期权定价数值方法讲解
期权定价数值方法
期权定价数值方法期权定价是金融学和衍生品定价的重要研究领域之一。
相对于传统的基于解析公式的定价方法，数值方法在期权定价中发挥了重要作用。
本文将介绍几种常用的期权定价数值方法。
第一种方法是蒙特卡洛模拟法。
这种方法通过生成大量的随机路径，从而模拟出期权的未来价格演化情况。
蒙特卡洛模拟法能够处理各种复杂的衍生品，尤其适用于路径依赖型期权的定价。
其基本思想是通过随机游走模拟资产价格的变化，并在到期日计算期权的收益。
蒙特卡洛方法的优点在于简单易懂，适用于任意的收益结构和模型。
缺点是计算复杂度高，需要大量的模拟路径，同时计算结果存在一定的误差。
第二种方法是二叉树模型。
二叉树模型将时间离散化，并用二叉树结构模拟资产价格的变化。
每一步的价格变动通过建立期权价格的递归关系进行计算。
二叉树模型适用于欧式期权的定价，特别是在波动率较低或资产价格较高时效果更好。
二叉树模型的优点在于计算速度快，容易理解，可以灵活应用于各种不同类型的期权。
缺点是对期权到期日的分割存在一定的限制，复杂的期权结构可能需要更多的分割节点。
第三种方法是有限差分法。
有限差分法将连续时间和连续空间离散化，通过有限差分近似式来计算期权价格。
其基本思想是将空间上的导数转化为有限差分的形式，然后通过迭代的方法求解有限差分方程。
有限差分法适用于各种不同类型的期权定价，特别是美式期权。
它是一种通用的数值方法，可以处理多种金融模型。
缺点是计算复杂度高，特别是对于复杂的期权结构和高维度的模型，需要更多的计算资源。
综上所述，期权定价的数值方法包括蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法。
不同的方法适用于不同类型的期权和市场情况。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的数值方法进行期权定价。
期权定价是金融学中一个重要的研究领域，它的核心是确定期权合理的市场价值。
与传统的基于解析公式的定价方法相比，数值方法在期权定价中有着重要的应用。
本文将进一步介绍蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法，并探讨它们的优缺点及适用范围。
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。
近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。
蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。
下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。
蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。
在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。
常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。
然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。
通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。
路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。
路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。
例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。
在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。
此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。
总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。
它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。
首先是欧式期权定价。
欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。
蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。
期权定价数值方法
期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权 利。
期权类型
按行权时间可分为欧式期权和美式期权，按交易场所可分为场内期权和场外 期权。
期权定价模型
Black-Scholes模型
基于无套利原则，通过随机过程和偏微分方程等方法，推导出标的资产价格和波 动率的关系。
二叉树模型
将连续的时间和空间离散化为有限个元素，通过建立线性方程组来求解期权价格。优点是 适用于处理不规则区域和复杂边界条件，精度较高。缺点是对于某些复杂期权或边界条件 ，需要使用高阶元素，计算量较大。
蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Si…
通过随机抽样来模拟期权价格的波动过程，并利用此模拟结果来估算期权价格。优点是适 用于各种类型的期权和边界条件，计算速度快。缺点是对于某些特殊期权或边界条件，需 要设计特定的抽样方法，精度相对较低。
风险中性概率
在蒙特卡洛模拟中，使用风险中性概率来计算标的资产价格在未 来的可能性，该概率将风险中性概率和实际概率联系起来。
估计期权收益
通过模拟标的资产价格路径，可以估计期权的收益，从而得到期 权的预期价格。
蒙特卡洛模拟法的实现步骤
定义参数
确定影响期权价格 的因素，如标的资 产价格、行权价、 剩余期限、波动率 和无风险利率等。
05
偏微分方程法在期权定价 中的应用
偏微分方程的推导
基于无套利原则
通过无套利原则，推导出偏微分方程，该方程描述了资产价格变 化的随机过程，以及投资者对风险和收益的权衡。
风险中性概率
在风险中性概率下，衍生品的价格可以表示为标的资产价格和相 应期限的贴现值之积。
标的资产价格动态
标的资产价格的变化受到多种因素的影响，如市场利率、波动率 、股息等。
第12章 期权定价的数值方法
S it S it De
r it
其中， D 表示红利。
26
因此，我们需要先构造不含红利的价格树图，之 后再加上未来红利的现值。在 it 时刻： ◦ 当 it 时，这个树上每个节点对应的证券价 格为： * j i j
S0 u d j 0,1......i
t pd 12 2 t pu 12 2
2 pm 3
32
基本原理：期权 A 和期权 B 的性质相似，我们 可以得到期权 B 的解析定价公式，而只能得到 期权 A 的数值方法解，这时就可以利用期权 B 解析法与数值法定价的误差来纠正期权 A 的数 值法的定价误差。 用 f B 代表期权 B 的真实价值（解析解），f A ˆ 和 ˆ 表 表示关于期权 A 的较优估计值， f fB A 示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同 样的有限差分过程得到的估计值。
e
r q t
pu 1 p d
e
r q t
相应有
p
d ud
式（ 12.5 ）和（ 12.6 ）仍然成立：
u e d e
t t
21
可通过调整在各个节点上的证券价格，算出期权 价格； 如果时刻 i∆t 在除权日之前，则节点处证券价 格仍为：
为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的时 间段，则上式的近似方程为：
S t t S t (r q )S t t S t t (12.9)
(12.10)
或
或
2 ln S t t ln S t r q t t 2
期权定价的数值方法
随机抽样值
0.52 1.44 －0.86 1.46 －0.69 －0.74
该时间步长中的 股票价值变化 0.236
0.611 －0.329
0.628 －0.262 －0.280
19
（二）、单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟
▪ 蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S所遵循 的路径还是仅仅取决于S的最终价值，都可以使用这一方法。同时， 这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况。
期权定价的数值方法
1
二、基本二叉树方法的扩展
▪ 支付连续红利率资产的期权定价 ▪ 支付已知红利率资产的期权定价 ▪ 已知红利额 ▪ 利率是时间依赖的情形
2
连续红利率资产的期权定价
▪ 当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风 险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q， 因此：
e (rq)t pu (1 p)d
其中
p e(rq)t d ud
u, d表达式仍然适用
3
支付已知红利率资产的期权定价
▪ 若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率（红 利与资产价格之比），只要调整在各个结点上的证券价 格，就可算出期权价格。调整方法如下：
▪ 如果it 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i
S t t S t r qS t t S t t
或
ln
ห้องสมุดไป่ตู้
S
t
t
ln
S
t
r
q
2
2
t
t
S
t
t
S
t exp
r
q
2
2
金融工程学期权定价的数值方法课件
ud
PPT学习交流12来自同样，在风险中性世界中，股票期权未来 价格的期望值按无风险利率贴现的现值必须等 于该期权当前的价格，即
fe rf(T t) p fu (1 p )fd
其中
erf (T t) d p
ud
PPT学习交流
13
例：
假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11 元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于 10%，则一份3个月期以该股票为标的资产，且 执行价格为10.5元的欧式看涨期权的价值是多少？
ud
fd
E S T p S u 1 p S d S 0 e r fT t
f0p fu 1 pfde r fT t
PPT学习交流
11
风险中性定价原理 假定股票的上升概率为p。在风险中性世界 中，股票未来价格的期望值按无风险利率贴现 的现值必须等于该股票目前的价格，因此有
S e r f( T t)u S p d S ( 1 p )
构造无风险组合：
S0 : c :1
因为无风险，则有
u S T c u d S T c d
2 2 1 1 8 0 0.25
S0
c0
uST cu
1rf Tt
c0 0.631068
S 0 c 0 d S T c de rfT t
c0 0.632995
PPT学习交流
2
例：S020;Xc 21;u110%;
7
⒋ 美式期权的两步二叉树定价法
定价的过程从二叉树的末端开始倒推到起 始点，在每个节点上必须检验期权是否会被提 前执行，如果会被提前执行，则以行权收益为 该节点的期权价格，否则按照标准公式计算期 权价格，末端节点的价格均按照欧式期权计算。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
期权定价的数值方法1
S 2
2. BS定价公式可用于欧式期权、美式看涨期权定价。对美式 看跌期权定价只能用二叉树、蒙特卡罗模拟等求出。
3. 二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续 运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间 隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉 树图的末端开始倒推计算出期权价格。
期权定价
作业1
16
1. 列出影响期权价格的6个因素。
期权定价
作业2
17
1. 设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、X3的欧式看涨期 权的价格，其中X3>X2>X1且X3-X2=X2-X1，所有期权的到 期日相同，请证明：
c2 ≤0.5(c1 + c3)
2. 某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为 2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月 后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率 均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧 式看跌期权价格等于多少？
若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用两状 态的二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程
数学意义：用无穷期的二叉树模型来逼近一个标的资产价格连续 变化的期权定价模型
2. 思路：推导出n期的二叉树模型，然后令n趋于无穷
Su4 Su3Su2 SuSu2 SuS
S
S
Sd
Sd
Sd2 Sd2
可能值，直到当前时刻 4. 对美式期权，需在每个结点处进行比较
该结点提前执行时期权的回报 VS 不提前执行时后一结点 期权价值到该点的贴现值
取较大者作为该结点的期权价值
期权定价
8
1. 假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动 率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个 月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值
期权定价的数值方法
期权定价的数值方法小结1.当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。
2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。
从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。
3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。
4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和Crank-Nicolson方法等。
5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。
其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。
6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。
二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。
模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。
蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。
蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。
蒙特卡洛模拟的缺点：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行期权的的定价情形；为了达到一定的精准度，需要大量的模拟运算。
《金融衍生品》课件_第11章_期权定价数值方法
美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权
的价值。
20
美式看跌期权的二叉树定价 (cont.)
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为
五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可
u e t 1.1224
以算出
d e
t
0.8909
4、资产价格随机路径模拟（风险中
性概率测度）
（1）常数波动率模型的离散化和模拟
• 在风险中性世界中，为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
（11.4）
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的
时间段，则上式的离散的近似方程为：
（11.5）
6
（２）GARCH模型模拟
模型的离散化形式：
2、欧式期权蒙特卡罗模拟定价
假设标的资长价格服从波动率为常数的几
何布朗运动。对于欧式期权，只需要模拟出
标的资产到期的分布。如欧式看涨期权，第i
条路径下的支付：
()
为标准正态分布的一个随机抽样,
（11.3）=.源自3、蒙特卡罗模拟方法的适用性
• （1）普通的蒙特卡罗模拟方法不适用于美式
（10.23）
（10.24）
其中,
定义为：
（10.25）
３、Heston模型的离散化和模拟
模型的离散化和模拟
5、GARCH模型下的蒙特卡洛模拟定价
二、二叉树模型
1、二叉树模型原理
假设股票当前价格是S，下一期价格有两种可能 (= u)
和 =(Sd)，风险中性下上升概率是p，下跌概率是1-p。
e r q t d
p
ud
期权定价模型和数值方法
期权及其有关概念
3． 期权旳内在价值 买入期权在执行日旳价值CT为 CT=max(ST －E,0)
式中:E表达行权价；ST表达标旳资产旳市场价。 卖出期权在执行日旳价值PT为 PT=max(E－ ST,0) 根据期权旳行权价与标旳资产市场价之间旳关系，期权可分为价内期权（in the
money）(S > E)、平价期权（at the money）(S = E)和价外期权（out of the money）(S < E)。
4. 珞（Rho）ρ ρ为期权旳价值随利率波动旳敏感度，利率增长，使期权价值变大。
5. 伽玛（Gamma）Γ Γ 表达δ与标旳资产价格变动旳关系。
10.3 B－S公式隐含波动率计算
隐含波动率概念
BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格旳体现式：
式中：
隐含波动率是将市场上旳期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反 推出来旳波动率数值。因为期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间旳 定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权旳实际市场价格作为已知量代入定价 公式，就能够从中解出惟一旳未知量，其大小就是隐含波动率。
10.3. 3 隐含波动率计算程序
环节3： 函数求解。 M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：
%TestImpliedVolatility %市场价格 Price=100; %执行价格 Strike=95; %无风险利率 Rate=0.10; %时间（年） Time=0.25; CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格 PutPrice=7.0; %看跌期权交易价格 %调用ImpliedVolatility函数 [Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)
第4章--期权定价的数值方法课件
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
22
（五）、二叉树方法的一般定价过程
§ 以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期
划分成N个长度为 t 的小区间，令 fij(0iN ,0ji)
表示在时间 it 时第j个结点处的美式看跌期权的价值，
同时用
Suj表di示j 结点
处(i, 的j) 证券价格，可得：
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
27
§ 把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，其价值用
表示S *，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值，
假设在期权有效期内只有一次红利。
S*(it)S(it)
it
(8.9)
S * (i t) S (i t) D e r( i t) it
§ 为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简 单和直观的方法
§ 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式 期权和奇异期权）定价模型的基本手段
§ 对于所有不能给出解析式的期权，都可以 通过二叉树模型给出。
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
3
一、二叉树模型的基本方法
首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔△t，，并假 设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：
14
§ 第二期本来有四种状态，但若规定u=1/d，则第 二、三两种状态为同一结果，可以将其合并，由 期权的定义式
cuu max(0,SuuX)max(0,u2S0X) cud cdumax(0,SudX)max(0,udS0X) cdd max(0,SddX)max(0,d2S0X)
2021/1/24
fer t pfu1pfd
期权定价的数值策略
期权定价的数值策略期权定价是金融衍生品定价中的一项重要内容，通过对期权理论和数学模型的研究分析，可以为投资者提供参考价值。
以下是一种基于数值策略的期权定价方法。
期权定价的数值策略主要是基于蒙特卡洛模拟和二叉树模型。
蒙特卡洛模拟是一种随机模拟方法，通过随机生成期望收益率和价格路径，来估计期权合约的价值。
而二叉树模型则是建立一个二叉树结构，通过向上和向下的浮动来模拟价格变动，计算期权的价值。
在这种数值策略中，首先需要确定期权的标的资产（如股票、商品等）价格的变动方程。
对于股票期权，可以使用几何布朗运动来模拟价格变化。
其次，需要选取一个合适的时间步长以及模拟的次数，以确保结果的准确性。
在蒙特卡洛模拟中，可以随机生成多个标的资产价格（在一定的概率分布下）并进行模拟，然后计算每次模拟的期权收益。
通过多次模拟可以得出期权的期望收益，进而计算出期权的价值。
这种方法特别适用于欧式期权的定价。
在二叉树模型中，可以构建一个二叉树结构，其中每个节点表示特定时间的标的资产价格。
通过向上和向下浮动（通常是根据波动率）计算每个节点的资产价格。
然后，从期权到期日开始，逐步反向计算期权的价值，直到回到起始节点，得出期权的价值。
这种方法特别适用于美式期权的定价。
除了以上两种主要的数值策略，还有其他一些方法如有限差分法和扩散方程法也可以用于期权定价。
不同的方法适用于不同的情况，基于数值策略的期权定价需要根据具体的情况选择合适的方法。
需要注意的是，数值策略虽然可以提供一种近似值来估计期权的价格，但由于涉及到一定的随机性，结果可能会存在一定的误差。
因此，在使用数值策略进行期权定价时，需要结合其他定价方法和市场情况进行综合分析。
期权定价的数值策略是金融衍生产品定价中一种重要的方法。
通过利用蒙特卡洛模拟和二叉树模型，可以对期权的价值进行估计，帮助投资者做出更为准确的决策。
以下将进一步讨论和说明这些数值策略以及其在期权定价中的应用。
在蒙特卡洛模拟中，我们首先需要建立一个合适的期望收益率和价格路径模型。
期权定价的数值方法
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
直接调用 c=latticeeucall(52,50,0.1,6/12,0.2,500)得到：c= 5.5644 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,100)得到：p=1.1308； 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,200)得到：p=1.1240； 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,500)得到：p=1.1259 由以上计算可以看出：随着二叉树阶段数的增加，即时间间隔 ∆t 的减少，二叉树模型 的计算结果与期权价格的解析解也逐步接近。
T T T − r∆t
u = eσ
, d = e −σ
∆t
p=
e r∆t − d = 0.5076 u−d
∆t
股票价格的运动如图所示，期权的二叉树图如图所示。
u = eσ
= 1.1224, d = e −σ
∆t
= 0.8909
2
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
股票价格的运动
股票价格的运动
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
lattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)); end end price=lattice(1,1);
function [price,lattice]=latticeamcall(S0,K,r,T,sigma,N) deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT)); d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d); lattice=zeros(N+1,N+1); for j=0:N lattice(N+1,j+1)=max(0,(S0*(u^j)*(d^(N-j))-K)); end for i=N-1:-1:0 for j=0:i lattice(i+1,j+1)=max(exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)),-K+S0*u^j*d^ (i-j)); end end price=lattice(1,1); function [price,lattice]=latticeamput(S0,K,r,T,sigma,N) deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT)); d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d); lattice=zeros(N+1,N+1); for j=0:N lattice(N+1,j+1)=max(0,-(S0*(u^j)*(d^(N-j))-K)); end for i=N-1:-1:0 for j=0:i lattice(i+1,j+1)=max(exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)),K-S0*u^j*d^( i-j)); end end price=lattice(1,1);
期权定价数值方法
03
数值方法概述
离散化方法
向前离散化
将时间区间[0, T]分成n个小区间 ，以时间段[t_{i-1}, t_i]代替(0 <= i <= n)，并在此小区间上应 用Black-Scholes方程的解。
向后离散化
与向前离散化相反，将时间段 [t_{i-1}, t_i]代替(0 <= i <= n)， 并在此小区间上应用BlackScholes方程的解。
改进方向探讨
采用更高效的算法
结合机器学习技术
研究和发展更高效的数值方法，以减少计 算时间和资源消耗。
利用机器学习算法来优化和改进数值方法 ，提高其效率和准确性。
精细化建模
跨学科融合
在期权定价模型中引入更多的市场因素和 风险因素，以更准确地反映实际情况。
借鉴其他学科（如物理学、化学等）的数 值方法，将其应用于期权定价领域，以寻 求新的突破。
期权定价数值方法
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目录
• 引言 • 常见的期权类型和定价模型 • 数值方法概述 • 数值方法在期权定价中的应用 • 期权定价的数值方法优缺点及
改进方向
目录
• 期权定价数值方法在金融风险 管理中的应用
• 研究展望与未来发展趋势
01
引言
背景介绍
期权定价模型的发展 历程
当前期权定价模型研 究的现状和挑战
随机抽样
从已知概率分布中随机抽取样本点， 通过这些样本点计算期权价格的期望 值。
方差减少技术
通过一些技巧来减少模拟误差，例如 Bootstrap方法。
有限元素法
将标的资产价格变化的空 间离散化，划分为有限个 元素；
解有限元素法的线性方程 组，得到每个时刻的标的 资产价格；
金融工程12期权定价的数值方法课件
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12.二1 叉树定价模型:参数确定的方法
倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法， 从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
如果是欧式期权，可通过将T 时刻的期权价值的预期值在t时间长度内
以无风险利率 r 贴现求出每一结点上的期权价值；
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12.1 二叉树定价模型的一般定价过程
2. 为了达到一定的 精确度，一般需要大量 的模拟运算。
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相应地，期权价值也会有所不同，分
别为 f u 和 f d 。
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12.1
二叉树定价模型
二叉树模型的思 想实际上是在用 大量离散的小幅 度二值运动来模 拟连续的资产价 格运动
相同期 限下步 长越小
精确度 越高
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12.1 二叉树定价模型:参数确定的方法
无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头
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12.2
蒙特卡罗模拟
随机路径：
在风险中性世界中， 为了模拟路径 dSrqSdtSdz，我们把期权的有效期
分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为
lnSt tlnSt rq22 t t 或 St tStexprq22 t t
重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的 期望值。
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12.2
蒙特卡罗模拟
Monte Carlo: Based On Probability & Chance
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p ，下降的概率假设为
相应地，期权价值也会有所不同，分别为 fu
和 fd 。
无套利定价法：
份股票多头和1份看涨期权空头 当 Su u Sd fd 。则组合为无风险组合
构造投资组合包括 此时
fu f d Su Sd
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S f Su fu ert
f N , j max(S0u j d N j K ,0)
假定期权不被提前执行，则：
其中
j 0,1,
,N
fij ert [ pfi1, j 1 (1 p) fi1, j ] (0 i N ,0 j i)
（表示在时间 it 时第j个结点处的欧式看涨期权的价值）
e
( r q ) t
pu (1 p)d
t
e ( r q ) t d p ud
u e
d e
t
Derivagem求解例20-3，20-4
20.3 对于支付股息股票的二叉树模型
20.3.1 股息收益率是已知的情形
假设股息离散支付，股息收益率已知
可通过调整在各个结点上的股票价格，算出期权价格；
f 2,1 f 0, 0 2 t
f* f
20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权进行定 价
当对股指、货币和期货上的期权定价时，可以将这些标的资产看作是提供已 知收益率的资产。对于股指而言，收益率就是股指中股票组合的股息收益率；对 于货币而言，收益率等于外币无风险利率；对于期货合约而言，收益率等于无风 险利率。
若有提前执行的可能性，则：
fi, j max{ S0u j d N j K , ert [ pfi !, j 1 (1 p) fi 1, j ]}
20.1.6 估计Delta与其他希腊值
f1,1 f1, 0 S 0u S 0 d
[( f 2, 2 f 2,1 ) /(S0u 2 S0 )] [( f 2,1 f 2,0 ) /(S0 S0 d 2 )] 0.5 (S0u 2 S0 d 2 )
,i
1 u 由于 d ，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
20.1.4 通过树形倒推计算
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法， 从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
t 时间长度
如果是欧式期权，可通过将 内以无风险利率
T时刻的期权价值的预期值在
贴现求出每一结点上的期权价值； r
d e
t
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
20.1.3 资产价格的树形
Su4 Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3 Sd4 S S Sd Sd2 Su Su2
一般而言，在 it 时刻，证券价格有 i 1 种可能，它们可用符号表示为：
S0u j d i j 其中 j 0,1,
如果是美式期权，就要在树型持有
时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较 t
大者作为本结点的期权价值。
例20-1
DerivaGem示范
20.1.5 代数表达式
j i j 假设把一期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 S0u d
表示结点 (i, j ) 处的证券价格可得（以看涨期权为例）：
20.1.2 确定p,u,d
在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
Se
rt
pSu (1 p)Sd
e rt pu (1 p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则：
2 t pu2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2
Rubinstein所用的条件）
i t 时刻结点的相应的证券价格
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
20.3.2 已知股息数量的情形
在某些情形下，尤其是当期权的期限很短时，最符合现实的做法是假设已 知股息支付的数量而不是股息收益率。假设股票波动率 为常数，二叉树的 形状如下图所示。
将
f e r t pf u 1 p f d
其中
fu f d Su Sd 代入上式就可得到：
e rt d p ud
20.1.1 风险中性定价
在对衍生产品定价时，可以假定世界是风险中性的。
在风险中性世界里：
（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。
基本数值方法
第20章
第20章 基本数值方法
20.1 二叉树 20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权定价 20.3 对于支付股息股票的二叉树模型
20.4 构造树形的其他方法
20.5 参数依赖于时间的情形 20.6 蒙特卡罗模拟法 20.7 方差缩减程序 20.8 有限差分法
20.1 二叉树
Su p S 1-p Sd
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处股票价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i 如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1,
,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 为：S (1 i )u j d i j
S 2 2t pS 2u 2 (1 p)S 2d 2 S 2 [ pu (1 p)d ]2
u 1/ d（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和 再设定：
e rt d p 由以上三式可得，当 t 很小时： ud
u e
t
从而
f e r t pf u 1 p f d
把期权的有效期分为很多很小的时间间 隔 ，并假设在每一个时间间隔 t 内证 t
券价格只有两种运动的可能： 1、从开始的 S 上升到原先的 2、下降到原先的 d 倍，即 Sd
u 倍，即到达 Su
。
；
t 时间内资产价格的变动
d 1 .如图所示。价格上升的概率假设为 其中 u 1， 1 p 。