2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一(创新班)下学期期初考试数学试题(解析版)

A1BC1 ，故 A 选项正确；
B 项，设正方体的边长为 1，分别以 BA，BC， BB1 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐
标系，如图：
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则
B(0,
0,
0),
A(1,
0,
0),
C(0,1,
0),
O(
1 2
,
1 2
,
0)
，
M
(0,
0,
1 2
),
D1
(1,1,1)
，
所以 OD1
中，由余弦定理可得： AD2 AB2 BD2 2AB BDcosB 7 ，即可．
【详解】
由余弦定理可得： AC2 AB2 BC2 2AB BCcosB AB2 2AB 3 0 ． AB 3 在 ABD 中，由余弦定理可得： AD2 AB2 BD2 2AB BDcosB 7 ，
往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示， 如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面 是（ ）
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A．定 B．有 C．收 D．获 【答案】B 【解析】试题分析：这是一个正方体的平面展开图，其直观图如下：
共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体 的前面是“有”． 故选 B． 【考点】展开图与直观图.
3．直线 x cos 3y 2 0 的倾斜角的范围是( )
A．[ π ， π ] [5π ， π) 62 6
C．[0 ， 5π ] 6
【答案】B
B．[0 ， π ] [5π ， π) 66
在 Rt△ BCD 中，∠CBD=30°，∴BC= 3h ．
在△ ABC 中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．
∴（ 3h ）2=h2+1002﹣ 2 100h 1 ， 2
化为 h2+50h﹣5000=0，解得 h=50．
故选 A．
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【点睛】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
化为 f x, y f x2, y2 0，
显然 P2 x2, y2 满足方程 f x, y f x1, y1 f x2, y2 0，
所以 f x, y f x1, y1 f x2, y2 0表示过点 P2 且与 l 平行的直线．
故答案选 C． 【点睛】 本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.
5．已知直线 y＝2x 是△ ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(－
4，2)，(3，1)，则点 C 的坐标为( )
A．(－2，4)
B．(－2，－4)
C．(2，4)
D．(2，－4)
【答案】C
【解析】求出 A(－4，2)关于直线 y＝2x 的对称点为(x，y)，可写出 BC 所在直线方程，
MO
AC ，所以 S
MAC
1 2
AC MO
6 a2 ，设点 B 到平面 MAC 的距离为 h，则 4
VBMAC
1S 3
MAC
h ，又因为VBMAC
VM ABC
1S 3
ABC MB ，解得
h S ABC MB 6 a 2 ，D 错误.
S MAC
6
2
故选：D
【点睛】
本题考查直线与平面平行和垂直的判定及异面直线和平面夹角的求解，属于中档题.
故选：BD 【点睛】 本题考查命题真假性的判断，两平行平面内的直线的位置关系，充分理解平行平面及性 质和异面直线的定义是解题的关键，属于基础题.
10．已知 ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，下列四个命题中正确的命题是
（）
A．若 a b c ，则 ABC 一定是等边三角形 cos A cos B cos C
次，要掌握解题方法.
二、多选题
9．已知直线 a ，两个不重合的平面 ， .若 / / ， a ，则下列四个结论中正
确的是( ) 第 7 页 共 25 页
A． a 与 内所有直线平行
B． a 与 内的无数条直线平行
C． a 与 内的任意直线都不垂直
D． a 与 没有公共点
【答案】BD 【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解。 【详解】
AD 7
故选 D． 【点睛】 本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．在解与三角形有 关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现
ab 及 b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，
【答案】C
D．不过点 P2 ，但与 l 平行的直线
【解析】先判断直线与 l 平行，再判断直线过点 P2 ，得到答案.
【详解】
由题意直线 l 方程为 f x, y 0 ，则方程 f x, y f x1, y1 f x2, y2 0
两条直线平行，
P1 x1, y1 为直线 l 上的点， f x1, y1 0 ， f x, y f x1, y1 f x2, y2 0，
2019-2020 学年江苏省南通市启东中学高一（创新班）下学期 期初考试数学试题
一、单选题
1．在 ABC 中， AC 7, BC 2, B 60 ，则 BC 边上的中线 AD 的长为 ( )
A．1
B． 3
C．2
D． 7
【答案】D
【解析】由余弦定理可得：AC2 AB2 BC2 2AB BCcosB AB 3 ，在 ABD
B．若 a cos A bcos B ，则 ABC 一定是等腰三角形 C．若 bcosC c cos B b ，则 ABC 一定是等腰三角形
若 c ,b ,c b P ， b//a ，则 a 与 c 是异面直线，故 A 错误；
b ，则 内所有与 b 平行的直线皆与 a 平行，故 B 正确；
若 c b ，因为 b//a ，所以 a c ，故 C 错误；
因为 / / ，所以 与 没有公共点，而 a ，所以 a 与 没有公共点，D 正确.
与直线 y＝2x 联立，即可求出 C 点坐标.
【详解】
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设
A(－4，2)关于直线
y＝2x
的对称点为(x，y)，则
y x y
2
2 4 2
2 2
1
4 2
x
，解得
x
y
4 2
∴BC 所在直线方程为 y－1＝ 2 1 (x－3)，即 3x＋y－10＝0. 联立直线 y=2x，解得 43
根据正切函数的图象可知直线倾斜角的范围为[0 ， π ] [5π ， π) . 66
故选：B 【点睛】 本题考查直线的倾斜角，三角函数的图象与性质，属于基础题.
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4．正方体 ABCD A1B1C1D1 中， O 为底面 ABCD 的中心， M 为棱 BB1 的中点，则
下列结论中错误的是( )
AQ
2
1
3 (4 2
3) AR (2
3) AD (2
3) AE
，此时 x y 4 2
3
，
2
同理可得： AT (2 3) AD (2 3) AE ， x y 4 2 3 ，选 B .
【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点 P 在等和线 DE 上 x y 1去求 x y 的取值范围，由于点 P 是圆 M 及其内部任意一点，所以分别过 Q、T 作圆的切 线，求出两条等和线的 x y 值，就可得出 x y 的取值范围，本题型在高考中出现多
D．[ π ， 5π ] 66
【解析】求出直线斜率为 k 3 cos ，根据 cos 的范围即可求得斜率的范围，再 3
由正切函数的图象即可求出直线倾斜角的范围. 【详解】
直线方程化为斜截式为： y 3 cos x 2 3 ，斜率为 k 3 cos ，
3
3
3
因为 cos [1,1]，所以斜率 k [ 3 , 3 ]， 33
1 2
,
1 2
,1
，
AM
1,
0,
1 2
，
CM
0,
1,
1 2
，
因为 OD1 AM 0 ， OD1 CM 0，所以 OD1 AM ， OD1 CM ， 又因为 AM CM M ，且 AM 平面 AMC， CM 平面 AMC， 所以 D1O 平面 AMC ，B 选项正确；
C 项，根据 B 项可得 C1(0,1,1) ，所以 BC1 (0,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
A． D1O / / 平面 A1BC1
B． D1O 平面 AMC
C．异面直线 BC1 与 AC 所成角为 60
【答案】D
D．点 B 到平面 AMC 的距离为 2 2
【解析】A 项，通过证明 OD1 / / BO1 来证明线面平行；B 项，建立空间直角坐标系，由
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OD1 AM 0 、 OD1 CM 0推出 OD1 AM 、 OD1 CM ，从而证明线面垂直；
8．如图， BAC 2 ，圆 M 与 AB、AC 分别相切于点 D、E， AD 1，点 P 是圆 3
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M 及其内部任意一点，且 AP x AD y AE(x、y R) ，则 x y 的取值范围是（ ）
A． 1, 4 2 3
B． 4 2 3, 4 2 3
C． 1, 2 3
D． 2 3, 2 3
【答案】B
【解析】连接 AM 并延长分别交圆 M 于 Q、T ，连接 DE ， DE 与 AM 交于 R ，显然
AR 1 AD 1 AE ，此时 x y 1，分别过 Q、T 作 DE 的平行线，由于 22
AD AE 1, BAC 1200 ，则 AM 2, DM 3 ，则 AQ 2 3 ， AR 1 ， 2
x y
2 4
，则
C(2，4)．故选
C.
【点睛】
本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题.
6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某
人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m
到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( )
C
项，利用公式 cos
|
AC BC1 AC | | BC1
|
可求得异面直线
BC1 与
AC
所成角的余弦值从而
求得夹角；D 项，由等体积法求点到平面的距离即可判断.
【详解】
A 项，连接 B1D1 ，交 A1C1 于点 O1 ，连接 BD，根据正方体的性质可知， D1O1 与 BO 平
行且相等，所以四边形 BOD1O1 是平行四边形，即 OD1 / / BO1 ，又因为 D1O / / 平面
7．已知直线 l 方程为 f x, y 0 ，P1 x1, y1 和 P2 x2, y2 分别为直线 l 上和 l 外的点，
则方程 f x, y f x1, y1 f x2, y2 0表示（ ）
A．过点 P1 且与 l 垂直的直线
B．与 l 重合的直线
C．过点 P2 且与 l 平行的直线
A．50 m
B．100 m
C．120 m
D．150 m
【答案】A
【解析】如图所示，设水柱 CD 的高度为 h．在 Rt△ ACD 中，由∠DAC=45°，可得 AC=h．由
∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在 Rt△ BCD 中，∠CBD=30°，可得 BC= 3h ．在△ ABC
中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出． 【详解】 如图所示， 设水柱 CD 的高度为 h． 在 Rt△ ACD 中，∵∠DAC=45°，∴AC=h． ∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°． 又∵B，A，C 在同一水平面上，∴△BCD 是以 C 为直角顶点的直角三角形，
设异面直线
BC1 与
AC
所成角为
，则 cos
|
AC BC1 AC | | BC1
|
1 2
，
又
0,
2
，所以
60
，C
选项正确；
D 项，设正方体的边长为 a，则 BO 2 a ，所以由勾股定理可得 2
MO OB2 BM 2 3 a ，根据题意可知 MA MC ，O 是 AC 的中点，故 2