：B．由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，故选：A．设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，即可得出结论．本题考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6.【答案】D【解析】解：如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：；；∴=；∴=，，；∴．故选：D．可分别以直线AC，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出点A，B，C，D的坐标，进而求出点E的坐标，从而得出向量的坐标，这样进行数量积的坐标运算即可求出的值．考查建立平面直角坐标系，通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及向量数乘的几何意义，数量积的坐标运算．7.【答案】D【解析】解：作出不等式组表示的平面区域如下：作出直线l：x-y-4=0，当l往上平移时，x-y-4变小，当直线l经过点B（，）时，x-y-4最大，当直线l经过点C（1，3）时，x-y-4最小．即：1-3-4≤x-y-4≤，所以-6≤x-y-4≤-，所以，所以z=|x-y-4|的最大值为6．故选：D．作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求得-6≤x-y-4≤-，问题得解．本题主要考查了利用线性规划知识求目标函数的最值，考查了数形结合思想及转化能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：函数f（x）=，当x=0时，y=-3，排除选项A，B，D．即可判断选项C正确，故选：C．利用特殊值对应点的坐标排除选项，判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．9.【答案】B【解析】解；因为，所以a=，又因为blnb=1＞0，所以lnb＞0，所以b＞1，又因为f（x）=3x3+x-1在R上为增函数，又f（1）=3＞0，f （）=-1＜0，又f（c）=0，由函数零点定理可得：，即b＞c＞a，故选：B．由对数不等式得求法得：blnb=1＞0，所以lnb＞0，所以b＞1，由函数的零点定理得：因为f（x）=3x3+x-1在R上为增函数，又f（1）=3＞0，f（）=-1＜0，又f（c）=0，由函数零点定理可得：，得解．本题考查了解对数不等式及函数的零点定理，属中档题．10.【答案】C【解析】解：可令F（-c，0），由x=-c，可得y=±b =±，由题意可设P（-c，），B（a，0），可得BP的方程为：y=-（x-a），x=0时，y=，E（0，），A（-a，0），则AE的方程为：y=（x+a），则M（-c，-），M是线段QF的中点，可得2•（-）=，即2a-2c=a+c，即a=3c，可得e==．故选：C．利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则：a2=a1+a1+1×1=3=1+2，a3=a1+a2+1×2=6=1+2+3，…，a n=1+2+3+…+n=，所以：，所以：=，=2（），=，=．故选：C．首先利用赋值法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.【答案】B【解析】解：由题意得直线2kx-2y-kπ=0（k＞0）过定点（，0），且斜率k＞0，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，所以x3+x1=π；x2=，f′（x）=2cos2x，则切线方程过点（x1，sin2x1），（x2，sin2x2），所以2（2x3-π）cos2x3=2sin2x3，，而（x1-x2）tan（x2-2x3）=（-x3）tan （-2x3）=（π-2x3）cot2x3=-．故选：B．求出直线恒过的定点，利用函数的导数求出切线方程，转化求解表达式的值即可．直线与曲线相切一般要应用三点，一是曲线在切点处的导数是切线的斜率，二是切点即在曲线上也在切线上，三是没有切点要设切点．本就用到了上面三点，然后再配求所求式子的结构．13.【答案】【解析】解：因为tan（x+）=2，所以=2，解得：tanx=，即：sinx=cosx，又sin2x+cos2x=1，所以cos2x=，又x是第三象限角，所以cosx=-．故答案为：-．由两角和的正切公式即可求得tanx=，结合sin2x+cos2x=1，即可求得cos2x=，问题得解．本题主要考查了两角和的正切公式及同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：从八卦中任取两卦，共有=28种取法，若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有1种取法．当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有3×3=9种取法．所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9=10种．则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P=，故答案为：由图可得：三根都是阳线的有一卦，三根都是阴线的有一卦，两根阳线一根阴线的有三卦，两根阴线一根阳线的有三卦，利用组合数可得基本事件总数，分类利用计算原理求得符合要求的基本事件个数为10个，问题得解．本题主要考查了组合计数及分类思想，考查古典概型概率计算公式，属于中档题．15.【答案】【解析】解：连接HF，因为点M在抛物线y2=4x上，所以由抛物线的定义可知|MH|=|MF|，所以△MHF为等腰三角形，所以∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F（1，0），H（-1，），所以HF的中点为（0，），所以∠FMH的角平分线的斜率为=．故答案为：．由抛物线定义可知|MH|=|MF|，进而可推断出∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，利用斜率的两点式即可得到结论．在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用．抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|=d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．16.【答案】24【解析】解：由三视图还原原几何体如图所示，在长宽高分别为6，3，4的长方体中，A1E=D1F=2，BG=CH=1，三视图所对应的几何体是多面体AEG-DHF，该组合体是由一个三棱锥和一个四棱锥组成的组合体，其体积： V=V E-AGHD +V H-EFD=．故答案为：24．首先确定几何体的空间结构特征，然后将其分割之后求解其体积即可．本题考查求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，训练了利用分割补形法求解多面体的体积，是中档题． 17.【答案】解：（1）因为sin 2A +sin A sin B -6sin 2B =0，sin B ≠0，所以（）2+ -6=0，得 =2或=-3（舍去）．由正弦定理得 ==2．（2）由余弦定理得cos C ==．① 将=2，即a =2b 代入①，得5b 2-c 2=3b 2，得c = b ．由余弦定理cos B =，得：cos B ==，则sin B = =．【解析】（1）由已知可得（）2+-6=0，解方程可得=2，由正弦定理得=2．（2）由已知及余弦定理可求c=b ，进而可求cosB 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】证明：（1）因为AB ∥CD ，∠BCD =90°，所以AB ⊥BC ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD =AB ，所以BC ⊥平面PAB ，（1分）又AQ ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AQ ，（2分）因为Q 为PB 中点，且△PAB 为等边三角形，所以PB ⊥AQ ，（3分）又PB ∩BC =B ，所以AQ ⊥平面PBC ．（4分）解：（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为△PAB 为等边三角形，所以PO ⊥AB ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，因为PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，（5分）所以PO ⊥OD ，由AB =2BC =2CD =4，∠ABC =90°，可知OD ∥BC ，所以OD ⊥AB ．以AB 中点O 为坐标原点，分别以OD ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ．（6分）所以A （0，-2，0），D （2，0，0），C （2，2，0），P （0，0，2 ），B （0，2，0），则 =（2，2，0）， =（-2，0，2 ）， =（0，-2，0），因为Q 为PB 中点，所以Q （0，1，），由（1）知，平面PBC 的一个法向量为 =（0，3，），（7分）设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，取z =1，得 =（，，），（9分）由cos ＜，＞=== ．（11分）因为二面角B -PC -D 为钝角，所以，二面角B -PC -D 的余弦值为．（12分）【解析】（1）推导出AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面PAB ，进而BC ⊥AQ ，再求出PB ⊥AQ ，由此能证明AQ ⊥平面PBC ．（2）取AB 中点为O ，连接PO ，推导出PO ⊥AB ，PO ⊥平面ABCD ，OD ⊥AB ．以AB 中点O 为坐标原点，分别以OD ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，利用向量法能求出二面角B-PC-D 的余弦值．该题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19.【答案】解：（1）p （m -s ＜X ＜m +s ）=p （82.8＜X ＜87.2）=0.8＞0.6826p （m -2s ＜X ＜m +2s ）=p （80.6＜X ＜89.4）=0.94＜0.9544p （m -3s ＜X ＜m +3s ）=p （78.4＜X ＜91.6）=0.98＜0.9974，因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．（ 2）由题意可知，样本中次品个数为 6，突变品个数为 2，“突变品”个数ξ的可能取值为 0，1，2， P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，可得ξ的分布列：EY =0×+1×+2×=．【解析】（1）利用正态分布列的概率计算公式即可得出．（ 2）由题意可知，样本中次品个数为 6，突变品个数为 2，“突变品”个数ξ的可能取值为 0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出ξ的分布列与数学期望．本题考查了正态分布列的概率计算公式、超几何分布列的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．△ ＞，△，△，所以，，，四边形==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．【解析】（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）f′（x）=e x（2x-1）+2e x=e x（2x+1），设切点为（m，n），由题意可得a=e m（2m+1），又n=am-a=e m（2m-1），解方程可得，a=1或4；（2）函数f（x）=e x（2x-1），g（x）=ax-a由题意知存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=ax-a的下方，∵f′（x）=e x（2x-1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜-时，f′（x）＜0，当x＞-时，f′（x）＞0，∴当x=-时，f（x）取最小值-2，当x=0时，f（0）=-1，当x=1时，f（1）=e＞0，直线y=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，故-a＞f（0）=-1且f（-1）=-3e-1≥-a-a，解得≤a＜1．【解析】（1）求出导数，设出切点（m，n），求得切线的斜率，由切线的方程，可得a=e m（2m+1），又n=am-a=e m（2m-1），解方程可得a的值；（2）函数f（x）=e x（2x-1），g（x）=ax-a，问题转化为存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=ax-a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得-a＞f（0）=-1且f（-1）=-3e-1≥-a-a，解关于k的不等式组可得．本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值、最值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．22.【答案】解：（1）∵ ，代入y2=4x，∴ρsin2θ-4cosθ=0（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，把直线l的参数方程代入抛物线方程得：t2sin2α-4cosα•t-8=0，∴△=16cos2α+32sin2α＞0，∴t1+t2=，t1t2=-，则|AB|=|t1-t2|==4，∴，∴或．【解析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程；（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，根据弦长公式，即可求解．本题考查普通方程与极坐标方程的转化，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.【答案】解：（1）若m=2时，|x-1|+|2x+2|≤3，当x≤-1时，原不等式可化为-x+1-2x-2≤3解得x≥-，所以，当-1＜x＜1时，原不等式可化为1-x+2x+2≤3得x≤0，所以-1＜x≤0，当x≥1时，原不等式可化为x-1+2x+2≤3解得x≤，所以x∈Φ，综上述：不等式的解集为；（2）当x∈[0，1]时，由f（x）≤|2x-3|得1-x+|2x+m|≤3-2x，即|2x+m|≤2-x，故x-2≤2x+m≤2-x得-x-2≤m≤2-3x，又由题意知：（-x-2）min≤m≤（2-3x）max，即-3≤m≤2，故m的范围为[-3，2]．【解析】（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．（2）已知条件转化为即|2x+m|≤2-x，即-x-2≤m≤2-3x，即可求解实数m的取值范围．本题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．。

2019年河南省郑州市二模数学试卷

2019年河南省郑州市二模数学试卷（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 如表是郑州市2019年1月1日零点到三点的天气情况，从零点到三点最高温度与最低温度差是（） A ．2℃B ．3℃C ．4℃D ．5℃2. ）A ．B ．C ．D ．3. 下列运算正确的是（）A ．-3a 2·2a 3=-6a 6B ．6a 6÷(-2a 3)=-3a 2C ．(-a 3)2=a 6D ．(ab 3)2=ab 64. 如图，一把直尺的边缘AB 经过一块三角板DCB 的直角顶点B ，交斜边CD 于点A ，直尺的边缘EF 分别交CD ，BD 于点E ，F ，若∠D =60°，∠ABC =20°，则∠1的度数为（） A ．25°B ．40°C ．50°D ．80°5. 某校九年级“经典咏流传”朗诵比赛中，有15名学生参加比赛，他们比赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的统计量是（） A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差6. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =4 cm ，BC =3 cm ．动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为12cm/s ，点Q 的速度为1 cm/s ，点Q 移动到1A BCDEF点C 后停止，点P 也随之停止运动．若使△PBQ 的面积为154cm 2，则点P 运动的时间是（） A ．2 sB ．3 sC ．4 sD ．5 s7. 不等式组23539x x +⎧⎨-<⎩≤的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．8. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：①分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，分别交于M ，N 两点； ②连接MN 分别交AB ，AC 于点E ，F ；③连接DE ，DF ．若BD =8，AF =5，CD =4，则下列说法中正确的是（） A ．DF 平分∠ADC B ．AF =3CFC ．DA =DBD ．BE =109. 如图，弹性小球从点P (0，1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P 1(-2，0)，第2A BCPM NF EDCBA次碰到正方形的边时的点为P2，……，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2 019的坐标是（）A．(0，1) B．(-4，1) C．(-2，0) D．(0，3)10.如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点P从点B出发，沿折线B-A-D-C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．5 B．C．8 D．二、填空题（每小题3分，共15分）11.2-=__________．DCBAP图1图212. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为3:4．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________．13. 若关于x 的一元二次方程29304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是__________． 14. 如图，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，AB =4，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆，半圆恰好经过△ABC 的直角顶点C ，以点D 为顶点，作∠EDF =90°，与半圆分别交于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是_______．15. 在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，E 是AB 边上一点，AE =2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长度为__________．BA BCD E F三、解答题（共75分）16. （8分）先化简，再求值：21122x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中x 是方程x 2-2x =0的根．17. （9分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解九年级家长和学生参与“青少年不良行为的知识”的主题情况，在本校九年级学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下四类情形：A ．仅学生自己参与；B ．家长和学生一起参与；C ．仅家长自己参与；D ．家长和学生都未参与．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查了_______名学生；（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算B 类所对应扇形的圆心角的度数；（3）根据抽样调查结果，估计该年级600名学生中“家长和学生都未参与”的人数．各类情况条形统计图类别A B CD40%各类情况扇形统计图18.（9分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=12，点M为⊙O外一点，且MA，MC分别为⊙O的切线，切点分别为点A，C．点D是两条线段BC与AM延长线的交点．（1）求证：点M是AD的中点；（2）①当CM=_______时，四边形AOCM是正方形；②当CM=_______时，△CDM为等边三角形．19.（9分）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数ayx（a≠0）的图象分别交于点A，C，点A的横坐标为-3，与x轴交于点E(-1，0)．过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，△ABE的面积是2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求四边形ABCD的面积．20.（9分）五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征．某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED），在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.5米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan85°≈11.4）21.（10分）郑州市创建国家生态园林城市实施方案已经出台，到2019年6月底，市区主城区要达到或超过《国家生态园林城市标准》各项指标要求，郑州市林荫路推广率要超过85%．在推进此活动中，郑州市某小区决定购买A，B两种乔木树，经过调查，获取信息如下：如果购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11 400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10 500元．（1）A种树木与B种树木的单价各多少元？（2）经过测算，需要购置A，B两种树木共100棵，其中B种树木的数量不多于A种树木的三分之一，如何购买付款最少？最少费用是多少元？请说明理由．22.（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=6，P A=①线段PB=_________，PC=__________；②直接写出P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系：_______________．（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若动点P满足14PAAB，直接写出PCBC的值：___________．QCPB A图1QCPBA图2备用图CBA23. （11分）如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．点A 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为(10，0)．一条抛物线214y x bx c =-++经过O ，A ，B 三点，直线AB 的表达式为152y x =-+，且与抛物线的对称轴交于点Q ．（1）求拋物线的表达式．（2）如图2，在A ，B 两点之间的抛物线上有一动点P ，连接AP ，BP ，设点P 的横坐标为m ，△ABP 的面积为S ，求出面积S 取得最大值时点P 的坐标．（3）如图3，将△OAB 沿射线BA 方向平移得到△DEF ．在平移过程中，以A ，D ，Q 为顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出此时点E 的坐标（点O 除外）；如果不能，请说明理由．图1图2图3。