1989年高考数学试题(文理科)

一九八九年（理科）

考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。）

1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ） （A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}

2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）

（A ）2

x y = （B ）x

x y 2=

（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中

3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]5

3arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）

（A ）-1 （B ）257-

（C ）25

7

（D ）510-

5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++

且n n n 21n S lim ,a a a S ∞

→+++=那么Λ的值等于 （ B ）

（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）48

6．如果2

sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ）

（A ）510-

（B ）510 （C ）515- （D ）5

15

7．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ）

（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 4

3

+

8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心

的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5

9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235

θ

-=ρ那么它的短轴长是（C ）

（A ）

3

10

（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136

y 64x 2

2=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那

么点P 到它的右准线的距离是 （ D ）

（A ）10 （B ）

7732 （C ）72 （D ）5

32

11．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ）

（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数

12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个 二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果.）

13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________

答案：}Z k ,12

)1k 2(x ,127k 2x |x {∈π

+π+=π+

π=或 或}Z k ,3

4)1(k x |x {k ∈π

+π-+π=

14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________

答案：}4x ,1x |x {>-<或

15．函数1

e 1

e y x x +-=的反函数的定义域是_____________

答案：（-1，1） 16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=-Λ那么=+++721a a a Λ____答案：-2

17．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件。

答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）

18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________ 答案：

2

3

3 三．解答题（本题满分60分，共6个小题.） 19．（本小题满分8分）

证明：x

2cos x cos x

sin 22x tg 2x 3tg

+=

- 证：2

x cos

2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2x sin

2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin 2

x tg 2x 3tg =-=-=-

x

2cos x cos x

sin 2+=

20．（本小题满分10分）

如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3

π

（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD

的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积。

（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N

由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上

（Ⅱ）∵AM=AA 1,2

32133cos =⋅=π∴AO=AM .223

4csc =

π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,2

9

299=-

∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022

3

45=⋅⋅

21．（本小题满分10分）